Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Transkrypt

1 1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =, co zpisujemy g jeżeli dl kżdego > możn wskzć tką liczbę istnieje tk liczb >, żeby było -g< dl < <. Deinicję tę z pomocą symboli możemy zpisć nstępująco g g Zuwżmy, że n to, by grnic lewostronn mogł istnieć, unkcj powinn być określon w pewnym przedzile otwrtym, którego prwym końcem jest. Ntomist dl = orz > unkcj może nie być określon. Deinicj. Mówimy, że + jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =, co zpisujemy jeżeli dl kżdej liczby M> istnieje tk liczb >, że >M dl kżdej liczby tkiej, że - < <. Deinicję tę możemy zpisć nstępująco: M M Deinicj.3 Mówimy, że - jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =, co zpisujemy jeżeli dl kżdej liczby M > istnieje tk liczb >,że < - M dl kżdej liczby tkiej, że - < <. Deinicję tę możn zpisć nstępująco: M M

2 Dl prwostronnej grnicy unkcji w punkcie = podje się deinicje odpowiednio, jk wyżej, z tą tylko zminą, że podne nierówności mją być spełnione dl zwrtego w przedzile < < +. Grnicę prwostronną unkcji w punkcie = c oznczmy symbolem. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji noszą wspólną nzwę grnic jednostronnyc. Interpretcj geometryczn grnic jednostronnyc Zpis g geometrycznie ozncz rys..1, że jkikolwiek weźmiemy wąski psek.1 g- < y < g+, to musi istnieć tkie otoczenie lewostronne punktu =, czyli tki przedził. < < gdzie >, że cły wykres unkcji dl z przedziłu. znjduje się w psku.l. Rys..1 Grnic lewostronn unkcji Zpis geometrycznie ozncz rys.., że dl kżdej prostej y = M istnieje tki przedził -,, gdzie >, że cły wykres unkcji odpowidjącej temu przedziłowi znjduje się pond prostą y = M. Z tego wynik, że prost = jest tzw. symptotą pionową krzywej y = Anlogiczną interpretcję geometryczną m grnic prwostronn unkcji. Rys.. Nieskończoność jko grnic lewostronn unkcji

3 Grnic unkcji w punkcie. Deinicj.4 Mówimy, że liczb g jest grnicą unkcji w punkcie =, co zpisujemy g jeżeli istnieją grnice lewostronn i prwostronn w punkcie = i obie są równe liczbie g. Grnic unkcji przy dążącym do. Deinicj.5 Mówimy, że liczb g jest grnicą unkcji przy +, co zpisujemy g jeżeli dl dowolnie obrnej liczby > O istnieje tk liczb K>, że g< dl kżdej liczby tkiej, że > K K K g Zpis ten geometrycznie ozncz rys..3, że jkkolwiek jest wąski psek g <y < g +, to istnieje tk prost = K, że cły wykres unkcji y= n prwo od prostej = K znjduje się wewnątrz tego psk. Z tego wynik, że prost y = g jest tzw. symptotą poziomą krzywej y =, gdy +. Deinicj.6 Rys..3 Grnic unkcji przy. Mówimy, że liczb g jest grnicą unkcji przy -, co zpisujemy g jeżeli dl dowolnie obrnej liczby > istnieje tk liczb K> O, że g< dl kżdej liczby tkiej, że < - K. K K g 3

4 Deinicj.7 Mówimy, że unkcj dąży do + przy +, co zpisujemy jeżeli dl dowolnie obrnej liczby M> istnieje tk liczb K>, że >M dl kżdej liczby tkiej, że > K. Deinicj.8 Mówimy, że unkcj dąży do - przy +, co zpisujemy jeżeli dl dowolnie obrnej liczby M> istnieje tk liczb K>, że <-M dl kżdej liczby tkiej, że > K. Podobnie określmy grnice przy - Zcodzą nstępujące twierdzeni o grnicc: Twierdzenie.1 c c Jeżeli istnieją grnice orz g to: g g c c g g c c c c c pod wrunkiem, że g orz g c g g c c Anlogiczne twierdzeni zcodzą dl grnic lewostronnyc i prwostronnyc Przykłd.1 Obliczyć grnice unkcji: , tg

5 . Ciągłość unkcji Deinicj.9 Funkcję nzywmy unkcją ciągłą w punkcie =, jeżeli istnieje grnic i jeżeli grnic t równ się. Zcodzą nstępujące twierdzeni dotyczące ciągłości unkcji: Twierdzenie. Sum dwóc unkcji ciągłyc w punkcie = jest unkcją ciągłą w tym punkcie, Iloczyn dwóc unkcji ciągłyc w punkcie = jest unkcją ciągłą w tym punkcie. Ilorz dwóc unkcji ciągłyc w punkcie = tkim, że dzielnik jest różny od zer, jest unkcją ciągłą w tym punkcie. Jeżeli unkcj złożon gjest określon w pewnym otoczeniu punktu =, unkcj g jest ciągł w punkcie = o, unkcj u jest ciągł w punkcie u = u, gdzie u = g o, to unkcj złożon g jest ciągł w punkcie = o. Ciągłość njwżniejszyc unkcji: Wielomin W n jest unkcją ciągłą dl wszystkic wrtości. Funkcj wymiern Wn/Wm jest unkcją ciągłą dl tyc wrtości, przy któryc minownik jest różny od zer. Funkcj potęgow, gdzie jest to stł dowoln, jest określon i ciągł dl wrtości >. Funkcj wykłdnicz, gdzie >, jest ciągł dl wszystkic wrtości. Funkcj logrytmiczn log, gdzie > i 1, jest ciągł dl wrtości >. Funkcje trygonometryczne są ciągłe: 1. sin i cos dl wszystkic wrtości,. tg dl k+1/, gdzie k jest dowolną liczbą cłkowitą, 3. ctg dl k, gdzie k jest dowolną liczbą cłkowitą. Przykłd. Przykłd unkcji nieciągłej: Zbdć ciągłość unkcji: dl y 3 dl 5 nieciągł w punkcie =5 1 dl 5 5

6 .3. Pocodne rzędu pierwszego Deinicj.1 Pocodną unkcji y = w punkcie nzywmy grnicę, do której dąży stosunek przyrostu wrtości unkcji, y do odpowiedniego przyrostu zmiennej niezleżnej, gdy przyrost zmiennej niezleżnej dąży do zer, czyli grnicę y Jeżeli grnic tk nie istnieje, to unkcj w tym punkcie nie m pocodnej. Pocodną unkcji y = oznczmy symbolmi: dy d y,, lub d d Odnjdywnie pocodnej unkcji nzyw się różniczkowniem unkcji. Dził mtemtyki trktujący o pocodnyc, ic włsnościc i zstosownic nzywmy rcunkiem różniczkowym. Funkcj, któr w kżdym punkcie pewnego przedziłu, b m pocodną, nzyw się unkcją różniczkowlną w tym przedzile. Przykłd.3 Przykłdy obliczni pocodnej z deinicji: Obliczyć n podstwie deinicji pocodne unkcji: 1. y =,. y = sin, Zcodzą twierdzeni: Twierdzenie.3 Jeżeli unkcj m w dnym punkcie pocodną skończoną, czyli jest unkcją różniczkowlną, to jest w tym punkcie ciągł. Ale, unkcj ciągł może nie mieć pocodnej, np. unkcj = w punkcie = 1 1 6

7 Twierdzenie.4 Pocodn unkcji stłej równ się zeru, tzn. jeżeli y = c, to y' =. Twierdzenie.5 Pocodn iloczynu stłej przez unkcję równ się iloczynowi stłej przez pocodną unkcji, tzn. jeżeli y = c, to y = c Niec u =, v = g oznczją unkcje różniczkowlne. Wówczs zcodzą trzy podne niżej wzory: Pocodn sumy unkcji. Jeżeli y = u + v, to y = u + v Pocodn iloczynu unkcji. Jeżeli y = uv, to y =u v + uv. Pocodn ilorzu unkcji. u' v uv' Jeżeli y = u/v, i v, to y' v Wżniejsze wzory rcunku różniczkowego 1. = -1 jeśli > i R,. sin = cos, 3. cos = - sin, tg ' jeśli cos, cos ctg 1 ' jeśli sin, sin 6. = ln 7. e = e, 8. 1 log ' ln jeśli > 9. 1 ln ' jeśli > 7

8 Przykłd.4 Obliczyć pocodną unkcji: 1. y = ,. y = sin, 3. y sin cos.4 Interpretcj geometryczn pocodnej. Deinicję pocodnej unkcji w punkcie, możn zpisć zgodnie z oznczenimi rysunku.4 w nstępującej postci: Pocodną unkcji y = w punkcie = A nzywmy grnicę y y. Ilorz tg jest współczynnikiem kierunkowym prostej przecodzącej przez punkty A i M. Jeżeli, to punkt M dąży do punktu A, ztem prost przecodząc przez punkty A i M dąży do stycznej do krzywej y = w punkcie = A. Ztem, pocodn unkcji y = w dnym punkcie równ się współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu unkcji w tym punkcie. Rys..4 Interpretcj geometryczn pocodnej unkcji w punkcie. Przykłd.5 Znleźć współczynnik kierunkowy m prostej y = m + n stycznej do unkcji y = w punkcie P,. Rozwiąznie. Zgodnie z deinicją pocodnej i jej interpretcją geometryczną y m Przykłd.6 Obliczyć, w którym punkcie styczn do linii y jest równoległ do osi OX. 8