Zbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe

Transkrypt

1 pojęci zbioru i elementu RCHUNEK ZIORÓW zbiór zwier element element nleży do zbioru jest elementem zbioru ( X zbiór wszystkich przedmiotów indywidulnych, których dotyczy dn nuk zbiór pełny (uniwerslny X zbiór pusty Zbiory wyznczone przez funkcje zdniowe Symbol bstrkcji { x: P(x } ozncz zbiór tych i tylko tych elementów zbioru X, które spełniją funkcję zdniową P(x. O funkcji zdniowej P(x mówimy, że wyzncz zbiór {x:p(x}. Niech X {, 2, 3, 5, 7, 9 } {x X: x>3} { 5, 7, 9 } { x: x x } X { x: x x } rbr Głut

2 Zdnie P(x jest prwdziwe { x X : P(x} X x Zdnie P(x x jest prwdziwe { x X : P(x} Zdnie P(x jest fłszywe { x X : P(x} X x Zdnie P(x jest fłszywe { x X : P(x} x Zdnie P(x jest prwdziwe { x X: P(x} X x P(x x { x X: P(x} Zdnie P(x jest prwdziwe { x X: P(x} x x P(x { x X : P(x} X Inkluzj Zbiór jest zwrty w zbiorze ( jest podzbiorem wtedy i tylko wtedy, gdy kżdy element zbioru nleży do zbioru. Zbiór nie jest zwrty w : ( ( Zbiór jest włściwie zwrty w zbiorze (jest podzbiorem włściwym zbioru wtedy i tylko wtedy, gdy jest zwrty w, le zbiór nie jest zwrty w. ( Uwg: le Inny zpis: dl oznczeni, że jest podzbiorem włściwym rbr Głut 2

3 Równość zbiorów Zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mją te sme elementy. ( ( { x : P( x} { x : R( x} ( P( x R( x x Sum zbiorów: Dziłni n zbiorch { x : x x } Iloczyn (przecięcie zbiorów: { x : x x } n U i i ozncz sumę zbiorów, 2,..., n n I i i ozncz iloczyn zbiorów, 2,..., n rbr Głut 3

4 Dziłni n zbiorch Różnic zbiorów: \ { x : x x } Różnic symetryczn zbiorów: ( \ ( Dopełnienie zbioru: X X ' X \ { x : x } Prw lgebry zbiorów X ' X ' X' X ' X X ( '' ( \ ' rbr Głut 4

5 rbr Głut 5 Prw lgebry zbiorów Prw lgebry zbiorów Prw przemienności: Prw łączności: Prw rozdzielności: Prw de Morgn: ( ( C C ( ( C C ' ' ' ( ' ' ' ( ( ( ( C C ( ( ( C C Sprwdznie z pomocą kół Sprwdznie z pomocą kół Euler Euler ' ' ' (

6 Digrmy Venn Niepustość dnego zbioru zznczmy n digrmie poprzez znk + n obszrze symbolizującym ten zbiór. To, że dny zbiór jest pusty, zznczmy n digrmie poprzez znk (lub zkreskowując obszr symbolizujący ten zbiór. + symbolizuje, że: X Digrmy Venn Obszr I symbolizuje IV Obszr II symbolizuje Obszr III symbolizuje \ \ II I III Obszr IV symbolizuje ( + +? rbr Głut 6

7 ( \? Digrmy Venn + ( + + Zbiór, którego elementmi są zbiory, nzywmy rodziną tych zbiorów. Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru nzywmy zbiorem potęgowym zbioru i oznczmy P(. Np.: { b, c } P( {, {b}, {c}, {b, c} } Funkcj chrkterystyczn zbioru: gdy χ ( gdy rbr Głut 7

8 Moc zbioru liczb krdynln Liczność zbioru skończonego liczb jego elementów Uogólnienie pojęci liczby elementów Moc zbioru liczb krdynln dl zbiorów skończonych liczność dl zbiorów nieskończonych: crd N ℵ (lef zero crd R c (continuum Dw zbiory są równoliczne, gdy istnieje funkcj wzjemnie jednoznczn z jednego zbioru w drugi. Zbiory równoliczne mją te smą moc tę smą liczbę krdynlną. Iloczyn krtezjński zbiorów Iloczynem krtezjńskim (lub produktem zbiorów i nzywmy zbiór wszystkich i tylko tkich pr uporządkownych, których pierwsze elementy nleżą do zbioru, drugie do zbioru. Oznczmy: x (,b x ( b x { (, b : b } Np.: {, 2} {, b, c } x { (,, (, b, (, c, (2,, (2, b, (2, c } x 2 x... x n { (, 2,... n : i i, i, 2,... n } rbr Głut 8

9 RELCJE Relcj wyrż związek zchodzący między zdnymi obiektmi Dowolny podzbiór x 2 x... x n nzywmy n rgumentową relcją n zbiorze x 2 x... x n Dowolny podzbiór R n nzywmy n rgumentową relcją w zbiorze. Gdy n 2 relcj dwurgumentow (binrn Przykłd: Zpisujemy ją też: Relcje dwurgumentowe R { (,, (,2, (2,4, (3,6,... } jest relcją n N R { (,b N x N: b 2 } R N x N, Rb b 2 Liczby orz b są w relcji, jeśli b jest dwukrotnością. Kżd funkcj zdniow dwóch zmiennych wyzncz pewną relcję. xry P(x,y le istnieją relcje, które nie są określone przez żdną funkcję zdniową. To, że dw elementy są ze sobą w relcji zpisujemy: (,b R lub Rb rbr Głut 9

10 Relcję binrną możn przedstwić w postci tbeli lub digrmu (grfu. Np.: {, 2, 3, 4, 6} R x, Rb ( mod b jeśli R x b Dziedzin relcji R x : { : ( : Rb} b zbiór poprzedników pr nleżących do R (lew dziedzin Przeciwdziedzin relcji R x : { b : ( : Rb} zbiór nstępników pr nleżących do R (prw dziedzin Pole relcji sum dziedziny i przeciwdziedziny rbr Głut

11 Relcj binrn R 2 jest identycznościow zwrotn {(, b : b} zbiór pr (, dl wszystkich R kżdy element jest w relcji z smym sobą przeciwzwrotn przechodni ~ R żden element nie jest w relcji z smym sobą, b, c (( Rb brc Rc jeśli jest w relcji z b, b w relcji z c, to jest w relcji z c Relcj binrn R 2 jest symetryczn jeśli i b są w relcji, to b i również (nie m wyróżnionego kierunku słbo ntysymetryczn (symetryczn silnie ntysymetryczn, b ( Rb br, b (( Rb br b relcj w obie strony możliw jedynie, gdy elementy są równe, b ~ ( Rb br relcj w obie strony w ogóle nie jest możliw rbr Głut

12 Relcj binrn R 2 jest spójn, b Dl relcji binrnej R w zbiorze relcję: R nzywmy relcją odwrotną do relcji R. kżde dw elementy są w relcji w jedną lub drugą stronę Digrm relcji odwrotnej R - otrzymujemy z digrmu relcji R przez zminę kierunku wszystkich strzłek Relcję R nzywmy relcją pustą. {(, b ( Rb br b 2 : br} Relcję R 2 nzywmy relcją pełną. Relcj binrn R jest równowżnościow, jeśli jest zwrotn, symetryczn i przechodni Dl dowolnej relcji równowżności R w zbiorze i dowolnego zbiór [ ] R { b : Rb} nzywmy klsą bstrkcji elementu względem relcji R. Kls bstrkcji kls równowżności zbiór wszystkich elementów będących z w relcji R. Element nzywmy reprezentntem klsy. Jeśli Rb, to [] R [b] R Jeśli ~ Rb, to zbiory [] R i [b] R są rozłączne. Zbiór wszystkich kls bstrkcji nzywmy zbiorem ilorzowym i oznczmy /R rbr Głut 2

13 Relcj binrn R 2 nzywn jest słbo porządkującą (częściowym, słbym porządkiem, jeśli jest zwrotn, słbo ntysymetryczn i przechodni. Pr (, R nzywn jest zbiorem częściowo uporządkownym. Relcj binrn R 2 nzywn jest silnie porządkującą (porządkiem, jeśli jest silnie ntysymetryczn i przechodni. Relcj binrn R 2 nzywn jest słbo porządkującą liniowo, jeśli jest zwrotn, słbo ntysymetryczn, przechodni i spójn. Relcj binrn R 2 nzywn jest silnie porządkującą liniowo, jeśli jest silnie ntysymetryczn, przechodni i spójn. Relcj R jest funkcją jednej zmiennej wtedy i tylko wtedy, gdy kżdemu elementowi przyporządkowuje dokłdnie jeden przedmiot. x, y, z (( xry xrz y z Relcj jest funkcją wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem pr uporządkownych, wśród których nie m dwóch różnych pr o tkim smym elemencie pierwszym. Digrm relcji nie może wówczs zwierć dwóch strzłek o tym smym początku. Relcj jest wzjemnie jednoznczn wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją i gdy relcj do niej odwrotn też jest funkcją. rbr Głut 3