Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy"

Aleksander Sławomir Grabowski
6 lat temu
Przeglądów:

1 Temt: Mcierze Pojęci Dziłni n mcierzch Wyzncznik mcierzy Symbolem gwizdki (*) oznczono zgdnieni przeznczone dl studentów wybitnie zinteresownych prezentowną temtyką. Ann Rjfur

2 Pojęcie mcierzy Mcierz to prostokątn tblic, w której moŝn wyróŝnić wiersze i kolumny. Przykłd zpisu mcierzy: 2 3 kolumny 3, 5 2 wiersze Mcierze zpisuje się w nwisch kwdrtowych. Ann Rjfur 2

3 Pojęcie mcierzy cd. N przecięciu wiersz i kolumny zpisny jest element mcierzy. Przykłd: 2 3, 5 Elementmi mcierzy mogą być np.: liczby, funkcje, inne mcierze. N kŝdym przecięciu wiersz i kolumny zpisny jest pewien element mcierzy. Ann Rjfur 3

4 Wymir mcierzy Jeśli mcierz m m wierszy i n kolumn, to mówimy, Ŝe jest wymiru m x n (czyt.: m n n). Przykłd: 4 wiersze, 2 kolumny wymir mcierzy: 4 x 2 (czyt.: cztery n dw) 2 3, 3 π 4, 5 5, 2 4 x 2 Ann Rjfur 4

5 Przykłd Zpisz wymiry dnych mcierzy x 2 5, 7 3 2, x (wektor kolumnowy) [ 2 4, 2 3] [ ] x 4 (wektor wierszowy) x Ann Rjfur 5

6 Oznczeni mcierzy Mcierze ozncz się duŝymi litermi: A, B,... lub A, A 2,... lub [ ij ], i =,..., m, j =,..., n Ann Rjfur 6

7 Identyfikownie elementów mcierzy A mcierz wymiru m x n, ij element mcierzy A leŝący n przecięciu i-tego wiersz z j-tą kolumną, gdzie i =,..., m, j =,..., n. ij numer wiersz numer kolumny Przykłdy n tblicy. Ann Rjfur 7

8 Wybrne postcie mcierzy Jeśli w mcierzy A m x n liczb wierszy m jest równ liczbie kolumn n, to mcierz A nzywmy kwdrtową stopni n; ozn.: A n Przykłdy mcierzy kwdrtowych: stopni 2 stopni 3 Ann Rjfur 8

9 Przykłd Zpisz mcierz kwdrtową A n. Zpis mcierzy A n n tblicy. Ann Rjfur 9

10 Przekątn mcierzy kwdrtowej W mcierzy kwdrtowej stopni n elementy ii, i =,, n tworzą główną przekątną. A n = 2 M n 2 22 M n2 K K O K n 2n nn M przekątn (główn) mcierzy A n Ann Rjfur

11 Ann Rjfur Postcie mcierzy kwdrtowych Mcierz trójkątn górn: Przykłdy: = nn n n n A K M M M K K wszystkie elementy pod przekątną główną są zermi, ij = dl i > j.

12 Ann Rjfur 2 Postcie mcierzy kwdrtowych cd. Mcierz trójkątn doln: Przykłdy: wszystkie elementy nd przekątną główną są zermi, ij = dl i < j. = nn n n n A K M M M K K

13 Ann Rjfur 3 Postcie mcierzy kwdrtowych cd. Mcierz digonln: Przykłdy: wszystkie elementy poz przekątną główną są zermi, ij = dl i j. = nn n A K M M M K K 22

14 Postcie mcierzy kwdrtowych cd. Mcierz jednostkow stopni n, ozn. I n : mcierz digonln z jedynkmi n przekątnej głównej, ii = dl i =, 2,..., n, ij = dl i j. A n = M M K K O K M Przykłdy n tblicy. Ann Rjfur 4

15 Równość mcierzy Mcierze A m x n orz B p x q są równe, gdy ich wymiry są jednkowe orz odpowidjące elementy są równe, czyli m = p i n = q orz ij = b ij dl i =,..., m, j =,..., n. Ann Rjfur 5

16 Ann Rjfur 6 Przykłd Dne są mcierze A, B, C, D. Podj wrunki, przy których zchodzą równości: A = B, C = D. = 5 2, A = 5, z y x B = 4 3 C = x x x x D

17 Dziłni n mcierzch Dodwnie, odejmownie MnoŜenie mcierzy przez liczbę Trnsponownie MnoŜenie mcierzy przez mcierz Przykłdy n tblicy. Ann Rjfur 7

18 Dodwnie mcierzy A m x n + B m x n = C m x n c ij = ij + b ij i =,, m, j =,, n krótszy zpis: [ ij ] + [b ij ] = [ ij + b ij ] i =,, m, j =,, n Ann Rjfur 8

19 Odejmownie mcierzy A m x n B m x n = C m x n c ij = ij - b ij i =,, m, j =,, n krótszy zpis: [ ij ] - [b ij ] = [ ij - b ij ] i =,, m, j =,, n Ann Rjfur 9

20 MnoŜenie mcierzy przez liczbę k A m x n = C m x n c ij = k ij i =,, m, j =,, n krótszy zpis: k [ ij ] = [k ij ] i =,, m, j =,, n Ann Rjfur 2

21 Trnsponownie mcierzy (A m x n ) T = C n x m c ij = T ij = ji i =,, n, j =,, m krótszy zpis: [ ij ] T = [ T ji] i =,, m, j =,, n Ann Rjfur 2

22 MnoŜenie mcierzy przez mcierz n A m x n B n x p = C m x p c ij = k = ik b kj i =,, m, j =,, p krótszy zpis: b [ ij ] [b ij ] = [ ik kj n k = i =,, m, j =,, p ] Ann Rjfur 22

23 Włsność mcierzy I Dl dowolnej mcierzy A m x n zchodzą równości: A m x n I n = A m x n I m A m x n =A m x n Ztem mcierz I jest elementem obojętnym mnoŝeni mcierzy. Przykłdy n tblicy. Ann Rjfur 23

24 Oznczeni W odniesieniu do mcierzy kwdrtowej A stosuje się oznczeni: A A = A 2, A A A = A 3, A A... A = A n n czynników Ann Rjfur 24

25 Kolejność dziłń MnoŜenie przed dodwniem i odejmowniem. Trnsponownie przed innymi dziłnimi. Njpierw dziłni w nwisch. Przykłd n tblicy. Ann Rjfur 25

26 Prw dziłń n mcierzch Ozn.: A, B, C, D mcierze, k liczb rzeczywist. Prwo łączności dodwni: (A + B) + C = A + (B + C) Prwo łączności mnoŝeni: (A B) C = A (B C) Ann Rjfur 26

27 Prw dziłń n mcierzch cd. Prwo przemienności dodwni: A +B = B + A Uwg. MnoŜenie mcierzy nie jest przemienne. MnoŜenie iloczynu mcierzy przez liczbę: k (A B) = (k A) B = A (k B) Ann Rjfur 27

28 Prw dziłń n mcierzch cd. Prw rozdzielności mnoŝeni względem dodwni: k (A + B) = k A + k B C (A + B) = C A + C B (A + B) D = A D + B D Ann Rjfur 28

29 Prw dziłń n mcierzch cd. Prwo trnsponowni sumy: (A + B) T = A T + B T Prwo trnsponowni iloczynu: (A B) T = B T A T Prwo podwójnej trnspozycji: (A T ) T = A Ann Rjfur 29

30 Zdni Zdni w pliku Zdni_mcierze_dzilni.pdf Uwg Do dziłń n mcierzch moŝn wykorzystć funkcję rkusz EXCEL: orz opcję MACIERZ.ILOCZYN MENU Edycj - Wklej specjlnie - Trnspozycj Ann Rjfur 3

Podobne dokumenty

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.