Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wprowadzenie: Do czego służą wektory?"

Transkrypt

1 Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny lot rys.. Mimo że trjektori lotu nie jest tką okrągłą strzłką tki sposó pokzni przemieszczeni jest rdzo wygodny. Rysunek włoskiej -letniej dziewczynki pokzuje skok przez przeszkodę. Z pomocą przerywnej linii dziewczynk pokzł że w njwyższym punkcie skoku prędkość jest poziom. Rysunek -letniego Kmil z Brzegu ilustruje zderzenie dwóch piłek. Mimo że n wykłdzie ył pokzny tylko eksperyment młody słuchcz pokzł zderzenie z pomocą strzłek. Dorosły student przypisły tym strzłkom znczenie pędu który wymieniją piłki w trkcie zderzeni. Niektóre wielkości fizyczne ( jest ich rdzo wiele) wrto opisć z pomocą tego rodzju strzłek. Wielkości te oprócz wrtości mją kierunek i punkt zczepieni n mpie połączeń lotniczych jest to punkt wylotu n rysunku skoku - środek ciężkości tlety. Dl ścisłości kierunkiem nzywmy kierunek zderzeni w pionie zwrotem zznczmy czy piłk odskoczył w górę czy w dół ( dl smolotu lot tm czy powrót ). Dl odminy słupek rtęci ( rczej lkoholu) w termometrze stoi zzwyczj nieruchomo (lu rośnie le powoli) więc nie zznczmy jego kierunku. Temperturę fizycy nzywją sklrem. Sklrem jest też ilość pieniędzy n koncie (lu deet). Resumując wektory w fizyce mją cztery wielkości: wrtość - kierunek - zwrot - punkt przyłożeni. Zdni:. Określ wrtość kierunek (kąt do poziomu) zwrot (np. w lewo w górę ) i punkt przyłożeni (współrzędne tego punktu) nieieskich wektorów n rysunkch. Jednostk miry jest podn n rysunkch.

2 . Sum wektorów Wektory się sumują le to sumownie musi uwzględnić ich kierunek i zwrot jk n przykłdzie dwóch sił poniżej. (Przykłdy z Toruńskiego poręcznik do fizyki UMK.) Rozwżmy inny przypdek dwóch holowników które ciągną ciężki tnkowiec (zo. rys..). Kżdy z holowników ciągnie w nieco innym kierunku le tnkowiec płynie prosto przed sieie. Dlczego? Mówimy że dwie siły się skłdją i dją siłę sumryczną zwną też po polsku wypdkową. F F w F Rys... Dw holowniki ciągną tnkowiec. Kżdy z holowników dził siłą o wrtości F (nieieskie strzłki) le nieco pod innym kątem od osi tnkowc. Z tego powodu wypdkow sił F w dziłjąc n tnkowiec zznczon kolorem czerwonym m wrtość nieco mniejszą od F. Wektorem jest również prędkość. Rozwżmy przykłd łódki płynącej w poprzek rzeki. Wioślrz wiosłuje ile sił le łódk i tk jest znoszon z prądem. Wypdkowy kierunek ruchu ędzie złożeniem prędkości włsnej łódki (to znczy prędkości jką miły łódk n stojącej wodzie) i prędkości prądu rzeki zocz rys..9. Mówimy że wypdkowy wektor prędkości jest sumą prędkości skłdowych. Sposó n sumownie wektorów jest pokzny n rysunkch...

3

4

5 . Wektor w ukłdzie współrzędnych Przykłd z rysunku. wskzuje że wygodnie jest przedstwić wektory w ukłdzie współrzędnych zznczjąc punkt początkowy np. o współrzędnych () i B (). Wektor nieieski n rysunku skierowny jest w lewo w górę. y opisć to mtemtycznie policzmy że wzdłuż osi OX jest to przesunięcie o w lewo (czyli o minus ) i + wzdłuż osi OY. Wektorowi B przypisujemy więc współrzędne [- ]. Jk oliczmy współrzędne wektor? Tk jk to zroiliśmy n rysunku powyżej: od współrzędnych końc wektor czyli punktu B() odejmujemy współrzędne początku wektor czyli () B = [- -]=[ -] Innymi słowy B= [ ] = [x B -x y B -y ].. Wektor swoodny Opisując wektor z pomocą jego współrzędnych dokonliśmy sporego uogólnieni: zpominmy że wektor m punkt zczepieni. Jest to rdzo przydtne również w fizyce. Prąd n Wiśle w Toruniu jest wszędzie tki sm: z lew n prwo (ptrząc ze Strego Mist). I mewy n krze i łódk znoszone są zwsze z tką smą prędkością dryfu. W dlszej części tego kursu ędziemy trktowć wektory jko wektory swoodne czyli po prostu uporządkowną prę licz. Pr t określ kierunek zwrot i wrtość wektor.

6 Wektory możn zpisywć w postci stndrdowo stosownej w geometrii: OP =. Możn tkże używć zpisu mcierzowego: OP = =. Wektor jest wówczs trktowny jk mcierz skłdjąc się z jednej kolumny. Mcierzą nzywmy prostokątną tlicę o m wierszch i n kolumnch postci: n n m m mn gdzie ij nzywny elementem mcierzy jest liczą. Liczę wierszy m i liczę kolumn n mcierzy nzywmy jej wymirem i oznczmy mn. W przestrzeni trójwymirowej kżdy punkt opisywny jest z pomocą trzech współrzędnych. Ztem wektor w tkiej przestrzeni tkże opisny jest z pomocą trzech współrzędnych. Definicj. Wektorem w przestrzeni trójwymirowej nzywmy uporządkowną trójkę licz ( c). Liczy te nzywmy współrzędnymi wektor. Jeżeli początkiem wektor jest punkt O o współrzędnych (x y z ) końcem punkt P o współrzędnych (x y z ) to wektor możn zpisć w postci: = gdzie = x x = y y c = z z. c Definicj. Długością wektor nzywmy pierwistek z sumy kwdrtów jego współrzędnych. Długość wektor oznczmy symolem. W przypdku wektor n płszczyźnie wektor OP jest przeciwprostokątną trójkąt prostokątnego którego przyprostokątne mją długości odpowiednio i. Z twierdzeni Pitgors wynik więc że OP wektor w przestrzeni trójwymirowej. Przykłd. Oliczyć długości wektorów: ) =. Podoną zleżność możn wyprowdzić dl

7 ) = 9 Rozwiąznie ) 9 ) ( ) 9 9 Przykłd. Dne są punkty P ( -) i P (- 7). Oliczyć współrzędne i długości wektorów P P orz P P. Rozwiąznie 9 ) ( 7 P P 9 9 ) ( P P 9 7 ) ( P P 9 9) ( ) ( P P

8 . Podstwowe dziłni n wektorch Podmy definicje i włsności dziłń n wektorch w przestrzeni dwuwymirowej. Dziłni w przestrzeni trójwymirowej definiowne są nlogicznie i mją nlogiczne włsności. Definicj. Mówimy że wektory o tych smych wymirch = n i = n są równe = wtedy i tylko wtedy gdy i = i dl i = n. Definicj. Sumą wektorów o tych smych wymirch = n i = n nzywmy wektor c tki że c = + = n n. Różnicą wektorów o tych smych wymirch = n i = n nzywmy wektor c tki że c = - = n n. Iloczynem wektor = n przez stłą k nzywmy wektor c tki że c = k = k n k. Definicj. n wymirowym wektorem zerowym nzywmy wektor =.

9 Definicj.7 Wektorem przeciwnym do wektor = n nzywmy wektor - = n. Zchodzą nstępujące włsności. ) + = + ) + ( + c) = ( + ) + c c) + = d) + (-) =. Definicj. Dw niezerowe wektory i mją ten sm kierunek jeśli istnieje tk niezerow licz k że = k. Jeśli pondto: k > to wektory te mją ten sm zwrot k < to wektory te mją zwrot przeciwny. Przykłd. Niech = =. Znjdź: ) + ) c) (/). Rozwiąznie ) ) ( ) 9 c) 9 Definicj.9 Wersorem nzywmy wektor którego długość jest równ.

10 Szczególnie przydtne w dziłnich n wektorch są wersory związne z osimi krtezjńskiego ukłdu współrzędnych. W przestrzeni dwuwymirowej są to wektory i orz j ntomist w przestrzeni trójwymirowej i j orz k. Kżdy wektor możn przedstwić w postci komincji liniowej odpowiednich wersorów. Przykłd. Zpisć wektory i w postci komincji liniowej odpowiednich wersorów. j i k j i Widć stąd że współrzędne wektor są zrzem współczynnikmi tworzącej ten wektor komincji liniowej wersorów.. Iloczyn sklrny wektorów. Definicj. Niech = n i = n. Iloczynem sklrnym wektorów i o tych smych wymirch nzywmy: = t = n n = n n. Z powyższej definicji wynik że iloczyn sklrny dwóch wektorów jest liczą.

11 Niektóre włsności iloczynu sklrnego: Niech i c ędą wektormi i niech k ędzie liczą. Zchodzą nstępujące włsności: ) = ) = c) ( + c) = + c d) (k ) = k ( ) = (k) e) = = Iloczyn sklrny jest często wykorzystywny do znjdowni kąt zwrtego miedzy wektormi. y Definicj. Niech i ędą wektormi niezerowymi zczepionymi w jednym punkcie. Kątem między wektormi i nzywmy mniejszy z kątów wyznczonych przez te wektory. (x y ) B(x y ) N rysunku. kąt miedzy wektormi i oznczony jest symolem. O Rys.. x Twierdzenie. Jeśli jest kątem miedzy niezerowymi wektormi i to: = cos Dowód: Jeśli k o znczy jeśli wektory i nie są równoległe to mmy sytucję przedstwioną n rys... Stosując twierdzenie cosinusów do trójkąt OB otrzymujemy: B = + - cos. Ztem podstwijąc współrzędne poszczególnych wektorów otrzymujemy: (x x ) + (y y ) = x + y + x + y - cos. Po podniesieniu nwisów do kwdrtu i zredukowniu mmy: - x x - y y = - cos co po podzieleniu przez (-) dje udowdniną równość. Z powyższego twierdzeni wynikją wżne wnioski.

12 Wniosek. Jeśli jest kątem miedzy niezerowymi wektormi i to: cos Wniosek. Dw niezerowe wektory i są ortogonlne wtedy i tylko wtedy gdy =. Przykłd. Sprwdzić ortogonlność wektorów: ) i ) i 7 Rozwiąznie ) = + (-) (-) = + =. Wektory nie są ortogonlne. ) = (-) + + (-7) = - + =. Wektory są ortogonlne. Q Q S P R P S R Rys.. Jeśli wektory PQ i PR są zczepione w tym smym punkcie i jeśli punkt S jest rzutem ortogonlnym punktu Q n prostą wyznczoną przez punkty P i R to sklr PQ cos

13 ędziemy nzywli komponentem wektor PQ wzdłuż PR. Zuwżmy że PQ cos jest dodtni jeśli < / lu ujemny jeśli / <. Dl = / komponent jest równy. Zuwżmy że PQ PR PQ cos Wzór ten możn zstosowć do oliczni wrtości PR prcy wykonnej przez siłę dziłjącą pod kątem do kierunku ruchu przesuwnego cił. Złóżmy że mmy do czynieni z sytucją przedstwioną w pierwszej części rysunku. tzn. sił PQ przyłożon jest w punkcie P i powoduje przesunięcie tego punktu o wektor PR. Wektor PQ jest sumą wektorów PS i SQ wektor SQ jko prostopdły do kierunku przesunięci nie wpływ n przesunięcie punktu P. Wykonn prc może więc yć zpisn w postci : W = gdzie PS PR PS PQ cos. Stąd W Ztem PQ PR cos PQ PR Twierdzenie. Prc wykonn przez stłą siłę PQ któr spowodowł przesunięcie punktu przyłożeni siły o wektor PR jest równ iloczynowi sklrnemu wektorów PQ i PR W PQ PR. Przykłd... Oliczyć prcę wykonną przez tę siłę podczs przesuwni pewnego cił z punktu P( - ) do punktu R( -). Wrtość i kierunek stłej siły wyrżone są z pomocą wektor t Rozwiąznie. Njpierw oliczmy współrzędn wektor PR. Otrzymujemy PR = [ -] t. Zgodnie z twierdzeniem. wrtością prcy jest: PR = + + (-) =. Jeśli przesunięcie wyrżone yło w metrch sił w niutonch to jednostką prcy jest dżul. Możemy więc powiedzieć że wykonn zostł prc W = J.

14 . Iloczyn wektorowy. Definicj. Niech i j orz k. Iloczynem wektorowym wektorów = i + j + k orz = i + j + k nzywmy wektor k j i.= ( )i ( )j + ( )k Skrótowo możn iloczyn wektorowy zpisć w postci wyzncznik: k j i. Poniżej podno też metodę Srrus oliczeni tkiego wyzncznik. Prktyczne zstosownie w rozwiązniu zdni n str.. Przykłd. Znleźć jeśli = [ - ] t i = [- ] t. Rozwiąznie k j i k j i = (- )i - ( + )j + ( )k = -i j + 7k = [- - 7] t. Metod Srrus Wyzncznik trzeciego stopni możn oliczyć stosując skróconą metodę zwną metodą (regułą) Srrus. Metod t odnosi się tylko i wyłącznie do wyznczników stopni trzeciego. Poleg on n dopisniu pod odpowidjącą olicznemu wyzncznikowi mcierzą pierwszy potem drugi wiersz (lterntywą jest dopisnie po prwej stronie pierwszej nstępnie drugiej kolumny) przez co otrzymujemy nstępujący schemt: _ =

15 Twierdzenie. Wektor jest ortogonlny do wektorów i. Dowód: Wystrczy wykzć że ( ) = orz ( ) =. ( ) = ( ) - ( ) + ( ) = = =. Podonie dowodzimy że ( ) =. W interpretcji geometrycznej rys.. twierdzenie. pokzuje że jeśli wektory i zczepione są w jednym punkcie to iloczyn wektorowy jest wektorem prostopdłym do płszczyzny wyznczonej przez i. Jego zwrot wyznczony jest z pomocą reguły śruy prwoskrętnej: orcjąc wektor w stronę wektor zgodnie ze strzłką wyiermy zwrot wektor wskzny przez wkręcnie się śruy prwoskrętnej. Iloczyn wektorowy podonie jk sklrny może yć użyty do wyznczni kąt między wektormi. / Rys.. / Twierdzenie. Jeśli jest kątem między dwom niezerowymi wektormi i to = sin Z powyższego twierdzeni orz z włsności sin = wynik nstępujący wniosek. Wniosek. Niezerowe wektory i są równoległe wtedy i tylko wtedy gdy = Iloczyn wektorowy m nstępujące włsności. Twierdzenie. Jeśli i c są dowolnymi wektormi jest wektorem zerowym m jest sklrem to: ) = = ) = - c) (m) = m( ) = (m) d) ( + c) = ( ) + ( c) e) ( + ) c = ( c) + ( c) f) ( ) c = ( c) g) ( c) = ( c) ( )c.

16 Zstosowni. Twierdzenie. Pole równoległooku którego przyległymi okmi są wektory i jest równe P =. Dowód. Niech i ędą przyległymi okmi równoległooku niech ędzie kątem między nimi rys..7. Ze wzoru n pole równoległooku mmy: P = sin. Ztem zgodnie z twierdzeniem. y sin P =. Przykłd. Rys..7 x Oliczyć pole równoległooku którego kolejnymi wierzchołkmi są punkty o współrzędnych ( ) ( - ) i ( ). Rozwiąznie Mjąc trzy kolejne wierzchołki możemy utworzyć trzy równoległooki. Poniewż pole kżdego równoległooku jest równe podwojonemu polu trójkąt utworzonego przez trzy kolejne wierzchołki ztem pol tych równoległooków ędą jednkowe. Wystrczy wyliczyć pole jednego z nich np. równoległooku którego przyległymi okmi są wektory o początku w punkcie ( - ) i końcu w punkcie ( ) orz o początku w punkcie ( - ) i końcu w punkcie ( ). Wektory te mj nstępujące współrzędne. = ( - )i + ( + )j + ( - )k = i + j = ( - )i + ( + )j + ( - )k = i + j k. Ztem i j k i - j - k = -i + j -9k. Ztem P = = ( ) ( 9) 9.

17 Zd. Czy wektory [] [] i [] są liniowo niezleżne? Wektory... n są liniowo niezleżne jeśli żden z nich nie jest komincją liniową pozostłych to znczy nie istnieje tki zestw licz... n że n j j j i gdzie j i. Dl podnych trzech wektorów widć że nie są one liniowo niezleżne: pierwszy wektor jest sumą drugiego i trzeciego. Wektory są liniowo niezleżne gdy wyzncznik mcierzy z nich utworzonej jest różny od zer. Sprwdźmy że Przedstw wektor w=[] w postci komincji liniowej wektorów =[] =[] i c=[] Sprwdźmy czy podne trzy wektory są liniowo niezleżne czyli te wektory są liniowo niezleżne Szukmy licz c tkich że + + cc = w czyli c Jest to ukłd trzech równń liniowych z trzem niewidomymi c. Możemy go zpisć jko + c = = (*) + = skąd otrzymujemy = = c =. Sprwdzmy: Z pomocą komincji liniowej podnych tu wektorów c możn przedstwić dowolny wektor w przestrzeni trójwymirowej mogą więc one stnowić zę w tkiej przestrzeni.

18 Zd. Dl wektor w = [- ] znleźć skłdową równoległą i prostopdłą do wektor = [] w w w w Długość skłdowej równoległej w znjdziemy z definicji iloczynu sklrnego. Przypominmy φ = cos φ Zuwżmy że cos φ to rzut wektor n wektor czyli cos φ= ( )/ (*) Oliczmy dl podnych wektorów długość wektor = ( + ) = Iloczyn sklrny wektor w [- ] i wektor [ ] wynosi -+ = 9 czyli długość rzutu wektor w n wektor wynosi ze wzoru (*) w =9/. Wektor w znjdziemy mnożąc tę długość przez wersor (czyli wektor o długości ) równoległy do wektor w = w / = 9/ [] = [7/ /] (porównj n rysunku) Ogólnie wzór n wektor ędący skłdową wektor równoległą do wektor wynosi Skłdową prostopdłą do wektor znjdziemy jko różnicę między wektorem w i w w = w - w = [- ] - [7/ /] = [ -/ 9/] (porównj n rysunku) Sprwdźmy jeszcze czy wektory w i w są prostopdłe czyli w w = 7 9

19 Inne rozwiązni zdń z lgery Zd. Sprwdź czy relcj R N N (N-ziór licz nturlnych) określon przez mrn (n + m) jest relcją równowżności. Jeśli tk to znjdź ziór ilorzowy. Rozwiąznie: Musimy sprwdzić czy relcj R jest zwrotn symetryczn i przechodni: zwrotność " xîn : xrx Relcj jest zwrotn poniewż dl dowolnej liczy nturlnej zchodzi (x + x). symetryczność " xyîn : xry Þ yrx Relcj jest symetryczn poniewż dl dowolnej pry licz nturlnych z prw przemienności dodwni wynik że jeżeli zchodzi relcj xry = (x + y) to również musi zchodzić relcj yrx = (y + x). przechodniość " xyzîn : xryù yrzþ xrz Jeżeli zchodzą xry = (x + y) orz yrz = (y + z) to x + y = k y + z = l dl pewnych kl ÎN. Stąd wynik że (x + z) = (k + l y) czyli zchodzi również xrz= (x + z). Ztem relcj R jest przechodni. Klsą strkcji dowolnego elementu ÎN względem relcji R jest ziór [] R wszystkich licz nturlnych o tej smej przystości co. Możemy ztem wyodręnić dwie klsy strkcji dl dnej relcji R: K = éë R = éë R = éë R =... = { x: x = n nîn } - liczy nturlne przyste K = éë R = éë R = éë R =... = x: x = n+ nîn { } - liczy nturlne nieprzyste Ziór ilorzowy to ziór wszystkich kls strkcji dnej relcji równowżności: N R= { K K }. Zd. Korzystjąc z tw. Kronecker-Cpellego sprwdź ile rozwiązń m ukłd równń: { x y + z + t = x y z + t = x y z t =

20 Przypomnienie: Twierdzenie Kronecker-Cpellego: Niech dny ędzie ukłd równń liniowych X=B gdzie rząd mcierzy typu m x n (co ozncz że n jest liczą niewidomych m określ liczę równń) wynosi r rząd mcierzy rozszerzonej ukłdu U = [ B] wynosi s. Ukłd ten m rozwiąznie wtedy i tylko wtedy gdy r = s. Z twierdzeni wynik że: jeżeli r = s = n rozwiąznie ukłdu wyznczone jest jednozncznie. Tki ukłd nzywmy oznczonym. jeżeli r = s < n ukłd m nieskończenie wiele rozwiązń zleżnych od n - r prmetrów. Tki ukłd nzywmy nieoznczonym. ukłd nie m rozwiązń kiedy rząd mcierzy głównej nie jest równy rzędowi mcierzy rozszerzonej. Tki ukłd nzywmy sprzecznym. Rozwiąznie: Zpisujemy rozptrywny ukłd równń w postci mcierzowej X=B: é é - - x ú é ú - - y ú = ú ú z ú ú ë ú ú ë - ú ë t Licz równń m = licz niewidomych n =. Tworzymy mcierz rozszerzoną U = [ B]: é U = ë ú ú ú Wykonując opercje elementrne n wierszch mcierzy U sprowdzmy ją do postci schodkowej w celu wyznczeni jednocześnie rzędów mcierzy i U: Do wiersz drugiego dodjemy wiersz pierwszy: é w +w - - U - ë ú ú ú

21 Do wiersz trzeciego dodjemy wiersz pierwszy: é w +w - - ú - ú ë - - ú Od wiersz trzeciego odejmujemy wiersz drugi: é w -w - - ú - ú ë - - ú Uzyskn mcierz schodkow m trzy niezerowe wiersze w części. Czyli rząd mcierzy jest równy rzędowi mcierzy U: r = s =. Ztem ukłd m rozwiązni. Poniewż r = s < n ukłd jest nieoznczony i m nieskończenie wiele rozwiązń zleżnych od jednego prmetru (n - r = - = ). Przepisujemy ukłd równń korzystjąc ze schodkowej postci mcierzy i U: é x é - - ú é ú - y ú = ú ú z ú ú ë - ú ú ë - ú ë t Otrzymujemy: x y + z + t = { y + t = t = Rozwiązując osttni ukłd przez podstwienie i trktując x jko prmetr otrzymmy nstępujące rozwiąznie: y = { z = + x t = Możn sprwdzić dl kilku dowolnych wrtości x że powyższy wynik zwsze ędzie rozwiązniem rozptrywnego ukłdu równń.

22 Zd. Olicz wyzncznik mcierzy wykorzystując rozwinięcie Lplce. é 7 ë ú ú ú ú Przypomnienie: Zgodnie z rozwinięciem Lplce wyzncznik mcierzy kwdrtowej = [ ij ] stopni n jest równy sumie iloczynów elementów i-tego wiersz lu j-tej kolumny i ich dopełnień lgericznych: det = i D i + i D i in D in dl rozwinięci względem i-tego wiersz det = j D j + j D j ni D ni dl rozwinięci względem j-tej kolumny gdzie D ij to dopełnienie lgericzne elementu ij powstłe z przemnożeni czynnik (-) i+j przez minor elementu ij. Rozwiąznie: Wyiermy liczę wierzy lu kolumn z njwiększą ilością zer w tym przypdku jest to trzeci kolumn. Dokonujemy rozwinięci Lplce wyzncznik względem niezerowych elementów trzeciej kolumny: 7 ( ) + 7 = - ( ) Wyznczniki mcierzy dopełnień (minory o wymirch x ) liczymy metodą Srrus: 7 = ( + + ) - ( + + ) = 7 - = = (+ + ) - ( + + ) = - = Po podstwieniu do rozwinięci Lplce i kilku elementrnych oliczenich dostjemy szukny wyzncznik: 7 = (-) + + (-) + = -9 + = -7

23 Zd. W zleżności od wrtości prmetru rozwiązć ukłd równń: { x + y z = x + y + z = x + y + z = Rozwiąznie Jest to ukłd trzech równń liniowych z trzem niewidomymi x y i z orz prmetrem. Do jego rozwiązni możemy posłużyć się np. metodą wyznczników (wzory Crmer). Oliczmy wyzncznik główny: W = = Ukłd posid jedno rozwiąznie gdy wyzncznik główny jest różny od zer tj. (po otrzymniu rozwiązń równni kwdrtowego = ) dl - i. Oliczmy terz dlsze wyznczniki (kolumnę współczynników kolejno przy x y i z zstępujemy kolumną wyrzów wolnych z prwej strony ukłdu równń): W x = = - W y = = W z = = - +. Mmy tym smym określoną postć rozwiązni dl przypdków - i (zgodnie z Wx Wy Wz wzormi Crmer): x y z. W W W Pozostje nm sprwdzić dw inne przypdki: ) Ukłd nieoznczony (nieskończenie wiele rozwiązń) mieliyśmy wtedy gdy wszystkie cztery wyznczniki się zerują. Poniewż wiemy już że dl głównego wyzncznik jest to możliwe jedynie dl = - lu = łtwo sprwdzić że dl żdnej z tych dwóch licz nie otrzymmy wszystkich wyznczników równych zero. Nie jest ztem możliwe y ukłd ył nieoznczony. ) Sprwdzjąc wrtości wyznczników dl = - lu = zpewne zuwżyliście że w pierwszym przypdku ( = -) otrzymmy W y = le przy niezerowych pozostłych dwóch wyzncznikch zś w drugim ( = ) mmy co prwd W z = le pozostłe dw są różne od zer. Jest to cechą ukłdu sprzecznego (rk rozwiązń). Podsumowując powiemy że rozwżny ukłd m jedno rozwiąznie dl - i orz jest ukłdem sprzecznym (nie m rozwiązń) przy = - lu =.

24 Zd. Sprwdź czy podne mcierze są do sieie wzjemnie odwrotne: B 7 B Krótkie wyjśnienie Złóżmy że mcierz jest mcierzą kwdrtową stopni n. Mówimy że mcierz B tego smego wymiru jest mcierzą odwrotną do jeżeli spełnion jest równość: I B B. Uwg: Mcierz jest odwrcln czyli posid mcierz odwrotną wtedy i tylko wtedy gdy jej wyzncznik jest różny od zer czyli jest on tzw. mcierzą nieosoliwą. Rozwiąznie: ) Oliczymy iloczyn B: B czyli B I więc podne mcierze nie są do sieie wzjemnie odwrotne. Oczywiście nie musimy już oliczć drugiego z iloczynów podnych w definicji mcierzy odwrotnej. ) Podonie jk powyżej oliczymy iloczyn: B 7 B ztem podne mcierze są do sieie wzjemnie odwrotne.

25 Zd. Wyzncz mcierz odwrotną: ) ) Krótkie wyjśnienie y wyznczyć mcierz odwrotną do wykonujemy nstępujące czynności: ) Oliczmy wyzncznik mcierzy ; jeśli det = to mcierz odwrotn nie istnieje ) Jeśli det to oliczmy dopełnieni lgericzne wszystkich wyrzów mcierzy (dopełnieniem lgericznym wyrzu ij mcierzy nzywmy wyzncznik podmcierzy powstłej z przez wykreślenie i-tego wiersz i j-tej kolumny pomnożony przez liczę (-) i+j ) dopełnienie lgericzne wyrzu ij ędziemy oznczć przez ij. ) Tworzymy mcierz dopełnień: D ij i j... n ) Wyznczmy mcierz trnsponowną do D ) Mcierzą odwrotną do jest mcierz Rozwiąznie: D det T ) Njpierw oliczymy wyzncznik mcierzy : ztem jest odwrcln. Oliczymy terz dopełnieni lgericzne wszystkich wyrzów tej mcierzy:

26 . Zuwżmy że w tym przypdku dopełnieni lgericzne wyrzów są wyzncznikmi mcierzy wymiru czyli zwierjącej tylko jeden wyrz. Tki wyzncznik jest równy temu wyrzowi. Mcierz D m więc postć : D ztem T D i otrzymujemy wreszcie mcierz. y sprwdzić poprwność wykonnych oliczeń możemy oliczyć odpowiednie iloczyny: ztem otrzymliśmy poprwny wynik.

27 ) det Ztem istnieje mcierz odwrotn do. Oliczymy dopełnieni lgericzne wszystkich wyrzów mcierzy : 7. Otrzymujemy stąd mcierz 7 D

28 nstępnie 7 T D i wreszcie 7. Wykonmy jeszcze sprwdzenie: I I ztem wykonliśmy poprwne oliczeni.

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4. RACHUNEK WEKTOROWY 4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

Pierwiastek z liczby zespolonej

Pierwiastek z liczby zespolonej Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna 1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy

Bardziej szczegółowo

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.

Bardziej szczegółowo

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA kdemi Morsk w Gdyni Ktedr utomtyki Okrętowej Teori sterowni lger mcierzow Mirosłw Tomer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W nowoczesnej teorii sterowni rdzo często istnieje potrze zstosowni notcji mcierzowej uprszczjącej

Bardziej szczegółowo

Zadania do rozdziału 7.

Zadania do rozdziału 7. Zdni do ozdziłu 7. Zd.7.. wiezchołkch kwdtu o okch umieszczono ednkowe łdunku. Jki łdunek o znku pzeciwnym tze umieścić w śodku kwdtu y sił wypdkow dziłąc n kżdy łdunek ył ówn zeu? ozwiąznie: ozptzmy siły

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane? INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj

Bardziej szczegółowo

Podstawy układów logicznych

Podstawy układów logicznych Podstwy ukłdów logicznych Prw logiki /9 Alger Boole Prw logiki WyrŜeni i funkcje logiczne Brmki logiczne Alger Boole /9 Alger Boole' Powszechnie stosowne ukłdy cyfrowe (logiczne) prcują w oprciu o tzw.

Bardziej szczegółowo

Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A

Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A Wzncznik mcierz Uwg Wzncznik definiujem tlko dl mcierz kwdrtowch:,,,,,, =,,,,,, n n n n nn n,,, det = n,,, n n nn - mcierz - wzncznik mcierz Wzncznik mcierz to wzncznik n wektorów, które stnowią kolumn

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012 mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 2 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy bz dnych" 1 Pojęcie krotki - definicj Definicj. Niech dny będzie skończony zbiór U := { A 1, A 2,..., A n }, którego

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 5. Kratownica statycznie wyznaczalna.

Zadanie 5. Kratownica statycznie wyznaczalna. dnie 5. Krtownic sttycznie wyznczln. Wyznczyć wrtości sił w prętch krtownicy sttycznie wyznczlnej przedstwionej n Rys.1: ). metodą nlitycznego równowżeni węzłów, ). metodą gricznego równowżeni węzłów;

Bardziej szczegółowo

Planimetria czworokąty

Planimetria czworokąty Plnimetri czworokąty Emili Ruszczyk kl. II, I LO im. Stefn Żeromskiego w Ełku pod kierunkiem Grżyny iernot-lendo Klsyfikcj czworokątów zworokąty dzielą się n niewypukłe i wypukłe, wypukłe n trpezy i trpezoidy,

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą

Bardziej szczegółowo

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

Wyrównanie sieci niwelacyjnej 1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ

BADANIE ZALEŻNOŚCI PRZENIKALNOŚCI MAGNETYCZNEJ ADANIE ZAEŻNOŚCI PRZENIKANOŚCI MAGNETYCZNEJ FERRIMAGNETYKÓW OD TEMPERATURY 1. Teori Włściwości mgnetyczne sstncji chrkteryzje współczynnik przeniklności mgnetycznej. Dl próżni ten współczynnik jest równy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1 FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5

Bardziej szczegółowo

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich

Bardziej szczegółowo

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk

Bardziej szczegółowo

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ROZWIAZANIAMI Dodjąc( bądź odejmując) do siebie dw wektory (lub więcej), dodjemy (bądź odejmujemy) ich odpowiednie współrzędne

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Programy współbieżne

Programy współbieżne Specyfikownie i weryfikownie Progrmy współieżne Mrek A. Bednrczyk, www.ipipn.gd.pl Litertur wiele prc dostępnych w Sieci np.: http://www.wikipedi.org/ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne PJP Prosty

Bardziej szczegółowo

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2) Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co

Bardziej szczegółowo

LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx&

LISTA02: Projektowanie układów drugiego rzędu Przygotowanie: 1. Jakie własności ma równanie 2-ego rzędu & x &+ bx& LISTA: Projektownie ukłdów drugiego rzędu Przygotownie: 1. Jkie włsności m równnie -ego rzędu & &+ b + c u jeśli: ) c>; b) c; c) c< Określ położenie biegunów, stbilność, oscylcje Zdni 1: Wyzncz bieguny.

Bardziej szczegółowo

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b, WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale Trójkąt Pscl od kuchni Kls 1 Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnym i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle ul. Ks.St.Połetk 32 32-043 Skł Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w

Bardziej szczegółowo

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję: YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Algebra WYKŁAD 6 ALGEBRA 1

Algebra WYKŁAD 6 ALGEBRA 1 Algebr WYKŁAD 6 ALGEBRA Ogóln postć ukłdu równń liniowych Rozwżmy ukłd m równń liniowych z n niewidomymi m m n n mn n n n b b b m o współczynnikch ik orz b i. Mcierz ukłdu równń wymiru m n m postć A m

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży

Bardziej szczegółowo

Część 2 7. METODA MIESZANA 1 7. METODA MIESZANA

Część 2 7. METODA MIESZANA 1 7. METODA MIESZANA Część 2 7. METODA MIESZANA 7. 7. METODA MIESZANA Metod mieszn poleg n jednoczesnym wykorzystniu metody sił i metody przemieszczeń przy rozwiązywniu ukłdów sttycznie niewyznczlnych. Nwiązuje on do twierdzeni

Bardziej szczegółowo

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowni i Systemów Informtycznych Teoretyczne Podstwy Informtyki List 4 Deterministyczne i niedeterministyczne utomty Wprowdzenie Automt skończony jest modelem mtemtycznym

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15 Przestrzeń

Bardziej szczegółowo

Redukcja układów sił działających na bryły sztywne

Redukcja układów sił działających na bryły sztywne 1 Redukcj ukłdów sił dziłjących n bryły sztywne W zdnich tego rozdziłu wykorzystuje się zsdy redukcji ukłdów sił wykłdne w rmch mechniki ogólnej i powtórzone w tomie 1 podręcznik. Zdnie 1 Zredukowć ukłd

Bardziej szczegółowo

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-)

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-) Poniższe zdni pochodzą ze zbiorów: ) J. Rutkowski, Algebr bstrkcyjn w zdnich b) M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zdń z lgebry Do kolokwium proszę też przejrzeć zdni z ćwiczeń. Wszystkim życzę Wesołych

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

Układy równań liniowych Macierze rzadkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Ukłdy równń liniowych Mcierze rzdkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Pln zjęć. Zdnie rozwiązni ukłdu równń liniowych..

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie zadań z dynamicznego ruchu płaskiego część I 9

Rozwiązywanie zadań z dynamicznego ruchu płaskiego część I 9 ozwiązywnie zdń z dyniczneo ruchu płskieo część I 9 Wprowdzenie ozwiązywnie zdń w oprciu o dyniczne równni ruchu (D pole n uwolnieniu z więzów kżdeo z cił w sposób znny ze sttyki. Wrunki równowi są zbliżone

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe cząstkowe - metoda Fouriera. Przykładowe rozwiązania i wskazówki

Równania różniczkowe cząstkowe - metoda Fouriera. Przykładowe rozwiązania i wskazówki INSTYTUT MATEMATYKI POLITECHNIKA KRAKOWSKA Dr Mrgret Wicik e-mi: mwicik@pk.edu.p Równni różniczkowe cząstkowe - metod Fourier. Przykłdowe rozwiązni i wskzówki zd.1. Wyznczyć funkcję opisującą drgni podłużne

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie

Bardziej szczegółowo

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami ZałóŜmy, Ŝe macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, Ŝe macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 19 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie 19 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zdnie 19 z Informtor turlnego poziom rozszerzony 1 Zdnie 19. Rmię D trpezu D (w którym D) przedłużono do punktu E tkiego, że E 3 D. unkt leży n podstwie orz 4. Odcinek E przecin przekątną D

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysłw Smorwińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kliszu Wymgni edukcyjne niezbędne do uzyskni poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klsyfikcyjnych z obowiązkowych zjęć

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą

Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi

Bardziej szczegółowo

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH Michł PAWŁOWSKI 1 1. WSTĘP Corz większy rozwój przemysłu energetycznego, w tym siłowni witrowych stwi corz większe wymgni woec producentów przekłdni zętych jeśli

Bardziej szczegółowo

Wykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia

Wykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia Wykªd 1 Mcierze i wyznczniki 11 Mcierze podstwowe okre±leni Denicj 1 Mcierz (rzeczywist ) wymiru m n, gdzie m, n N, nzywmy prostok tn tblic zªo»on z m n liczb rzeczywistych ustwionych w m wierszch i n

Bardziej szczegółowo

Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki dla klas II Bożena Kuczera

Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki dla klas II Bożena Kuczera Projekt Wiedz, kompetencje i prktyk to pewn przyszłość zwodow technik Kompleksowy Progrm Rozwojowy dl Technikum nr w Zespole Szkół Technicznych im Stnisłw Stszic w Ryniku, współfinnsowny przez Unię Europejską

Bardziej szczegółowo

Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy

Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Temt: Mcierze Pojęci Dziłni n mcierzch Wyzncznik mcierzy Symbolem gwizdki (*) oznczono zgdnieni przeznczone dl studentów wybitnie zinteresownych prezentowną temtyką. Ann Rjfur Pojęcie mcierzy Mcierz to

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne

Bardziej szczegółowo

5. Zadania tekstowe.

5. Zadania tekstowe. 5. Zni tekstowe. Przykł. Kolrz połowę rogi pokonł ze śrenią prękością 0 km/, rugą połowę z prękością 50 km /. Wyzncz śrenią prękość kolrz n cłej trsie. nliz : pierwsz połow rogi rug połow rogi 0 km/ prękość

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących

Bardziej szczegółowo