Analiza matematyczna i algebra liniowa

Transkrypt

1 Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy równń liniowych. Mteriły przygotowne w rmch projektu Uruchomienie uniktowego kierunku studiów Informtyk Stosown odpowiedzią n zpotrzebownie rynku prcy ze środków Progrmu Opercyjnego Kpitł Ludzki współfinnsownego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego nr umowy UDA POKL /09-00

2 Temt 1: Mcierze liczbowe Mteriły pomocnicze dl studentów Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Celem wykłdu jest zpoznnie studentów z podstwmi rchunku mcierzowego wskznie n rolę rchunku mcierzowego jko dogodnego nrzędzi do opisu i nlizy procesów ekonomicznych. Ze względu n szczupłe rmy czsowe wykłd ogrniczony zostnie do mcierzy liczbowych nleży jednk wspomnieć o ogólniejszym podejściu. 1. Podstwowe definicje. Definicj. Mcierzą liczbową o m wierszch i n kolumnch nzywmy dowolne odwzorownie A :{ 1 m } { 1 n} R. 2. Rodzje mcierzy. mcierz kwdrtow mcierz przekątniow lub digonln mcierz jednostkow mcierz symetryczn mcierz skośnie symetryczn mcierz prostokątn mcierz zerow mcierz trnsponown 3. Dziłni n mcierzch. Dodwnie Mnożenie przez liczbę Odejmownie mcierzy Mnożenie mcierzy przez mcierz Uniwersytet Ekonomiczny w Krkowie 2

3 4. Włsności dziłń n mcierzch. Mteriły pomocnicze dl studentów Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Wymienione wyżej dziłni mją nstępujące włsności (zkłdmy że wszystkie wskzne dziłni są wykonlne): A + 0 = 0 + A = A A I = A I A = A A + B = B + A ( A + B) + C = A + ( B + C) ( A B) C = A ( B C) A ( B + C) = ( A B) + ( A C) ( A + B) C = ( A C) + ( B C) ( + b) A = ( A) + ( b A) ( A + B) = ( A) + ( B) b A = b A ( ) ( ) A T = T ( ) A T T T ( A B) = A + B + T T ( A) = A T T T ( A B) = B A. 5. Definicj rekurencyjn wyzncznik. podwyzncznik lub minor dopełnienie lgebriczne Definicj wyzncznik (w zleżności od stopni). = gdy n = 1. I II. 11 i1 n1 12 i2 n2 1n in nn = D + D + + i1 i1 i2 i2 in D in dl i = 1 n gdy n > 1. Definicj. Mcierz kwdrtową której wyzncznik jest różny od 0 nzywmy mcierzą nieosobliwą. Mcierz kwdrtową której wyzncznik jest równy 0 nzywmy mcierzą osobliwą. Uniwersytet Ekonomiczny w Krkowie 3

4 Mteriły pomocnicze dl studentów Anliz mtemtyczn i lgebr liniow 6. Schemty obliczni wyznczników stopni drugiego i trzeciego. 7. Włsności wyznczników. Włsności. Wyzncznik mcierzy prostej jest równy wyzncznikowi mcierzy trnsponownej. Z włsności tej wynik że wszystkie twierdzeni odnoszące się do wierszy wyznczników prwdziwe są tkże w odniesieniu do jego kolumn. Jeżeli w wyznczniku przestwimy dw wiersze (kolumny) to wrtość wyzncznik zmieni się n przeciwną. Jeżeli w wyznczniku dw wiersze (kolumny) są proporcjonlne to wrtość wyzncznik jest równ 0. Wyzncznik możn obliczyć rozwijjąc go względem któregokolwiek wiersz lub kolumny. Wynik stąd że wyzncznik którego pewien wiersz (kolumn) skłd się z smych 0 jest równy 0. Jeżeli do pewnego wiersz (kolumny) dodmy wielokrotność innego wiersz (kolumny) to wrtość wyzncznik nie ulegnie zminie. Wyzncznik mcierzy trójkątnej jest równy iloczynowi elementów głównej przekątnej. Jeżeli A i B są mcierzmi kwdrtowymi tego smego stopni to A B = A B. 8. Oblicznie wyznczników stopni wyższego. Uniwersytet Ekonomiczny w Krkowie 4

5 9. Definicj mcierzy odwrotnej. Mteriły pomocnicze dl studentów Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Definicj. Mcierzą odwrotną do mcierzy nieosobliwej A nzywmy tką mcierz A -1 że: AA = A 1 A = I 1. Włsności. 1 1 ( A ) = A 1 1 ( ) 1 B = B A A 1 ( ) ( ) 1 T = A T A 1 1 A = A. 10. Wyzncznie mcierzy odwrotnej metodą dopełnień lgebricznych. Jeżeli wyzncznik mcierzy A jest różny od 0 to mcierz A jest odwrcln orz A T = D gdzie D jest mcierzą dopełnień lgebricznych elementów mcierzy A. A Wyzncznie mcierzy odwrotnej metodą opercji elementrnych. Opercjmi elementrnymi n wierszch mcierzy nzywmy nstępujące przeksztłceni: przestwienie dwóch wierszy pomnożenie wiersz przez liczbę różną od 0 dodnie wielokrotności pewnego wiersz do innego wiersz. Anlogiczne opercje elementrne możn wykonywć n kolumnch mcierzy Uniwersytet Ekonomiczny w Krkowie 5

6 Mteriły pomocnicze dl studentów Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Kżd opercj elementrn n wierszch mcierzy sprowdz się do pomnożeni tej mcierzy z lewej strony przez mcierz jednostkową n której wierszch wykonno tę opercję elementrną. Jeżeli pewien ciąg opercji elementrnych przeprowdz mcierz A do mcierzy jednostkowej I to ten sm ciąg opercji elementrnych przeprowdz mcierz jednostkową I do mcierzy odwrotnej A Równni mcierzowe. Pytni kontrolne: 1. Ile jest mcierzy zerowych i ile jest mcierzy jednostkowych? 2. Czy zpis A I = I A = A jest poprwny? 3. Czy kżd mcierz m mcierz odwrotną? 4. Czy z równości AB = I wynik że B jest mcierzą odwrotną do A? 5. Czy schemt Srrus możn zstosowć do obliczni wyzncznik stopni 4? 6. W jkich przypdkch wyzncznik jest równy 0? 7. Przy jkich przeksztłcenich wyzncznik nie zmieni swojej wrtości? 8. Któr z poznnych metod wyznczni mcierzy odwrotnej jest prostsz? Uniwersytet Ekonomiczny w Krkowie 6

7 Temt 2: Ukłdy równń liniowych Mteriły pomocnicze dl studentów Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Celem wykłdu jest zpoznnie studentów z mcierzowymi metodmi rozwiązywni ukłdów równń liniowych. 1. Rząd mcierzy. Definicj. Rzędem mcierzy nzywmy njwyższy stopień wyzncznik różnego od 0 który d się wyjąć z tej mcierzy. Rząd mcierzy A oznczć będziemy symbolem rz A lub R(A). 2. Podstwowe definicje zpis mcierzowy. Definicj. Ukłdem m równń liniowych o n niewidomych x 1 xn nzywmy ukłd równń postci: 11x1 + 12x nxn = b1 21x1 + 22x nxn = b2. m1x1 + m2x2 + + mnxn = bm Współczynniki ij orz wyrzy wolne b i są zdnymi liczbmi. Rozwiązniem ukłdu równń nzywmy kżdy ciąg n liczb które po podstwieniu w miejsce niewidomych zmieniją ten ukłd w ukłd równości prwdziwych. Uniwersytet Ekonomiczny w Krkowie 7

8 3. Rodzje ukłdów równń. Mteriły pomocnicze dl studentów Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Ukłdy równń liniowych możn dzielić n rodzje w zleżności od różnych kryteriów: jednorodne gdy niejednorodne gdy oznczone gdy nieoznczone gdy sprzeczne gdy równowżne gdy 4. Ukłd Crmer rozwiązywnie z pomocą mcierzy odwrotnej. Definicj. Ukłdem Crmer nzywmy tki ukłd równń liniowych którego mcierz współczynników jest nieosobliwą mcierzą kwdrtową. Kżdy ukłd Crmer A X = B m dokłdnie jedno rozwiąznie (jest ukłdem oznczonym). Jego rozwiąznie określ wzór: X = A 1 B. Uniwersytet Ekonomiczny w Krkowie 8

9 Mteriły pomocnicze dl studentów Anliz mtemtyczn i lgebr liniow 5. Ukłd Crmer rozwiązywnie z pomocą wzorów Crmer. Kżdy ukłd Crmer m dokłdnie jedno rozwiąznie dne z pomocą wzorów Crmer: Ai xi = i = 12 n A gdzie wyzncznik A i otrzymujemy z wyzncznik A przez zstąpienie i-tej kolumny kolumną wyrzów wolnych. 6. Ukłd dowolny. Twierdzenie Kronecker-Cpellego. Ukłd równń liniowych m rozwiąznie wtedy i tylko wtedy gdy rząd mcierzy współczynników jest równy rzędowi mcierzy uzupełnionej tzn. rza = rzu. Wnioski. Jeżeli wspólny rząd mcierzy współczynników i mcierzy uzupełnionej jest równy ilości niewidomych tzn. rza = rzu = n to ukłd m tylko jedno rozwiąznie (ukłd oznczony). Jeżeli wspólny rząd mcierzy współczynników i mcierzy uzupełnionej jest mniejszy od ilości niewidomych tzn. rza = rzu = k < n to ukłd m nieskończenie wiele rozwiązń zleżnych od n-k prmetrów (ukłd nieoznczony). Jeżeli rzędy mcierzy współczynników i uzupełnionej są różne tzn. rza rzu to ukłd nie m rozwiązń (ukłd sprzeczny). Pytni kontrolne: 1. Czy rząd mcierzy może być większy niż ilość wierszy (kolumn)? 2. Co możn powiedzieć o rozwiązlności ukłdu jednorodnego? 3. Czy kżdy ukłd który m tyle smo równń co niewidomych jest ukłdem Crmer? 4. Dlczego rozwiąznie ogólne ukłdu nieoznczonego może mieć różne postcie? Uniwersytet Ekonomiczny w Krkowie 9