Liczby zespolone i wielomiany

Transkrypt

1 /5 Liczby zespoloe i wielomiy Rówie x ie m rozwiązi w zbiorze liczb rzeczywistych. Tk więc ie kżdy wielomi o współczyikch leżących do posid miejsce zerowe (zwe iczej pierwistkiem) w tym zbiorze. Okzuje się jedk, że zbiór liczb rzeczywistych tk prwdę zwier się w większym zbiorze, tzw. liczb zespoloych, który już tej wdy ie posid. Początki rchuków liczbch zespoloych to pierwsz połow XVI wieku i są zsługą głowie mtemtyków włoskich przede wszystkim Girolmo Crdo. DEFINICJA. Zbiór, w którym określoo dw dziłi dwurgumetowe orz stępującymi wzormi ( x, y ) ( x, y ): ( x x, y y ), (.) ( x, y ) ( x, y ): ( x x y y, x y x y ), (.) zywmy zbiorem liczb zespoloych. Elemety tego zbioru zywmy liczbmi zespoloymi. Dziłie zywmy dodwiem (zespoloym), dziłie zywmy możeiem (zespoloym). Dl liczby zespoloej z ( x, y) liczbę rzeczywistą x zywmy częścią rzeczywistą, tomist y częścią urojoą liczby zespoloej z. Część rzeczywistą liczby zespoloej z ozczmy przez Re z, część urojoą przez Im z. Podstwowe włsości dziłń w zbiorze liczb zespoloych Niech z, z, z, z. Wtedy mmy stępujące włsości: ) z z z z (przemieość dodwi) ( z z ) z z ( z z ) (łączość dodwi) ) ) z z, gdzie (,) (istieie elemetu eutrlego dodwi) 4) z w tkie, że z w (istieie elemetu przeciwego względem dodwi) Girolmo Crdo (5-576) włoski uczoy. Zjmowł się wielom dziedzimi m.i. medycyą, strologią, filozofi, fizyką i mtemtyką. Z wyksztłcei był lekrzem, le wydje się, że jwiększe osiągięci mił w mtemtyce. Oprcowł m.i. metodę rozwiązywi ogólego rówi trzeciego stopi (w dzisiejszej symbolice: x bx cx d ), bdł poprwie zjwisk losowe (które z sukcesem wykorzystywł w swojej prktyce hzrdzisty) jeszcze przed słyą korespodecją pomiędzy Psclem Fermtem, którą się uwż z początek uki o prwdopodobieństwie. W trkcie bdń d rówiem trzeciego stopi pojwi się w jego prcch pierwistek kwdrtowy z liczb ujemych (dzieło Ars Mg sive de regulis lgebricis zwe krótko Ars Mg, czyli Wielk sztuk). N początku rchuki, w których występowł symbole tkie jk 5 budziły opory, wet szyderstw (stąd określeie tego typu wyrżei liczby urojoe). Jedk już w połowie XVIII wieku były kceptowe przez wiodących mtemtyków (L. Euler). Precyzyje defiicje liczb zespoloych pojwiją się pod koiec tego smego wieku (Cspr Wessel, Je- Robert Argd, Crl Fryderyk Guss).

2 /5 5) z z z z (przemieość możei) 6) z z gdzie (,) (istieie elemetu eutrlego dl możei) 7) jeżeli z, to istieje w tkie, że zw (istieie elemetu przeciwego względem możei zywmy go liczbą odwrotą) z ( z z ) z z z z (rozdzielość możei względem dodwi) 8) DOWÓD. Większość z podych włsości uzsdi się brdzo prosto w oprciu o defiicje dziłń pode w (.) i (.). Weźmy dl przykłdu włsość ). Niech z ( x, y ), z ( x, y). Wtedy def. z z ( x, y ) ( x, y ) ( x x, y y ) ( x x, y y ) z z, gdzie wykorzystliśmy defiicję dodwi (.) orz przemieość dodwi zbiorze : x x x x, y y. y y Alogiczie przeliczmy włsość ) (tym rzem będziemy korzystć z łączości w ), pukt ) to z ( x, y) (,) ( x, y ) ( x, y) z. Istieie elemetu przeciwego wprost bzuje istieiu liczb przeciwych w : z w ( x, y) ( x, y) ( x ( x), y ( y)) (,), tk więc w ( x, y). Włsość 5) wymg zstosowi defiicji (.) orz przemieości możei w : z z ( x, y ) ( x, y ) ( x x y y, x y x y ) z z ( x, y ) ( x, y ) ( x x y y, x y x y ) ( x x y y, x y x y ) z z. Włsość 7) wyik wprost z defiicji: z (,) ( x, y) ( x y, y x) ( x, y) z. Istieie elemetu odwrotego w do z moż wyprowdzić rozwżjąc rówość zw, czyli ( x, y) ( w, w ) (,) ( xw yw, xw yw ) (, ) xw xw yw, yw. Możymy pierwsze rówie przez x, drugie przez y i dodjemy stromi, co dje x w y w x w x x y. Podobie wyliczmy w (pierwsze możymy przez y, drugie przez x, stępie odejmujemy): w y x y.

3 /5 Dzieleie przez x y jest poprwe, gdyż jest to liczb iezerow, bo z ( x, y) (,) z złożei. Możemy więc pisć, że (, ) (, ). x y xy x y x y Rozdzielość możei względem dodwi (włsość 8)), to zów rchuek. Njlepiej rozpisć lewą i prwą stroę osobo, stępie porówć. W trkcie rchuków oczywiście korzystmy z odpowiediej rozdzielości w zbiorze. Związek pomiędzy liczbmi rzeczywistymi zespoloymi Jk się mj liczby rzeczywiste do liczb zespoloych? Odpowiedź jest brdzo prost: zbiór liczb rzeczywistych zwier się w zbiorze liczb zespoloych:. Może to budzić pewe wątpliwości, wszk liczby zespoloe zostły określoe jko pry liczb rzeczywistych ( xy, ), gdzie x i y. Zuwżmy jedk, że jeżeli rozptrzymy podzbiór K zbioru skłdjący się z wszystkich liczb postci ( x,), tz. K {( x,) : x }, to dziłi elemetch tego zbioru dją w wyiku elemety tego smego zbioru: dl dowolych xy, mmy ( x,) ( y,) ( x y,) K, ( x,) ( y,) ( xy,) K. (.) Ozcz to, że dziłi prch postci ( x,) K odpowidją dziłiom smych liczbch x. Podto możemy wprowdzić uporządkowie w zbiorze K tk, by było zgode z dziłimi dodwi i możei w zwykłym zbiorze liczb rzeczywistych. Tk prwę, gdy się dokłdiej przyjrzymy zbiorowi K, to się okże że fktyczie ie różi się o włsościmi od zbioru. Dltego możemy przyjąć, że K i używć zwieri. Liczby rzeczywiste są strukturą, którą skłdją zbiór, dziłi i orz relcj miejszości. Dltego mtemtycy mówią, że jest to czwórk: (,,, ) przy czym muszą być spełioe pewe włsości rytmetycze (przemieość, łączość, rozdzielość itd.), relcj miejszości musi być powiąz z dziłimi: ( x, y, z i x y) x z y z, ( x, y, z, z i x y) x z y z. Dodtkowo zbiór posid fudmetlą włsość zwą ksjomtem ciągłości: kżdy iepusty i ogriczoy z góry podzbiór A posid kres góry leżący do. Kres góry ie musi leżeć w zbiorze A czego przykłdem może być odciek [, ), którego kres góry [, ). Aksjomt ciągłości jest tym co różi zbiór liczb rzeczywistych od zbioru liczb wymierych pierwistków x dl dowloej liczby rzeczywistej x.. Dzięki tej włsości moż p. Udowodić istieie

4 4/5 Szczegól rolę w zbiorze liczb zespoloych pełi liczb i (, ), którą z powodów historyczych zywmy jedostk urojoą. Obliczmy jej kwdrt i i i (,) (,) (, ) (,) (,), gdyż jkjuż wiemy liczby postci ( x,) możemy utożsmić z liczbmi rzeczywistymi x. Ozcz to, że rówie z w zbiorze m rozwiązie z i (oczywiście drugim rozwiąziem jest z i). Co więcej, łtwo sprwdzić, że są to jedye rozwiązi, gdyż zchodzi tożsmość z z i z i ( )( ), którą sprwdzmy bezpośredim rchukiem: ( z i)( z i) z zi iz i z ( ) z. Używjąc ztem szkolego ozczei pierwistek kwdrtowy możemy pisć: i. Jest to jk jbrdziej rel rówość, tyle że zchodzi w szerszej strukturze lgebriczej w zbiorze zespoloych. Postć lgebricz i sprzężeie liczby zespoloej Z formlej defiicji liczb zespoloych wiemy, że są to pry ( x, y ) liczb rzeczywistych. W prktyce (zwłszcz rchukowej) posługiwie się tkim zpisem ie jest wygode. Postć lgebricz tkiej pry to wyrżeie x iy dl xy,. Postć t wyik z przyjętych dziłń w. Mmy bowiem z ( x, y) ( x,) (, y) ( x,) (,)( y,) x iy, gdzie wykorzystliśmy utożsmieie liczb ( x,), ( y,) z liczbmi rzeczywistymi x, y. Posługiwie się tką reprezetcją liczb zespoloych iezwykle ułtwi wykoywie stdrdowych rchuków (możeie, dzieleie, dodwie). Nleży tylko pmiętć, że i. Niech z 5 i, z i. Wtedy mmy z z 5i i 5 i, z z i i i i i i i ( 5 ) ( ) ( ) 6, z i i i i i i i i z i ( i)( i) ( i) 9 4( ) 5 ( 5 )( ) ( ) i. DEFINICJA. Sprzężeiem liczby zespoloej z ( x, y) x iy zywmy liczbę zespoloą z określoą wzorem z ( x, y) x iy.

5 5/5 Geometryczie liczb sprzężo do z płszczyźie zespoloej względem osi OX. jest jej obrzem w symetrii FAKT. (włsości sprzężei zespoloego) Niech z, z. Wtedy zchodzą rówości: z z z z, z z z z, z z z z, z z z, z z, z z Re z, z z Im z. z Moduł liczby zespoloej DEFINICJA. Modułem liczby zespoloej z ( x, y) x iy zywmy liczbę rzeczywistą z określoą wzorem z x y. Z defiicji wyik, ze moduł liczby zespoloej jest ieujemy: z. Podto z z. Jeżeli z, to z. Moduł liczby zespoloej jest uogólieiem pojęci wrtości bezwzględiej liczy rzeczywistej. Geometryczie moduł z jest rówy odległości liczby z od początku ukłdu współrzędych płszczyźie. Dl dwóch liczb zespoloych z, z mmy z z x iy ( x iy ) ( x x ) i( y y), więc z z ( x x ) ( y y ), co ozcz, że moduł różicy, z z, jest rówy odległości pomiędzy puktmi z, z płszczyźie zespoloej. FAKT. (włsości modułu liczby zespoloej). Niech z, z, z. Wtedy mmy ) z z z, ) zz z, z ) zz z z, 4), z z 5) z z z z, 6) z z z z, 7) Re z z, Im z z. z DOWÓD. ) wyik wprost z defiicji. ) Niech z x iy. Wtedy: zz x iy x iy x iy x y x y z ( )( ) ( ) ( ). ) Niech z x iy, z x iy. Wtedy zz x x y y i( x y x y ) więc:

6 6/5 z z ( x x y y ) ( x y x y ) ( x x ) x x y y ( y y ) ( x y ) x y x y ( x y ) ( x x ) ( y y ) ( x y ) ( x y ) x ( x y ) y ( x y ) ( x y )( x y ) z z ( z z ), z z z z, gdyż moduł jest ieujemy. skąd 4) Z puktu ) mmy z z / z, z z / z z / z / z. biorąc terz moduł obu stro tej rówości otrzymujemy Korzystjąc dodtkowo z puktu ) mmy z z z z z z z z z. z 5) W dowodzie wykorzystmy ierówość (writ ierówości Cuchy ego-schwrz): x x y y x y x y Mmy więc. z z ( x x ) ( y y ) x x x x y y y y x x y y z z ( x x y y ) z z x y x y z z z z ( z z ), czyli z z ( z z ), skąd z z z z. 6) W dowodzie tej ierówości skorzystmy z udowodioego już puktu 5): z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ztem z z z z. Postć trygoometrycz liczby zespoloej Jk już wiemy liczby zespoloe możemy reprezetowć jko pukty płszczyźie zespoloej, któr geometryczie jest tożsm z płszczyzą. Istotym dodtkiem do tej struktury jest możeie tkich puktów (lub wektorów) zdefiiowe wzorem (.). Jedk stdrdow reprezetcj liczby zespoloej z ( x, y) x iy, gdzie xy, są współrzędymi krtezjńskim puktu ie zwsze jest wygod. Czsmi wygod jest reprezetcj odpowidjąc współrzędym bieguowym: odległość r od środk (,) orz kąt pomiędzy osią OX półprostą przechodzącą przez środek i liczbę z ( x, y). Jeżeli z x iy, to istieje dokłdie jed liczb tk, że x y cos, si. (.4) z z

7 7/5 Tk określoą liczbę będziemy zywć rgumetem główym liczby zespoloej z. Dl wygody i jedozczości przyjmujemy dl z rgumet. Tk więc mmy x z cos, y z si, co dje z x iy r(cos isi ), (.5) gdzie r z. Te sposób przedstwiei liczby zespoloej zywmy postcią trygoometryczą. Jeżeli dopuścimy w reprezetcji trygoometryczej (.5) rgumety dowole (bez ogriczei się do przedziłu [, )), to przedstwieie (.5) ie jest jedozcze, le róże rgumety będą różiły się o cłkowitą wielokrotość liczby : z r(cos isi ) r(cos isi ) k dl pewego k. Przykłd. Pode liczby zespoloe zpiszemy w postci trygoometryczej. ) z : z (cos isi) cos isi; b) z : z (cos isi ) cos isi ; c) z i : z z (cos i si ) (cos i si ) (cos i si ). d) z i : z 4 4. Podto mmy x y cos, si, z z ztem z (cos isi ) Możeie i dzieleie liczb zespoloych zpisych w postci trygoometryczej: iech z r (cos isi ), z r (cos isi ). Wtedy mmy z z r (cos isi ) r (cos isi ) r r (cos cos si si ) i(si cos cos si ) r r (cos( ) isi( )), gdzie skorzystliśmy ze wzorów kosius sumy orz sius sumy. Tk więc przy możeiu liczb zespoloych moduły się możą, rgumety dodją. Przy dzieleiu rgumety będą się odejmowły

8 8/5 z r (cos isi ) r (cos isi )(cos isi ) z r (cos isi ) r (cos isi )(cos isi ) r cos cos si si i(si cos cos si ) r (cos ) ( isi ) r cos( ) isi( ) r cos( ) isi( ) r (cos) (si ) r r i r cos( ) si( ). Wzór de Moivre Niech zcos isi. Wtedy Podobie z z z z i cos( ) si( ), czyli z cos isi. cos isi. Ogólie mmy: dl dowolej liczby rzeczywistej orz liczby cłkowitej zchodzi Rówość (.6) zywmy wzorem de Moivre. (cos isi ) cos isi. (.6) Przykłd. Doprowdzimy do jprostszej postci liczbę zespoloą z i 6 trygoometrycz liczby z : Ze wzoru de Moivre mmy: 6 i cos isi. 6 6 cos isi cos(6 ) isi(6 ) cos( ) isi( ) Postć. cos( ) isi( ) cos( 46 ) isi( 46 ) cos isi i Pierwistkowie liczb zespolooych Niech w. Pierwistkiem stopi z liczby w zywmy kżdą liczbę zespoloą z spełijącą wruek z w. (.7) Jest to defiicj logicz do określei pierwistk rzeczywistego x z liczby rzeczywistej : x. W przypdku rzeczywistym ie zwsze istieje pierwistek (gdy wykłdik jest przysty orz ). Podto gdy, to mmy wtedy dw pierwistki (różiące się zkiem). W przypdku gdy wykłdik jest ieprzysty, to dl dowolego istieje dokłdie jede pierwistek stopi.

9 9/5 Wprzypdku zespoloym sytucj jest zdecydowie brdziej klrow: kżd liczb zespolo róż od zero m dokłdie różych pierwistków w zbiorze. Spróbujemy terz zleźć te pierwistki. Zpiszmy obie liczby występujce w rówości (.7) w postci trygoometryczej z z (cos isi ), w w (si isi ). Podstwijąc do (.7) otrzymujemy z z (cos i si ) z (cos i si ) w (si i si ). Stąd mmy z w, k, gdzie k. Tk więc k z w, k, k. Jedk w ostim wyrżeiu mmy tk pprwdę różych rgumetów dl k,,, gdyż dl k rgumet różi się od o dokłdie, czyli przedstwi tę smą liczbę z. Podobie jest z pozostłymi wrtościmi k orz k. Ostteczie mmy stępujące róże rozwiązi (pierwistki): k k zk w (cos isi ), dl k,,,. (.8) Przykłd. Podć pierwistki stopi z liczby. Mmy w (cos isi ). Ztem w,, co po wstwieiu do (.8) dje czyli k k zk (cos isi ), dl k,,, z cos isi, z cos isi i, z cos isi cos isi i. k Ostteczie w dziedziie zespoloej mmy {, i, i}. Wielomiy Wielomiem o współczyikch rzeczywistych zywmy fukcję o stępującej postci: p( x) x x x, (.9) gdzie,,, są dymi liczbmi.

10 /5 Jeżeli, to mówimy, że wielomi m stopień. Stopień wielomiu p ozczmy symbolem deg( p ). Oczywiście moz logiczie zdefiiowć wielomi zmieej zespoloej o współczyikch zespoloych: p( z) z z z, (.) gdzie,,, są dymi współczyikmi zespoloymi. Wżym problemem w teorii wielomiów jest zjdowie miejsc zerowych (zwych też pierwistkmi wielomiu), czyli rozwiązywie rówń postci. z z z (.) Miejscem zerowym (pierwistkiem) wielomiu zywmy tką liczbę z, że:. z z z Jeżeli, to rówie (.) zywmy rówiem lgebriczym (czsmi wielomiowym) - tego stopi. Jeżeli rozwżmy wielomi rzeczywisty (.9), to jego pierwistkiem rzeczywistym będzie liczb x tk, że px ( ). Poiewż jedk liczby rzeczywiste są podzbiorem liczb zespoloych, to wielomi rzeczywisty (.9) możemy też ptrzyć jk wielomi o współczyikch zespoloych i szukć jego pierwistków w tym szerszym zbiorze. N przykłd rówie lgebricze x, m współczyiki,. Nie posid oo rozwiązń w zbiorze, le w zbiorze istieją dw pieriwski z i orz z i. Z kolei rówie x, posid w tylko jede pierwistek x, le w zbiorze m jeszcze dw dodtkowe z i. z i, W ogólym przypdku im wyższy stopień rówi, tym trudiej go rozwiązć. Z rówimi -ego i -ego stopi spotkmy się w szkole. Są to rówie liiowe i kwdrtowe: x, gdzie. Rozwiązie tkiego rówi m postć: x x x gdzie. W tym przypdku jk widomo, liczb rozwiązń ( więc, w szczególości to czy w ogóle istieją) zleży od wrtości współczyików,,. Prostym

11 /5 sposobem lizy tego rówi jest obliczeie tzw. wyróżik rówi kwdrtowego (populrie zwego deltą ze względu powszechie używe ozczeie): 4. W zleżości od tego czy wyróżik jest ujemy, zerowy, czy dodti mmy zero, jedo lub dw rozwiązi rzeczywiste. Co więcej są ze proste wzory te rozwiązi: Jeżeli, to istieją rozwiązi rzeczywistwe wyrżjce się wzormi x, x. (.) Jeżeli, to ie m pierwistków rzeczywistych, le w dzidziie zespoloej dl wzory (.) są poprwe, gdyż w istieją pierwistki z liczb ujemych. Możemy wzory (.) zpisć wtedy stepująco i i z, z. (.) Powstje turle pytie jk wyglądją rozwiązi rówi -ego, 4-ego, 5-ego itd. stopi. Czy moż te rozwiązi wyrzić jkimiś wzormi, podobymi do tych powyżej. Podobe czkolwiek brdziej skomplikowe dl rówń -ego i 4-ego stopi zlezioo już w średiowieczu. Są to tzw. wzory Crdo (dl ) orz wzory Ferrri (dl 4). Są oe rczej mło przydte do zjdowi pierwistków ( ogół w zstosowich wystrczy przybliżeie umerycze). Aby zilustrowć to przedstwimy jede z pierwistków jprostrzego ietrywilego rówi trzeciego stopi x x otrzymy ze wzorów Crdo: x 9 9. ( 9 9) 8 Przybliżo wrtość umerycz to x.688. Rówie to posid jeszcze dw pierwistki zespoloe, których przybliżoe wrtości to x, i. Ntomist, mimo dużego wysiłku wielu mtemtyków, ie udwło się zleźć ogólych wzorów pierwistki dl rówń stopi 5-ego, 6-ego i wyższych. W XIX wieku okzło się, że ie mogli tkich wzorów zleźć, gdyż oe po prostu ie istieją. Oczywiście ie ozcz to, że ie moż rozwiązć kokretego rówi, p. 5-ego stopi. Widomo jedk, że ie moż podć ogólego wzoru, który wyrżłby rozwiązi tkiego rówi poprzez jego współczyiki,, przy użyciu dziłń +,,, : orz opercji. Istieją jedk metody umerycze, które pozwlją loklizowć zer wielomiów z dowolą dokłdością. Zsdicze twierdzeie lgebry Jk już wiemy zbiór liczb zespoloych pozwl pierwistkowć dowolą liczbę (ptrz (.8)). Okzuje się, że t włsość jest szczgólym przypdkiem iej fudmetlej włsosci, któr mówi, że w zbiorze kżdy wielomi m miejsce zerowe.

12 /5 TWIERDZENIE (Zsdicze twierdzeie lgebry). Kżdy wielomi zespoloy róży od stłej m przyjmiej jede pierwistek zespoloy. Ciekwym wyikiem jest twierdzeie Guss-Lucs, które chrkteryzuje geometryczie miejsc zerowe pochodej p'( z ) wielomiu zespoloego w oprciu o miejsc zerowe j pz ( ). Pmiętjmy, że zbiór liczb zespoloych geometryczie pokryw się z płszczyzą, liczby zespoloe możemy ptrzeć jk pukty tej płszczyźie. W szczególości dl dowolego zbioru A jest określo otoczk wypukł cov( A ), jko jmejszy zbiór wypukły, który zwier zbiór A. Zbiór wypukły to tki, który dl kżdej pry puktów z tego zbioru zwier tkże odciek łączcy te pukty. W przypdku gdy zbiór A jest skończoy, to otoczk wypukł jest wielokątem. TWIERDZENIE (Guss-Lucs). Jeżeli pz () jest wielomiem zmieej zespoloej z, to wszystkie pierwistki pochodej p () z tego wielomiu leżą do otoczki wypukłej zbioru pierwistków smego wielomiu pz ( ). DOWÓD. Niech ozcz stopień wielomiu p( z) z z. Z zsdiczego twierdzei lgebry mmy pierwistki z, przedstwić w postci iloczyu, z (iekoiecze róże). Możemy więc wielomi p( z) ( z z ) ( z z ). Obliczmy pochodą korzystjąc wielokrotie z wzoru pochodą iloczyu ( fg) f g fg: p( z) ( z z) ( z z) ( z z)( z z) ( z z) ( z z) ( z z ). Dzielimy terz p() z przez pz () p( z) ( z z) ( z z ) ( z z)( z z) ( z z) ( z z) ( z z ) p( z) ( z z ) ( z z ). ( z z) ( z z ) ( z z)( z z) ( z z) ( z z) ( z z ) ( z z ) ( z z ).. z z z z z z Niech w będzie dowolym miejscem zerowym pochodej: p( w). Jeżeli w{ z,, z }, oczywiście w leży do otoczki wypukłej zbioru { z,, z }. Niech więc w { z,, z } tj. pw ( ). Podstwimy do powyższej zleżości p( w). p w w z w z w z ( ) to Dl dowolej liczby zespoloej mmy rówość do liczb ( w z ) otrzymmy k zz z, więc jeżeli, z to z z / z. Stosując tą

13 /5 w z w z w z, w z w z w z co po wzięciu sprzężei zespoloego obu stro dje k w z w z k k. Rozbijmy dwie sumy czyli gdzie /. w z k w tk zk tk k w zk k w zk k w zk k w zk Poiewż tk orz t, k k więc w leży do otoczki wypukłej zbioru { z,, z }. Zd.. Rozwiązć poiższe rówi liiowe (-ego stopi). Niektóre są z prmetrem. ) 4 x 5 x b) 5x 8 5x 4 x c) x x 5 d) ( ) x 5 ( 4 ) x Zd.. Rozwiązć poiższe rówi kwdrtowe (-ego stopi). ) x x b) ( x )( x ) c) x,x,9 d) x 5x Rozkłd wielomiu czyiki Problem te jest ściśle związy z zgdieiem zjdowi pierwistków wielomiu. Jeżeli dy wielomi W( x ) może być przedstwioy w postci iloczyu wielomiów Px ( ) i Qx ( ), których stopie są miejsze od stopi wielomiu W( x ), to jest to przykłd rozkłdu wielomiu W( x ) czyiki: Przykłdy x x ( x )( x ) W( x) P( x) Q( x), gdzie deg( P) deg( W) i deg( Q) deg( W). x ( x )( x 5) x ( x )( x x )

14 4/5 x x x ( x )(x )( x ) 4 x ( x )( x )( x ) Zuwżmy, że czyiki x I to, że wielomiy te mjłyby rzeczywiste pierwistki, bo p. x x z przykłdu ie są już dlej rozkłdle. Gdyby tk było to orz są pierwistkmi. Z drugiej strou wiemy, że rówie x x x ( )( ) ozczłoby, że x ie m rzeczywistych pierwistków. Gdyby jedk rozwżć te wielomiy w zbiorze liczb zespoloych, to moż je rozłożyć ż do czyików pierwszego stopi z ( z )( z )( z ), i i 4 z z z z i z i ( )( )( )( ). Zd.. Poiżej pode są w dwóch kolumch wielomiy. W lewej są zpise w postci ierozłożoej, w prwej w postci iloczyu czyików iższego stopi. Nleży je połączyć w pry. ) x 4 b) x 6x x 8 c) x x x 6 4 d) x x x ) 4 ( x )( x ) b) (x )( x ) c) ( x )( x x x ) d) ( x )( x )( x ) Jedym z podstwowych problemów w teorii wielomiów jest zgdieie zleziei rozkłdu dego wielomiu iloczy czyików, które ie ddzą się już rozłożyć. Przypomi to ieco zgdieie rozkłdu liczb turlych czyiki pierwsze. Przykłdmi wielomiów, które ie ddzą się rozłożyć (w zbiorze liczb rzeczywistych ) są: x, x (wielomi -ego i -ego stopi). Przypomijmy, że liczbę p zywmy liczbą pierwszą jeżeli p orz jedyymi turlymi dzielikmi tej liczby są i p. Przykłdmi liczb pierwszych są,, 5, 7,,, 7. Już w strożytości mtemtycy Greccy udowodili, że liczb pierwszych jest ieskończeie wiele. Okzuje się, że kżdą liczbę turlą moż rozłożyć czyiki pierwsze, czyli iloczy, w którym występują tylko liczby pierwsze, p p p k, gdzie p i są liczbmi pierwszymi. Rozkłd te jest jedozczy z dokłdością co do kolejości czyików. N przykłd 5,, Ciekwym zgdieiem w rytmetyce liczb turlych jest rozmieszczeie liczb pierwszych w zbiorze. Okzuje się, że jest oo ierówomiere, jede z podstwowych rezulttów mówi, że udził procetowy liczb pierwszych w odciku {,,, } mleje do zer. Ze są dokłde wyrżeie te udził procetowy, jprostsze z ich m postć (ilość liczb pierwszych ) / / l. Poz czystą mtemtyką liczby pierwsze odgrywją brdzo wżą rolę w systemch kryptogrfii z kluczem publiczym. N przykłd fudmetem bezpieczeństw szyfrowi metodą RSA jest lgorytmicz trudość rozkłdu dużych liczb czyiki pierwsze.

15 5/5 Okzuje się, że kżdy wielomi rzeczywisty W( x ) moż rozłożyć czyiki liiowe i kwdrtowe. TWIERDZENIE. Kżdy wielomi rzeczywisty d się rozłożyć iloczy wielomiów co jwyżej drugiego stopi. Dokłdiej, jeżeli W( x ) jest dowolym wielomiem o współczyikch rzeczywistych, to istieją wielomiy rzeczywiste P ( ),, ( ) x P x tkie, że orz deg( Pi ) lub deg( Pi ). m W( x) P( x) P ( x), (.4) DOWÓD. Twierdzeie to jest w grucie rzeczy wioskiem z Zsdiczego Twierdzei Algebry. Jeżeli wielomi W() x x x x m współczyiki rzeczywiste, to i tkmożemy trktowć go jko wielomi zespoloy W( z) z z z. Formlie ozczo to, m żedefiiujemy wielomi W() z dl z, le o tych smych współczyikch,,. Mmy więc pierwistki z, z wielomiu W( z ), co prowdzi do rozkłdu, W( z) ( z z ) ( z z ) dl z. (.5) Z drugiej stroy wielomi W() z m współczyiki rzeczywiste, co ozcz, że jeżeli jkś liczb w jest jegopierwistkiem, to rówież liczb sprzężo w jest pierwistkiem: W ( w) w w w w w w czyli w w w w w w w w w, gdzie skorzystliśmy z włsości sprzężei zespoloego: z z z z, zz zz orz z fktu, że współczyiki k są rzeczywiste, czyli k k. Wszystkie pierwistki z,, z moż podzielmy dwie grupy: ) pierwistki, które są rzeczywiste ( zk ); ) pierwistki, które ie są rzeczywiste ( zk \ ); Pierwistki z drugiej grupy występują prmi, gdyż jeżeli zk \ jest pierwistkiem, to rówież z jest pierwistkiem (co pokzliśmy przed chwilą), podto też z \. k Ustwy pierwistki w tkiej kolejości, by początku były rzeczywiste ( ), stępie ierzeczywiste ( \ ), które będą występowły prmi Możemy terz rozkłd (.5) zpisć stępująco x,, x, z, z,, z, z. r s s \ k W( z) ( z x ) ( z x )( z z )( z z ) ( z z )( z z ). (.6) r s s

16 6/5 Zuwżmy terz, że ( z zk )( z zk ) z ( zk zk ) z zkzk z Re( zk ) z zk z pkz qk, gdzie p z q z k Re k, k k i oczywiście k, k. p q Ztem rozkłd (.6) m postć W( z) ( z x ) ( z x )( z p z q ) ( z p z q ). r s s Ostteczie wystrczy terz w tej rówosci podstwić zx : co kończy dowód. Przykłdy W( x) W( x) ( x x ) ( x x )( x p x q ) ( x p x q ), x x x ( x )( x x ), 4 x x x x x x x r s s ( )( )( ), 4 x 4x 7x x (x )( x x ), 4 x x x x x x x x x x x ( )( )( )( ) ( ) ( )( ). Zuwżmy, że rozkłd (.4) jest w rówowży zlezieiu pierwistków (rzeczywistych) wielomiu W( x ). Wyik to stąd, że W( x) P( x) lub P ( x) lub P ( x). Czyiki Pi ( x ) są liiowe lub kwdrtowe. Jeżeli więc deg Pi, to Pi ( x) i x bi, więc pierwistek x b /. Ntomist gdy deg P, to wielomi jest ierozkłdly, więc ie m i i i pierwistków rzeczywistych. i k Zd. 4. Zleźć rozkłdy czyiki ierozkłdle stępujących wielomiów: ) x x 4 b) x x 4x 4 c) x 4 d) x 4 x 4x 4 e) x x x 4 f) x x 4x Zd. 5. Rozwiązć w zbiorze liczb rzeczywistych stępujące ukłdy rówń liiowych x4y 5 6x y x,5y 6x 4y x y x4y

17 7/5 Zd. 6. Dl jkich wrtości prmetru m ukłd rówń jest iejedozczy? x ( m ) y, mx y, Potęg o wykłdiku cłkowitym. Niech b, orz. Wtedy defiiujemy dl, dl, dl, rzy dl. Zd.. Niech, b będą dowolymi liczbmi rzeczywistymi,, m liczbmi cłkowitymi. Udowodić stępujące tożsmości: b ( b) m m m ( ) m m m Zd.. Zpisć stępujące prw rytmetyki liczb rzeczywistych: prwo przemieości dodwi i możei prwo łączości dodwi i możei prwo rozdzielości możei wzglądem dodwi Zd.. Jkie są podstwowe związki łączące opercje dodwi i możei z relcją miejszości w zborze liczb rzeczywistych? Zd. 4. Wrtość bezwzględ liczby x jest określo stępująco: x x x dl x, dl x. Udowodić stępujące związki dl dowolych liczb rzeczywistych x, y.: x y x y, x y x y.

18 8/5 Zd. 5. Rozwiązć poiższe ierówości w zbiorze liczb rzeczywistych (tz. x ): x 6 8, x x 6, x 4 x 5 x, x x x 4 6. Symbol sumy: (greck duż liter sigm) W mtemtyce często występują sumy pewych wrtości. Gdy skłdików sumy jest dużo, to możemy stosowć róże pomoce zpisy. Np. sumę liczb turlych od do 5 zpiszemy skrótowo: 5. Sumę wyrzów ciągu ( ) od wyrzu 7-ego do -tego możemy zpisć tk: 7. 8 Okzuje się, że wielu zstosowich wet te zpis ie jest dostteczie wygody, więc wprowdzoo jeszcze brdzie zwięzły i wygodiejszy sposób zpisywi sum. Jest kilk writów tego zpisu. Jede z ich wygląd tk: k :. k N dole symbolu sumy,, podjemy wrtość (ideks) pierwszego elemetu sumy (tutj: k ), u góry wrtość osttiego ideksy sumy (ie piszemy już k tylko smo ). Symbol k, który występuje w tym przykłdzie, ie jest tk brdzo istoty. Rówie dobrze mogłby to być i liter (p. i, j, k te się jczęściej stosuje). A ztem: k i j k i j. Oczywiście ie jest koiecze, by sum był ideksow od wrtości. Może zczyć się p. od liczby 7: k 7 k 7 8 Zd. 6. Zpisz przy pomocy symbolu sumy stępujące wyrżei: ) 99, b), c) , d) 4 6, e) 5,.

19 9/5 f) g) h) i),, x x x x, x x x x, j), 4 k) , l) 456 ( ), m) ) ( ) Zd. 7. Ile skłdików sumy zwierją pode iżej wyrżei? (symbol wszędzie ozcz liczbę turlą: ) ) b) c) d) e) f) 9 9,. k k k 5 i7 i4 k i, i. 5 7 b, k. k k k4,,. k k k k k k k, k, k, k, k. k k9 k k k,. k k j j Zd. 8. Oblicz wrtość poiższych wyrżeń: k k k ) k, ( ), ( ), ( ), k k6 k k 5 k k

20 /5 b) k k j j i j,, ( ), ( ) ( j ). k j i j Zd. 9. Udowodić idukcyjie stępujące tożsmości: k ( ) k k k ( )( ) 6 k k k k 5 (zpisć tkże tą tożsmość przy pomocy symbolu sumy) 5 ( ) (4 ) (zpisć tkże tą tożsmość przy pomocy symbolu sumy) k k k( k ) ( )( ) k (, ) (co się dzieje dl? ) Zd.. Wzór dwumiowy Newto pozwl zpisć w rozwiiętej formie wyrżeie ( b). M o stępującą postć k k ( b) b. k k Udowodić stępującą tożsmość dl współczyików Newto. k k k Pokzć. k k Uzsdić lgebriczie (ze wzoru dwumiowego) i kombitoryczie.

21 /5 Zd.. Symbolem ozczmy relcje podzielości w zbiorze liczb cłkowitych. Tk więc zpis b czytmy jko dzieli b (lub b jest podziele przez ). Udowodić stępujące twierdzei dotyczące podzielości w zbiorze liczb cłkowitych. ( ), 6 ( ) 5 7 ( ), 4 ( ) p p ( ) gdzie p jest liczbą pierwszą 9 ( ), ( 4), ( ( ) ). Przestrzeń wektorow Pojęciem wektor spotykmy w fizyce. Jest to wielkość fizycz, któr chrkteryzuje się pewymi specyficzymi cechmi tkimi jk: długość, kieruek i zwrot. Czsmi jeszcze dochodzi pukt zczepiei. Wielkość tką wygodie wyobrżć sobie w postci strzłki. Przykłdmi wielkości fizyczych wektorowych są: prędkość, sił czy tężeie pol elektryczego. Przestrzeń wektorow stowi mtemtyczą formlizcję pojęci wektor. DEFINICJA. Przestrzeią wektorową d K zywmy czwórkę ( V, K,, ) gdzie V jest dowolym iepustym zbiorem, K jest ciłem, orz są dziłimi dwurgumetowymi : V V V, : K V V, które spełiją stępujące wruki (dl dowolych, K, u,, w V) : ) Zbiór V z dziłiem (zwym dodwiem) jest grupą belową, tz..) ( u ) w u ( w) (łączość dodwi);.) V uv : u u (istieie elemetu eutrlego dl dodwi, zywć go będziemy wektorem zerowym);.) uv uv : u ( u) (wektor u zywmy wektorem przeciwym do u );.4) u u (przemieość dodwi); b) Dziłie (zwe możeiem) spełi stępujące wruki: b.) ( u) u b.) ( ) u u u b.) ( u) ( ) u b.4) u u. Uwgi:

22 /5 ) Elemety zbioru V będziemy zywć wektormi, elemety zbioru K sklrmi. Ciło K w szych zstosowich to będzie: lbo zbiór liczb rzeczywistych ( K ), lbo zbiór liczb zespoloych ( K ), lbo zbiór liczb wymierych ( K ). ) Możeie wektor przez sklr ozczmy kropką ( ), le czsmi pomijmy tę kropkę (podobie jk przy zpisie możei liczb); tk więc jeżeli mmy sklr K orz wektor V, to możemy pisć lub. ) Jk widzimy defiicj przestrzei wektorowej ozcz, że w zbiorze V jest określoe dodwie wektorów u, : u orz możeie przez sklry K : tk, by zchodziły pewe turle włsości. 4) Wektor zerowy, który w defiicji ozczyliśmy symbolem ogół będziemy jedk ozczć zwykłym zerem,. Tk smo jest ozcz liczb zero, K. Nie powio to prowdzić do ieporozumień, gdyż z kotekstu widomo, o które zero chodzi. N przykłd w zpisie u lub u mmy do czyiei ze sklrem, le w zpisie lub symbol to wektor zerowy. 5) W iektórych oprcowich wektory wyróżi się czciok pogrubioą, p. ue, lub dopisując strzłkę d symbolem, p. u, E. Kowecje te często stosują fizycy. Jedym z podstwowych przykłdów przestrzei wektorowej (rzeczywistej) jest przestrzeń (, ) zw wymirową rzeczywistą przestrzeią krtezjńską. Zbiór wektorów V jest określoy jko zbiór wszystkich elemetowych ciągów liczb rzeczywistych {( x,, x ) : x,, x }. Aby jedk zbiór x, y orz możeie wektor stł się przestrzeią wektorową, musimy jeszcze określić dodwie elemetów x przez sklr. Dziłi te określmy stępująco ( x,, x ) ( y,, y ) : ( x y,, x y ), ( x,, x ) : ( x,, x ), dl dowolych x ( x,, x), y ( y,, y) orz. Mimo, że ściślej rzecz biorąc przestrzeń wektorow to pr (, ), zmist pry (, ). to w prktyce uprszczmy zpis i posługujemy się zpisem Zd. 7. Nrysowć pode wektory w przestrzei ) (, ), (-, -), (, 5), (,), (, ), (-, ) b) (,, ), (,, ), (-, -, -) i.

23 /5 Zd. 8. Niech v, u, w : v (, ), u (, ), w (, ). Wykoć pode iżej dziłi i podć ostteczą postć powstłych wektorów. ) v u b) v u w c) v d) w e) w f) v w g) w u h) v 4w u i) ( w u)/ j) ( w u)/ k) w u w l) v w 5w u 4u v m),5v,w,4v,9w ) 4( v u w) ( v,5 w) 6w Zd. 9. Niech dziłi tych wektorch. v, u, w : v (,, ), u (,, ), w (,, ). Wykoć pode iżej ) v u w b) ( v w) v w c) ( v u w) 4v w e) 4( v w)/ w v w f) ( w v w v 4 w v) ( u w) d) ( v w u) / Zd.. Niech V będzie dowolą przestrzeią wektorową. Złóżmy, że mmy de dw wektory:, b V. Zleźć wektory u i v tkie, że: ) u v b u v u v 4u v b b u 4v b u v Zd.. De są wektory dl stępujący wektorów: u, v, w. Zleźć sklry,, tkie, że: v u w u (, 4) ) v (, ) w (, ) b) u (, ) v (, ) w (, ) u (, 4) c) v (, 4) w (, ) Zd.. De są pry wektorów u, v. Zleźć, tkie, że: uv. Ziterpretowć wyiki geometryczie (w ukłdzie współrzędych płszczyźie).

24 4/5 ) u (, ) v (, ) u (, ) v (, ) u (, ) v (, )

25 5/5 Bz przestrzei wektorowej Jedym z wżiejszych pojęć w teorii przestrzei wektorowych jest bz przestrzei wektorowej. Mówiąc opisowo jest to tki podzbiór wektorów tej przestrzei, że dowoly wektor przestrzei moż rozłożyć względem wektorów bzowych w postci tzw. kombicji liiowej, i to w sposób jedozczy. Aby wprowdzić pojęcie bzy wygodie jest wprowdzić wcześiej dw ie pojęci: liiową iezleżości orz ukłd geertorów. Mówimy, że zbiór wektorów u, wyrżo w formie implikcji:, m u jest liiowo iezleży, gdy zchodzi stępując włsość u u,,. m m Mówimy, że zbiór wektorów u, wektorow V, gdy, m u jest ukłdem geertorów (ukłdem geerującym) przestrzeń Mówimy, że zbiór wektorów u, xv,, K tkie, że x u u. m m m, m liiowo iezleży i jest ukłdem geertorów. u jest bzą przestrzei wektorowej, jeżeli jedocześie jest Współrzęde wektor względem bzy Dzięki wybriu jkiejś bzy w przestrzei wektorowej, możemy wektory opisywć przy pomocy współrzędych. Nleży wyrźie podkreślić, że współrzęde zleżą od wyboru kokretej bzy. Ozcz to, że te sm wektor będzie mił ogół róże współrzęde w różych bzch. Zd.. Udowodić, że współrzęde dego wektor są w dej bzie wyzczoe jedozczie. Dokłdiej: iech V będzie rzeczywistą (d ciłem ) lub zespoloą (d ciłem ) przestrzeią wektorową, b, b pewą bzą w V orz x V. Wtedy zchodzi, x b b orz x b b,,. Podsumujmy ztem podstwową włsość bzy przestrzei wektorowej Niech B { b,, b } będzie bzą przestrzei wektorowej V. Wtedy kżdy wektor x V m jedozcze przedstwieie w postci sumy: i i i x b b b. Liczby, zywmy współrzędymi wektor x w bzie B.,

26 6/5 Zd.. Wyzczyć współrzęde podych wektorów w różych bzch. ) v (, 5) bz: b (, ), b (, ) bz: b (, 4), b (, ) ) v (,, ) bz: b (,, ), b (,, ), b (,, ) bz: b (,, ), b (,, ), b (4, 5, 5) Zd.. Jk wiemy w przestrzei istieje pew szczegól, wyróżio bz skłdjąc się z stępujących wektorów: e (,,,), e (,,,),, e (,,,). Jest to tzw. bz koicz. Jk wyglądją współrzęde wektor w bzie koiczej? Zd. 4. Wyzczyć współrzęde wektor v ( x, y, z) w stępujących bzch: ) (,, ), (,, ), (,, ) b) (,, ), (,, ), (,, ) Podć współrzęde,, jko fukcje skłdowych x, y, z dowolego wektor v ( x, y, z). Zd. 5. Wyzczyć współrzęde podych wektorów z w stępującej bzie: b b b b (,,,), (,,,), (,,,,), (,,,). ) v (,,,,) v ( x, x,, x ) b) Zd. 6. Czy istieją jkieś wektory, które mją tkie sme współrzęde w kżdej bzie? Jeżeli tk, to podć jkiś przykłd. Zd. 7. Niech V będzie dowolą przestrzeią wektorową i iech v V. Złóżmy podto, że w kżdej bzie przestrzei V współrzęde tego wektor są tkie sme i rówe,,. Udowodić, że wtedy:. Opertory liiowe W kżdej przestrzei wektorowej możemy wyróżić specjlą klsę fukcji. Są to tzw. fukcje liiowe (zwe też opertormi liiowymi). Fukcje te są turlym uogólieiem fukcji liiowej zej z szkoły ( y x).

27 7/5 DEFINICJA. Niech ( V, K ) orz ( UK, ) będą dwiem dowolymi przestrzeimi wektorowymi d tym smym ciłem liczbowym K (możemy przyjąć, że K lub K ). Fukcję: F : V U, zywmy opertorem liiowym, gdy spełi stępujące wruki: ) x, yv : F( x y) F( x) F( y), b) x V, K : F( x) F( x). Uwg! Ob powyższe wruki moż wyrzić jedym: dl dowolych x, yv,, K zchodzi: F( x y) F( x) F( y). Zd. 8. Niech F : V U będzie dowolym opertorem liiowym. Wtedy ) F(), b) F( x) F( x), c) F( x y) F( x) F( y), d) Jeżeli W V jest podprzestrzeią wektorową przestrzei V, to FW ( ) jest podprzestrzeią wektorow przestrzei U. Zd. 9. Które z podych fukcji są, które ie są opertormi liiowymi? ) b) c) d) e) f) g) h) F F x y x :, (, ) F :, F( x, y) x y F F x y x y x y :, (, ) (, ) F :, F( x, y) x F F x y z x y y z x :, (,, ) (,, ) F F x y z z x y :, (,, ) (,, ) F F x y x y 4 :, (, ) (,,, ) F :, F( x, y) xy Zd.. Udowodić, że ogól postć fukcji liiowej z stępując: do, czyli F : jest

28 8/5 F( x, x,, x ) x x x x, k k k gdzie, są pewymi współczyikmi liczbowymi., Zd.. Moż udowodić, że kżde przeksztłceie liiowe jest w pełi określoe, jeżeli tylko zmy jego wrtości wektorch pewej ustloej bzy. Odtworzyć wzór przeksztłceie liiowe podstwie poiższych dych: ) b) c) d) e) f) F : orz F() F : orz F((, )), F((, )) 4 F : orz F((, )), F((, )) 5 F : orz F((, )) (, ), F((, )) (, 4) F : orz F((, 4)) (, ), F((, )) (, 4) F : orz F() (5, ) g) F : orz F( e ),, F( e), gdzie e,, e są wektormi bzy koiczej, tomist, są dymi współczyikmi liczbowymi. h) F:, V orz F((,,)), F((,,)), F ((,,)), gdzie V jest dowolą przestrzeią wektorową,,, V to dowole ustloe wektory z tej przestrzei. Zd.. Podj wzór odwzorowie liiowe ) odbiciem względem osi OX b) odbiciem względem osi OY c) odbiciem względem prostej o rówiu y x d) odbiciem względem prostej o rówiu y x F :, które jest: e) obrotem o kąt (w kieruku przeciwym do ruch wskzów zegr) f) rzutem oś OX g) rzutem prostą o rówiu y x Zd.. Podj wzór odwzorowie liiowe ) rzutem płszczyzę OXZ F :, które jest: b) odbiciem względem płszczyzy o rówiu: x y z.

29 9/5 Algebr mcierzy Dziłi mcierzch Niech i m będą liczbmi turlymi. N potrzeby tego skryptu może ieformlie określić mcierz jko prostokątą tblicę liczb rzeczywistych ( ) lub zespoloych ( ): m m Liczb wierszy wyosi, liczb kolum wyosi m. Elemety w tkiej tblicy ideksujemy dwom ideksmi: ij. Pierwszy ideks (wskźik) ozcz umer wiersz, drugi umer kolumy. Tk wiec ij ozcz elemet z i tego wiersz orz j tej kolumy. Zbiór wszystkich mcierzy o m wierszch i kolumch ozczmy o elemetch ze zbioru K ozczmy symbolem M(, m; K ). Czsmi, gdy widomo o jki zbiór chodzi piszemy krócej M (, m ). Stosowe są też ie m ozczei, przykłd M ( m), K lub po prostu m. Tk więc zbiór mcierzy rzeczywistych m możemy też ozczć przez, m zespoloych. Jeżeli m, to mówimy, że mcierz jest kwdrtow. Poiżej jest kilk przykłdów mcierzy 5 5 9, / 6, 4,,,. 4 Mmy tu kolejo mcierze typu 4,,,,,. Do ozczi mcierzy używmy ogół dużych liter A, B, C, X itp. Mcierz o elemetch ij jest często ozcz symbolem ( ij ). Tk więc piszemy: mcierz A ( ij ) lub, gdy chcemy podć jwie liczbę wierszy i kolum: A ( ij ) m (mcierz o wymirch m. O przydtości mcierzy w mtemtyce i zstosowich decydują dopiero dziłi, które są określoe w zbiorze mcierzy: dodwie dwóch mcierzy, możeie mcierzy przez liczbę orz możeie dwóch mcierzy. Jeżeli AB, są dwiem mcierzmi o tym smym wymirze m

30 /5 m b b m A, B, b b m m to sum tych mcierzy, ozcz przez A B, jest zdefiiow stępująco b m b m AB, b m b m iloczy mcierzy A przez sklr (liczbę z lub ), ozczy jko A, jest zdefiiowy stępująco A m Podkreślmy, że dodwć możemy tylko mcierze tego smego rozmiru. Obie te opercje są jk widzimy brdzo proste: by dodć dwie mcierze, dodjemy odpowidjące sobie elemety możeie przez sklr poleg możeiu kżdego elemetu mcierzy przez te sklr. Jest to zilustrowe przykłdzie poiżej 5 9, Z defiicji tych dwóch dziłń mcierzch orz z włsości dziłń w zbiorch i wyikją stępujące prw: jeżeli A, B, C są dowolymi mcierzmi rozmiru m,, dowolymi sklrmi, to ) A B B A b) A ( B C) ( A B) C c) ( A B) A B d) ( ) A ( A) e) ( )A A A Uzsdieie jest brdzo proste wystrczy tylko stosowć odpowiedie defiicje. N przykłd rówość ) możemy uzsdić tk: iech A ( ), B ( b ) będą mcierzmi rozmiru m. Z defiicji A B ( b ), le dodwie liczb jest przemiee, więc b b, czyli ij ij ij m ij. ij ij ji ij A B ( b ) ( b ) B A. Iym sposobem może być zpisywie mcierzy w postci ij ij ij ij tblic. Uzsdijmy rówość e)

31 /5 m ( ) ( ) m def ( ) A ( ) ( ) ( ) m m m m A A. m m m m m m def m m m m Jk widć tożsmość ( )A A A opier się tożsmości ( ), czyli prwie rozdzielości możei względem dodwi w zbiorze lub. Mcierze z dotychczs określoymi dziłimi, A B, A, ie byłyby zbyt przydte, gdyby ie koleje dziłie mcierzch, miowicie iloczy dwóch mcierzy. Tym rzem ie jest to prost opercj polegjąc możeiu odpowidjących sobie elemetów mcierzy A ( ), B ( b ). Opercj t wygląd stępująco: jeśli A jest mcierzą rozmiru p, B jest mcierzą p m, to ich iloczy C A B jest mcierzą rozmiru m o elemetch określoych stępująco def ij ij p c b ( i, j m). (.7) ij ik kj k Jeżeli się dokłdiej przyjrzymy temu wzorowi, to zuwżymy, że elemet c ij iloczyu powstje przez pomożeie i tego wiersz mcierzy A ( ij ) orz j tej kolumy mcierzy B ( b ij ). N przykłd możąc dwie mcierze otrzymmy mcierz , możąc mcierz przez mcierz otrzymmy mcierz 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) Podkreślmy jeszcze rz: by moż było pomożyć mcierz A przez B otrzymując mcierz C AB musi być spełioy wruek Możeie mcierzy jest łącze liczb wierszy mcierzy A = liczb kolum mcierzy B.

32 /5 A( BC) ( AB) C. (.8) Zkłdmy oczywiście, że możei moż wykoć, czyli A M(, p), B M( p, q), C M( q, m). Aby udowodić rówość (.8) jlepiej posłużyć się rchukiem z wykorzystiem symbol sumy i zstosowć defiicję (.7). Podto w odpowiedim momecie musimy skorzystć z łączość możei liczb, ( bc) ( b) c. Mmy miowicie (symbol ( M ) ij ozcz odpowiedi elemet mcierzy M : jest te elemet z i tego wiersz orz j tej kolumy) p p q p q p q A( BC) ( ) ( ) ( ) ij ik BC kj ikbklclj ik bklclj ikbkl clj k k l k l k l q p q ( b ) c ( AB) c ( AB) C. ik kl lj il lj ij l k l Możeie mcierzy jest rozdziele względem dodwi mcierzy. Dokłdiej, jeżeli A M(, p), B, C M( p, m), to zchodzi rówość A( B C) A B A C. (.9) Sposób uzsdiei jest podoby jk w przypdku łączości wzór (.8). Tym rzem jedk w odpowiedim miejscu leży skorzystć z rozdzielości możei względem dodwi w zbiorze lub, ( b c) b c. Mmy bowiem p p p p p A( B C) ( B C) ( b c ) b c b c ij ik kj ik kj kj ik kj ik kj ik kj ik kj k k k k k ( AB) ( AC) ( AB AC). ij ij ij Pokzliśmy więc, że kżdy elemet ( i, j) ty mcierzy A( B C) jest rówy elemetowi ( i, j) temu mcierzy AB BC. Stąd wyik rówość (.9). Kolej włsość możeie mcierzy: iech A M(, p), B M( p, m) orz będzie sklrem, wtedy Uzsdieie jest cłkiem elemetre ( A B) ( A) B A ( B) (.) p p p A B A B b b A b A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ij ij ik kj ik kj ik kj k k k Poiewż rówość zchodzi dl kżdej pry ideksów ( i, j ) więc mcierze są rówe, ( A B) ( A) B. Drugą rówość z (.) uzsdimy logiczie. T Dl dej mcierzy A rozmiru m mcierz trspoow, ozcz symbolem A, jest T zdefiiow poprzez przestwieie wierszy z kolummi, czyli jeżeli A ( ij ), to ( A ) ij ji. Oto przykłd ij

33 /5 4, T A A Z defiicji trspoowi mcierzy wyik, że jeżeli A M(, m), to A M( m, ). Opercj trspoowi m stępujące włsości ) ( A T ) T A b) ( A B) T A T B T c) ( A) T A T d) ( A B) T B T A T Tożsmości ) c) są oczywiste, jedyie tożsmość d) wymg brdziej szczegółowego uzsdiei. Mmy p p p T T T T T A B A B ji jkbki bki jk B ik A kj B A ( ) ( ) ( ) ( ). ij k k k T T T Z dowolości i, j mmy więc ( A B) B A. Zuwżmy też, że w tej rówości wż jest kolejość możei, gdyż możeie mcierzy ie jest przemiee. Szczególym przypdkiem mcierzy są tzw. mcierze kwdrtowe, czyli tkie, w których liczb wierszy jest rów liczbie kolum ( m ) ij W przypdku mcierzy kwdrtowych używmy ozczeń M(, ), M(, ), M( ), lub,. Mówimy też: mcierz kwdrtow stopi lub po prostu mcierz stopi. Mcierz kwdrtową stopi postci. I, zywmy mcierzą jedostkową. Jedyki występują tylko główej przekątej ( digolej) poz ią występują wszędzie zer. Mcierz jedostkow m włsość A I I A A, (.)

34 4/5 Dltego możemy powiedzieć, że mcierz I jest elemetem eutrlym możei mcierzowego (pełi podobą rolę jk liczb w zbiorze liczb rzeczywistych ). Elemety mcierzy jedostkowej zzwyczj ozczmy symbolem ij (delt Kroecker) dl i j, ij dl i j. (.) Sprwdźmy pierwszą z rówości (.) gdyż w powyższej sumie skłdiki dl k ( AI ) ( A), ij ik kj ij ij k j rówe zero dl k j. Wspomieliśmy już, że możeie mcierzy ie jest przemiee. W przypdku mcierzy kwdrtowych stopi, A, B M( ) ob iloczyy AB orz BA są poprwie określoe, le mcierze te są ogół róże. Oto przykłd więc mmy AB BA. 6 6 AB, BA, 4 Terz krótko omówimy koleje pojęcie lgebry mcierzy wże w zstosowich mcierz odwrotą do dej mcierzy kwdrtowej. DEFINICJA. Niech A będzie dą mcierzą kwdrtową stopi. Mcierz kwdrtową B stopi zywmy mcierzą odwrotą względem mcierzy, gdy zchodzą rówości kj A B B A I. (.) Zuwżmy, że rówości defiicyjej (.) wyik, że jeżeli mcierz A jest odwrot względem B, to rówież jest odwrotie: mcierz B jest odwrot względem A. N przykłd orz Tk więc mcierze ( ) ( ) AB, ( ) ( ) ( ) ( ) BA. ( ) ( ) A, B,

35 5/5 są wzjemie odwrote. Po wprowdzeiu pojęci mcierzy odwrotej od rzu pojwiją się oczywiste pyti: ) Jki wruek musi spełić mcierz kwdrtow, by istił do iej odwrot? b) Czy mcierz odwrot jest wyzczo jedozczie? c) Jeżeli istieje mcierz odwrot, to jk ją wyzczyć? Pytie ) Łtwo zuwżyć, że ie kżd mcierz kwdrtow posid odwrotą. Oczywistym przykłdem jest mcierz zerow gdyż dl dowolej mcierzy B M() mmy A, AB b b b b Ale wet mcierze iezerowe mogą ie posidć odwrotej o czym świdczy przykłd b b b b b b AB, b b gdyż dl dowolych elemetów mcierzy B ie otrzymmy jedyki w prwym dolym rogu. Widć więc, że kryterium odwrclość mcierzy musi być ieco brdziej subtele. W kursie lgebry liiowej dowodzi się kilku wzjemie rówowżych postci tkiego kryterium. Przypomijmy je TWIERDZENIE. Niech de będzie mcierz kwdrtow A stopi. Nstępujące wruki są rówowże I. i) mcierz A jest odwrcl ii) kolumy mcierzy A trktowe jk wektory w ( ) są liiowo iezleże iii) wiersze mcierzy A trktowe jk wektory w ( ) iv) wyzczik mcierzy jest iezerowy (det A ) są liiowo iezleże Pojęcie wyzczik będzie omówioe dlej ieco dokłdiej, le z kursu mtemtyki szkolej zpewe czytelicy zją wzór wyzczik dl ukłdu dwóch rówń liiowych z dwom iewidomymi, który dl mcierzy współczyików m postć det. (.4)

36 6/5 Tk więc kryterium odwrclość mcierzy jest. Poiewż wyzczik dl dowolej mcierzy kwdrtowej może być w zsdzie obliczoy (omwie dlej tzw. rozwiięcie Lplce ), więc mogłoby się wydwć, że jlepszym sposobem sprwdzeie czy mcierz jest ieosobliw jest obliczeie wg rozwiięci Lplce. Tk jedk ie jest, gdyż liz tego wzoru pokzuje, że m o złożoość rzędu!, więc cłkowicie się ie dje do większych mcierzy. Zdecydowie lepszy jest sposób oprty o elimicję Guss o złożoości rzędu Pytie b) Przypomijmy: czy mcierz odwrot jest jed (jeśli w ogóle istieje)? Moż to sformułowć tk: d jest mcierz kwdrtow A M ( ) orz dwie mcierze kwdrtowe B, B M( ). Czy zchodzi implikcj AB BA I B B. AB BA I. Okzuje się, że odpowiedź jest twierdząc, dowód jest prosty (opier się łączości możei mcierzy) B B I B ( AB ) ( B A) B IB B. Ze względu jedozczość odwrotej do mcierzy A możemy używć jedego ozczei, którym jest Pytie c) A. Tk więc z defiicji mmy A A A A I. (.5) Pytie o sposoby wyzczi mcierzy odwrotej wkrcz już w obszr metod umeryczych. Okzuje się, że zgdieie to związe jest z rozwiązywiem ukłdów rówń liiowych. Nleży podkreślić, że zy z kursu lgebry liiowej wzór mcierz odwrotą poprzez tzw. dopełiei lgebricze (więcej szczegółów dlej) D A A ij, det A ie dje się do prwdziwych obliczeń umeryczych, w których pojwią się mcierze, lub większe. Powodem jest to, że wzór powyższy m złożoość obliczeiową rzędu!, więc dje się w prktyce do młych mcierzy. Oczywiście wzór powyższy m duże zczeie teoretycze le ie umerycze. Zgdieiem umeryczego wyzczi mcierzy o procedurę elimicji Guss zjmiemy się w rozdzile Ukłdy Liiowe. A w oprciu Opercj odwrci mcierzy m stępujące włsości (wszędzie zkłdmy, że A, B M( ) są ieosobliwe): ) b) ( A) A jeżeli, ( A B) B A,

37 7/5 c) T T ( A ) ( A ), d) ( A ) A. Powyższe tożsmości dowodzi się stosukowo łtwo, jeżeli tylko przypomimy sobie defiicję mcierzy odwrotej (rówość (.) lub (.5)). Ad ) Pytmy czy A jest odwrotą dl mcierzy A? Mmy ( A)( A ) ( )( AA ) I I, ztem ( A) A. Ad b) Pytmy czy B A jest odwrotą dl mcierzy AB? Mmy ( B A )( AB) B ( A A) B B IB B B I, ztem ( A B) B A. Ad c) Korzystmy z dwóch fktów: T I I orz ( AB) T B T A T. Zchodzi T T T T T A A I ( A A) I A A I A A. Ad d) Jest to włściwie ćwiczeie zrozumieie sesu defiicji. Mmy bowiem w szczególości wyik stąd, że odwrotą dl AA A A I, A jest włśie, A więc A A. T Zd.. Czy kżde dwie mcierze moż dodć? Jkie muszą być spełioe wruki by moż było dodć do siebie dwie mcierze? Zd.. Jk jest defiicj możei mcierzy przez liczbę (sklr)? Niech. Jki jest wyik poiższych możeń: = = 4 4 x x x x Przypomijmy: jeżeli AM(, p), B M( p, m), to określoe jest możeie mcierzy. W wyiku uzyskmy ową mcierz C A B, tką że C M(, m). Wż jest kolejość możei!

38 8/5 Zd.. Wykoj możei stępujących pr mcierzy kwdrtowych: = Zd. 4. Jką postć m mcierz jedostkow? Jką włsość posid mcierz jedostkow? Zd. 5. Wykoj możei mcierzy 5 4 Zd. 6. Podj przykłd dwóch iezerowych mcierzy, których iloczy jest mcierzą zerową. Odpowiedi przykłd jest już dl mcierzy kwdrtowych. Czy podobe zjwisko może się zdrzyć gdy możymy dwie liczby rzeczywiste? Zd. 7. De są mcierze: 4 4, 4 4, 4 4, D C B A

39 9/5 Oblicz stępujące wyrżei mcierzowe: ) ( AB)( C D) b) ( AB)( A B) c) d) ( A B) C CD Zd. 8. Czy w lgebrze mcierzy prwdziwe są stępujące wzory skrócoego możei: ) b) ( A B)( A B) A B ( A B) A AB B Jeżeli ie, to z czym to jest związe? Zd. 9. Oblicz stępującą potęgę mcierzy: 994 Zd.. Udowodij stępującą tożsmość: cos si cos si cos( ) si( ). si cos si cos si( ) cos( ) Wyzcziki Wyzczik mcierzy jest to pew liczb, którą w sposób jedozczy przypisujemy do mcierzy, przy czym określmy ją tylko dl mcierzy kwdrtowych. Jeżeli A jest mcierzą kwdrtową, to wyzczik tej mcierzy ozczmy symbolem det A. Dl mcierzy rzeczywistych mmy det A dl zespoloych det A. Czsmi stosujemy ie ozczeie wyzczik, miowicie A. Wyzczik m szereg włsości, w szczególości iformuje s o tym czy mcierz jest odwrcl: zchodzi to wtedy i tylko wtedy, gdy det A. Niestety defiicj wyzczik ie jest elemetr i wprowdzeie jej wymg udowodieie szeregu włsości. Tutj podmy podstwową chrkteryzcję wyzczik orz podstwowe sposoby jego obliczi. Okzuje się, że wyzczik jko fukcj zbiorze mcierzy kwdrtowych det : M ( ), jest jedozczie schrkteryzowy przez stępujące wruki: i) wyzczik mcierzy jedostkowej jest rówy : det I, ii) wyzczik jest liiową fukcją względem poszczególych kolum: det[ c,, c, c c, c,, c ] det[ c,, c,, c ] det[ c,, c,, c ] i i i i i i

40 4/5 iii) jeśli dwie kolumy mcierzy są rówe, to wyzczik tej mcierzy jest rówy zeru. Moż udowodić, że istieje fukcj o powyższych włsościch i to tylko jed. Kolumy ie są w jkiś szczególy sposób wyróżioe w tej defiicji. Moż kolumy zmieić powyżej z wierszmi i otrzymmy te sm wyzczik. W szczególości wyik stąd, że wyzczik jest liiowy względem poszczególych wierszy orz jeżeli dw wiersze są tkie sme, to det A. Niestety to co dotychczs powiedzieliśmy o wyzcziku dl ie pokzuje jk go obliczć. Jedkże dokłdiejsz liz powyższych wruków prowdzi do pewych wzorów obliczie wyzczików. Wzór I Jeżeli A jest mcierzą stopi, to (.6) S det A sg, gdzie S jest zbiorem wszystkich permutcji zbioru {,,, }, sg ozcz tzw. zk permutcji (sg ). 4 Prktycze obliczie wyzczik ze wzoru (.6) ie brdzo m ses, gdyż sum w im występując m! skłdików. Widć tomist, że dl mmy det[ ], tomist dl, gdzie mmy dwie permutcje S {(,), (,)} otrzymmy det sg(, ) sg(,), więc wyrżeie które pojwi się już w szkole średiej. Oczywiście dl liczb skłdików będzie 6. Wzór II (rozwiięcie Lplce ) Te sposób obliczi wyzczik m chrkter rekurecyjy: wyzczik mcierzy stopi sprowdz się do obliczi wyzczików stopi. Rozwiięcie Lplce względem j tego wiersz dl mcierzy A ( ij ) stopi m postć 4 Przypomijmy, że permutcją dowolego skończoego zbioru X zywmy dowolą wzjemie jedozczą fukcję f : X X. Jeżeli elemety zbioru X poumerujemy X { x, x,, x }, to widć, że kżd tk fukcj jest włściwie tym smym co ciąg elemetów zbioru X, w którym kżdy elemet występuje dokłdie jede rz. N przykłd dl X {, b, c} permutcje są tożsme z ciągmi: bc, cb, cb, cb, bc, bc. Jk łtwo zuwżyć dl zbioru elemetowego liczb permutcji wyosi!. Podto moż udowodić, że kżd permutcj jest złożeiem pewej liczby trspozycji. Trspozycj to tk permutcj, w której tylko dw wybre elemety są zmieioe miejscmi (pozostłe ie są rusze). Dl przystej liczby trspozycji przyjmujemy sg, dl ieprzystej sg.

41 4/5 gdzie mcierz jk det A ( ) jk det Ajk, (.7) k A jk jest mcierzą stopi powstłą z mcierzy A przez wykreśleie j tego wiersz i k tej kolumy. Dl już ie stosujemy wzoru (.7) tylko przyjmujemy, że det[ ]. Przykłd. Obliczyć wyzczik mcierzy kwdrtowej stopi stosując rozwiięcie względem pierwszego, stępie drugiego wiersz. porówć wyiki. Rozwiązie: Mmy dą mcierz A Zuwżmy, że skreśljąc przykłd pierwszy wiersz i pierwszą kolumę otrzymmy A [ ]. Stosujemy terz rozwiięcie Lplce (.7) dl j do szej mcierzy. det ( ) det A ( ) det A det[ ] det[ ]. Jeżeli terz zstosujemy rozwiięcie Lplce dl j (czyli względem drugiego wiersz), to otrzymmy det ( ) det A ( ) det A det[ ] det[ ]. Jk widć w obu przypdkch otrzymliśmy to smo. Złożoość obliczeiow rozwiięci Lplce (.7) jest iestety rówież!. Ozcz to, że dl dużych stosowie tej metody może być w prktyce iewykole. Tym iemiej, obliczie wyzczik metodą rozwiięci Lplce jest w prktyce stosowe dość często. Dotyczy to przypdków iedużych ( 5) mcierzy lub tkich, gdzie jest pew zleżość rekurecyj pomiędzy wyzczikiem stopi wyzczikmi miejszych stopi. Przy oblicziu wyzczik pomoce mogą być pewe opercje wykoywe mcierzy, które ie zmieiją wyzczik mcierzy. Poiżej podo te włsości wyzczików, które mogą być pomoce w obliczeich. Przyjmujemy, że mcierz A jest stopi. ) Jeżeli mcierz A posid dwie jedkowe kolumy (wiersze), to det A.