Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
|
|
|
- Bronisław Jankowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW
2 Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch. Wyzncznik mcierzy. Mcierzowy zpis ukldu równń liniowych 5. Ukłd Crmer. Wzory Crmer Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW
3 Pojęcie mcierzy Mcierz to prostokątn tblic, w której moŝn wyróŝnić wiersze i kolumny. Przykłd zpisu mcierzy: kolumny, 5 wiersze Mcierze zpisuje się w nwisch kwdrtowych. Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW
4 Pojęcie mcierzy cd. N przecięciu wiersz i kolumny zpisny jest element mcierzy. Przykłd:, 5 Elementmi mcierzy mogą być np.: liczby, funkcje, inne mcierze. N kŝdym przecięciu wiersz i kolumny zpisny jest pewien element mcierzy. Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW
5 Wymir mcierzy Jeśli mcierz m m wierszy i n kolumn, to mówimy, Ŝe jest wymiru m n (czyt.: m n n). Przykłd: wiersze, kolumny wymir mcierzy: (czyt.: cztery n dw), π, 5 5, Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 5
6 Przykłd Zpisz wymiry dnych mcierzy. 5, 7, (wektor kolumnowy) [, ] [ ] (wektor wierszowy) Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 6
7 Oznczeni mcierzy Mcierze ozncz się duŝymi litermi: A, B,... lub A, A,... lub [ ij ], i,..., m, j,..., n Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 7
8 Identyfikownie elementów mcierzy A mcierz wymiru m n, ij element mcierzy A leŝący n przecięciu i-tego wiersz z j-tą kolumną, gdzie i,..., m, j,..., n. ij numer wiersz numer kolumny Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 8
9 Przykld Dn jest mcierz A. Zpisz kŝdy element ij, i,,, j,. A Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 9
10 Przykld, cd. A - Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW
11 Przykld Dne są elementy mcierzy B. Zpisz mcierz. b, b -, b, b -, b, b 5, b -7, b Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW
12 Przykld, cd. b, b -, b, b -, b, b 5, b -7, b B 5 7 Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW
13 Wybrne postcie mcierzy Jeśli w mcierzy A m n liczb wierszy m jest równ liczbie kolumn n, to mcierz A nzywmy kwdrtową stopni n; ozn.: A n Przykłdy mcierzy kwdrtowych: stopni stopni Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW
14 Przykłd Zpisz mcierz kwdrtową A n w postci ogólnej. Zpis mcierzy A n n tblicy. Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW
15 Przekątn mcierzy kwdrtowej W mcierzy kwdrtowej stopni n elementy ii, i,, n tworzą główną przekątną. A n M n M n K K O K n n nn M przekątn (główn) mcierzy A n Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 5
16 Postcie mcierzy kwdrtowych cd. Mcierz jednostkow stopni n, ozn. I n : mcierz z jedynkmi n przekątnej głównej orz zermi poz przekątną. ii dl i,,..., n, ij dl i j. A n M M K K O K M Przykłdy n tblicy. Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 6
17 Równość mcierzy Mcierze A m n orz B p q są równe, gdy ich wymiry są jednkowe orz odpowidjące elementy są równe, czyli m p i n q orz ij b ij dl i,..., m, j,..., n. Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 7
18 Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 8 Przykłd Dne są mcierze A, B, C, D. Podj wrunki, przy których zchodzą równości: A B, C D. 5, A 5, z y B C D
19 Dziłni n mcierzch Dodwnie, odejmownie MnoŜenie mcierzy przez liczbę Trnsponownie MnoŜenie mcierzy przez mcierz Przykłdy n tblicy. Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 9
20 Dodwnie mcierzy A m n B m n C m n c ij ij b ij i,, m, j,, n krótszy zpis: [ ij ] [b ij ] [ ij b ij ] i,, m, j,, n Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW
21 Odejmownie mcierzy A m n B m n C m n c ij ij - b ij i,, m, j,, n krótszy zpis: [ ij ] - [b ij ] [ ij - b ij ] i,, m, j,, n Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW
22 MnoŜenie mcierzy przez liczbę k A m n C m n c ij k ij i,, m, j,, n krótszy zpis: k [ ij ] [k ij ] i,, m, j,, n Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW
23 Trnsponownie mcierzy (A m n ) T C n m c ij T ij ji i,, n, j,, m krótszy zpis: [ ij ] T [ T ji] i,, m, j,, n Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW
24 MnoŜenie mcierzy przez mcierz n A m n B n p C m p c ij k ik b kj i,, m, j,, p krótszy zpis: b [ ij ] [b ij ] [ ik kj n k i,, m, j,, p ] Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW
25 Włsność mcierzy I Dl dowolnej mcierzy A m n zchodzą równości: A m n I n A m n I m A m n A m n Ztem mcierz I jest elementem obojętnym mnoŝeni mcierzy. Przykłdy n tblicy. Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 5
26 Kolejność dziłń MnoŜenie przed dodwniem i odejmowniem Trnsponownie przed innymi dziłnimi Njpierw dziłni w nwisch Przykłd n tblicy. Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 6
27 Prw dziłń n mcierzch Ozn.: A, B, C, D mcierze, k liczb rzeczywist. (A B) C A (B C) (A B) C A (B C) A B B A Uwg. MnoŜenie mcierzy nie jest przemienne. k (A B) (k A) B A (k B) k (A B) k A k B Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 7
28 Prw dziłń n mcierzch, cd. C (A B) C A C B (A B) D A D B D (A B) T A T B T (A B) T B T A T (A T ) T A Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 8
29 Zdni Zdni w pliku Zdni_mcierze_dzilni.pdf Uwg Do dziłń n mcierzch moŝn wykorzystć funkcje rkusz klkulcyjnego (np. CALC, EXCEL): MACIERZ.ILOCZYN TRANSPONUJ Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 9
30 Wyzncznik mcierzy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW
31 Wyzncznik mcierzy kwdrtowej A n Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej A jest pewn liczb jednozncznie przyporządkown tej mcierzy; ozn.: det A (ng. determinnt), A. Liczbę tą definiuje się podjąc metodę jej obliczeni dl mcierzy kwdrtowej stopni n, przy n,,... Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW
32 Oblicznie wyzncznik metod Lplce' Dl n,,... wyzncznik mcierzy A n oblicz się metodą Lplce rozwijni wyzncznik względem wiersz lub kolumny mcierzy A n. Dl n orz n metodę Lplce moŝn przedstwić w postci uproszczonej. Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW
33 Oblicznie det A Dl n : Przykłdy: det [ ] det [-] - det [] Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW
34 Oblicznie det A Dl n : det Przykłd: det Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW
35 Oblicznie det A - schemt Srrus Dl n wyzncznik moŝn obliczyć stosując schemt Srrus:. Pod trzecim wierszem przepisć pierwszy wiersz, pod nim drugi. det Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 5
36 Oblicznie det A - schemt Srrus cd. det. Obliczyć iloczyny elementów n przekątnej głównej i dwóch przekątnych równoległych do niej; niech S g ozncz sumę tych iloczynów. sum S g... Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 6
37 Oblicznie det A - schemt Srrus cd. det sum S d.... Obliczyć iloczyny elementów n drugiej przekątnej i dwóch przekątnych równoległych do niej; niech S d ozncz sumę tych iloczynów. Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 7
38 Oblicznie det A - schemt Srrus cd.. det A S g S d Uwg Zmist dopisywć dw pierwsze wiersze pod trzecim, moŝn dopisć dwie pierwsze kolumny z trzecią lub wyznczyć pewne trójkąty w mcierzy. Wszystkie te grficzne sposoby słuŝą ułtwieniu zpmiętni i stosowni podnego dlej wzoru. Przykłdy n tblicy. Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 8
39 Wzór n det A : Oblicznie det A gdzie: S g det S g S d, S d Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 9
40 Przykłd Oblicz wyzncznik dnej mcierzy. - - det 8 ( 6) 7 S d - 6 S g Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW
41 Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW * Oblicznie wyzncznik mcierzy A n Metod Lplce rozwijni wyzncznik względem i-tego (dowolnego) wiersz mcierzy A n ( ) ( ) ( ) in n i in i i i i i i nn n n in i i n A A A det det det det K K M M M K M M M K gdzie A ij jest mcierzą, któr powstje po wykreśleniu z mcierzy A i-tego wiersz orz j-tej kolumny.
42 Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW * Przykłd Oblicz wyzncznik dnej mcierzy A. Polecenie moŝn wykonć wybierjąc rozwinięcie względem np. drugiego wiersz. A
43 Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW * Przykłd ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) det det det det det
44 Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW * Przykłd ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 6 det det det Odp.: det A Wyznczniki zkreślonych mcierzy moŝn policzyć wg schemtu Srrus lub ogólną metodą Lplce'.
45 * Włsności wyzncznik. Wyzncznik mcierzy trójkątnej górnej (dolnej) jest równy iloczynowi elementów n głównej przekątnej.. JeŜeli mcierz kwdrtow m w pewnym wierszu (lub kolumnie) sme zer, to jej wyzncznik jest równy zeru. Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 5
46 * Włsności wyzncznik cd.. JeŜeli dw wiersze (lub kolumny) mcierzy kwdrtowej są proporcjonlne, to jej wyzncznik jest równy zeru.. Wyzncznik mcierzy jednostkowej dowolnego stopni jest równy jeden. det I n 5. Wyznczniki mcierzy A orz A T są równe. det A det A T Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 6
47 * Włsności wyzncznik cd. 6. Dl mcierzy A stopni n: det (k A) k n det A, k R 7. Wyzncznik iloczynu mcierzy kwdrtowych tego smego stopni jest równy iloczynowi wyznczników tych mcierzy: det (A B) det A det B Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 7
48 Mcierz osobliw, nieosobliw Mcierz kwdrtową A nzywmy osobliwą, gdy det A. Mcierz kwdrtową A nzywmy nieosobliwą, gdy det A. Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 8
49 Zdni Zdni w pliku Zdni_mcierze_wyzncznik.pdf Uwg Do obliczni wyzncznik mcierzy moŝn wykorzystć funkcję rkusz klkulcyjnego (np. CALC, EXCEL): WYZNACZNIK.MACIERZY Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 9
50 Ukłd równń liniowych Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 5
51 Zgdnieni Ukłdy równń liniowych. Zpis mcierzowy ukłdu równń. Ukłd Crmer. Wzory Crmer Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 5
52 Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 5 Wprowdzenie Przykłd. Dl dnych mcierzy A,, b wykonj: ) oblicz iloczyn A, b) zpisz wrunki, przy których zchodzi równnie A b. A 5 b
53 Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 5 Przykłd. cd. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A
54 Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 5 Przykłd. cd. 5 5 b A A b ukłd równń liniowych w zpisie mcierzowym ukłd równń liniowych w zpisie klsycznym
55 Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 55 Przykłd. Dny ukłd równń zpisz w postci mcierzowej. 5
56 Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 56 Przykłd. cd. Mcierzowy zpis ukłdu równń: A b. 5 Ukłd równń zpisny z wyszczególnieniem współczynnik przy kŝdej niewidomej: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5
57 Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 57 Przykłd. cd. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 A 5 b
58 Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 58 Zpis mcierzowy ukłdu równń liniowych Ukłd równń liniowych: m n mn m m n n n n b b b M M M K K moŝn zpisć w postci A b, gdzie: m n m m n n A M M M K K n M b m b b b M
59 Zpis mcierzowy ukłdu równń liniowych cd. W odniesieniu do ukłdu równń liniowych w postci A b, stosowne są określeni: A - mcierz ukłdu (wymir m n) - wektor niewidomych (wymir n ) b - wektor prwych stron (wymir m ) Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 59
60 Ukłd równń liniowych Crmer Ukłd równń liniowych A b nzyw się ukłdem Crmer, jeśli mcierz ukłdu A jest kwdrtow i nieosobliw. Ukłd Crmer posid dokłdnie jedno rozwiąznie. Uwg n tblicy. Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 6
61 Metody rozwiązywni ukłdu Crmer wzory Crmer metod mcierzy odwrotnej * Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 6
62 Wzory Crmer Rozwiąznie ukłdu równń Crmer A b, gdzie: A mcierz stopni n, [,,..., n ] T, b [b, b,..., b n ] T, podją wzory Crmer: det A i, i,,..., n i det A gdzie: A i - mcierz powstł po zstąpieniu i-tej kolumny mcierzy A kolumną prwych stron b. Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 6
63 Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 6 Przykłd Wyzncz rozwiąznie ukłdu równń przy uŝyciu wzorów Crmer. Postć mcierzow ukłdu, to Ab, gdzie A b
64 Przykłd cd. Czy dny ukłd jest ukłdem Crmer? det [6 A det ] [( ) Mmy det A ukłdem Crmer. Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 6 ] 6, więc ukłd A b jest
65 Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 65 Przykłd cd. Mcierz A : A b det det A
66 Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 66 Przykłd cd. Mcierz A : A b 6 det det A
67 Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 67 Przykłd cd. Mcierz A : A b det det A
68 Przykłd cd. Po podstwieniu do wzorów Crmer: det A det A det A 6 det A det A det A Uwg. Te trzy liczby stnowią JEDNO rozwiąznie ukłdu równń liniowych. MoŜn je zpisć w postci wektor: Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 68
69 Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW 69 Przykłd cd. Sprwdzmy, czy zchodzi A b: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A b Ztem wektor [ ] T jest poszukiwnym rozwiązniem ukłdu równń A b.
Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy
Temt: Mcierze Pojęci Dziłni n mcierzch Wyzncznik mcierzy Symbolem gwizdki (*) oznczono zgdnieni przeznczone dl studentów wybitnie zinteresownych prezentowną temtyką. Ann Rjfur Pojęcie mcierzy Mcierz to
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach
PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j
Analiza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach
Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi
Wykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia
Wykªd 1 Mcierze i wyznczniki 11 Mcierze podstwowe okre±leni Denicj 1 Mcierz (rzeczywist ) wymiru m n, gdzie m, n N, nzywmy prostok tn tblic zªo»on z m n liczb rzeczywistych ustwionych w m wierszch i n
Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk
Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy
Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ROZWIAZANIAMI Dodjąc( bądź odejmując) do siebie dw wektory (lub więcej), dodjemy (bądź odejmujemy) ich odpowiednie współrzędne
Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA
kdemi Morsk w Gdyni Ktedr utomtyki Okrętowej Teori sterowni lger mcierzow Mirosłw Tomer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W nowoczesnej teorii sterowni rdzo często istnieje potrze zstosowni notcji mcierzowej uprszczjącej
Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A
Wzncznik mcierz Uwg Wzncznik definiujem tlko dl mcierz kwdrtowch:,,,,,, =,,,,,, n n n n nn n,,, det = n,,, n n nn - mcierz - wzncznik mcierz Wzncznik mcierz to wzncznik n wektorów, które stnowią kolumn
Układy równań liniowych Macierze rzadkie
wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Ukłdy równń liniowych Mcierze rzdkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Pln zjęć. Zdnie rozwiązni ukłdu równń liniowych..
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Metoda sił jest sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych, czyli układów o nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych).
Metod sił jest sposoem rozwiązywni ukłdów sttycznie niewyznczlnych, czyli ukłdów o ndliczowych więzch (zewnętrznych i wewnętrznych). Sprowdz się on do rozwiązni ukłdu sttycznie wyznczlnego (ukłd potwowy
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną
Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami ZałóŜmy, Ŝe macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, Ŝe macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną
Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM
WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę
Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy
Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące
Wymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysłw Smorwińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kliszu Wymgni edukcyjne niezbędne do uzyskni poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klsyfikcyjnych z obowiązkowych zjęć
Rachunek wektorowo-macierzowy w programie SciLab
Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Dziłi liczbch Dodwie i odejmowie + b 3 + = 5 b = + (-b) 3 = 3 + (-) = + 0 = + (-) = 0 Rchuek wektorowo-mcierzowy w
Zbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe
pojęci zbioru i elementu RCHUNEK ZIORÓW zbiór zwier element element nleży do zbioru jest elementem zbioru ( X zbiór wszystkich przedmiotów indywidulnych, których dotyczy dn nuk zbiór pełny (uniwerslny
2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Wyrównanie sieci niwelacyjnej
1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre
Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad
Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f
PODSTAWY ALGEBRY LINIOWEJ ALGEBRA MACIERZY
PODSTWY LGEBRY LINIOWEJ LGEBR MCIERZY Mcierzą prostokątą o m ierszch i kolumch zymy tblicę m liczb rzeczyistych ij (i,,...,m; j,,...,) zpisą postci ujętego isy kdrtoe prostokąt liczb M m M m Liczby rzeczyiste
Wprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny
Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini sierpień 0 Poziom Podstwowy Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy Klucz punktowni zdń zmkniętych Nr zdni 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 Odpowiedź
ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 2 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy bz dnych" 1 Pojęcie krotki - definicj Definicj. Niech dny będzie skończony zbiór U := { A 1, A 2,..., A n }, którego
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje
A A A A A A A A A n n
DODTEK NR GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy najważniejsze definicje rachunku macierzowego i omówimy niektóre funkcje i transformacje macierzy najbardziej przydatne w zastosowaniach numerycznych a w szczególności
Wymagania edukacyjne z matematyki
Wymgni edukcyjne z mtemtyki LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE Kls II Poniżej przedstwiony zostł podził wymgń edukcyjnych n poszczególne oceny. Wiedz i umiejętności konieczne do opnowni (K) to zgdnieni, które są
4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1
FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5
Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-)
Poniższe zdni pochodzą ze zbiorów: ) J. Rutkowski, Algebr bstrkcyjn w zdnich b) M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zdń z lgebry Do kolokwium proszę też przejrzeć zdni z ćwiczeń. Wszystkim życzę Wesołych
WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Pierwiastek z liczby zespolonej
Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć
WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.
Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz
ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży
KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KLASA 2 1. SUMY ALGEBRAICZNE rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy
Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
3. Rozkład macierzy według wartości szczególnych
Rozkłd mcierzy wedłg wrtości szczególnych Wprowdzenie Przypomnimy podstwowe zleżności związne z zstosowniem metody nmnieszych kwdrtów do proksymci fnkci dyskretne Podstwowe równnie m nstępącą postć: +
Wymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą
Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi
szkicuje wykresy funkcji: f ( x)
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls tps Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne, wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące oziom Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)
Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu
Rys Wyrównanie spostrzeżeń zawarunkowanych jednakowo dokładnych C. KRAKOWIANY
Rys. 9.. Wyrównnie spostrzeżeń zwrunkownyh jednkowo dokłdnyh C. KRAKOWIANY 9.9. Informje wstępne o krkowinh Krkowin jest zespołem liz rozmieszzonyh w prostokątnej teli o k kolumnh i w wierszh, dl którego
Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa
Kls drug: II TK1, II TK2 Poziom podstwowy 3 godz. 30 tyg.= 0 nr progrmu DKOS-5002-7/07 I. Funkcj kwdrtow Moduł - dził - L.p. temt Wykres 1 f()= 2 2 Zkres treści Pojęcie Rysownie wykresów Związek współczynnik
Algebra WYKŁAD 6 ALGEBRA 1
Algebr WYKŁAD 6 ALGEBRA Ogóln postć ukłdu równń liniowych Rozwżmy ukłd m równń liniowych z n niewidomymi m m n n mn n n n b b b m o współczynnikch ik orz b i. Mcierz ukłdu równń wymiru m n m postć A m
Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy
Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II a liceum (poziom podstawowy) na rok szkolny 2018/2019
Wymgni edukcyjne z mtemtyki dl klsy II liceum (poziom podstwowy) n rok szkolny 08/09 Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące. SUMY
Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy
Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności
Podstawy układów logicznych
Podstwy ukłdów logicznych Prw logiki /9 Alger Boole Prw logiki WyrŜeni i funkcje logiczne Brmki logiczne Alger Boole /9 Alger Boole' Powszechnie stosowne ukłdy cyfrowe (logiczne) prcują w oprciu o tzw.
Kodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty
Kodownie licz Kodownie stłopozycyjne licz cłkowitych Niech licz cłkowit m w systemie dwójkowym postć: nn 0 Wtedy może yć on przedstwion w postci ( n+)-itowej przy pomocy trzech niżej zdefiniownych kodów
Konkurs dla gimnazjalistów Etap szkolny 9 grudnia 2016 roku
Konkurs dl gimnzjlistów Etp szkolny 9 grudni 016 roku Instrukcj dl uczni 1. W zdnich o numerch od 1. do 1. są podne cztery wrinty odpowiedzi: A, B, C, D. Dokłdnie jedn z nich jest poprwn. Poprwne odpowiedzi
- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są
Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A
macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)
CAŁKOWANIE NUMERYCZNE
Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew Pbisek Adm Wostko Wprowdzenie
Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy
Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk 2 Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki w klsie drugiej Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące,
Matematyka stosowana i metody numeryczne
Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres podstawowy
Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych kls drug zkres podstwowy Wymgni konieczne (K) dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny być opnowne przez
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych i schemt ocenini zdń otwrtych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 D D D Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x + x+ 0
Plan wynikowy klasa 2. Zakres podstawowy
Pln wynikowy kls Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące. SUMY ALGEBRAICZNE 0. Sumy
WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012
mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU
Sumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
Sumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy
Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni
PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,
Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie
Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
MATEMATYKA cz. 1 ALGEBRA i GEOMETRIA ANALITYCZNA
Jn Nwrocki MATEMATYKA cz ALGEBRA i GEOMETRIA ANALITYCZNA Politechnik Wrszwsk Politechnik Wrszwsk Wydził Smochodów i Mszyn Roboczych Kierunek "Edukcj techniczno informtyczn" -54 Wrszw, ul Nrbutt 84, tel
1 klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie
Funkcj kwdrtow - powtórzenie z klsy pierwszej (5godzin) PLANIMETRIA Moduł - dził - temt Miry kątów w trójkącie Lp Zkres treści 1 klsyfikcj trójkątów twierdzenie o sumie mir kątów w trójkącie Trójkąty przystjące
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
KONKURS MATEMATYCZNY. Model odpowiedzi i schematy punktowania
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów orz oddziłów gimnzjlnych województw mzowieckiego w roku szkolnym 2018/2019 Model odpowiedzi i schemty punktowni Z kżde poprwne i pełne rozwiąznie, inne niż przewidzine
Algebra WYKŁAD 5 ALGEBRA 1
lger WYKŁD 5 LGEBR Defiicj Mcierzą ieosoliwą zywmy mcierz kwdrtową, której wyzczik jest róży od zer. Mcierzą osoliwą zywmy mcierz, której wyzczik jest rówy zeru. Defiicj Mcierz odwrot Mcierzą odwrotą do
ELEKTRONIKA CYFROWA. Materiały y pomocnicze do wykład sem.. 1
ELEKTRONIKA CYFROWA Mteriły y pomocnicze do wykłd dów Dl AiZ zoczne inŝynierskie, sem Wykorzystne mteriły Łub T Ukłdy logiczne, PW 26 Wenck A NOTATKI Z TECHNIKI CYFROWEJ PW 26 wwwelektronikorgpl Wprowdzenie
WYKŁAD 7. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Macierzowa Metoda Rozwiązywania Układu Równań Cramera
/9/ WYKŁ. UKŁY RÓWNŃ LINIOWYCH Mcierzow Metod Rozwiązywi Ukłdu Rówń Crmer Ogól postć ukłdu rówń z iewidomymi gdzie : i i... ozczją iewidome; i R k i R i ik... ;... efiicj Ukłdem Crmer zywmy tki ukłd rówń