Wybrane rozkłady prawdopodobieństwa użyteczne w statystyce

Transkrypt

1 Wyre rozkłdy prwdopodoieństw żytecze w sttystyce Rozkłd chi-kwdrt o stopich swoody - to rozkłd sy kwdrtów iezleżych zieych losowych o stdryzowy rozkłdzie orly N tz iid N = i i rozkłd y o kcji gęstości y y e y> Widć że rozkłd jest szczególy przypdkie rozkłd g Rozkłd t-tdet o stopich swoody iech ędzie zieą losową o rozkłdzie N zieą losową o rozkłdzie Jeżeli ziee i są iezleże to zie losow T= rozkłd t tdet o stopich swoody i kcji gęstości t T t Rozkłd edecor-isher- iech i ędą iezleżyi zieyi losowyi o rozkłdch wówczs zie losow Z= rozkłd edecor-isher z kcją gęstości z z z> Z z Niecetrle rozkłdy chi-kwdrt tdet t i edecor De Niech ędą iezleżyi zieyi losowyi o rozkłdch N i i= Wówczs zie losow U swoody i pretrze iecetrlości ozczy i i rozkłd iecetrly chi-kwdrt o stopich i i Bezpośredio z deiicji widć że czyli że zwykły cetrly rozkłd szczególy przypdkie iecetrlego rozkłd z = jest Przeksztłćy ortogolie wektor N I wektor wedłg wzor

2 i i i i gdzie pozostłe wiersze cierzy przeksztłcei są tk dore y cierz ył ortoorl Moż to zroić trktjąc pierwszy wiersz jko wektor w R zpełić te wektor - wektori tk y zyskć zę w R i zstosowć procedrę ortogolizcji Gr -chidt Przeksztłcoy ortogolie wektor rozkłd N I Poiewż przeksztłceie ortogole zchowje orę y U i i i i Otrzyliśy dekopozycję z której wyik że iecetrly rozkłd to rozkłd sy iezleżych zieych losowych z których pierwsz jest kwdrte zieej losowej o rozkłdzie N drg zieą losową o rozkłdzie kt te zpisjey syoliczie Woec tego dl > y P U P N x tosjąc wzór x dx d d t dt otrzyjey gęstość rozkłd = N + x N x y dxdy = [ N x y dy] dx = x y y = t d d dt d d w postci N x x dx Cłk t ie wyrż się przez kcje eleetre Moż pokzć że gęstość wyrż się przez tzw ogólioą kcje hipergeoetryczą jed z kcji specjlych i jest tlicow l dostęp w p w Mthetic po złdowi ttistics`cotiosdistritios` koedą NocetrlChiqreDistritio[ld] gdzie pretr iecetrlości ld= p CD[NocetrlChiqreDistritio[ld]x] zwrc wrtość dystryty w pkcie x Z dekopozycji = N + łtwo ożey zyskć wrtość oczekiwą i wricję w rozkłdzie Rzeczywiście jeżeli ziee losowe N i są iezleże to zie losow U= + o rozkłdzie wrtość oczekiwą EU=E +E=V+E +E=+ +-=+ VU= V +V=+4 +-=+4

3 o zpisjąc N jko + i N zyskjey V =V + = V 4 V 4Cov =+4 +=+4 Uwg 3 E E E E E Cov Twierdzeie o dodwi U U U U iezleże U + U Dowód Z dekopozycji = N + otrzyjey U U gdzie N N i wszystkie ziee są iezleże Z twierdzei o dodwi dl cetrlego rozkłd y + toist dl wektor N I stosjey przeksztłceie ortogole Z Z Z i otrzyjey że Z Z i Z N I Woec tego zie U U jest są iezleżych trzech zieych losowych z których pierwsz jest kwdrte zieej losowej o rozkłdzie N drg kwdrte zieej losowej o rozkłdzie N czyli zieej o rozkłdzie i zieej o rozkłdzie dodwi dl cetrlego rozkłd U U = N + otrzyjey dekopozycję tosjąc jeszcze rz twierdzeie o Niecetrly rozkłd t- tdet Niech N i iezleże Wówczs T t Niecetrly rozkłd edecor isher Niech i iezleże Wówczs Uzpełieie Niech ędzie próą prostą z rozkłd N Przeksztłćy ortogolie wektor N I wektor wedłg wzor 3

4 gdzie pozostłe wiersze cierzy przeksztłcei są y cierz ył ortoorl oż to zroić trktjąc pierwszy wiersz jko wektor w R zpełić te wektor - wektori tk y zyskć zę w R i zstosowć procedrę ortogolizcji Gr chidt Przeksztłcoy ortogolie wektor rozkłd N I więc jego skłdowe są iezleże Zwży że toist i i i i tąd sttystyki N toist i i i i są iezleże Zie losow i i Q i i i i rozkłd i tąd swoody toist kcj Q rozkłd i i rozkłd rozkłd t-tdet z - stopii Przedziły ości estycj przedziłow Niech ędzie próą prostą z rozkłd P P { : } P Deiicj Losowy przedził [ L U ] gdzie L U tki że dl zdego P L g U zywy % przedziłe ości dl pretr g R ttystyki L i U zywy odpowiedio doly i góry końce przedził współczyik P zywy pozioe ości Iterpretcj Prwdziw iez ielosow wrtość g z prwdopodoieństwe leży do losowego przedził jest pokryt losowy przedziłe [ L U ] Nie oż t ówić o prwdopodoieństwie że iezy pretr ędzie zwrty w jkiś stły przedzile Tkie zdie iłoy ses gdyy iezy pretr ył zieą losową ie jest 4

5 Kostrkcj przedziłów ości z poocą kcji cetrlej wiodącej Deiicj Niech próą prostą z rozkłd P P { : } kcj Q g to P ie jest sttystyk zyw się kcją cetrlą dl pretr prwdopodoieństw ie zleży od pretr g R jeżeli jej rozkłd Przykłdy Niech ędzie próą prostą z rozkłd N gdzie ze kcj Q jąc rozkłd N jest kcją cetrlą dl i i i Niech Niech ędzie próą prostą z rozkłd N Ozczy i kcj i stopii swoody jest kcją cetrlą dl Q jąc rozkłd t - t - tdet z - kcj Q jąc rozkłd jest kcją cetrlą dl Niech ędzie próą prostą z rozkłd o ciągłej dystrycie Poiewż i rozkłd jedostjy U wiec kcj Q i o rozkłdzie jedostjy kostce jest kcją cetrlą dl Złóży że dyspojey kcją cetrlą Q g Przedził ości kostrjey w stępjący sposó: Wyiery liczy i tk y spełiły ierówość i P Q g Gdy kcj cetrl Q g jest ciągłą i ściśle ootoiczą kcją pretr g R to ierówość Q g jest rówowż ierówości [ L g U ] tąd przedził [ L U ] jest % przedziłe ości dl pretr g R Przedził ości dl w rozkłdzie N gdzie ze kcj cetrl Q rozkłd N Woec tego 5

6 4 3 Rozkłd N z co jest rówowże P P z z z z- otrzyliśy wiec przedził ości [ z z ] o stłej dłgości l z Tą kostrkcję oż powielić kostrjąc syptotyczy przedził ości dl pojedyczego pretr estyowego MNW P ˆ z s ˆ s z gdzie z syptotyczą wricję s i leży przyjąć jej estytor Dokłdiej w iorcji isher i =i z pretr leży przyjąć ˆ =ENW[] Poprwość tej kostrkcji jest prosty wioskie z syptotyczych włsości estytorów NW i twierdzei łckiego Przedził ości dl w rozkłdzie N gdzie ieze kcj cetrl Q swoody Woec tego rozkłd t - t - tdet z - stopii 4 3 Rozkłd t - P co jest rówowże t P t t t-d t-- otrzyliśy wiec przedził ości [ t t ] o losowej dłgości l t o wrtości oczekiwej dłgości E E E l t t t Przedził ości dl w rozkłdzie N kcj Q rozkłd Woec tego cost 6

7 7 Rozkłd chi chi - chi -- P co jest rówowże P otrzyliśy wiec przedził ości ] [ o losowej dłgości l o wrtości oczekiwej dłgości E l E W przypdk syetryczego rozkłd kcji cetrlej wyór licz i tk y spełiły ierówość P Q =- wydje się oczywisty W przypdk rozkłd iesyetryczego wyór ie jest jż oczywisty Moż postwić prole tkiego door i y dłgość l przedził [L U ] gdy jest ielosow l wrtość oczekiw dłgości ył iil Mówiy wtedy o jkrótszych przedziłch ości pozioie - Jeżeli ozcz dystrytę rozkłd kcji cetrlej to leży rozwiązć stępjące zgdieie optylizcyje Zleźć i tk y li pod wrkie -=- W rozwży powyżej proleie l Ay rozwiązć powyższy prole ekstre wrkowego tworzyy kcję Lgrge ; L Z WK otrzyjey kłd L L L Niech x x x

8 8 x Nleży tk dorć pozio y pr }] [{ } { spełił wrek