PODSTAWY ALGEBRY LINIOWEJ ALGEBRA MACIERZY

Transkrypt

1 PODSTWY LGEBRY LINIOWEJ LGEBR MCIERZY Mcierzą prostokątą o m ierszch i kolumch zymy tblicę m liczb rzeczyistych ij (i,,...,m; j,,...,) zpisą postci ujętego isy kdrtoe prostokąt liczb M m M m Liczby rzeczyiste ij zymy elemetmi mcierzy. KŜdy elemet mcierzy jest ozczy dom skźikmi: pierszy ozcz umer iersz drugi umer kolumy Iloczy m zymy ymirmi mcierzy. Mcierz będziemy zpisyć często krótszej postci: m ij ij m ij m m Njczęściej mcierze ozczmy duŝymi pogrubioymi litermi, C, X, W, B,... PRZYKŁD. Normy zuŝyci środkó produkcji jedostkę yrobó LF i BET ujęte tbeli moŝ zpisć jko mcierz N. Normy zuŝyci jedostkę yrobu yroby stl dreo frb prc eergi [szt] [kg/szt] [m /szt] [litr/szt] [rg] [kwh/szt] LF BET K K O K m M N ij

2 W zbiorze mcierzy{ } m yróŝi się pee typy mcierzy, bądź ze zględu ich ymiry, bądź rtości elemetó ij mcierzy. Wymiry mcierzy są podstą do yróŝiei mcierzy prostokątych, mcierzy kdrtoych i ektoró. Def. Mcierz ij prostokątą, gdy m m zy się mcierzą Def. Mcierz ij m dl m zy się mcierzą kdrtoą. Mcierz kdrtoą ozcz się symbolem ij stopiem mcierzy kdrtoej.. Liczbę zy się

3 Def. Elemety:,,..., mcierzy kdrtoej głóą mcierzy. ij zy się przekątą ij Def. Mcierz prostokątą m () zy się ektorem kolumoym (lub krótko ektorem) i zpisuje postci: M m Def. Mcierz prostokątą ij (m) zy się ektorem ierszoym i zpisuje [ ] postci L

4 Wektory ierszoe i kolumoe ozcz się tym skrypcie jczęściej młymi, pogrubioymi litermi, b,..., x, y itp. Ze zględu rtości liczboe elemetó ij mcierzy zbiorze mcierzy yróŝi się mcierze zeroe i mcierze jedykoe. Def. Mcierz ij m, której szystkie elemety ij zy się mcierzą zeroą i ozcz symbolem mx. Def. Mcierz ij m, której szystkie elemety ij zy się mcierzą jedykoą i ozcz symbolem J mx.

5 W zbiorze mcierzy kdrtoych, stopi, yróŝi się mcierze: jedostkoe, digole, trójkąte, symetrycze i skośosymetrycze. Def. Mcierz kdrtoą (stopi ) ij ruek: ij, której elemety spełiją dl dl zy się mcierzą jedostkoą i ozcz symbolem I Wszystkie elemety głóej przekątej mcierzy I są ięc jedykmi, tomist pozostłe elemety zermi. Przykłd: Mcierzmi jedostkoymi są m.i. mcierze: [] i i j, j

6 6 Def. Mcierz kdrtoą (stopi ) ij, której ij, dl kŝdego i j zy się mcierzą digolą. Przykłd: Mcierzmi digolymi są m. i. mcierze: Def. Mcierz kdrtoą (stopi ) ij, której dl kŝdej pry (i,j): ij ji zy się mcierzą symetryczą. Przykłd: Mcierze: są mcierzmi symetryczymi.

7 Def. Mcierz kdrtoą (stopi ) ij, której dl kŝdej pry (i, j): ij - ji zy się mcierzą skośosymetryczą. Przykłdmi mcierzy skośosymetryczych są stępujące mcierze: - -

8 8 DZIŁNI N MCIERZCH Niech będą de mcierze ij, ij b B, ij c C. Def. Mcierze: mx i B mx są sobie róe (B), jeśli ij b ij, dl kŝdej pry (i,j) Def. Sumą mcierzy mx i B mx zy się tką mcierz C mx (CB), Ŝe dl kŝdej pry skźikó (i,j) zchodzi róość: c ij ij b ij. Przykłd: Obliczyć sumę B dl, B, 6 6 ) ( B

9 t. Dodie mcierzy jest przemiee, czyli BB 9 t. Dodie mcierzy jest łącze, czyli (B)C)(BC) t. JeŜeli B, to B def. Mcierz B zy się mcierzą przecią do mcierzy, co zpisuje się : B -, jeśli B def. Mcierz B xm zy się trspozycją mcierzy mx (lub mcierzą trspooą do mcierzy mx ), jeśli dl kŝdej pry (i,j) zchodzi róość: b ij ji Mcierz trspooą B ozcz się symbolem T (lub ) B Przykłd: Mcierz jest mcierzą trspooą do mcierzy NleŜy zuŝyć, Ŝe koleje kolumy (iersze) mcierzy B odpoidją kolejym ierszom(kolumom) mcierzy.

10 T. Trspooie mcierzy posid stępujące łsości: ( T ) T (B) T T B T ( B) T B T T t. JeŜeli mcierz [ ij ] x spełi ruek T, to jest mcierzą symetryczą. Def. Iloczyem liczby α i mcierzy mx, zy się tką mcierz B mx, co zpisuje się: Bα), której b ij α ij dl kŝdej pry (i,j) Przykłd. Obliczyć (-)B, jeśli B 9 )B (

11 def. Iloczyem mcierzy mxk przez mcierz B kx zy się tką mcierz C mx (co zpisuje się C B), której elemety spełiją ruek: kj ik j i j i ij j i b b b c... ), ( B ( ) ( ) 9 B t. Dl doolej mcierzy mx zchodzą róości: I m I t. Zchodzą stępujące róości α(b)ααb α(b) (αb) t. MoŜeie mcierzy przez mcierz jest łącze, czyli ( B) C (B C) t. MoŜeie mcierzy przez mcierz jest rozdziele zględem dodi mcierzy, czyli (BC) B C

12 Def. Mcierz kdrto B[b ij ] x zymy mcierzą odrotą do mcierzy kdrtoej [ ij ] x, jeśli spełioy jest ruek: BB I Mcierz odrotą, jeśli istieje, ozcz się symbolem -, proces yzczi(poszukii jej elemetó zy się odrciem mcierzy. Przykłd: Mcierz B jest mcierzą odrotą do mcierzy, gdzie: i B, poieŝ - - B orz

13 B MoŜ ztem pisć: def. Mcierzą kdrtoą, któr ie posid mcierzy odrotej zy się mcierzą osoblią. Przykłd: Pokzć moŝ, Ŝe p. mcierz jest mcierzą osoblią t. JeŜeli jest mcierzą ieosoblią, to ( - ) T ( T ) - orz ( - ) -

14 t. JeŜeli i B są ieosobliymi mcierzmi tego smego stopi, to (B) - B - - t. JeŜeli jest mcierzą ieosoblią i α R\{}, to ( ) ( ) α α def. Mcierz kdrtoą spełijącą ruek T T I Nzy się mcierzą ortogolą

15 PRZEKSZTŁCENI ELEMENTRNE MCIERZY def. Przeksztłceimi elemetrymi mcierzy [ ij ] m zy się stępujące dziłi ykoye ierszch (lub kolumch) mcierzy: T: PomoŜeie szystkich elemetó ybrego iersz (kolumy) przez liczbę α. T: Zmi miejscmi (przestieie) dóch doolie ybrych ierszy (lub kolum) mcierzy; T: Dodie do szystkich elemetó ybrego iersz (kolumy) odpoidjących im (ystępujących tej smej kolumie (ierszu)) elemetó iego iersz (kolumy) pomoŝoych przez liczbę α

16 6 Przykłd: /(-) 6 k kk*(-) 6, 6 k k, k k

17 ODWRCNIE MCIERZY Jedą z metod odrci mcierzy jest metod ykorzystując opercje elemetre. Ide poleg róoległym przeksztłciu elemetrym ierszy mcierzy dej orz mcierzy jedostkoej I. Schemt postępoi moŝ ująć krótko I : : ciąg opercji elemetrych : : I B - JeŜeli ie moŝ odrócić mcierzy pody sposób, to ozcz, Ŝe ie istieje mcierz odrot do mcierzy.

18 8 PRZYKŁD. D jest mcierz ( ) ( ) / / / / / / oy oy oy ( ) / / / / oy oy oy ( ) / / / / / / oy oy oy Ztem mcierz odrot do mcierzy m postć / / / /