CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.

Transkrypt

1 CIĄGI LICZBOWE

2 Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych. Tz. ustwimy kierowców rjdowych w kolejości od jlepszego do jsłbszego.

3 Tkie włśie ustwiie obiektów w pewej kolejości wiąże się ściśle z pojęciem ciągu, które jest fudmetlym pojęciem dziłu mtemtyki zwego lizą mtemtyczą.

4 Celem iiejszego wykłdu jest omówieie podstwowych włsości pewych wybrych ciągów, które pełią istotą rolę, zrówo w mtemtyce, jk i otczjącym s świecie z przykłdmi ich zstosowń w zdich.

5 Ciągiem zywmy pewą ilość obiektów ustwioych po kolei, lub, co jedo wychodzi pewą ilość obiektów poumerowych kolejymi liczbmi turlymi.

6 Jeżeli ilość obiektów, które ustwimy w ciąg jest skończo, to mmy do czyiei z ciągiem skończoym. Jeżeli tomist ilość obiektów, które ustwimy w ciąg jest ieskończo, to mówimy o ciągu ieskończoym.

7 Jeżeli obiekty, które ustwimy w ciąg są liczbmi, to te ciąg zywmy ciągiem liczbowym. Ciągi ozczmy młymi litermi, tomist wyrzy ciągu, czyli obiekty, z których te ciąg się skłd, ozczmy młymi litermi wrz z liczbą, któr iformuje s, którym miejscu w dym ciągu te wyrz występuje.

8 Przykłd Ciąg liter zwisk kżdego człowiek jest przykłdem ciągu skończoego. Jeżeli przez ozczymy ciąg liter zwisk Kowlski, to K, o, w, 2 3 4,,,, 8. l s k i 5 6 7

9 Przykłd Przykłdem ciągu ieskończoego może być ciąg wszystkich turlych wielokrotości liczby 5 ustwioy w kolejości od jmiejszej. =( 5; 0; 5; 20; 25; 30; 35; 40;.) Jest to zrzem przykłd ciągu liczbowego.

10 Jedym z brdziej elemetrych zrzem brdzo wżym jest pojęcie ciągu rytmetyczego, zwego rówież postępem rytmetyczym. Ciągiem rytmetyczym zywmy ciąg ( ) o tej włsości, że różic pomiędzy dowolym wyrzem wyrzem bezpośredio poprzedzjącym go jest stł i wyosi r. Liczbę tę zywmy różicą ciągu rytmetyczego.

11 Przykłd Ciąg kolejych liczb turlym jest ciągiem rytmetyczym (;2;3;4;5;...) Różic tego ciągu wyosi : r

12 Kżdy ciąg stły tz. postci,,, jest rówież przykłdem ciągu rytmetyczego, którego różic wyosi r 0 (,,...) Kżdy ciąg rytmetyczy jest jedozczie wyzczoy przez swój pierwszy wyrz orz różicę. Więcej, jeżeli zmy którykolwiek wyrz ciągu rytmetyczego orz jego różicę, to możemy wyzczyć wszystkie jego wyrzy.

13 Wzór - ty wyrz ciągu rytmetyczego Zuwżmy, że r 2 2r... ( ) ( ) r ( ) r Łącząc pierwszą i osttią rówość otrzymujemy wzór - ty wyrz ciągu rytmetyczego ( ) r

14 Rówie prosto, jk wyzczć - ty wyrz ciągu rytmetyczego moż sumowć wyrzy ciągu rytmetyczego, o czym może świdczyć stępując egdot: Niepokory Guss i sum ciągu rytmetyczego Aegdot t dotyczy wielkiego iemieckiego mtemtyk Crl Friedrich Guss ( r.)

15 Crl Guss siedził zudzoy lekcji mtemtyki. Nietrudo wyobrzić sobie dlczego - Guss był ieprzeciętym ucziem, lekcje mtemtyki 300 lt temu ie były tk ciekwe jk dziś. A więc Guss udził się, przez co często wpdł w trpty.

16 Któregoś rzu, kiedy Crl zów ie zjmowł się lekcją, uczyciel zdeerwowł się i krzykął: "Guss! Jeżeli jesteś tk potworie zudzoy lekcją, mm dl ciebie zdie: pójdziesz do kąt i zsumujesz liczby od jedego do stu. To powio cię zjąć jkiś czs."

17 Guss poszedł do kąt, le ie wyglądł jkby cokolwiek liczył. Nuczyciel zów krzykął: "Guss! Widzę, że zdążyłeś już dodć te wszystkie liczby." Guss odpowiedził: "Jse. To Oczywiście uczyciel ie uwierzył, że moż było to tk szybko obliczyć. Nstępe 0 miut spędził dodjąc po kolei wszystkie liczby, by przyłpć uczi kłmstwie

18 Kiedy zorietowł się, że Crl m rcję, pewie i tk kzł mu zostć w kozie. Albo trzepął go liijką z to, że był od iego sprytiejszy. Może cł t historyjk jest zmyślo? Kto wie... Zstówmy się jk mógł to zrobić Guss? Zpiszmy w tym celu szuką sumę i ozczmy ją literą S S

19 Zpiszmy terz tą smą sumę le ustwmy jej skłdiki w odwrotej kolejości S Dodjmy terz do siebie te dwie sumy le w te sposób, że dodjemy pierwszy skłdik pierwszej sumy do pierwszego skłdik drugiej sumy, drugi skłdik pierwszej sumy do drugiego skłdik drugiej sumy, itd

20 Otrzymmy w te sposób stępującą sumę ( 00 ) (2 99 )... ( 99 2 ) (00 ) 2S Otrzymujemy w te sposób sumę stu skłdików z których kżdy jest rówy liczbie 0, więc S Ztem S 5050

21 Bzując tym smym pomyśle moż łtwo wyzczyć wzór sumę początkowych wyrzów ciągu rytmetyczego. Zuwżmy w tym celu, że Ztem S k k r r k r k ] ) ( [ ) ( ) ( )... ( )... ( S S S ) (... ) (... ) ( ) ( 2 k k

22 Skąd 2 ) ( S ) ( ) (... ) ( ) (

23 Przykłd, który terz podmy pochodzi z tzw. Ppirusu Moskiewskiego pisego ok roku p..e w Strożytym Egipcie. Podziel 0 mir zboż między 0 ludzi tk, by różic między kżdym człowiekiem, stępym wyosił /8 mir.

24 Rozwiązie Mmy de S r Szukmy, 2,..., 0, korzystjąc z wzoru -ty wyrz ciągu rytmetyczego otrzymujemy

25 0 9r 9 8 Wstwijąc powyższe wyrżeie do wzoru Otrzymujemy 0 S S 0 Ztem 9 6

26 Ciągi Liczbowe Więc 6 25, 6 23, 6 2, 6 9, 6 7, 6 5, 6 3, 6, 6 9,

27 Kolejym elemetrym i wżym ciągiem jest ciąg geometryczy, zwy rówież postępem geometryczym. Ciągiem geometryczym zywmy ciąg liczb rzeczywistych różych od zer o tej ( ) włsości, że ilorz dowolego wyrzu przez wyrz bezpośredio poprzedzjący go jest stły i wyosi q. Tę liczbę q zywmy ilorzem ciągu geometryczego.

28 Przykłd Ciąg (, 2, 4, 8, 6, 32, 64, ) jest przykłdem ciągu geometryczego o ilorzie q 2. Podobie jk ciąg rytmetyczy, rówież i ciąg geometryczy jest jedozczie wyzczoy przez jego pierwszy wyrz i ilorz q. Więcej, rówież i ciąg geometryczy m tę włsość, że jeśli zmy jego dowoly wyrz orz ilorz, to możemy wyzczyć kżdy iy wyrz tego ciągu.

29 W przeciwieństwie do ciągu rytmetyczego wyrzy ciągu geometryczego mogą rosąć brdzo szybko, co obrzuje stępując bjk: Bjk o królu, szchch i zirch pszeicy Dwo, dwo temu żył sobie król, który się strszie udził. Nie bwił go fechtuek, i jzd ko, i wet turiej rycerski. Był tk zudzoy, że rozesłł wici po cłym krju i do pństw przyjzych - kto przyiesie iteresującą grę, tego ie miie wysok grod.

30 Pewego di zjwił się zmku strszy człowiek, cudzoziemiec. Przedstwił królowi swoją grę (szchy), te tk się ią zchwycił, że postowił ofirowć utorowi wszystko, czego te zżąd. Autor poprosił o pozorie skromą grodę - by pierwsze pole szchowicy położoo ziro pszeicy, drugie 2 zir, trzecie 4 zir i kżde stępe pole dw rzy więcej zire iż pole poprzedie.

31 Król się tylko zśmił i powiedził, żeby ów strszy człowiek podł mu po prostu liczbę worków z zirem, bo worki wygodiej liczyć, le utor się uprł dokłdie tką liczbę zire - i miej i więcej.. Nieco rozbwioy tkim zchowiem król poszedł więc do swoich mtemtyków, żeby mu obliczyli, ile miej więcej worków zir żąd ów cudzoziemiec. Gdy mtemtycy podli mu wyik, to zrzedł mu mi - okzło się, że tyle zir, to ie m i w jego królestwie, i wet cłym zym świecie.

32 Ciągi Liczbowe Obliczmy ile zire pszeicy zżądł utor z wylezieie szchów, S Zuwżmy, że 2 64 S (2 ) S 2S S Więc hoorrium wyosiło zire pszeicy

33 Wzór - ty wyrz ciągu geometryczego Zuwżmy, że Łącząc pierwszą i osttią rówość otrzymujemy wzór - ty wyrz ciągu geometryczego ) ( q q q q q

34 Podobie jk dl ciągu rytmetyczego moż ietrudo wyzczyć wzór sumę S początkowych wyrzów ciągu geometryczego Zuwżmy w tym celu, że Ztem k q q q q k k k ( q) S S qs ( 2... ) q( 2... ) ( 2... ) ( q q2... q q)

35 )... ( )... ( Otrzymliśmy więc stępującą rówość Skąd ) ( S q q q q S ) (

36 W słyym ppirusie egipskim zjduje się stępujący zpis: Siedmiu ludzi m po 7 kotów, kżdy zjd 7 myszy, kżd mysz zjd 7 kłosów, z kżdego kłos może wyrosąć 7 mir zboż Ile rzem było ludzi, kotów, myszy, kłosów i mir zboż

37 Rozwiązie: Mmy (bo mmy siedmiu ludzi) (bo kżd osob m 7 kotów) (bo kżdy kot zjd 7 myszy) (bo kżd mysz zjd 7 kłosów) (bo z kżdego kłos wyrośie 7 mir zboż)

38 Czyli wszystkich rzeczy rzem mmy:

39 Dziękuję z uwgę Kig Kolczyńsk-Przybycień