Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Transkrypt

1 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

2 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy Niech f (x) ozncz funkcję ogrniczoną n przedzile domkniętym <, b >. Niech P 1, P,..., P m,... będą różnym podziłmi przedziłu <, b >. Podził P m jest osiągnięty przy pomocy n m 1 liczb x 1, x,..., x nm 1, przy czym = x < x 1 < x <... < x nm 1 < x nm = b. Przedziły < x i 1, x i >, gdzie i = 1,,..., n m, nzywmy przedziłmi cząstkowymi podziłu P m. Długości ich x i x i 1 będziemy oznczli przez x i Niech δ m = mx x i orz i S m = n m i=1 f (c i ) x i, przy podzile P m orz dowolnie wybrnych punktów c i < x i 1, x i >, i = 1,,..., n m. Ciąg podziłów nzywmy normlnym ciągiem podziłów, jeżeli lim m δ m = Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

3 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy Definicj Jeżeli ciąg {S m } dl m jest zbieżny i do tej smej grnicy przy kżdym normlnym ciągu podziłów, niezleżnie od wyboru punktów c i, to funkcję f (x) nzywmy funkcją cłkowlną w przedzile <, b >. Grnicę ciągu {S m } nzywmy cłką oznczoną funkcji f (x) w grnicch od do b i oznczmy symbolem f (x) dx Jeżeli przy jkimś ciągu normlnym podziłów ciąg {S m } m grnicę niezleżną od wyboru punktów c i, to funkcj f (x) jest cłkowln. Funkcj ciągł w przedzile domkniętym jest cłkowln Funkcj ogrnicznon w przedzile domkniętym orz ciągł w nim z wyjątkiem co njwyżej skończonej liczby liczby punktów jest cłkowln. Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

4 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 Jeżeli b b c, to c f (x) dx = c c f (x) dx + b f (x) dx Stły czynnik możn wyłączyć przed znk cłki kf (x) dx = k f (x) dx 3 Cłk sumy równ się sumie cłek (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

5 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 Jeżeli b b c, to c f (x) dx = c c f (x) dx + b f (x) dx Stły czynnik możn wyłączyć przed znk cłki kf (x) dx = k f (x) dx 3 Cłk sumy równ się sumie cłek (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

6 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 Jeżeli b b c, to c f (x) dx = c c f (x) dx + b f (x) dx Stły czynnik możn wyłączyć przed znk cłki kf (x) dx = k f (x) dx 3 Cłk sumy równ się sumie cłek (f (x) + g(x)) dx = f (x) dx + g(x) dx Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

7 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 Jeżeli funkcj f (x) jest ciągł w przedzile <, b >, to zchodzi f (x) dx = f (c)(b ), dl pewnego c z przedziłu <, b > Jeżeli funkcj f (t) jest ciągł w przedzile <, b >, to funkcj h(x) = x f (t) dt jest ciągł i różniczkowln względem zmiennej x w przedzile <, b > i w kżdym punkcie tego przedziłu zchodzi związek h (x) = f (x). 3 ZWIĄZEK MIĘDZY CAŁKĄ OZNACZONĄ A NIEOZNACZONĄ. Jeżeli prz F (x) oznczymy funkcję pierwotną funkcji f (x), ciągłej w przedzile <, b >, tzn. jeżeli F (x) = f (x), to m miejsce wzór f (x) dx = F (b) F () Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

8 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 Jeżeli funkcj f (x) jest ciągł w przedzile <, b >, to zchodzi f (x) dx = f (c)(b ), dl pewnego c z przedziłu <, b > Jeżeli funkcj f (t) jest ciągł w przedzile <, b >, to funkcj h(x) = x f (t) dt jest ciągł i różniczkowln względem zmiennej x w przedzile <, b > i w kżdym punkcie tego przedziłu zchodzi związek h (x) = f (x). 3 ZWIĄZEK MIĘDZY CAŁKĄ OZNACZONĄ A NIEOZNACZONĄ. Jeżeli prz F (x) oznczymy funkcję pierwotną funkcji f (x), ciągłej w przedzile <, b >, tzn. jeżeli F (x) = f (x), to m miejsce wzór f (x) dx = F (b) F () Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

9 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 Jeżeli funkcj f (x) jest ciągł w przedzile <, b >, to zchodzi f (x) dx = f (c)(b ), dl pewnego c z przedziłu <, b > Jeżeli funkcj f (t) jest ciągł w przedzile <, b >, to funkcj h(x) = x f (t) dt jest ciągł i różniczkowln względem zmiennej x w przedzile <, b > i w kżdym punkcie tego przedziłu zchodzi związek h (x) = f (x). 3 ZWIĄZEK MIĘDZY CAŁKĄ OZNACZONĄ A NIEOZNACZONĄ. Jeżeli prz F (x) oznczymy funkcję pierwotną funkcji f (x), ciągłej w przedzile <, b >, tzn. jeżeli F (x) = f (x), to m miejsce wzór f (x) dx = F (b) F () Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

10 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 Jeżeli u i v są funkcjmi zmiennej x mjącymi ciągłą pochodną, to u dv = [uv] b vdu. Jest to wzór n cłkownie przez części dl cłek oznczonych. Jeżeli g (x) jest funkcją ciągłą, g(x) funkcją rosnącą w przedzile <, b >, f (u) funkcją ciągłą w przedzile < g(), g(b) >, to zchodzi nstępujący wzór: f (g(x))g (x) dx = g(b) g() f (u) du Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

11 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 Jeżeli u i v są funkcjmi zmiennej x mjącymi ciągłą pochodną, to u dv = [uv] b vdu. Jest to wzór n cłkownie przez części dl cłek oznczonych. Jeżeli g (x) jest funkcją ciągłą, g(x) funkcją rosnącą w przedzile <, b >, f (u) funkcją ciągłą w przedzile < g(), g(b) >, to zchodzi nstępujący wzór: f (g(x))g (x) dx = g(b) g() f (u) du Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

12 Przykłdy Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 π x sin x dx = 1 π xd(cos x) = [ x cos x] 1 π + 1 π cosx dx = [sin x] 1 π = 1 Poniewż x sin(x ) dx = cos(x ) + C, mmy π/ [ cos(x x sin(x ) ) dx = ] π/ Poniewż e x x dx = e x ( 1 + x) + C, mmy 5 3 ( cos((π/) ) ) = cos( ) e x x dx = [e x ( 1 + x)] 3 = e 3 ( 1 + 3) e ( 1 + ) ln(x) dx = 5 x ln(x) dx = [xln(x)] 5 5 x 1 x dx = = 5 ln(5) ln() (5 ) Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

13 Przykłdy Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 π x sin x dx = 1 π xd(cos x) = [ x cos x] 1 π + 1 π cosx dx = [sin x] 1 π = 1 Poniewż x sin(x ) dx = cos(x ) + C, mmy π/ [ cos(x x sin(x ) ) dx = ] π/ Poniewż e x x dx = e x ( 1 + x) + C, mmy 5 3 ( cos((π/) ) ) = cos( ) e x x dx = [e x ( 1 + x)] 3 = e 3 ( 1 + 3) e ( 1 + ) ln(x) dx = 5 x ln(x) dx = [xln(x)] 5 5 x 1 x dx = = 5 ln(5) ln() (5 ) Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

14 Przykłdy Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 π x sin x dx = 1 π xd(cos x) = [ x cos x] 1 π + 1 π cosx dx = [sin x] 1 π = 1 Poniewż x sin(x ) dx = cos(x ) + C, mmy π/ [ cos(x x sin(x ) ) dx = ] π/ Poniewż e x x dx = e x ( 1 + x) + C, mmy 5 3 ( cos((π/) ) ) = cos( ) e x x dx = [e x ( 1 + x)] 3 = e 3 ( 1 + 3) e ( 1 + ) ln(x) dx = 5 x ln(x) dx = [xln(x)] 5 5 x 1 x dx = = 5 ln(5) ln() (5 ) Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

15 Przykłdy Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Definicj Włsności Przykłdy 1 π x sin x dx = 1 π xd(cos x) = [ x cos x] 1 π + 1 π cosx dx = [sin x] 1 π = 1 Poniewż x sin(x ) dx = cos(x ) + C, mmy π/ [ cos(x x sin(x ) ) dx = ] π/ Poniewż e x x dx = e x ( 1 + x) + C, mmy 5 3 ( cos((π/) ) ) = cos( ) e x x dx = [e x ( 1 + x)] 3 = e 3 ( 1 + 3) e ( 1 + ) ln(x) dx = 5 x ln(x) dx = [xln(x)] 5 5 x 1 x dx = = 5 ln(5) ln() (5 ) Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

16 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Cłki funkcji nieogrniczonych Cłki oznczone w przedzile nieskończonym Definicj Jeżeli funkcj f (x) jest ogrniczon i cłkowln w kżdym przedzile x c h, h >, orz w kżdym przedzile c + k x b, k >, i jeżeli istnieją grnice lim h + c h f (x) dx orz lim f (x) dx, k + c+k to sumę tych grnic nzywmy cłką niewłściwą funkcji f (x) w przedzile <, b > i oznczmy symbolem f (x) dx W podnej definicji chodzi o funkcje, które w kżdym otoczeniu (c δ, c + δ), δ >, są niogrnczone. W punkcie c funkcj może nwet nie być okreśłon. Jeżeli przynjmniej jedn z grnic nie istnieje, to mówimy, że cłk jest rozbieżn. Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

17 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Cłki funkcji nieogrniczonych Cłki oznczone w przedzile nieskończonym Jeżeli punktem nieogrniczoności jest jeden z końców przedziłu <, b >, to przez cłkę niewłściwą rozumiemy odpowiednio Przykłd: dx x dx = lim 3 k lim f (x) dx lbo lim f (x) dx, h + +h k + 3 ε + ε dx x dx = lim ε + ( 3 ε ) Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

18 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Cłki funkcji nieogrniczonych Cłki oznczone w przedzile nieskończonym Definicj Jeżeli funkcj f (x) jest ogrniczon i cłkowln w kżdym przedzile skończonym x v ( ustlone, v dowolne) orz istnieje grnic v lim f (x) dx, v to grnicę tę nzywmy cłką niewłściwą funkcji f (x) w przedzile x < i oznczmy symbolem f (x) dx. Anlogicznie określ się znczenie symbolu f (x) dx. u lim u f (x) dx jko grnicę Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

19 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Cłki funkcji nieogrniczonych Cłki oznczone w przedzile nieskończonym Przykłd. Chcemy obliczyć cłkę ( 1 x + ) 1 x dx. Poniewż ( x + 1 x ) dx = 4 x x 1 3x 3, mmy ( 1 x + ) 1 ( x dx = limv 4 v v 1 3v ( 4 1/3) ) 3 Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

20 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Twierdzenie Tylor Złożenie: f C n+1 (<, b >), < x < b. Tez: f (x) = f () + x f (1) (x ) () + f () () !! (x x )n + f (n) (x t) n () + f (n+1) (t) dt n! n! Osttni wyrz często nzyw się n tą resztą i ozncz przez R n (x, ). Lgrnge pokzł, że R n (x, ) = (x )n+1 (n+1)! f (n+1) ( + θ(x )) θ 1 Szereg potęgowy f (x) = f () + n=1 f (n) () n! (x ) n nzywmy szeregiem Tylor. Dl = szerec Tylor nzyw się szeregiem Mclurin. Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

21 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Twierdzenie Funkcj jest rozwijln w szereg Tylor w przedzile ( δ, + δ), δ >, jeżeli w tym przedzile: 1. funkcj m pochodne kżdego rzędu. lim n R n(x, ) = dl x z przedziłu ( δ, + δ) Wrunek. jest w szczególności spełniony, jeżeli istnieje M > tkie, że f (n) (x) < M x ( δ,+δ) Przykłdy. e x = 1 + x + x! + x 3 3! x n n! +... sin x = x x 3 3! + x 4 4! !... + x 4k+1 (4k+1)! x 4k+3 (4k+3)! +... Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

22 MACIERZE Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Mcierz wymiru m n Mcierz A wymiru m n jest prostokątną tblicą elementów ij, i = 1,... m, j = 1,..., n: n 1... n A = m1 m... mn Elementmi mcierzy mogą być liczby rzeczywiste, zespolone i inne jeszcze obiekty. Będziemy oznczć w skrócie A = ( ij ) Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

23 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Mcierz zerow to mcierz, której wszystkie elementy są równe zero Trnspozycją mcierzy A = ( ij ) o wymirch m n jest mcierz A T = ( ji ) o wymirch n m O mcierzy A wymiru m n powiemy, że jest kwdrtow, jeżeli m = n Mcierz A jest symetryczn, gdy jest kwdrtow orz zchodzi wrunek A T = A Mcierz A = ( ij ) jest digonln, jeżeli jest kwdrtow orz ij = dl i j Mcierz identycznościow I : mcierz digonln, któr m sme jedynki n przekątnej Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

24 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Sumą mcierzy A = ( ij ) orz B = (b ij ) o jednkowych wymirch jest mcierz A + B = ( ij + b ij ) Różnicą mcierzy A = ( ij ) orz B = (b ij ) o jednkowych wymirch jest mcierz A B = ( ij b ij ) Mnożenie mcierzy A = ( ij ) przez liczbę α: αa = (α ij ) Przemienność, łączność orz rozdzielność mnożeni mcierzy przez liczbę (α, β R): αa = Aα, α(βa) = (αβ)a, (α ± β)a = αa ± βb, α(a ± B) = αa ± αb Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

25 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Mnożenie mcierzy A = ( ij ) wymiru m n przez wektor v = [v 1,..., v n ] T : n 1... n A =..... m1 m... mn v 1 v. v n = 11 v v n v n 1 v 1 + v n v n. m1 v 1 + m v mn v n Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

26 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Mnożenie mcierzy A = ( ij ) wymiru m n przez mcierz B = (b 1, b,..., b k ) wymiru n k: AB = (Ab 1, Ab,..., Ab k ) Trnspozycj mnożenie mcierzy: (AB) T = B T A T Rząd mcierzy Dl kżdej mcierzy A mksymln liczb r liniowo niezleżnych kolumn jest równ mksymlnej liczbie liniowo niezleżnych wierszy. Liczbę r nzywmy rzędem mcierzy, symbolicznie ozncznym przez R(A) Mcierz nieosobliw: Mcierz kwdrtow A wymiru n n, dl której R(A)=n. Mcierz odwrotn A 1 do mcierzy kwdrtowej A: A 1 A = I = AA 1 Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

27 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Wyzncznik mcierzy A wymiru n n (kwdrtowej) Wyzncznik to funkcj (oznczon przez det) o włsnościch: det(i ) = 1 det : { zbiór mcierzy kwdrtowych} R det(a) = jeżeli A m dw sąsiednie wiersze równe det jest funkcją liniową względem dowolnego wiersz Uwg: istnieje tylko jedn tk funkcj Uwg: N nstępnych sljdch A(ij) ozncz mcierz powstłą z mcierzy A poprzez usunięcie z niej i-tego wiersz orz j tej kolumny. Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

28 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Włsności wyznczników: Twierdzenie Lplce dl kolumn: dl i = 1,..., n det(a) = det(a) = R(A) < n n ij ( 1) i+j det(a(i, j)) i=1 det(a) = det(b), jeżeli B powstje z A przez zminę miejscmi dwóch wierszy mcierzy A det(a) = det(b), jeżeli B powstje z A przez dodnie/odjęcie od dnego wiersz innego wiersz przemnożonego przez dowolną liczbę Twierdzenie Cuchy ego: det(ab) = det(a)det(b) Jeżeli R(A) = n (mcierz A jest pełnego rzędu), to det(a 1 ) = (det(a)) 1 Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

29 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Włsności wyznczników: Twierdzenie Lplce dl wierszy: dl i = 1,..., n det(a) = n ij ( 1) i+j det(a(i, j)) j=1 det(a) = det(b), jeżeli B powstje z A przez zminę miejscmi dwóch kolumn mcierzy A det(a) = det(b), jeżeli B powstje z A przez dodnie/odjęcie od dnej kolumny innej kolumny przemnożonej przez dowolną liczbę det(a) jest funkcją liniową dowolnej kolumny det(a T ) = det(a) Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

30 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Niech A = ( ij ) mcierz wymiru n n, c = [c 1,..., c n ] T orz x = [x 1,..., x n ] T. Mcierz A orz wektor c trktujemy jko znne, wektor x jko nieznny (wektor niewidomych). Interesuje ns rozwiąznie ukłdu równń Ax = c, tzn. 11 x x n x n = c 1 1 x 1 + x n x n = c. n1 x 1 + n x nn x n = c n Twierdzenie. Jeżeli det(a), to powyższy ukłd równń liniowych m dokłdnie jedno rozwiąznie. Rozwiąznie to możn uzyskć z pomocą wzorów Crmer: x i = det( 1,,..., i 1, c, i+1,... n ), i = 1,,..., n, det(a) gdzie i ozncz i tą kolumnę mcierzy A Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

31 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Niech A = ( ij ) mcierz wymiru m n, c = [c 1,..., c m ] T orz x = [x 1,..., x n ] T. Interesuje ns rozwiąznie ukłdu równń Ax = c, tzn. 11 x x n x n = c 1 1 x 1 + x n x n = c. m1 x 1 + m x mn x n = c m Niech n n c n A = B = 1... n c m1 m... mn m1 m... mn c m Twierdzenie Kronecker-Cpellego. Powyższy ukłd równń liniowych m rozwiąznie wtedy i tylko wtedy, gdy R(A) = R(B) = r, przy tym 1) jeżeli r = n, to ukłd m jedno rozwiąznie, ) jeżeli r < n, to ukłd m nieskończenie wiele rozwiązń i są one zleżne od n r prmetrów. Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

32 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Niech A = ( 1,..., n ) będzie mcierzą wymiru n n. Wektory 1,..., n są jej kolumnmi. Oznczmy przez da ij wyzncznik z mcierzy ( 1,..., i 1, e i, i+1,..., n ), któr powstł z A poprzez zminę kolumny j n wektor e i = [,...,, 1,,..., ] T (który n i tym miejscu m jedynkę, poz tym sme zer). Mcierz stowrzyszon AdjA do mcierzy A: da 11 da 1... da 1n da 1 da... da n AdjA = da n1 da n... da nn Twierdzenie: Mcierz odwrotną do mcierzy A możn wyznczyć według wzoru: A 1 1 = AdjA ( det(a) ) Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

33 Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Form kwdrtow Niech x = [x 1,..., x n ] T będzie wektorem n wymirowym orz niech A = ( ij ) będzie mcierzą symetryczną stopni n (wymiru n n). Odwzorownie x x T Ax = n n i=1 j=1 ijx i x j nzywmy formą kwdrtową Mcierz symetryczn A jest dodtnio określon: x T Ax > dl kżdego x (piszemy A > ) ujemnie określon: x T Ax < dl kżdego x (piszemy A < ) niedodtnio określon: x T Ax dl kżdego x (piszemy A ) nieujemnie określon: x T Ax dl kżdego x (piszemy A ) Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki

34 Kryterium Sylvester Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Podstwowe definicje Dziłni n mcierzch - podstwy Wyzncznik mcierzy Ukłd równń liniowych Formy kwdrtowe i ich określoność Mcierz symetryczn A = ( ij ) stopni n jest dodtnio określon wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej wiodące minory główne są dodtnie: 11 > k 1... k det..... >, dl k =,..., n k1 k... kk Uwg: Jeżeli chcemy sprwdzić, czy mcierz jest ujemnie określon, nleży sprwdzić, czy mcierz A jest określon dodtnio Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki