Pierwiastek z liczby zespolonej

Transkrypt

1

2 Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć wzorem, w którym k 0,,, n-: n ϕ + k ϕ + k n ϕ + k wk z cos + i sin z exp i n n n Przykłd: Znjdź wszystkie rozwiązni równni z 3 ( k ) k k k wk exp i i i w0 w e w e Włsności pierwistk n-tego stopni z l.z. : ( k ) ω k exp i gdzie k 0,,..., n n k n ω ω ω ω ω ω ( ) ( ) k l k + l k n n n k i k ( ) ( ) exp i e ω ω 0 n e k i k 0 k 0 k 0 n /3 M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd - - w /3 w Im z i -i /3 Mth Plyer w 0 Re z Mth Plyer

3 Zespolony logrytm i zespolon potęg Definicj: Logrytmem nturlnym z liczby zespolonej z (ozn. Ln(z)) nzywmy liczbę zespoloną w tką, że z e w. w w w + w z z e e e ln ( z z ) w + w ln ( z ) + ln ( z ) Zpiszemy liczbę z w postci wykłdniczej i znjdziemy jej logrytm: ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) z z exp i Arg z + k ln z ln z + i Arg z + k Przykłd: ( ) ( ) ( ) 3 7 ln i ln exp i + k i + k i, i, i,... Definicj: Niech z i wœc. Potęgą liczby z z e iϕ (gdzie fz ϕ Arg(z)+k) o wykłdniku w nzywmy wielkość z w exp(w ln(z)) z w exp(iϕw) gdzie A więc: w Re w i Im w Re w i Im w ln z i ϕ w ϕ Im w i ϕ Re w z z z z e orz e e e Re w ( ) w Im w w z z e ϕ orz rg z ln z Im w + ϕ Re w Przykłd: Oblicz z i -i ( ) ( ) z exp i ln e exp i i k ln ln i + k e e + e z i i + 4 k M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd -3 Mth Plyer

4 F. trygonometryczne zmiennej zespolonej Definicj: Korzystjąc z postci biegunowej i trygonometrycznej liczby zespolonej możemy zdefiniowć funkcje sinus i cosinus w nstępujący sposób: sin x ( e ix e ix ) cos x ( e ix + e ix ) i Uwg: Definicje te spełniją wszystkie tożsmości trygonometryczne. Definicj: W nlogiczny sposób definiujemy sinus i cosinus liczby zespolonej: sin z ( e iz e iz ) cos z ( e iz + e iz ) i Uwg: Tkże te definicje spełniją wszystkie stndrdowe wzory trygonometryczne, np.: ( ) ( ) + cos z sin z ( e iz e iz ) ( e iz e iz ) ( e i z e i z ) cosz 4 4 sin z sin z cos z cos z sin z cos z sin z sin z cos z Interpretcj funkcji zespolonej sinz: i( x iy ) i( x iy ) ( ) ( ) y y sin z sin x iy e + e + + [ e ( cos x + i sin x ) e ( cos x + i sin x) ] i i y y y y sin x ( e +e ) i cos x ( e -e ) + sin x cosh y + i cos x sinh y M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd -4 Mth Plyer

5 Funkcje hiperboliczne zmiennej zespolonej Definicj: Funkcje hiperboliczne zdefiniowne są w nstępujący sposób: sinh ( e x x e x ) cosh x ( e x + e x ) Włsności funkcji hiperbolicznych: sinh ( x ) sinh x cosh ( x ) cosh x cosh x sinh x sinh x sinh x sinh x cosh x cosh x + sinh x cosh x tnh x cosh x Definicj: W nlogiczny sposób definiujemy sinus i cosinus hiperboliczny liczby zespolonej: Przykłd: Oblicz cos(-i) sinh z e e cosh z e + e ( z z ) ( z z ) Uwg: Istnieją nstępujące związki pomiędzy funkcjmi trygonometrycznymi i hiperbolicznymi zmiennej zespolonej: sin iz i sinh z cos iz cosh z sinh iz i sin z cosh iz cos z M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd -5 Mth Plyer cos ( i ) cos cosh ( ) i sin sinh ( ) cosh ( ) cosh 543.

6 Relcje równowżności i klsy Definicj: Relcją określoną n zbiorze A nzywmy dowolny test porównwczy pomiędzy uporządkownymi prmi elementów elementów zbioru A. Jeśli pr (, b) œ A ä A spełni ten test, mówimy, że pozostje w relcji do b, ( b). Definicj: Relcją równowżności określoną n zbiorze A nzywmy relcję któr jest: zwrotn: A, symetryczn:,b A, b b przechodni:,b,c A, ( b) ( b c) c O elementch,bœa mówimy wówczs, że jest równowżne b Definicj: Klsą równowżności elementu œa nzywmy zbiór wszystkich elementów A pozostjących w relcji równowżności z, { b A : b } Twierdzenie: Jeśli jest relcją równowżności n A orz,bœa wtedy lbo b lbo b więc dowolny element klsy możn wybrć jko reprezentnt tej klsy. Przykłd: A zbiór ludzi: - jest strszy od b nie jest relcją równowżności. b b - i b mją tego smego dzidk ze strony ojc jest relcją równowności. M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd -6

7 Algebr wektorów Definicj: Sklr to wielkość fizyczn, któr posid tylko wrtość (liczb). np. tempertur, czs, ms, Definicj: Wektor to kls równowżności pr punktów, czyli zorientownych odcinków, które przeksztłcją się w siebie przy przesunięciu równoległym. np. wektor położeni, siły, prędkości, Symbole wektorów: PQ P Dodwnie wektorów (reguł równoległoboku): przemienność: + b b + łączność: ( + b ) + c + ( b + c ) + b + c b + b + c c M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd -7 Q b Odejmownie wektorów: ( ) P Q P Q P 3 b + + b Q 3 b - b + -b

8 Algebr wektorów W wyniku mnożeni wektor przez liczbę rzeczywistą otrzymujemy wektor o tym smym kierunku co wektor oryginlny i proporcjonlnej długości: - λ P Q P Q P Q PQ' λ PQ Włsności: ( λµ ) λ ( µ ) µ ( λ ) ( + b ) λ λ + λ b ( λ + µ ) λ + µ Przykłd: Niech punkt P dzieli odcinek AB w stosunku λ : µ. Znjdź wektor położeni punktu P jeśli wektory położeni punktów A i B są znne i wynoszą odpowiednio i. B λ λ p + AB + ( OP b ) λ + µ λ + µ µ λ + b λ + µ λ + µ M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd -8 O µ b p P λ b A

9 Kombincj liniow wektorów Definicj: Wektor b nzywmy liniową kombincją wektorów jeśli istnieją stłe c, c,, c n tkie, że:,,..., n b c + c cnn Definicj: Mówimy, że wektory,,..., n są liniowo zleżne jeśli istnieją stłe c, c,, c n, nie wszystkie równe zero, tkie że: c + c cnn 0 Jeśli powyższ równość zchodzi tylko wtedy gdy wszystkie stłe c, c,, c n, są jednocześnie równe zero, to o wektorch,,..., n mówimy, że są liniowo niezleżne. Uwg: Powyższe opercje możn określić dl wektorów w dowolnej liczbie wymirów. Włsności: kżdy zbiór m+ lub więcej m-wymirowych wektorów jest liniowo zleżny. jeśli dny zbiór wektorów jest liniowo niezleżny, to kżdy podzbiór tych wektorów jest również liniowo niezleżny. kżdy zbiór wektorów o tym smych wymirze, zwierjący wektor zerowy, jest liniowo zleżny. M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd -9

10 Krtezjński ukłd współrzędnych Odległość pomiędzy punktmi P i P znjdujemy z twierdzeni Pitgors: ( ) ( ) ( ) P P x x + y y + z z M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd -0

11 Współrzędne wektor i wektory bzowe Q(x, y, z ) P(x, y, z ) Reprezentnt wektor PQ u ν, ν, ν ( ν ν ν ) 3 Dysponując trzem różnymi wektormi, e, e, e 3, nie leżącymi w jednej płszczyźnie, możn w trójwymirowej przestrzeni dowolny wektor zpisć jko kombincję tych wektorów: e + e + e ie ˆ ei i ei i Wektory e, e, e ei nzywmy bzą w przestrzeni 3, ntomist sklry,, to 3 3 współrzędne wektor w tej bzie. Mówimy, że wektor zostł rozłożony n skłdowe. Dl współrzędnych krtezjńskich w 3 stosujemy oznczeni: eˆ i eˆ j eˆ k 3 M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd -

12 y Algebr wektorów n współrzędnych Mth Plyer Mth Plyer (u +, u + ) Dodwnie i odejmownie wektorów: ± b ( xi + y j + zk ) ± ( bxi + by j + bzk ) ± b i + ± b j + ± b k ( x x ) ( y y ) ( z z ) x ( x, y, z ) lub y z x Długość (moduł) wektor: x + y + z ˆ x y z λ λ,, fi wektor jednostkowy:,, x λ y λ z i + 3 j + 6k i k + u + ( i + j + k ) + ( i k ) j + 4k 0 u + + uˆ czyli j + k Mnożenie wektor przez liczbę: ( ) Wygodny sposób zpisu wektor: Przykłd: Dne są wektory orz. Znjdź ich sumę, moduł sumy i wektor jednostkowy o tym smym kierunku i zwrocie co wektor M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd -

13 Iloczyn sklrny wektorów Definicj: Iloczynem sklrnym dwóch wektorów i b nzywmy liczbę: b b cosq gdzie q jest kątem pomiędzy wektormi i b. Uwg: W dowolnej liczbie wymirów iloczyn sklrny jest liczbą. Włsności: przemienny: b b b + bc b + b c liniowy w kżdym z rgumentów (, be ): ( ) Dw niezerowe wektory są ortogonlne (prostopdłe) jeśli ich iloczyn sklrny jest równy zero: b 0 Przykłd: Wektory bzowe w ukłdzie krtezjńskim spełniją relcje: i i j j k k i j j k k i 0 Oblicznie iloczynu sklrnego: b b cosq b i + j + k b i + b j + b k b + b + b b i Długość wektor: ( ) ( ) i i M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd -3

14 Iloczyn sklrny wektorów Przykłd: Znjdź kąt pomiędzy wektormi i + j + 3k orz b i + 3 j + 4k b b b cosq cosq b b cos q q 0. rd 4 9 b Cosinusy kierunkowe wektorów: b x bx y by z bz cosq + + b b b b wielkości i / orz b i / b gdzie i x, y, z to cosinusy kierunkowe wektorów i b. ij j dl i j Delt Kronecker (i, j, ): d Skłdowe wektorów w bzie { e, e ij d d,..., e i 0 dl i j n} : n n n u e j ukek e j uk ( ek e j ) ukd kj u j k k k M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd -4

15 Rozkłd wektor n dowolne skłdowe u u u u u + ( u u) + proj u proj Przykłd: Rozłożyć wektor n skłdowe: równoległą i prostopdłą do wektor. proj skldow skldow rownolegl do prostopdl do u u u u u cosq gdzie rzut wektor n wektor dny jest przez: proj u M. Przybycień Mtemtyczne Metody Fizyki I Wykłd -5 u u proj u Metod ortonormlizcji Grm-Schmidt w -dim: Rozwżmy dowolną bzę w -dim przestrzeni. Chcemy utworzyć tkie {, } kombincje liniowe tych wektorów by otrzymne wektory były ortonormlne. Jko pierwszy wektor poszukiwnej bzy wybiermy: e e eˆ ( ˆ ) eˆ Drugi wektor otrzymujemy odejmując od jego rzut n wektor : i odpowiednio normlizując do ê eˆ e e Mth Plyer