O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI"

Transkrypt

1 ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji, tkże grupę obrotów krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez trnspozycje wspomninych wyżej mcierzy permutcji. Dl obydwu grup zbdno i przedyskutowno ich wzjemne relcje. Abstrct In this pper, there re presented two groups. The first one is permuttion group of Crtesin coordinte system xes represented by permuttion mtrix. The second one is group of Crtesin coordinte system rottions represented by trnsposition of bove mentioned permuttion mtrix. For these groups mutul reltions re considered nd discussed. WSTĘP Jedną z njwżniejszych struktur mtemtycznych jest grup. Grupę (G, ) definiuje się jko zbiór G wrz z dwurgumentowym dziłniem. Wymg się przy tym, by jednocześnie spełnione były nstępujące ksjomty [,,]: Grup zwier identycznościowy element e neutrlny względem opercji tki, że dl dowolnego f G zchodzi związek: f e = f = e f. Kżdemu elementowi f G odpowid odwrotny element f G tki, że f f = f f = e. Dl dowolnych elementów f, g, h G zchodzi prwo łączności: f (g h) = (f g) h. Wymg się tkże, by grup był zmknięt ze względu n dziłnie. Ozncz to, że dl dowolnych dwóch elementów f, g G zchodzi (f g) G. Przykłdem Dr hb. inż. Zenon Gnizdowski jest profesorem Wrszwskiej Wyższej Szkoły Informtyki. 7

2 Zenon GNIAZDOWSKI grupy skończonej może być zbiór symetrii pewnego obiektu geometrycznego wrz z opercją skłdni tych symetrii []. Bdnie symetrii pozwl zuwżyć pewne istotne włsności obiektu, czego n ogół nie dłoby się dostrzec n drodze smych tylko biernych obserwcji. Nrzędziem służącym do opisu symetrii jest włśnie grup. Innym przykłdem grupy skończonej może być zbiór wszystkich permutcji zbioru n-elementowego wrz z opercją skłdni permutcji [,]. Jeszcze innym przykłdem grupy tym rzem grupy ciągłej jest zbiór obrotów ukłdu odniesieni z opercją ich skłdni []. TRANSFORMACJE SKŁADOWYCH TENSORA Zkłd się istnienie prostokątnego ukłdu współrzędnych. Wielkości, które nie zleżą od ukłdu odniesieni są sklrmi. Sklrem jest np. ms lub tempertur. Sklr jest określony przez jedną liczbę i nosi nzwę tensor zerowego rzędu. W przeciwieństwie do sklrów, pewne inne wielkości definiuje się z uwzględnieniem kierunku np. siłę F = [F, F, F ], czy ntężenie pol elektrycznego E = [E, E, E ]. Te wielkości noszą nzwę wektorów. Dl ustlonego ukłdu współrzędnych, wektor jest cłkowicie określony przez podnie jego trzech skłdowych. Te skłdowe, to prostopdłe rzuty wektor n poszczególne osie ukłdu. Ujwni się to przez odpowiednie indeksy występujące w opisie skłdowych wektor. Wektor nzywny jest tkże tensorem rzędu pierwszego [4]. W zpisie tensor jego rząd objwi się liczbą indeksów. Stąd, sklr jest tensorem rzędu zerowego i m zero indeksów. Wektor będący tensorem rzędu pierwszego m jeden indeks. Tensory rzędów drugiego, trzeciego i czwrtego mją odpowiednio dw, trzy i cztery indeksy. Możn ztem powiedzieć, że tensor niezerowego rzędu jest złożoną wielkością, której skłdowe zleżą od ukłdu odniesieni. Przykłdem może być wektor n płszczyźnie (tensor rzędu pierwszego), który obserwowny w różnych ukłdch odniesieni zwsze Rys.. Zmin skłdowych wektor z obrotem ukłdu odniesieni: ) pierwotny ukłd odniesieni; b) obrócony ukłd odniesieni 8

3 O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI pozostje tym smym wektorem. Z obrotem ukłdu odniesieni zminie ulegją jego skłdowe (rzuty n osie ukłdu odniesieni). Wektor n płszczyźnie opisny jest dwom skłdowymi. Jeżeli obrócić ukłd odniesieni, to zmienią się długości rzutów tego wektor n nowe osie ukłdu odniesieni. W ten sposób ten sm wektor jest opisny przez inny zbiór skłdowych. N Rys. widć, że wektor nie uleg zminie, ntomist zmieniją się jego skłdowe.. Obrót ukłdu współrzędnych Rozwż się obrót ukłdu współrzędnych, bez zminy jego początku orz bez zminy jednostek miry wzdłuż wszystkich osi. Przyjmuje się oznczenie X, X, X dl ukłdu przed obrotem, orz X ʹ, X ʹ, X ʹ dl ukłdu po obrocie. Tb.. Tbelk cosinusów kierunkowych pomiędzy osimi przed obrotem i po obrocie osie przed obrotem X X X osie po obrocie X ʹ X ʹ X ʹ Tbelk cosinusów kierunkowych pomiędzy osimi przed obrotem, osimi po obrocie jest przedstwion w Tb.. Pierwszy indeks przy odnosi się do osi ukłdu po obrocie, drugi zś do osi przed obrotem. W ten sposób ij jest cosinusem kąt pomiędzy osią X iʹ osią X j... Przykłd Zwyczjowo, zmist oznczeni X, X, X, dl ukłdu przed obrotem, przyjmuje się oznczenie X, Y, Z, zś dl ukłdu po obrocie X ʹ, X ʹ, X ʹ przyjmuje się oznczenie Xʹ, Yʹ, Z. N Rys. pokzno obrót krtezjńskiego ukłdu współrzędnych o kąt φ wokół osi Z. Kąty między osimi ukłdu odniesieni są przedstwione w Tb.. Kątom tym odpowidją cosinusy kierunkowe, które są zwrte w Tb.. Korzystjąc z wzorów redukcyjnych, powyższą tbelkę cosinusów kierunkowych możn sprowdzić do postci mcierzy opisującej obrót ukłdu odniesieni wokół osi Z o kąt φ. Mcierz tę możn oznczyć jko R(Z, φ): () 9

4 Zenon GNIAZDOWSKI Anlogicznie, możn przedstwić mcierze obrotu wokół pozostłych osi. Rys.. Obrót krtezjńskiego ukłdu odniesieni wokół osi Z o kąt φ Tb.. Kąty między osimi ukłdu odniesieni przed obrotem i po obrocie osie po obrocie Xʹ Yʹ Zʹ osie przed obrotem X Y Z φ π π ϕ π π + ϕ φ π π Tb.. Cosinusy kierunkowe kątów między osimi ukłdu odniesieni przed obrotem i po obrocie osie po obrocie Xʹ ( ) cos ϕ Yʹ Zʹ osie przed obrotem X Y Z π cos + ϕ π cos π cos ϕ π cos π cos cos ( ϕ ) π cos cos(). Włsności mcierzy trnsformcji Mcierz obrotu jest mcierzą kwdrtową o rozmirze. Oznczjąc ją przez otrzymuje się: =. ()

5 O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Jej skłdniki są od siebie wzjemnie zleżne. Kżdy wiersz w mcierzy () przedstwi trzy cosinusy kierunkowe prostej w odniesieniu do ortogonlnych osi X, Y, Z, stąd dl i-tej osi: k= =. () ik Kżd pr różnych wierszy w mcierzy () przedstwi cosinusy kierunkowe dwóch wzjemnie prostopdłych linii prostych. Dltego, z włsności iloczynu sklrnego dl wierszy i, j tkich, że i j: k = ik jk = dl i W formie skróconej, obydwie zleżności () i (4) możn zpisć: gdzie δ ij jest deltą Kronecker: ik jk = k = ij j. (4) δ, (5) dl i = j δ ij =. (6) dl i j. Wykonując mnożenie T przez i korzystjąc z (5), otrzymuje się mcierz jednostkową: T =. (7) Poniewż mcierz jednostkow powstje w wyniku mnożeni dwóch mcierzy odwrotnych, stąd: T =. (8) Dodtkowo, dl wyzncznik mcierzy obrotu zchodzi dodtkow zleżność: det() = ±. (9) Gdy obrót prowdzi do zminy prwoskrętności ukłdu odniesieni n jego lewoskrętność, wyzncznik jest równy, w przypdku brku tkiej zminy jego wrtość jest równ jedności [4].. Prw trnsformcji tensorów Jeżeli znny jest zbiór elementów skłdowych wektor przed trnsformcją, tkże znn jest trnsformcj, to możn znleźć zbiór skłdowych opisujących

6 Zenon GNIAZDOWSKI wektor w nowym ukłdzie współrzędnych. Poniewż skłdowe elementy wektor zleżą od ukłdu odniesieni, to tkże skłdniki tensor rzędu drugiego, trzeciego i czwrtego tkże zleżą od ukłdu odniesieni. Aby rozwiązć problem zminy skłdowych tensor ze zminą ukłdu odniesieni, njpierw potrzeb opisć trnsformcję ukłdu odniesieni, potem trnsformcję dnego tensor. Tb. 4. Prw trnsformcji tensorów Rząd tensor Nowe skłdowe wyrżone przez stre Uwg φʹ = φ Sklr T ' i = T ' ij = T ' ijk = lmn 4 T ' ijkl = mnop kl im j il T ik jn ij jm jl ko j T kn kl T lp lmn T mnop Wektor W pewnym krtezjńskim ukłdzie odniesieni rozwż się wektor T = [T, T, T ] T. Jeżeli ukłd odniesieni zostnie poddny trnsformcji opisnej mcierzą (), to nowy ukłd współrzędnych będzie mił osie Xʹ, Yʹ, Zʹ. W tym nowym ukłdzie, wektor T będzie postrzegny jko wektor Tʹ z nowymi współrzędnymi Tʹ = [T ʹ, T ʹ, T ʹ] T. Zmin skłdowych wektor po trnsformcji jest opisn nstępującym równniem: T ' = T. () i j= W Tb. 4 przedstwiono prw trnsformcji tensorów począwszy od tensor rzędu zerowego (sklr) ż do tensor czwrtego rzędu [4]..4 Skłdnie trnsformcji Niekiedy istnieje potrzeb znlezieni elementów skłdowych tensor, w przypdku wielokrotnych obrotów ukłdu odniesieni. W tym celu nleży znleźć wypdkową mcierz cosinusów kierunkowych, wynikjącą z nkłdni się kolejnych obrotów. Poniewż w wyrżeniu n skłdowe obróconego wektor bezpośrednio występuje mcierz cosinusów kierunkowych, to dokonując wielu kolejnych obrotów ij j

7 O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI wektor, możn znleźć mcierz wypdkową, któr jest jednocześnie mcierzą cosinusów kierunkowych dl wypdkowej zminy ukłdu współrzędnych. Prw stron równni () jest równowżn zwykłemu mnożeniu mcierzy kwdrtowej przez wektor x: xʹ = x. () Anlogicznie, jeżeli dlej obrcć ukłd odniesieni zgodnie z mcierzą obrotu b, to, wektor xʹ przejdzie w wektor xʹʹ zgodnie z zleżnością: xʹʹ = bxʹ. () Podstwijąc z xʹ prwą stronę ze wzoru (), otrzymuje się: xʹʹ = bx. () Korzystjąc z prw łączności dl mnożeni mcierzy możn npisć: xʹʹ = (b)x. (4) Jeżeli wypdkową mcierz obrotu oznczyć jko w, to odpowiednie wyrżenie m postć: xʹʹ = wx = (b)x. (5) Jk widć, złożenie dwóch kolejnych trnsformcji njpierw trnsformcji opisnej mcierzą, potem trnsformcji opisnej mcierzą b dje wypdkową mcierz trnsformcji w: w = b. (6) Powyższe rozumownie możn uogólnić n dowolną ilość obrotów. Dl trzech kolejnych obrotów opisnych mcierzmi njpierw, potem b, n końcu c, wypdkow mcierz obrotu m postć: w = cb. (7).5 Grup obrotów Możn zuwżyć, że dl obrotów ukłdu odniesieni są spełnione nstępujące wrunki: Pośród wszystkich obrotów, istnieje obrót neutrlny względem opercji skłdni obrotów. Jest to obrót o kąt zerowy (obrót identycznościowy), opisny mcierzą jednostkową; Dl kżdego obrotu istnieje obrót przeciwny (dopełnijący) tki, że złożenie dnego obrotu i obrotu do niego przeciwnego dje obrót identycznościowy. Mcierz obrotu przeciwnego jest mcierzą odwrotną do mcierzy dnego obrotu. Jest to jednocześnie trnspozycj dnej mcierzy obrotu (wzory 7 i 8);

8 Zenon GNIAZDOWSKI Skłdnie obrotów jest opisne jko mnożenie mcierzy (wzory 6 i 7). Mnożenie mcierzy jest łączne, dltego opercj skłdni obrotów jest tkże opercją łączną; Złożenie dowolnych obrotów jest tkże obrotem (wzory 6 i 7). Wrunki te dowodzą, że dl obrotu ukłdu odniesieni spełnione są wszystkie ksjomty grupy, ztem: zbiór wszystkich obrotów ukłdu odniesieni jest grupą. Jest to tk zwn ciągł grup Liego []. PERMUTACJE Permutcj n-elementowego zbioru X jest to dowoln wzjemnie jednoznczn funkcj f : X X []. W dlszej części prcy, włsności permutcji będą przedstwine n przykłdch. Bez strty ogólności, przykłdy zostną ogrniczone do przypdku permutcji zbioru skłdjącego się z pięciu elementów: X = {,,,4,5}. Dl dnego zbioru X, przykłdem permutcji może być nstępując funkcj: f () = 5, f () =, f () =, f (4) =, f (5) = 4. Funkcję tę możn przedstwić w nstępujący sposób: 4 5 f =. (8) 5 4 Inny przykłd permutcji może wyglądć nstępująco: 4 5 g =. (9) 5 4 W zpisie (8) i (9), górny wiersz jest wierszem rgumentów funkcji, zś wiersz dolny wierszem wrtości tej funkcji. Zpis ten dl odróżnieni od innych sposobów przedstwini permutcji będzie dlej nzywny postcią normlną permutcji.. Skłdnie permutcji Permutcje możn skłdć. Złożenie dwóch permutcji jest tkże permutcją. Złożeniem przedstwionych wyżej permutcji f i g jest nstępując permutcj: f g = ( g() i ) f. () Skłdnie permutcji nzyw się tkże mnożeniem permutcji. Korzystjąc ze wzoru (), wynik złożeni permutcji f g m nstępującą postć: 4 5 f g =, () 4 5 4

9 O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI podobnie: 4 5 g f =. () 4 5 Z () i () widć, że w ogólności: f g g f, () to ozncz, że mnożenie permutcji nie jest opercj przemienną. Opercj t jest ntomist opercją łączną [,]: f (g h) = (f g) h. (4). Permutcj jednostkow W zbiorze permutcji istnieje permutcj e neutrln względem opercji mnożeni permutcji. Jest to tzw. permutcj jednostkow: f e = e f. (5) Dl zbioru pięcioelementowego jej postć jest nstępując:. Permutcj odwrotn 4 5 e =. (6) 4 5 Dl dowolnej permutcji n-elementowej f istnieje permutcj odwrotn f tk, że: f f = f f = e. (7) Jeżeli np. w permutcji (8) f () = 5, to w permutcji odwrotnej f (5) =, podobnie: f () = i f () =. W permutcji odwrotnej nstępuje zmin wrtości funkcji z jej rgumentmi. Osttecznie permutcj odwrotn do permutcji f opisnej zleżnością (8) m nstępującą postć:.4 Sposoby reprezentcji permutcji 4 5 f =. (8) 4 5 Przedstwiony sposób reprezentcji permutcji nie wyczerpuje wszystkich możliwości. Poz wspomninymi opisem normlnym istnieją inne formy reprezentcji permutcji. 5

10 Zenon GNIAZDOWSKI.4. Cykliczn postć permutcji Permutcję (8) możn tkże przedstwić, w postci cyklu. Dl rgumentu równego, wrtością funkcji f jest liczb 5. Dl rgumentu równego 5, wrtość funkcji f wynosi 4. Dl rgumentu równego cztery wrtość funkcji jest równ. Inczej mówiąc: przechodzi w 5, 5 przechodzi w 4, 4 przechodzi w. Tutj zmyk się cykl, gdyż znów przechodzi w 5. Używjąc zmist słow przechodzi strzłek, możn npisć: 5, 5 4 orz 4. Podobnie: orz. W skrócie permutcję f możn zpisć jko złożenie dwóch cykli: f = (,5,4)(,). (9) Permutcj jednostkow (6) w zpisie cyklicznym m postć: e = ()()()(4)(5). () Permutcj (8) odwrotn do permutcji f m cykle zwierjące identyczne elementy jk cykle w permutcji f, zś wewnątrz kżdego cyklu odwrócon jest kolejność elementów: f = (,4,5)(,). ().4. Grf permutcji Permutcję (8) przedstwioną jko złożenie dwóch cykli możn przedstwić w formie grfu skłdjącego się z dwóch cykli. N Rys. pokzno postć tego grfu. Anlogicznie, n Rys. b pokzno grf permutcji identycznościowej (6), zś n Rys. c grf permutcji (8), odwrotnej do permutcji f. Możn zuwżyć, że grfy permutcji f i jej odwrotności różnią się tylko zwrotem strzłek w łukch tworzących cykle. ) b) c) Rys.. Grfy permutcji: ) permutcj (8); b) permutcj identycznościow (6); c) permutcj (8) odwrotn do permutcji (8) Do nrysowni grfów korzystno z progrmu yed Grph Editor ver..4.., pobrnego ze strony: 6

11 7 O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI.4. Mcierz permutcji Grf permutcji może być jednozncznie reprezentowny w postci mcierzy sąsiedztw. Ze względu n tę jednoznczność, w dlszej części niniejszej prcy mcierz sąsiedztw grfu permutcji będzie nzywn mcierzą permutcji. Dl ustleni uwgi, dl dnej permutcji x jej mcierz będzie dlej oznczn jko mt(x) lub wielką literą X. I tk, dl permutcji (8), mcierz zbudown w oprciu o grf przedstwiony n Rys., m nstępującą postć:, ) ( = = F f mt () nlogicznie, dl (9) mcierz permutcji m postć:. ) ( = G = g mt () Wynik mnożeni mcierzy () przez mcierz () jest nstępujący:, F G = (4) nlogicznie, w drugą stronę:. = G F (5)

12 Zenon GNIAZDOWSKI W wyniku mnożeń (4) orz (5) otrzymno mcierze permutcji odpowiednio () i (). Wynik stąd wniosek, że mnożenie permutcji możn zstąpić odpowiednim mnożeniem mcierzy: orz: ( g() i ) G F f g = f, (6) ( f () i ) F G g f = g. (7) Mcierz permutcji identycznościowej (6) jest mcierzą jednostkową: mt(e) = E = I (8) Dl grfu permutcji (8) odwrotnej do f odpowiedni mcierz m postć: mt ( f ) =. Porównując () z (9) możn zuwżyć, że: mt(f ) = (mt(f )) T = F T. (4) Wynik to z fktu, że grfy permutcji dnej orz permutcji odwrotnej mją łuki skierowne przeciwnie, co przejwi się we wzjemnej trnspozycji ich mcierzy sąsiedztw. Jeżeli mcierze () i (9) zostną przez siebie pomnożone, to w wyniku otrzymuje się mcierz jednostkową: F T F = I. (4) Stąd wynik wniosek, że trnspozycj mcierzy permutcji f, będąc mcierzą permutcji odwrotnej jest odwrotnością mcierzy permutcji f: F T = F. (4).5 Włsności mcierzy permutcji Mcierz permutcji zbioru n-elementowego jest zero-jedynkową kwdrtową mcierzą, któr w kżdym wierszu i kżdej kolumnie zwier dokłdnie jedną jedynkę. Poz włsnością (4), zchodzą tkże inne włsności. I tk, dl i-tego wiersz możn zpisć: k (9) F ik F ik =. (4) 8

13 O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Tymczsem, dl wierszy różnych prmi: Fik F jk = dl i j (44) k włsności (4) i (44) możn skrótowo zpisć: F ik F jk = δ ij, (45) k gdzie δ ij jest deltą Kronecker (6). Dodtkowo, dl wyzncznik mcierzy permutcji zchodzi zleżność: det(f) = ±. (46) Dl permutcji przystej wyzncznik jest dodtni, dl permutcji nieprzystej ujemny..6 Grup permutcji Dl zbioru permutcji wrz z opercją ich skłdni, spełnione nstępujące wrunki: W zbiorze permutcji istnieje permutcj identycznościow, neutrln względem opercji mnożeni permutcji; Dl kżdej permutcji f istnieje permutcj odwrotn f ; Skłdnie permutcji jest opercją łączną; Zbiór permutcji jest zmknięty ze względu n opercję mnożeni permutcji: dl dowolnych dwóch permutcji f i g ich złożenie jest tkże permutcją. Ozncz to, że zbiór permutcji wrz z opercją ich skłdni jest grupą [,]. 4 RELACJA POMIĘDZY GRUPAMI OBROTÓW I PERMUTACJI Mcierz sąsiedztw grfu permutcji m włsności (45), (4) orz (46), identyczne jk włsności (5), (8) orz (9) mcierzy obrotu. Jeżeli rozwżć permutcję zbioru trzyelementowego, to tkże rozmir mcierzy będzie identyczny. Ozncz to, że kżd mcierz permutcji zbioru trzyelementowego jest jednocześnie mcierzą pewnego obrotu. W związku z tym możn zdć pytnie o wzjemne związki pomiędzy ukłdem odniesieni otrzymnym w wyniku permutcji jego osi, ukłdem otrzymnym w wyniku obrotu zdefiniownego mcierzą tej smej permutcji. Pojwi się jednk problem z różną interpretcją numerów wierszy orz kolumn w mcierzy permutcji i obrotu. Jedynk w i-tym wierszu i w j-tej kolumnie mcierzy permutcji ozncz, że w grfie istnieje łuk skierowny od węzł i do j. Ozncz to, że i-t oś ukłdu odniesieni w wyniku permutcji stł się osią j-tą: numery wierszy w mcierzy oznczją stre osie (przed permutcją), zś numery kolumn nowe 9

14 Zenon GNIAZDOWSKI osie (po permutcji). Tymczsem w mcierzy trnsformcji (zgodnie z Tb. ), numery wierszy oznczją osie nowe, zś numery kolumn oznczją osie stre. Aby to uzgodnić, nleży problem zmodyfikowć, formułując pytnie w nstępujący sposób: Jkie są wzjemne związki pomiędzy ukłdem odniesieni otrzymnym w wyniku permutcji jego osi, ukłdem otrzymnym w wyniku obrotu zdefiniownego trnspozycją mcierzy tej smej permutcji? 4. Permutcje osi ukłdu odniesieni Rozwż się permutcję osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni. Trzy osie możn opisć jko permutcje trzech liczb, i przypisnych odpowiednio osiom X, Y i Z. Zbiór -elementowy m!=6 permutcji, które są przedstwione w Tb. 5. Dl dnej permutcji opisnej w formie podstwowej i w formie cyklu nrysowno tkże jej grf orz przedstwiono mcierz sąsiedztw tego grfu, tkże wynik permutcji osi. W przedosttniej kolumnie pokzno wrtość wyzncznik mcierzy jko mirę przystości (równy ) lub nieprzystości (równy -) permutcji. Grf obrzuje, co się dzieje z osimi. Np. w wierszu 5 widć, że oś X stje się nową osią Z, zś oś Z nową osią X. Oś Y nie uleg zminie. Poniewż wyzncznik mcierzy równy jest -, ozncz to, że jest to permutcj nieprzyst. Przystość permutcji prowdzi do prwoskrętnego ukłd odniesieni, zś nieprzystość, do ukłdu lewoskrętnego. Tb. 5. Permutcje osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni L.p. Permutcj Permutcj w postci cyklu orz jej grf Mcierz permutcji Reprezentcj permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni Wyzncznik mcierzy permutcji Oznczenie. ()()() e (,,). 4

15 4 O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI. (,,) b 4. ()(,) - c 5. (,)() - d 6. (,)() - f 4. Obroty osi ukłdu odniesieni Rozwż się mcierze cosinusów kierunkowych opisujące obroty ukłdu odniesieni, otrzymne w wyniku trnspozycji mcierzy permutcji zbioru trzyelementowego. Mcierze te przedstwiono w drugiej kolumnie Tb. 6. Dl dnych mcierzy obrotu przedstwiono odpowidjącą im mcierz kątów pomiędzy osimi (kolumn trzeci). W kolumnie czwrtej przedstwiono skutki obrotu. W przedosttniej kolumnie pokzno wrtość wyzncznik mcierzy cosinusów kierunkowych. Przy dodtnim wyznczniku nie m zminy prwoskrętności ukłdu n jego lewoskrętność. Wyzncznik ujemny wskzuje te obroty, w wyniku których nstąpiło przejście od prwoskrętnego do lewoskrętnego ukłdu odniesieni.

16 4 Zenon GNIAZDOWSKI Tb. 6. Obroty ukłdu odniesieni L.p. Trnspozycj mcierzy permutcji jko mcierz cosinusów kierunkowych Kąty [stopnie] Reprezentcj trnsformcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni Wyzncznik mcierzy cosinusów Oznczenie e b c d f

17 O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI 4. Równowżność permutcji i obrotów N postwione wyżej pytnie dotyczące wzjemnego związku pomiędzy ukłdmi odniesieni otrzymnymi njpierw wyniku permutcji osi, potem w wyniku obrotu opisnego mcierzą będącą trnspozycją odpowiedniej mcierzy permutcji, odpowiedzi możn udzielić po nlizie wyników tych opercji przedstwionych w Tb. 5 orz Tb. 6. Pokzne tm wyniki wskzują, że w obydwu przypdkch uzyskno identyczne konfigurcje osi ukłdu odniesieni. Ozncz to, że relne skutki obydwu opercji są tożsme. Pozostje jeszcze sprwdzić, czy istnieją jkieś różnice lub podobieństw pomiędzy formlnym opisem obydwu opercji. W tym celu rozwż się skłdnie dwóch permutcji. Permutcj pierwsz oznczon jko, opisn jest mcierzą A. Permutcj drug oznczon jko b, opisn mcierzą B. N podstwie (6) orz (7), skłdnie obydwu permutcji możn opisć jko mnożenie mcierzy: b((i)) = b A B. (47) Z drugiej strony, rozwż się złożenie dwóch obrotów: njpierw obrotu odpowidjącego permutcji opisnego mcierzą A T, nstępnie obrotu odpowidjącego permutcji b opisnego mcierzą B T. N podstwie (6), wypdkowy obrót możn zpisć jko iloczyn B T A T. Tymczsem, poniewż mcierz obrotu jest trnspozycją mcierzy permutcji, to tkże trnspozycj wypdkowej mcierzy (47) skłdni dwóch permutcji powinn być mcierzą wypdkowego obrotu równowżnego złożeniu obrotów i b. Stąd tkże powinn zchodzić tożsmość: B T A T = (AB) T. (48) Poniewż n mocy prw lgebry liniowej tożsmość t jest prwdziw [5], dltego zchodzi nie tylko równowżność pomiędzy permutcją, obrotem opisnym trnspozycją mcierzy permutcji, lecz tki sm związek zchodzi pomiędzy złożeniem dwóch obrotów, obrotem opisnym jko trnspozycj mcierzy będącej mcierzą wypdkową złożeni tych permutcji. N rozwżny problem możn spojrzeć jeszcze inczej. Poniewż permutcje zbioru trzyelementowego wrz z opercją ich skłdni są grupą, to przyjmując oznczeni jk w osttniej kolumnie Tb. 5, możn zbudowć tbelkę dziłń dl tej grupy. Anlogicznie możn postąpić z obrotmi opisywnymi w Tb. 6. Przy oznczenich jk w osttnich kolumnch Tb. 5 i Tb. 6 otrzymuje się tbelkę dziłń wspólną dl obydwu grup, przestwioną w Tb. 7. Tbelk t pokzuje, że grup permutcji osi ukłdu odniesieni i grup obrotów ukłdu odniesieni opisnych jko trnspozycje Dodtkowo możn zuwżyć, że permutcje przyste (obroty niepowodujące zminy prwoskrętności ukłdu odniesieni) oznczone jko e, orz b, sme tworzą grupę będącą podgrupą omwinych tu permutcji (obrotów). 4

18 Zenon GNIAZDOWSKI mcierzy permutcji są wzjemnie izomorficzne. Izomorfizm ten wynik z twierdzeni Cyley [], mówiącego o tym, że kżd grup skończon (tu: rozwżn grup obrotów opisnych trnspozycją mcierzy permutcji) jest izomorficzn z podgrupą pewnej grupy permutcji (tu: grup permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni). Możn powiedzieć, że izomorfizm jest widoczny nie tylko n poziomie opercji mcierzowych, lecz tkże n poziomie tbelki dziłń dl grup (tb. Cyley). Obydw te uzsdnieni dotyczą strony formlnej zgdnieni. Jk widć równowżności ich formlnego opisu towrzyszy równowżność skutków obydwu opercji. Tb. 7. Tbelk dziłń dl grup z Tb. 5 i Tb. 6 5 DYSKUSJA e b c d f e e b c d f b e f c d b b e d f c c c d f e b d d f c b e f f c d b e W prcy przenlizowno włsności mcierzy opisującej obrót krtezjńskiego ukłdu odniesieni i mcierzy permutcji. Stwierdzono, że włsności te są identyczne, co ozncz, ze mcierz permutcji jest jednocześnie pewną mcierzą obrotu. Wobec tego pojwiło się pytnie, w jkim stopniu różnią się bądź są podobne ukłdy odniesieni otrzymne njpierw w wyniku permutcji osi, potem w wyniku obrotu opisnego mcierzą będącą trnspozycją odpowiedniej mcierzy permutcji. Dl znlezieni odpowiedzi n to pytnie, zbdno wszystkie permutcje osi (Tb. 5) orz odpowidjące im obroty (Tb. 6). W obydwu przypdkch uzyskno identyczne konfigurcje osi ukłdu odniesieni. W prcy pokzno tkże, że n poziomie opisu mtemtycznego zobserwown identyczność m swoje potwierdzenie zrówno w opisie lgebricznym jk i w opisie w postci tbelki dziłń dl grup (Tb. 7). W ten sposób stwierdzono, że odpowiedni grup permutcji jest izomorficzn z odpowiednią grupą obrotów. Powyższy izomorfizm jest wyjśniony przez twierdzenie Cyley. Dl zbioru n-elementowego, liczb różnych permutcji tego zbioru wynosi n!. Permutcje te są reprezentowne przez n! różnych mcierzy. Dl zbioru trzyelementowego liczb mcierzy reprezentujących permutcje redukuje się do sześciu. Mcierz permutcji m chrkter mcierzy relcyjnej, n zsdzie: zchodzi związek lub nie. 44

19 O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI W odniesieniu do wybrnych osi krtezjńskiego ukłdu współrzędnych możn to wyrzić w nstępujący sposób: oś i-t stje się osią j-tą lub nie. Tymczsem, mcierz obrotu m inną interpretcję. Zwier on cosinusy kątów między osimi. Wszystkich możliwych mcierzy obrotu jest nieskończenie wiele (continuum). W omwinym przypdku rozwż się tylko pewien skończony (sześcioelementowy) podzbiór tych mcierzy. Zbiory sześciu mcierzy kwdrtowych o rozmirze reprezentują zrówno permutcje zbioru trzyelementowego (problem dyskretny) jk i obrót krtezjńskiego ukłdu odniesieni (problem o chrkterze ciągłym). Mcierze w obydwu zbiorch z dokłdnością do trnspozycji są identyczne. Różn jest ich ntur. Te identyczne mcierze w wyniku permutcji orz odpowidjących im obrotów dją identyczne konfigurcje ukłdów odniesieni. Otwrte pozostje pytnie, dlczego pomimo różnej ntury, wspomnine mcierze wyrżją to smo? Dlczego efekt permutcji osi ukłdu odniesieni jest identyczny jk efekt obrotu ukłdu odniesieni opisnego trnspozycją mcierzy permutcji? Odpowiedź n to pytnie wykrcz poz zkres niniejszej prcy, rczej wymg kompetencji filozoficznych. Pod dyskusję możn poddć jeszcze jedno spojrzenie n bdny problem. Jest to spojrzenie od strony język. Opisny izomorfizm przedstwi formlną równowżność pomiędzy opisem permutcji i odpowiednich obrotów. Równowżność tę n poziomie język możn nzwć równowżnością syntktyczną. Tymczsem, zchodzi tkże równowżność skutków obydwu opercji (permutcji i obrotów), więc zchodzi zgodność tych opercji n poziomie treści język, czyli jego semntyki. Ztem możn powiedzieć, że twierdzenie Cyley wyjśni równowżność syntktyczną. Niestety, dl równowżności semntycznej brkuje wyjśnieni. Wygląd n to, że ten typ równowżność mógłby być wyjśniny n gruncie filozofii. Pojwi się tkże kolejne pytnie, dotyczące możliwości uogólnieni przedstwionych wyżej wyników n dowolny wymir przestrzeni. W prcy pokzno równowżność permutcji i odpowiednich obrotów dl przestrzeni trójwymirowej. Nleży postwić pytnie, czy tkże w przestrzeni pond trzywymirowej, pomiędzy permutcjmi odpowiednimi przeksztłcenimi ortogonlnej bzy, zchodzą stosowne równowżności? Powyższy problem wychodzi poz zkres niniejszej prcy, dltego powinien być osobno zbdny. Litertur. Gleichgewicht B.: Elementy lgebry bstrkcyjnej. PZWS, Wrszw 966. Ross K.A., Wright C.R.B.: Mtemtyk Dyskretn, PWN, Wrszw. Steen L. A., Red.: Mtemtyk współczesn. Dwnście esejów. WNT, Wrszw Nye J. F.: Włsności fizyczne krysztłów w ujęciu tensorowym i mcierzowym, PWN, Wrszw Kiełbsiński A., Schwetlick H.: Numeryczn lgebr liniow, WNT, Wrszw 99 45

20 46

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012 mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

GRAFY i SIECI. Graf: G = ( V, E ) - para uporządkowana

GRAFY i SIECI. Graf: G = ( V, E ) - para uporządkowana GRAFY podstwowe definicje GRAFY i SIECI Grf: G = ( V, E ) - pr uporządkown V = {,,..., n } E { {i, j} : i j i i, j V } - zbiór wierzchołków grfu - zbiór krwędzi grfu Terminologi: grf = grf symetryczny,

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne Po nieco intuicyjnych początkch, zjmiemy się obiektmi, n których opier się progrmownie są to zmienne. Zmienne Progrmy operują n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni.

Bardziej szczegółowo

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa.

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa. 1. Pirmidiotologi. W obfitej literturze przedmiotu podje się, że pirmid Ceops, lub też z ngielsk Wielk Pirmid (te Gret Pyrmid), zwier w swej konstrukcji pełną i szczegółową istorię rodzju ludzkiego od

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne: W progrmie operuje się n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni. Interpretcj tej instrukcji jest nstępując: zmiennej znjdującej się z lewej strony instrukcji podstwieni

Bardziej szczegółowo

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne

Bardziej szczegółowo

Gramatyki regularne i bezkontekstowe. Spis treści. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu.

Gramatyki regularne i bezkontekstowe. Spis treści. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Osob prowdząc wykłd i ćwiczeni: dr inż. Mrek werwin Instytut terowni i ystemów Informtycznych Uniwersytet Zielonogórski e-mil : M.werwin@issi.uz.zgor.pl tel. (prc) : 68 328 2321, pok. 328 A-2, ul. prof.

Bardziej szczegółowo

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ ADANIE ZAEŻNOŚCI PRZENIKANOŚCI MAGNETYCZNEJ FERRIMAGNETYKÓW OD TEMPERATURY 1. Teori Włściwości mgnetyczne sstncji chrkteryzje współczynnik przeniklności mgnetycznej. Dl próżni ten współczynnik jest równy

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Gry czasowe. Tadeusz Radzik (Wrocław) (artykuł wspomnieniowy o prof. Stanisławie Trybule)

Gry czasowe. Tadeusz Radzik (Wrocław) (artykuł wspomnieniowy o prof. Stanisławie Trybule) MATEMATYKA STOSOWANA TOM 11/52 2010 Tdeusz Rdzik (Wrocłw) Gry czsowe (rtykuł wspomnieniowy o prof. Stnisłwie Trybule) Streszczenie. Prc jest rtykułem wspomnieniowym o prof. Stnisłwie Trybule. Wprowdz on

Bardziej szczegółowo

Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych

Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych Edwrd Musił Oddził Gdński SEP Zokrąglnie i zpisywnie wyników obliczeń przybliżonych Inżynier wykonuje nieml wyłącznie obliczeni przybliżone i powinien mieć nieustnnie n względzie dokłdność, jką chce uzyskć

Bardziej szczegółowo

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10 Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:

Bardziej szczegółowo

Topologia i podzbiory,

Topologia i podzbiory, Jest to tekst związny z odczytem wygłoszonym n XLV Szkole Mtemtyki Poglądowej, Co mi się podo, Jchrnk, sierpień 2010, z który utor otrzymł Medl Filc. Topologi i podziory, czyli histori jednego twierdzeni

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU ETI POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 5 Seria: Technologie Informacyjne 2007 ZASTOSOWANIA TRÓJKĄTNYCH PŁYTEK W GRAFICE KOMPUTEROWEJ

ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU ETI POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 5 Seria: Technologie Informacyjne 2007 ZASTOSOWANIA TRÓJKĄTNYCH PŁYTEK W GRAFICE KOMPUTEROWEJ ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU ETI POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 5 Seri: Technologie Informcyjne 007 Tomsz Dobrowolski Ktedr Algorytmów i Modelowni Systemów Politechnik Gdńsk ZASTOSOWANIA TRÓJKĄTNYCH PŁYTEK W GRAFICE

Bardziej szczegółowo

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowni i Systemów Informtycznych Teoretyczne Podstwy Informtyki List 4 Deterministyczne i niedeterministyczne utomty Wprowdzenie Automt skończony jest modelem mtemtycznym

Bardziej szczegółowo

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie

Prosta metoda sprawdzania fundamentów ze względu na przebicie Konstrkcje Elementy Mteriły Prost metod sprwdzni fndmentów ze względ n przebicie Prof dr b inż Micł Knff, Szkoł Główn Gospodrstw Wiejskiego w Wrszwie, dr inż Piotr Knyzik, Politecnik Wrszwsk 1 Wprowdzenie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Akdemi órniczo-hutnicz im. Stnisłw Stszic w Krkowie Wydził Elektrotechniki, Automtyki, Informtyki i Inżynierii Biomedycznej Ktedr Elektrotechniki i Elektroenergetyki Rozprw Doktorsk Numeryczne lgorytmy

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU oprcowny n podstwie: Wewnątrzszkolnego Systemu Ocenini w II Liceum Ogólnoksztłcącym im. M. Konopnickiej

Bardziej szczegółowo

Zadania do rozdziału 7.

Zadania do rozdziału 7. Zdni do ozdziłu 7. Zd.7.. wiezchołkch kwdtu o okch umieszczono ednkowe łdunku. Jki łdunek o znku pzeciwnym tze umieścić w śodku kwdtu y sił wypdkow dziłąc n kżdy łdunek ył ówn zeu? ozwiąznie: ozptzmy siły

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia z geometrii płaszczyzny. Danuta Zaremba

Wybrane zagadnienia z geometrii płaszczyzny. Danuta Zaremba Wybrne zgdnieni z geometrii płszczyzny Dnut Zremb Wstęp Publikcj t powstł z myślą o studentch, którzy chcą zdobyć uprwnieni do nuczni mtemtyki w szkole. Zwier on nieco podstwowych widomości z geometrii

Bardziej szczegółowo

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję: YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą

Bardziej szczegółowo

Badanie regularności w słowach

Badanie regularności w słowach Przypdek sekwencyjny Mrcin Piątkowski Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Mikołj Kopernik Edsger Wybe Dijkstr (1930 2002) Computer science is no more bout computers thn stronomy is bout telescopes,

Bardziej szczegółowo

2. Tensometria mechaniczna

2. Tensometria mechaniczna . Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 Wyznaczanie ogniskowych soczewek

Ćwiczenie 42 Wyznaczanie ogniskowych soczewek Ćwiczenie 4 Wyzncznie ogniskowych soczewek Wstęp teoretyczny: Krzyszto Rębils. utorem ćwiczeni w Prcowni izycznej Zkłdu izyki Uniwersytetu Rolniczego w Krkowie jest Józe Zpłotny. ZJWISK ZŁMNI ŚWITŁ Świtło,

Bardziej szczegółowo

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Nottki do temtu Metody poszukiwni rozwiązń ednokryterilnych problemów decyzynych metody dl zgdnień liniowego progrmowni mtemtycznego Liniowe

Bardziej szczegółowo

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich

Bardziej szczegółowo

Samouczek Metody Elementów Skończonych dla studentów Budownictwa

Samouczek Metody Elementów Skończonych dla studentów Budownictwa Grzegorz Dzierżnowski Mrt Sitek Smouczek Metody Elementów Skończonych dl studentów Budownictw Część I Sttyk konstrukcji prętowych OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ WARSZAWA 2012 Preskrypt n

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej

Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej Gimnzjum n 17 im. Atu Gottge w Kkowie ul. Litewsk 34, 30-014 Kków, Tel. (12) 633-59-12 Justyn Więcek, Atu Leśnik Znjdownie nlogii w geometii płskiej i pzestzennej opiekun pcy: mg Doot Szczepńsk Kków, mzec

Bardziej szczegółowo

2.3.1. Iloczyn skalarny

2.3.1. Iloczyn skalarny 2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi

Bardziej szczegółowo

mgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej,

mgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej, Wykłd z fizyki. Piot Posmykiewicz 49 6-4 Enegi potencjln Cłkowit pc wykonn nd punktem mteilnym jest ówn zminie jego enegii kinetycznej. Często jednk, jesteśmy zinteesowni znlezieniem pcy jką sił wykonł

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie

Bardziej szczegółowo

O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH

O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH DECYZJE nr 1 czerwiec 2004 37 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Krzysztof Jjug Akdemi Ekonomiczn we Wrocłwiu Wprowdzenie modele teorii finnsów Teori finnsów, zwn również ekonomią finnsową, jest jednym

Bardziej szczegółowo

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/00 Elementy podstwowe symbol dodtkowy element grficzny kolorystyk typogrfi Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/01 Elementy podstwowe /

Bardziej szczegółowo

Zbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym

Zbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym Zior rozmte Teori i zstosowni we wniosowniu prosmcjnm PODSTWOWE POJĘCI Motwcje Potrze opisni zjwis i pojęć wielozncznch i niepreczjnch użwnch swoodnie w jęzu nturlnm np. wso tempertur młod człowie średni

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z matematyki

Plan wynikowy z matematyki ln wynikowy z mtemtyki Dl kls 1-3 liceum ogólnoksztłcącego i 1-4 technikum sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym i rozszerzonym Oznczeni: wymgni konieczne, wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni

Bardziej szczegółowo

Aparatura sterująca i sygnalizacyjna Czujniki indukcyjne zbliżeniowe LSI

Aparatura sterująca i sygnalizacyjna Czujniki indukcyjne zbliżeniowe LSI Aprtur sterując i sygnlizcyjn Czujniki indukcyjne zbliżeniowe LSI Czujnik indukcyjny zbliżeniowy prcuje n zsdzie tłumionego oscyltor LC: jeżeli w obszr dziłni dostnie się metl, to z ukłdu zostje pobrn

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA WNIOSEK:. NUMER KONKURSU 2/POKL/8.1.1/2010 TYTUŁ PROJEKTU:... SUMA KONTROLNA

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +

Bardziej szczegółowo

2. Funktory TTL cz.2

2. Funktory TTL cz.2 2. Funktory TTL z.2 1.2 Funktory z otwrtym kolektorem (O.. open olletor) ysunek poniżej przedstwi odnośny frgment płyty zołowej modelu. Shemt wewnętrzny pojedynzej rmki NAND z otwrtym kolektorem (O..)

Bardziej szczegółowo

5. Zadania tekstowe.

5. Zadania tekstowe. 5. Zni tekstowe. Przykł. Kolrz połowę rogi pokonł ze śrenią prękością 0 km/, rugą połowę z prękością 50 km /. Wyzncz śrenią prękość kolrz n cłej trsie. nliz : pierwsz połow rogi rug połow rogi 0 km/ prękość

Bardziej szczegółowo

smoleńska jako nierozwiązywalny konflikt?

smoleńska jako nierozwiązywalny konflikt? D y s k u s j smoleńsk jko nierozwiązywlny konflikt? Wiktor Sorl Michł Bilewicz Mikołj Winiewski Wrszw, 2014 1 Kto nprwdę stł z zmchmi n WTC lub z zbójstwem kżnej Diny? Dlczego epidemi AIDS rozpowszechnił

Bardziej szczegółowo

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale Trójkąt Pscl od kuchni Kls 1 Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnym i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle ul. Ks.St.Połetk 32 32-043 Skł Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU

PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU Oprcowny n podstwie: 1. Rozporządzeni ministr edukcji nrodowej z dni 10.06.2015 roku w sprwie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych z przedmiotu matematyka w PLO nr VI w Opolu

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych z przedmiotu matematyka w PLO nr VI w Opolu MATEMATYKA Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych z przedmiotu mtemtyk w PLO nr VI w Opolu Zkres podstwowy WyróŜnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

załącznik nr 3 do uchwały nr V-38-11 Rady Miejskiej w Andrychowie z dnia 24 lutego 2011 r.

załącznik nr 3 do uchwały nr V-38-11 Rady Miejskiej w Andrychowie z dnia 24 lutego 2011 r. złącznik nr 3 do uchwły nr V-38-11 Rdy Miejskiej w Andrychowie z dni 24 lutego 2011 r. ROZSTRZYGNIĘCIE O SPOSOBIE ROZPATRZENIA UWAG WNIESIONYCH DO WYŁOŻONEGO DO PUBLICZNEGO WGLĄDU PROJEKTU ZMIANY MIEJSCOWEGO

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL Złącznik nr 5 Krt oceny merytorycznej Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu innowcyjnego testującego skłdnego w trybie konkursowym w rmch PO KL NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA

Bardziej szczegółowo

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ROZWIAZANIAMI Dodjąc( bądź odejmując) do siebie dw wektory (lub więcej), dodjemy (bądź odejmujemy) ich odpowiednie współrzędne

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk

Bardziej szczegółowo

Racjonalne oczekiwania w polityce podatkowej możliwości aplikacji

Racjonalne oczekiwania w polityce podatkowej możliwości aplikacji Jnusz Kudł Uniwersytet Wrszwski Rcjonlne oczekiwni w polityce podtkowej możliwości plikcji Wprowdzenie Jednym z njwżniejszych problemów polityki podtkowej jest ogrniczenie zjwisk nieleglnego unikni podtków.

Bardziej szczegółowo

Anna Malarska. statystyczna analiza danych. wspomagana programem SPSS

Anna Malarska. statystyczna analiza danych. wspomagana programem SPSS Ann Mlrsk sttystyczn nliz dnych wspomgn progrmem SPSS SPSS Polsk Krków 2005 Sttystyczn nliz dnych wspomgn progrmem SPSS 1.2 Grficzne formy prezentcji dnych 1.2.1 Wykres słupkowy, histogrm Częstości relizcji

Bardziej szczegółowo

Pakiet aplikacyjny. Niniejszy pakiet zawiera informacje, które musisz posiadać zgłaszając swoją kandydaturę. Zawiera on:

Pakiet aplikacyjny. Niniejszy pakiet zawiera informacje, które musisz posiadać zgłaszając swoją kandydaturę. Zawiera on: Pkiet plikcyjny Stnowisko: Nr referencyjny: Specjlist ds. interwencji ekologicznych CON/2011/01 Niniejszy pkiet zwier informcje, które musisz posidć zgłszjąc swoją kndydturę. Zwier on: List do kndydtów

Bardziej szczegółowo

INTELIGENTNE STEROWANIE RUCHEM ROBOTA MANIPULACYJNEGO Z WIĘZAMI GEOMETRYCZNYMI

INTELIGENTNE STEROWANIE RUCHEM ROBOTA MANIPULACYJNEGO Z WIĘZAMI GEOMETRYCZNYMI MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 5 ISSN 1896-771X INTELIGENTNE STEROWANIE RUCHEM ROBOTA MANIPULACYJNEGO Z WIĘZAMI GEOMETRYCZNYMI Piotr Gierlk 1 Mgdlen Mszyńsk 1b 1 Ktedr Mechniki Stosownej i Robotyki Politechnik

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik nr 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: POKL.05.02.01 00../..

Bardziej szczegółowo

Przygotowanie kart RUP

Przygotowanie kart RUP Przygotownie krt RUP Bnk Gospodrstw Krjowego, Al. Jerozolimskie 7, 00-955 Wrszw Stron nr 1 z 18 Spis Treści 1. WPROWADZENIE... 3 2. PRZYGOTOWANIE KART RUP... 3 2.1 KARTA RUP_L_0151 Depozyt do sygntury

Bardziej szczegółowo

Równania nieliniowe. x i 1

Równania nieliniowe. x i 1 MN 08 Równni nieliniowe Wprowdzenie Podstwowe pytni 1. Pytnie: Czy komputer umie rozwiązywć równni nieliniowe f(x) = 0? Odpowiedź (uczciw): nie. 2. P: To jk on to robi? O: Dokłdnie tk, jk przy cłkowniu

Bardziej szczegółowo

Pakiet aplikacyjny. Specjalista ds. rozliczeń i administracji [Pomorze] ADM/2011/01

Pakiet aplikacyjny. Specjalista ds. rozliczeń i administracji [Pomorze] ADM/2011/01 Pkiet plikcyjny Stnowisko: Nr referencyjny: Specjlist ds. rozliczeń i dministrcji [Pomorze] ADM/2011/01 Niniejszy pkiet zwier informcje, które musisz posidć zgłszjąc swoją kndydturę. Zwier on: List do

Bardziej szczegółowo

Grafy hamiltonowskie, problem komiwojażera algorytm optymalny

Grafy hamiltonowskie, problem komiwojażera algorytm optymalny 1 Grfy hmiltonowski, problm komiwojżr lgorytm optymlny Wykł oprcowny n postwi książki: M.M. Sysło, N.Do, J.S. Kowlik, Algorytmy optymlizcji yskrtnj z progrmmi w języku Pscl, Wywnictwo Nukow PWN, 1999 2

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wirnikiem łożyskowanym magnetycznie w obróbce powierzchni n-falowych

Sterowanie wirnikiem łożyskowanym magnetycznie w obróbce powierzchni n-falowych Pomiry Automtyk Rootyk /5 Sterownie wirnikiem łożyskownym mgnetycznie w oróce powierzchni n-flowych Zdzisłw Gosiewski Arkdiusz Mystkowski * Przedstwiono wyniki dń n-flowego ruchu nieorcjącego się wirnik

Bardziej szczegółowo

KONSPEKT ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI. Temat: Do czego służą wyrażenia algebraiczne?

KONSPEKT ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI. Temat: Do czego służą wyrażenia algebraiczne? KONSPEKT ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI Temt: Do czego służą wyrżeni lgebriczne? Prowdzący: Agnieszk Smborowicz Liczb jednostek lekcyjnych: 1 2 (w zleżności od zespołu) Cele ogólne Utrwlenie widomości

Bardziej szczegółowo