Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Transkrypt

1 Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej. Znleźć liczbę. Znleźć liczbę czterocyfrową n będącą kwdrtem pewnej liczby nturlnej n której cyfr tysięcy jest równ cyfrze dziesiątek cyfr setek jest o większ od cyfry jedności. Znleźć sumę n wyrzów ciągu S n = ( S n jest sumą n skłdników). *. Dowieźć że dl nturlnych n liczb ( n + ) n jest podzieln przez liczbę n. 5 *. Pokzć że dl dowolnej liczby nturlnej n iloczyn ( n + ) ( n + )... ( n + n ) dzieli się przez n. 6 *. Pokzć że dl dowolnych liczb nturlnych liczb m i n iloczyn m n ( m - n ) jest podzielny przez 0. Wskzówk: Wykzć że liczb 0 dzieli liczbę m 5 m. 7. Niech będą dne liczby cłkowite b c d n spełnijące wrunki: liczb n dzieli liczbę d bc liczb n dzieli liczbę b liczby b i n są względnie pierwsze ( to znczy że nie mją wspólnych dzielników różnych od ). Pokzć że liczb c d jest podzieln przez n. 0. Pokzć że jeśli licznik ułmk jest różnicą kwdrtów dwóch liczb nieprzystych. minownik jest sumą kwdrtów tych liczb to tki ułmek możn skrócić przez nie możn skrócić przez. *. Znleźć wszystkie liczby nturlne n dl których liczb n + jest podzieln przez n.. Znleźć wszystkie liczby cłkowite tkie że liczb dzieli liczbę.. Wykzć że dl dowolnej liczby cłkowitej njwiększy wspólny dzielnik ( + ) jest równy lub.

2 . Udowodnić że jeśli n jest liczbą cłkowitą to iloczyn n (n + ) (n + ) (n + ) (n + ) dzieli się bez reszty przez liczbę Pokzć że dl dowolnej liczby nturlnej n liczb ( n + ) nie jest podzieln przez. 6* *. ( Zdnie konkursowe z zwodów stopni drugiego LIV Olimpidy Mtemtycznej) Dowieść że istnieje tk liczb cłkowit n 00 że w ciągu n 0 n n... n 00 kżdy wyrz jest dzielnikiem wszystkich wyrzów po nim nstępujących. Algorytm Euklides njwiększy wspólny dzielnik njmniejsz wspóln wielokrotność 7. Stosując lgorytm Euklides znleźć njwiększy wspólny dzielnik liczb: ) 96 i 657 b) i 98 c) 97 i 997 d) 09 i 999 e) 769 i 6 f) 689 i 00 g) 8 i 609 h) i *. Pokzć że jeśli = c k + r b = c k + r gdzie b k k r r są liczbmi cłkowitymi nieujemnymi liczb c jest liczbą dodtnią to ( b c) = (c r r ). Sformułowć wynikjące z powyższego twierdzenie o znjdowniu ( b c). Uogólnić n przypdek n liczb. 9. Korzystjąc z zdni 8 znleźć njwiększe wspólne dzielniki nstępujących liczb: ) b) c) d)

3 e) f) Stosując rozkłd n czynniki pierwsze znleźć njmniejsze wspólne wielokrotności nstępujących liczb ) b) c) 87 5 d) e) f). Znleźć njmniejszą wspólną wielokrotność nstępujących liczb ) 5 i 68 b) 79 i 7 b) 78 i 88 d) 8 i 77.. Njwiększy wspólny dzielnik liczb nturlnych jest równy njwiększ wspóln wielokrotność tych liczb jest równ 96. Znleźć te liczby. Pokzć że dl liczb cłkowitych b c ( b) ( c) (b c) [ b] [ c] [b c] = b c.. Pokzć że dl liczb cłkowitych b c [ b c] bc( b c). ( b)( c)( b c) Równni nieoznczone 5. Znleźć njwiększy wspólny dzielnik liczb 89 i 587 orz znleźć liczby i y spełnijące związek y = Udowodnić że nie istnieją liczby cłkowite y spełnijące związki + y = 00 orz ( y) =.

4 7. Znleźć wszystkie pry liczb nturlnych y spełnijących związki + y = 00 orz ( y) = Rozwiązć w liczbch cłkowitych nstępujące równni ) 5 + y = b) 7 + y = 8 c) 5 y = - d) y = 59 e) y = 97 f) 8 y = Rozwiązć w liczbch cłkowitych nstępujące równni stosując lgorytm Euklides ) + 9 y = 9 b) 9 + y = c) + 6 y = 68 d) 7 5 y = 79 e) y = f) y =. 0. Rozwiązć w liczbch nturlnych nstępujące równni ) = 5 y = 9 b) 8 6 y = 5 c) 6 0 y = 8 d) + 98 y = 9.. Rozwiązć w liczbch nturlnych nstępujące równnie stosując lgorytm Euklides ) + 5 y = 65 b) 89 + y = Liczbę 000 rozłożyć n tkie dw skłdniki dodtnie by pierwszy był wielokrotnością 0 drugi w dzieleniu przez dwł resztę.. Jkie liczby cłkowite nleży podstwić zmist y z w ułmkch 5y z by pierwszy z nich stł się liczbą cłkowit drugi liczbą cłkowitą przystą trzeci liczbą cłkowit nieprzystą? Ciąg liczb nturlnych którego dw pierwsze wyrzy są dne nstępne są określone wzorem rekurencyjnym n = n- + n- (n ) nzywmy ciągiem Fiboncciego od nzwisk słynnego mtemtyk włoskiego XIII stuleci.

5 *. Dziesiąty wyrz ciągu Fiboncciego wynosi 69. Znleźć pozostłe wyrzy. 5. Rozwiązć w liczbch cłkowitych ukłd równń + y - z = y + z =. 6. Rozwiązć w liczbch nturlnych ukłd równń y + z = y + z = Rozwiązć w liczbch nturlnych ukłd równń y + 6 z = y + z = Rozwiązć w liczbch nturlnych ukłd równń y z u = 5 y + z u = 6 y z + u = Rozwiązć w liczbch cłkowitych równnie ) 5 + y z = 6 b) 7 + y + 5z =. c) y z = 9 d) 8 + y 9 z = 6.. Znleźć liczby cłkowite które przy dzieleniu: ) przez dją resztę 0 przez dją resztę 8 b) przez 5 dją resztę 0 przez 8 dją resztę i przez dją resztę 6. Odp.:05+0t t Z.. Znleźć ogólną postć liczb cłkowitych które przy dzieleniu przez 5 dją resztę przy dzieleniu przez 6 dją resztę 5. Jk resztę dją te liczby przy dzieleniu przez 60 orz przy dzieleniu przez 90.

6 Ułmki łńcuchowe. Zmienić n ułmki zwyczjne nstępujące ułmki łńcuchowe gdzie b c są liczbmi nturlnymi.. Rozwinąć n ułmki łńcuchowe nstępujące ułmki 5. Rozwinąć n ułmek łńcuchowy nstępujące przybliżenie liczby c b c b

7 II. Liczby pierwsze liczby względnie pierwsze 6. Udowodnić nstępujące twierdzenie: Liczby cłkowite i b tkie że 0 lub b 0 są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy gdy istnieją liczby cłkowite i y tkie że + b y =. 7 Pokzć że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 5 to p przy dzieleniu przez 0 dje resztę równą lub 9. 8 *. Znleźć liczbę pierwszą p jeżeli widomo że p + i 6 p + są liczbmi pierwszymi. 9. Znleźć tką liczbę nturlną n że f(n) jest liczbą złożoną ) f(n) = n + n + 7 b) f(n) = n + n + c) f(n) = n + n Odpowiedz jkie liczby są pierwsze w nstępujących zbiorch? ) { 5 7 9} b) { }. 5. Znleźć njmniejszą liczbę złożoną postci n +. 5 *. Pokzć że spośród liczb postci p + gdzie p jest liczbą pierwszą tylko jedn jest sześcinem pewnej liczby tej postci. 5. Jkie liczby między 0 i 50 są pierwsze? 5 *. Dowieść że przy wszelkim cłkowitym k liczby k + i 9 k + są względnie pierwsze dl liczb k i 9 k + znleźć ich njwiększy wspólny dzielnik w zleżności od liczby k. 55 *. Dowieść że jeżeli i b są różnymi liczbmi cłkowitymi to istnieje nieskończenie wiele liczb nturlnych n tkich że liczby + n b + n są liczbmi nturlnymi względnie pierwszymi. 56. Podć przykłd tkich czterech różnych liczb nturlnych b c d dl których nie m żdnej liczby nturlnej n przy której + n b + n c + n d + n byłyby prmi względnie pierwsze.

8 57 *. Dowieść że dl kżdej liczby przystej n 6 istnieją liczby pierwsze p i q mniejsze od n tkie że (n p n q) =. 58. Pokzć że dl n n nturlne liczb n + jest liczbą złożoną. 59 *. Znleźć liczbę pierwszą p jeżeli widomo że p + i 6 p + są liczbmi pierwszymi. 60. Obliczyć osttni cyfrę liczby Pokzć że 6! 6! (mod 7). III. Kongruencje 6 *. Wykzć że liczb A dzieli się przez wtedy i tylko wtedy gdy różnic między sumą jej cyfr znjdujących się n miejscch przystych i miejscch nieprzystych dzieli się przez. 6. Sprwdzić że przez dzielą się liczby ) b) Pokzć że jeśli n jest liczbą nieprzystą to n 0 (mod 8). 65 *. Pokzć że jeżeli p jest liczbą pierwszą to 66 *. Pokzć że (mod ). 67. Rozwiązć kongruencję 00 (mod 7). ( + b) p = p + b p (mod p). 68. Pokzć że jeśli p jest liczbą pierwszą i b (mod p) to p dzieli + b lub p dzieli - b gdzie i b są liczbmi cłkowitymi. 69. Pokzć że jeśli f() jest wielominem o współczynnikch cłkowitych i f() k (mod m) to f( + t m) k (mod m) gdzie k t są liczbmi cłkowitymi. 70. Wykzć że ) (mod 5) b) (mod 00)..

9 7. Udowodnić że jeśli b (mod d ) i b (mod d ) i (d d ) = to b mod (d d ). 7. Rozwiązć kongruencje: ) (mod ) b) (mod 5) c) (mod 5) d) 8 (mod ) e) 0 (mod ) f) (mod ) g) ( + ) ( + ) ( 9 + ) 0 (mod ) h) 6 (mod 9) i) 5 (mod ). IV. Funkcj Euler. Funkcj (). 7. Znleźć wrtości funkcji Euler dl nstępujących liczb: 75; 70; 957; 988; 990; 00; 0; 500; 890; Znleźć wrtości funkcji Euler dl liczb pierwszych: 7; ; ; 7; Ile jest liczb nturlnych w przedzile [ 0] które nie są względnie pierwsze z 0? 76. Funkcj Euler dl rgumentu przyjmuje wrtość 0 = p q p q = przy czym p orz q są dwiem liczbmi pierwszymi różnymi między sobą. Znleźć liczbę. 77. Funkcj Euler dl rgumentu przyjmuje wrtość = p q przy czym p orz q są dwiem liczbmi pierwszymi różnymi między sobą. Znleźć liczbę. 78 *. Znleźć wrtość jeśli funkcj Euler w przyjmuje wrtość. 79. Znleźć wrtości funkcji () dl nstępujących rgumentów: ; 7; 0; ; 5; Rozwiązć kongruencje wykorzystując twierdzenie Euler: ) (mod 5) b) 5 6(mod 7) c) 5 7(mod 0) d) 8(mod ) e) 5 5(mod 7) f) 5 (mod ).