Wykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia
|
|
- Aleksandra Matysiak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykªd 1 Mcierze i wyznczniki 11 Mcierze podstwowe okre±leni Denicj 1 Mcierz (rzeczywist ) wymiru m n, gdzie m, n N, nzywmy prostok tn tblic zªo»on z m n liczb rzeczywistych ustwionych w m wierszch i n kolumnch n m1 m2 mn Mcierze b dziemy oznczli wielkimi litermi lfbetu np A, B, C, X itd Element mcierzy stoj cy w i tym wierszu orz w j tej kolumnie oznczmy przez ij Mcierz A mo»n zpisyw w postci ij m n lub ij, gdy znny jest jej wymir Mcierze A i B s równe, gdy mj tkie sme wymiry i gdy ij b ij, dl i {1, 2,, m}, j {1, 2,, n} Przykªd mcierz wymiru 2 2, B mcierz wymiru 1 4, C mcierz wymiru 4 3 Mmy tu: c 12 3, c Denicj 2 1 Mcierz wymiru m n, w której wszystkie elementy s zermi nzywmy mcierz 1
2 zerow wymiru m n i oznczmy 0 m n lub 0, gdy znmy jej wymir Mcierz, w której ilo± wierszy jest tk sm jk ilo± kolumn (m n) nzywmy mcierz kwdrtow Liczb kolumn (wierszy) nzywmy wtedy stopniem mcierzy kwdrtowej Elementy mcierzy, które mj tki sm numer wiersz i kolumny ( 11, 22, nn ) tworz gªówn przek tn mcierzy n n1 n2 nn 3 Mcierz kwdrtow stopni n 2, w której wszystkie elementy le» ce nd gªówn przek tn s równe 0, nzywmy mcierz trójk tn doln n1 n2 nn Anlogicznie okre±lmy mcierz trójk tn górn n 0 0 nn 4 Mcierz kwdrtow stopni n, w której wszystkie wyrzy nie stoj ce n gªównej przek tnej s równe 0, nzywmy mcierz digonln nn Mcierz digonln stopni n, w której wszystkie elementy n gªównej przek tnej s równe 1 nzywmy mcierz jednostkow i oznczmy I n lub I, gdy znmy jej Aktulizcj: 2 p¹dziernik
3 wymir I Zªó»my,»e mmy m n ró»nych mcierzy A ij, i 1, 2,, m, j 1, 2,, n Ustwmy te mcierze w m wierszch i n kolumnch Otrzymn w ten sposób mcierz A nzywmy mcierz blokow A 11 A 12 A 1n A 21 A 22 A 2n A m1 A m2 A mn Oczywi±cie mcierze A i1, A i2,, A in stoj ce w i tym wierszu musz mie te sme liczby wierszy Podobnie mcierze A 1j, A 2j,, A mj stoj ce w j tej kolumnie musz mie te sme liczby kolumn Przykªd 2 1 Mcierze zerowe , Mcierze kwdrtowe , Mcierze trójk tne górn i doln , Mcierz digonln Aktulizcj: 2 p¹dziernik
4 5 Mcierz jednostkow 6 Mcierz blokow Dziªni n mcierzch Denicj 3 Niech ij m n, B b ij m n Sum ró»nic mcierzy A i B nzywmy mcierz C c ij m n, której elementy okre±lone s wzormi c ij ij ± b ij, dl i {1, 2,, m}, j {1, 2,, n} Piszemy wtedy C A ± B Ztem, c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n 11 ± b ± b 12 1n ± b 1n 21 ± b ± b 22 2n ± b 2n c m1 c m2 c mn m1 ± b m1 m2 ± b m2 mn ± b mn Uwg 1 Z denicji wynik,»e dodw i odejmow mo»emy od siebie tylko mcierze tych smych wymirów Przykªd 3 Niech Wówczs A + B , B Denicj 4 Niech ij m n, α niech b dzie dowoln liczb rzeczywist Iloczynem mcierzy A przez liczb α nzywmy mcierz B b ij m n której elementy okre±lone s nst puj co: b ij α ij, Aktulizcj: 2 p¹dziernik
5 dl i {1, 2,, m}, j {1, 2,, n} Piszemy wtedy B α A Ztem b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n α 11 α 12 α 1n α 21 α 22 α 2n b m1 b m2 b mn α m1 α m2 α mn Przykªd 4 Niech Wówczs ( 2) Przykªd 5 Niech , B Obliczymy 3 A 4 B Mmy 3 A 4 B Przejdziemy terz do njtrudniejszego dziªni mno»eni mcierzy Denicj 5 Niech ij m n, B b ij n k Iloczynem mcierzy A i B nzywmy mcierz C c ij m k, której elementy okre±lone s wzormi c ij i1 b 1j + i2 b 2j + + in b nj dl i {1, 2,, m}, j {1, 2,, k} Piszemy wtedy C A B Uwg 2 Z denicji wynik,»e iloczyn A B jest wykonlny gdy ilo± kolumn mcierzy A jest tk sm jk ilo± wierszy mcierzy B Otrzymn mcierz m tyle wierszy ile miª mcierz A i tyle kolumn ile miª mcierz B Mno»enie mcierzy poleg ztem n mno»eniu kolejnych wierszy pierwszej mcierzy przez kolejne kolumny drugiej mcierzy (przez mno»enie rozumiemy tu znny ze szkoªy ±redniej iloczyn sklrny) Aktulizcj: 2 p¹dziernik
6 Przykªd 6 Niech , B Wówczs AB ( 2) ( 2) Uwg 3 Mno»enie mcierzy nie jest n ogóª przemienne Twierdzenie 1 Mmy nst puj ce wªsno±ci dziª«n mcierzch: 1 Je±li mcierz A m wymir m n orz mcierze B i C wymir n k, to A (B + C) AB + AC 2 Je±li mcierze A i B mj wymir m n orz mcierz C wymir n k, to (A + B) C AC + BC 3 Je±li mcierz A m wymir m n, mcierz B wymir n k orz α jest liczb rzeczywist, to A (αb) (αa) B α (AB) 4 Je±li mcierz A m wymir m n, mcierz B wymir n k orz mcierz C wymir k l, to (AB) C A (BC) 5 Je±li mcierz A m wymir m n, to AI n I m A Denicj 6 Niech ij m n Mcierz trnsponown do mcierzy A nzywmy mcierz B b ij n m okre±lon wzorem b ij ji, dl i {1, 2,, m}, j {1, 2,, n} Piszemy wtedy B A T Uwg 4 Trnsponownie mcierzy poleg wi c n zminie wierszy z kolumnmi Aktulizcj: 2 p¹dziernik
7 Przykªd 7 Niech Wówczs A T Twierdzenie 2 Mmy nst puj ce wªsno±ci trnsponowni mcierzy 1 Je±li mcierze A i B mj wymir m n, to (A + B) T A T + B T 2 Je±li mcierz A m wymir m n orz α R, to ( ) A T T A orz (αa) T αa T 3 Je±li mcierz A m wymir m n,, mcierz B wymir n k, to 13 Wyzncznik mcierzy (AB) T B T A T Denicj 7 Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej A nzywmy liczb det A, okre- ±lon w sposób nst puj cy: 1 je±li mcierz A m stopie«n 1 ( 11 ), to 2 je±li A m stopie«n 2, to det 11, det ( 1) det A 11 + ( 1) det A ( 1) 1+n 1n det A 1n, gdzie A ij ozncz mcierz stopni n 1, powstª z mcierzy A przez skre±lenie i tego wiersz i j tej kolumny Uwg 5 Okre±lmy stopie«wyzncznik z mcierzy jko stopie«tej mcierzy Je±li n, n1 n2 nn Aktulizcj: 2 p¹dziernik
8 to wyzncznik det A oznczmy równie» jko det n n1 n2 nn lbo n n1 n2 nn Uwg 6 Dl mcierzy stopni n 2 wyzncznik liczymy w nst puj cy sposób det c b d d cb Uwg 7 Dl mcierzy stopni n 3 wyzncznik liczymy stosuj c tzw metod Srrus b c det d e f g h i b c d e f g h i d g b e h ei + bfg + cdh ceg fh bdi Denicj 8 Niech ij b dzie mcierz kwdrtow stopni n 2 Wówczs dopeªnieniem lgebricznym elementu ij mcierzy A nzywmy liczb D ij ( 1) i+j det A ij, gdzie A ij ozncz mcierz stopni n 1, powstª z mcierzy A przez skre±lenie i tego wiersz i j tej kolumny Przykªd 8 Niech Wówczs D 13 ( 1) , D 23 ( 1) ( 8) Aktulizcj: 2 p¹dziernik
9 Twierdzenie 3 Niech ij b dzie mcierz kwdrtow stopni n 2 Ustlmy liczby nturlne i, j {1, 2,, n} Wtedy wyzncznik mcierz A mo»emy obliczy z nst puj cych wzorów det i1 D i1 + i2 D i2 + + in D in, (11) det 1j D 1j + 2j D 2j + + nj D nj (12) Uwg 8 Wzór (11) mówi,»e wyzncznik mcierzy A jest równy sumie iloczynów wyrzów i tego wiersz i ich dopeªnie«lgebricznych Wzór ten nzywmy rozwini ciem Lplce' wzgl dem i tego wiersz Wzór (12) mówi,»e wyzncznik mcierzy A jest równy sumie iloczynów wyrzów j tej kolumny i ich dopeªnie«lgebricznych Wzór ten nzywmy rozwini ciem Lplce' wzgl dem j tej kolumny Przykªd 9 Niech obliczymy det A rozwini ciem Lplce' wzgl dem 2 ego wiersz, nst pnie wzgl dem 3 ej kolumny det 4 ( 1) ( 1) ( 1) , 4 ( 1) + 2 ( 2) + ( 3) ( 8) 24 W drugim przypdku mmy: det 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 3) ( 8) Wªsno±ci wyznczników W rozdzile tym przedstwimy podstwowe wªsno±ci wyznczników, które b d brdzo pomocne przy ich obliczniu Twierdzenie 4 Wyzncznik mcierzy trójk tnej górnej lub dolnej równy jest iloczynowi wyrzów n gªównej przek tnej nn, n1 n2 nn Aktulizcj: 2 p¹dziernik
10 0 22 2n 0 0 nn nn Twierdzenie 5 Mmy nst puj ce wªsno±ci wyznczników 1 Wyzncznik mcierzy kwdrtowej mj cej kolumn lbo wiersz zªo»one z smych zer jest równy zero 2 Wyzncznik mcierzy mj cej dwie identyczne kolumny lbo dw identyczne wiersze jest równy zero 3 Wyzncznik mcierzy dnej i trnsponownej s równe 4 Je±li w mcierzy kwdrtowej przestwimy mi dzy sob dwie kolumny lbo dw wiersze, to wyzncznik zmieni znk n przeciwny 5 Je±li wszystkie wyrzy kolumny lub wiersz w dnej mcierzy kwdrtowej mj wspólnych czynnik, to czynniki ten mo»emy wyª czy przed znk wyzncznik 11 c 12 1n det 21 c 22 2n c det n, n1 c n2 nn n1 n2 nn det c 21 c 22 c 2n c det n n1 n2 nn n1 n2 nn 6 Wyzncznik mcierzy nie zmieni si, je»eli do elementów dowolnej kolumny wiersz dodmy odpowidj ce im wyrzy innej kolumny wiersz pomno»one przez dowoln liczb Korzystj c z powy»szych wªsno±ci mo»n tk poprzeksztªc mcierz kwdrtow, by otrzym mcierz trójk tn, której wyzncznik jest brdzo ªtwo policzy korzystj c z Twierdzeni 4 Aby doprowdzi dn mcierz do postci trójk tnej wygodnie jest zstosow poni»szy lgorytm pochodz cy od C F Guss Algorytm Guss Niech dn b dzie mcierz kwdrtow (niezerow) ij n n 1 Dzielimy pierwsz kolumn mcierzy przez wyrz 11, tk by pierwszy wyrz nowej mcierzy byª równy 1 (gdy 11 0, przestwimy wiersze lbo kolumny mcierzy Aktulizcj: 2 p¹dziernik
11 A tk, by po przestwieniu wyrz nowy wyrz 11 byª ró»ny od zer oczywi±cie nle»y pmi t o zminie znku wyzncznik): n det n 21 k 1 k det n n1 n2 n1 nn 11 n2 nn 2 Od k»dego z wierszy (z wyj tkiem pierwszego) odejmujemy pierwszy wiersz pomno»ony przez pierwszy wyrz dnego wiersz: n 21 w 2 w 2 w det n 11 n1 w n w n w 1 n1 11 n2 11 nn n 0 11 det 22 2n 0 n2 nn Otrzymmy wtedy mcierz, w której pierwsz kolumn skªd si z pierwszego wyrzu równego 1 i smych zer 3 Kontynuujemy nsze post pownie dziel c drugi wiersz przez 22 i zeruj c kolejne (le» ce poni»ej) wyrzy drugiej kolumny, itd Uwg 9 Aby uªtwi wykonywne dziªni mo»n zmieni ze sob komuny lub wiersze mi dzy sob pmi tj c oczywi±cie o ewentulnej zminie znku wyzncznik Jest to w szczególno±ci konieczne, gdy wyrz 11 0 Uwg 10 Cz sto zmist dzieli wiersz, by otrzym wyrz 1 od kolejnych wierszy odejmuje si pierwszy wiersz mno»ony przez tkie wspóªczynniki, by wyzerow kolejne wyrzy poszczególnych kolumn Przykªd 10 Obliczy stosuj c lgorytm Guss: det w 2 w 2 3 w w 3 w w w 3 w w Aktulizcj: 2 p¹dziernik
12 15 Mcierz odwrotn Wykªd 1 Mcierze i wyznczniki Denicj 9 Niech A b dzie mcierz kwdrtow stopni n Mcierz odwrotn do mcierzy A nzywmy mcierz A 1, któr speªni wrunek AA 1 A 1 I n, gdzie I n jest mcierz jednostkow stopni n Przykªd 11 Niech wówczs Rzeczywi±cie orz 2 1, 5 3 A AA A Uwg 11 Je±li mcierz A posid mcierz odwrotn, to nzywmy j odwrcln Denicj 10 Mcierz kwdrtow A nzywmy osobliw, gdy det 0 W przeciwnym rzie mcierz A nzywmy nieosobliw Twierdzenie 6 Mcierz kwdrtow jest odwrcln wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliw: det A 0 Pondto, je±li mcierz ij stopni n jest nieosobliw, to D 11 D 12 D 1n A 1 1 D 21 D 22 D 2n det A D n1 D n2 D nn gdzie D ij oznczj lgebriczne dopeªnieni elementów ij mcierzy A Twierdzenie 7 Niech mcierze A i B b d mcierzmi odwrclnym tego smego stopni orz niech α 0 Wówczs mcierze A 1, A T, AB, αa orz A n (n N) s odwrclne, pondto: 1 det (A 1 ) (det A) 1 2 (A 1 ) 1 A 3 ( A ) T 1 (A 1 ) T 4 (AB) 1 B 1 A 1 5 (αa) 1 1 α A 1 6 (A n ) 1 (A 1 ) n T, Aktulizcj: 2 p¹dziernik
13 Przykªd 12 Wyznczy mcierz odwrotn do mcierzy Obliczmy wyzncznik det A det Obliczmy nst pnie dopeªnieni lgebriczne kolejnych elementów D 11 ( 1) , Ztem A D 12 ( 1) , D 13 ( 1) , D 21 ( 1) , D 22 ( 1) , D 23 ( 1) , D 31 ( 1) , D 32 ( 1) , D 33 ( 1) T Aktulizcj: 2 p¹dziernik
14 Podmy jeszcze jeden sposób znjdowni mcierzy odwrotnej W metodzie tej nie korzystmy z wyznczników Bezwyzncznikowy lgorytm znjdowni mcierzy odwrotnej Niech A b dzie mcierz nieosobliw Aby znle¹ mcierz A 1 post pujemy w nst puj cy sposób: 1 Z prwej strony mcierzy A dopisujemy mcierz jednostkow tego smego stopni n n1 n2 nn Dziªj c n wierszch tk przeksztªcmy otrzymn mcierz blokow A I by uzysk mcierz I B przy czym mo»emy: przestwi mi dzy sob dowolne wiersze, dowolny wiersz mno»y przez stª ró»n od zer, do elementów dowolnego wiersz dodw sumy innych wierszy pomno»onych prze dowolne liczby 3 Otrzymn w wyniku tych opercji mcierz B jest mcierz odwrotn do mcierzy A wiczenie 1 Znle¹ mcierz odwrotn do mcierzy korzystj c z bezwyzncznikowego lgorytmu Aktulizcj: 2 p¹dziernik
15 Skorowidz lgorytm - Guss, 10 - bezwyzncznikowy znjdowni mcierzy odwrotnej, 14 dopeªnienie lgebriczne, 8 iloczyn - mcierzy, 5 - mcierzy przez liczb, 4 Lplce' rozwini cie, 9 mcierz, 1 - blokow, 3 - digonln, 2 - jednostkow, 2 - kwdrtow, 2 - nieosobliw, 12 - odwrcln, 12 - odwrotn, 12 - osobliw, 12 - trójk tn - - doln, górn, 2 - trnsponown, 6 - zerow, 2 ró»nic - mcierzy, 4 Srrus metod, 8 stopie«mcierzy kwdrtowej, 2 sum - mcierzy, 4 wyzncznik mcierzy kwdrtowej, 7 15
Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach
Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoZestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy
Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ROZWIAZANIAMI Dodjąc( bądź odejmując) do siebie dw wektory (lub więcej), dodjemy (bądź odejmujemy) ich odpowiednie współrzędne
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Bardziej szczegółowoWyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.
Bardziej szczegółowoPODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach
PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR WYKŠAD II Maªgorzata Murat MACIERZ A rzeczywist (zespolon ) o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporz dkowanie ka»dej uporz dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
Bardziej szczegółowoPojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy
Temt: Mcierze Pojęci Dziłni n mcierzch Wyzncznik mcierzy Symbolem gwizdki (*) oznczono zgdnieni przeznczone dl studentów wybitnie zinteresownych prezentowną temtyką. Ann Rjfur Pojęcie mcierzy Mcierz to
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Mtemtyk 1 Šuksz Dwidowski Instytut Mtemtyki, Uniwersytet l ski Cªk oznczon Niech P = [, b] R b dzie przedziªem. Podziªem przedziªu P b dziemy nzywli k»d sko«czon rodzin Π = {P 1, P 2,..., P m } tkich przedziªów,»e
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoWyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A
Wzncznik mcierz Uwg Wzncznik definiujem tlko dl mcierz kwdrtowch:,,,,,, =,,,,,, n n n n nn n,,, det = n,,, n n nn - mcierz - wzncznik mcierz Wzncznik mcierz to wzncznik n wektorów, które stnowią kolumn
Bardziej szczegółowodet A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Bardziej szczegółowoMatematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej
Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:
Bardziej szczegółowoWektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoPochodne i całki, macierze i wyznaczniki
Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoPodstawowe działania w rachunku macierzowym
Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowo- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są
Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)
Bardziej szczegółowoGRAFY i SIECI. Graf: G = ( V, E ) - para uporządkowana
GRAFY podstwowe definicje GRAFY i SIECI Grf: G = ( V, E ) - pr uporządkown V = {,,..., n } E { {i, j} : i j i i, j V } - zbiór wierzchołków grfu - zbiór krwędzi grfu Terminologi: grf = grf symetryczny,
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoWykªad 8. Pochodna kierunkowa.
Wykªd jest prowdzony w opriu o podr znik Anliz mtemtyzn 2. enije, twierdzeni, wzory M. Gewert i Z. Skozyls. Wykªd 8. ohodn kierunkow. enij Nieh funkj f b dzie okre±lon przynjmniej n otozeniu punktu (x
Bardziej szczegółowoPEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje
PEWNIK DEDEKINDA i jego njprostsze konsekwencje W rozdzile ósmym stwierdziliśmy, że z podnych tm pewników nie wynik istnienie pierwistków z liczb rzeczywistych. Uzupe lnimy terz liste pewników jeszcze
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
Bardziej szczegółowoMacierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoAlgebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA
kdemi Morsk w Gdyni Ktedr utomtyki Okrętowej Teori sterowni lger mcierzow Mirosłw Tomer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W nowoczesnej teorii sterowni rdzo często istnieje potrze zstosowni notcji mcierzowej uprszczjącej
Bardziej szczegółowoPRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski
Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość
Bardziej szczegółowoRealizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowoPiotr Stefaniak. Materiały uzupełniające do wykładu Matematyka
Zchodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Piotr Stefnik Mteriły uzupełnijące do wykłdu Mtemtyk dl studentów Wydziłu Nuk o Żywności i Rybctwie Szczecin, 3 grudni 208 Spis treści Mcierze i
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowoZadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoWyrównanie sieci niwelacyjnej
1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowo4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.
Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoModele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
Pobrno ze strony www.sqlmedi.pl Modele odpowiedzi do rkusz Próbnej Mtury z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony Listopd 9 W kluczu sà prezentowne przyk dowe prwid owe odpowiedzi. Nle y równie uznç odpowiedzi
Bardziej szczegółowoRachunek wektorowo-macierzowy w programie SciLab
Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Rchuek wektorowo-mcierzowy w progrmie Scib Dziłi liczbch Dodwie i odejmowie + b 3 + = 5 b = + (-b) 3 = 3 + (-) = + 0 = + (-) = 0 Rchuek wektorowo-mcierzowy w
Bardziej szczegółowoMacierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,
Macierze Dziaªania na macierzach Niech b d dane macierze A = E = [ 2 3 0 3 2 3 2 0 [ 0 8, B = 4 2, F = [ 2 3, C = 3 2 2 3 0 0 0 4 0 6 3 0, G =, D = 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 0 2 2 0 0 5 0 2,, H = 0 0 4 0 0
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków Notatki z wykªadu. Maciej Paluszy«ski
Anliz mtemtyczn dl informtyków Nottki z wykªdu Mciej Pluszy«ski 5 styczni 9 Spis tre±ci Anliz mtemtyczn FAQ 3 Liczby rzeczywiste i zespolone 6 3 Funkcje 4 Ci gi 9 5 Szeregi 49 6 Grnic funkcji 63 7 Funkcje
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków Notatki z wykªadu. Maciej Paluszy«ski
Anliz mtemtyczn dl informtyków Nottki z wykªdu Mciej Pluszy«ski p¹dziernik 0 Spis tre±ci Anliz mtemtyczn FAQ 3 Liczby rzeczywiste i zespolone 6 3 Funkcje 3 4 Ci gi 3 5 Szeregi 5 6 Grnic funkcji 65 7 Funkcje
Bardziej szczegółowoWykład 7 Macierze i wyznaczniki
Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek sladek@ux2mathusedupl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7
Bardziej szczegółowoZadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Bardziej szczegółowoModele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
Modele odpowiedzi do rkusz Prónej Mtury z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony Listopd 009 W kluczu sà prezentowne przyk dowe prwid owe odpowiedzi. Nle y równie uznç odpowiedzi uczni, jeêli sà inczej sformu
Bardziej szczegółowoElementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Bardziej szczegółowoMatematyka II dla studentów Technologii Chemicznej
Mtemtyk II dl studentów Technologii Chemicznej Ilon IglewskNowk 17 lutego 16 r. Cªki oznczone Denicj 1 Podziªem odcink [, b] n n cz ±ci, n N, nzywmy zbiór gdzie = x < x 1 < < x n = b. P = {x, x 1,...,
Bardziej szczegółowo1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.
GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)
Bardziej szczegółowoX WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru
Bardziej szczegółowoMacierze w MS Excel 2007
Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schemat oceniania
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini sierpień 0 Poziom Podstwowy Schemt ocenini sierpień Poziom podstwowy Klucz punktowni zdń zmkniętych Nr zdni 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 4 5 Odpowiedź
Bardziej szczegółowoNotatki do wykªadu z analizy matematycznej I. Piotr Bartªomiejczyk opracowali Krzysztof Woyke i Šukasz Zªotowski
Nottki do wykªdu z nlizy mtemtycznej I Piotr Brtªomiejczyk oprcowli Krzysztof Woyke i Šuksz ªotowski Instytut Mtemtyki Uniwersytet Gd«ski Przedmow Spis tre±ci Rozdziª 1. Grnice ci gów i funkcji 1 1. Grnice
Bardziej szczegółowoELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Bardziej szczegółowoModele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
Modele odpowiedzi do rkusz Prónej Mtury z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony Listopd 009 W kluczu sà prezentowne przyk dowe prwid owe odpowiedzi. Nle y równie uznç odpowiedzi uczni, jeêli sà inczej sformu
Bardziej szczegółowoBiblioteka do operacji na macierzach w C++ przy u»yciu oblicze«za pomoc OpenMP
Biblioteka do operacji na macierzach w C++ przy u»yciu oblicze«za pomoc OpenMP Bartªomiej Kwiatek Streszczenie Projekt zrealizowany w ramach przedmiotu Programowanie Równolegªe i Rozproszone. Spis tre±ci
Bardziej szczegółowoWymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Bardziej szczegółowoCiaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć?
Kombinownie o nieskończoności.. Jk zmierzyć? Projekt Mtemtyk dl ciekwych świt spisł: Michł Korch 9 kwietni 08 Trochę rzeczy z wykłdu Prezentcj multimediln do wykłdu. Nieskończone sumy Będzie nm się zdrzć
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny
Bardziej szczegółowo2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne
2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,
Bardziej szczegółowoA A A A A A A A A n n
DODTEK NR GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy najważniejsze definicje rachunku macierzowego i omówimy niektóre funkcje i transformacje macierzy najbardziej przydatne w zastosowaniach numerycznych a w szczególności
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoZbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe
pojęci zbioru i elementu RCHUNEK ZIORÓW zbiór zwier element element nleży do zbioru jest elementem zbioru ( X zbiór wszystkich przedmiotów indywidulnych, których dotyczy dn nuk zbiór pełny (uniwerslny
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI
MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI Definicj 1. Niech A i B będą dowolnymi zbiormi. Zbiór A B = {(, b) : A b B} wszystkich pr uporządkownych (, b) tkich, że A i b B nzywmy iloczynem krtezjńskim zbiorów
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Uniwersytet Mikołj Kopernik w Toruniu Wydził Mtemtyki i Informtyki Krzysztof Frączek Anliz Mtemtyczn I Wykłd dl studentów I roku kierunku informtyk Toruń 206 Spis treści Liczby rzeczywiste 2 Ciągi liczbowe
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowoMATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory
MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,
Bardziej szczegółowoWzory uproszczonego mno zenia: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, a 2 b 2 = (a b) (a + b).
Wzory uproszczonego mno zeni: ( + b) = + b + b, ( b) = b + b, b = ( b) ( + b). Dzi ni n pot ¾egch: Dl ; y R orz ; b > 0 (dl pewnych wyk dników ; y z o zeni o ; b mog¾ być os bine w zle zności od sytucji)
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowoMATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic
MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoPOMIAR OGNISKOWEJ SOCZEWEK METODĄ BESSELA
Ćwiczenie 50 POMIAR OGNISKOWEJ SOCZEWEK METODĄ BESSELA 50.. Widomości ogólne Soczewką nzywmy ciło pzeźoczyste oczyste ogniczone dwiem powiezchnimi seycznymi. Post pzechodząc pzez śodki kzywizny ob powiezchni
Bardziej szczegółowoRACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
Bardziej szczegółowoCałka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux
Doln i górn sum cłkow Drboux π = {x 0,..., x k }, x 0 =, x k = b - podził odcink [, b]; x i = x i x i 1, i = 1, 2,..., k; P = P[, b] - rodzin podziłów odcink [, b]. m i = m i (f, π) := inf x [xi 1,x i
Bardziej szczegółowoMatematyka I. De nicje, twierdzenia. 13 października 2012
Mtemtyk I De nicje, twierdzeni 3 pździernik 202 Litertur K. Dobrowolsk, W. Dyczk, H. Jkuszenkow, Mtemtyk dl studentów studiów technicznych, cz.,2, HELPMATH, ódź 2007 M. Gewert, Z. Skoczyls, Anliz mtemtyczn
Bardziej szczegółowoWykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Bardziej szczegółowo