Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy

Transkrypt

1 Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ROZWIAZANIAMI Dodjąc( bądź odejmując) do siebie dw wektory (lub więcej), dodjemy (bądź odejmujemy) ich odpowiednie współrzędne MnoŜąc wektor przez liczbę rzeczywistą, mnoŝymy kŝdą współrzędną dnego wektor przez tę liczbę Zdnie Oblicz sumę i róŝnicę podnych wektorów: u [,], [,, 6], u Mmy: Rozwiąznie: [,,] [,, 6] [, ( ), 6] [,,9] u u [,, ] [,, 6] [, ( ), 6] [, 7, ] u u Zdnie Dne są wektory u [,,], u [,, ], [,, ] u Wyzncz wektor u u u u Rozwiąznie: MoŜemy obliczyć po kolei : wektory, u, u u, nstępnie dodć do siebie otrzymne Mmy ztem: u [ 6,9, ], u [,, 9], [,, 6] u,

2 Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy i dlej: u u u u [ 6, 9 ( ) ( ), 9 6] [,, ] Długość wektor u [ x, y] R obliczmy korzystjąc z nstępującego wzoru: u x y Oczywiście dl wektorów z przestrzeni R wzór jest nlogiczny, czyli jeśli u [ x, y, z] R, to u x y z Iloczynem sklrnym pry wektorów niezerowych u, w nzywmy liczbę rzeczywistą równą uo w u w cosα, gdzie α jest kątem zwrtym między tymi wektormi Jeśli przynjmniej jeden z wektorów jest zerowy, to przyjmujemy, Ŝe iloczyn sklrny tych wektorów jest równy Innym sposobem n obliczenie iloczynu sklrnego jest nstępujący wzór: Jeśli u [ u, u ], w [ w w ],, to u o w u w u w ; Jeśli u [ u, u, u ], w [ w, w w ],, to u o w u w u w u w ZuwŜmy, Ŝe iloczyn sklrny dwóch wektorów niezerowych jest równy wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są prostopdłe Mówimy równieŝ w tkiej sytucji, Ŝe wektory te są ortogonlne

3 Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy Zdnie 6 Oblicz długości nstępujących wektorów: ) u [, ] b) PQ ; P (,, ); Q (,, ) Rozwiąznie: u ) ( ) 9 b) Aby obliczyć długość wektor, korzystjąc z podnego powyŝej wzoru, obliczymy njpierw jego współrzędne: PQ [ ( ),, ] [,, 6] dlej:, i ( 6) PQ Zdnie 7 Oblicz iloczyn sklrny nstępujących pr wektorów Czy podne wektory są ortogonlne?

4 Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy ) u [, ], v [,] b) u [,6,], v [,, ] Rozwiąznie: ) Aby sprwdzić, czy podne wektory są ortogonlne, obliczymy ich iloczyn sklrny: ( ) ( ) 6 uo v, ztem wektory nie są ortogonlne b) Mmy : uo v ( ) 6 ( ) 6 ortogonlne, ztem wektory te są Jeśli mcierz A m n kolumn orz l wierszy, to mówimy, Ŝe jest on wymiru n l Wyrz tej mcierzy, znjdujący się w i -tym wierszu i j -tej kolumnie, oznczmy symbolem ij Sumą (róŝnicą) mcierzy A i B jest mcierz C, której kŝdy wyrz jest sumą (róŝnicą) odpowiednich wyrzów mcierzy A i B, tj c b w przypdku sumy, orz c ij b w przypdku róŝnicy Oczywiście, by dło się dodć ij ij (odjąć) dwie mcierze A i B, muszą być one tego smego wymiru Iloczynem mcierzy A przez liczbę rzeczywistą nzywmy mcierz A, której kŝdy wyrz jest iloczynem odpowiedniego wyrzu mcierzy A przez liczbę Mcierzą trnsponowną do mcierzy A wymiru ij ij ij n l nzywmy mcierz A, któr powstje przez zstąpienie i tej kolumny mcierzy A i tym wierszem, dl kŝdego i,,, l W wyniku tkiej zminy miejscmi wierszy i kolumn, otrzymujemy mcierz o wymirze l n Mcierz kwdrtow to kŝd mcierz, w której liczb kolumn jest równ liczbie wierszy Główną przekątną mcierzy kwdrtowej A wymiru n n (w skrócie- wymiru n ) nzywmy wyrzy,,, nn

5 Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy Mcierzą jednostkową nzywmy mcierz kwdrtową dowolnego wymiru, w której kŝdy wyrz n głównej przekątnej jest równy, zś wszystkie pozostłe są równe Oznczmy ją I Zdnie 8 Dl podnych mcierzy: A, B, oblicz ) B A, b) B A Rozwiąznie: ) Wyznczymy njpierw mcierz trnsponowną do B : B, nstępnie wykonmy dodwnie: ( ) ( ) ( ) B A b) Wyznczymy njpierw mcierz trnsponowną do A : A,

6 Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy 6 orz obliczymy iloczyn mcierzy B przez liczbę : 9 9 B 6 Mmy nstępnie: ( 9) ( 9) ( ) 9 A B Iloczynem dwóch mcierzy: A o wymirze n l, orz B o wymirze l k, nzywmy mcierz C wymiru n k, w której kŝdy wyrz cij liczymy posługując się nstępującym wzorem: c ij i b j i b j il blj Zdnie 8 Dl podnych mcierzy A, B, oblicz: ) B A, b) A B c) ( B I ) A

7 Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy 7 d) B Rozwiązni: ) Zczniemy od wyznczeni mcierzy A : A Mcierz t B A m wymir ; obliczymy wg wzoru wyrzy c ij mcierzy B A : ( przez będziemy oznczć odpowiednie wyrzy mcierzy A, zś b - wyrzy mcierzy B ) ( ) ( ) c b b, ( ) c b b, ( ) ( ) 6 7 c b b, ( ) c b b, c b b 6, ( ) 6 c b b Mmy więc: 7 B A 6

8 Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy 8 MnoŜenie mcierzy wydje się prostsze, gdy zpiszemy dne mcierze w tbeli tkiej jk poniŝej; wówczs w kŝdym z sześciu pól wpisujemy sumę iloczynów odpowiednich wyrzów : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Wykonując terz obliczeni w kŝdym z pól, polegjące n pomnoŝeniu przez siebie kŝdego wyrzu wiersz pierwszej mcierzy, przez odpowiedni wyrz kolumny drugiej mcierzy, otrzymujemy wynik tki sm, jk wtedy, gdy posługiwliśmy się definicją iloczynu mcierzy Metod pokzn tutj zmniejsz moŝliwość pomyłki przy podstwiniu do wzoru b) Skorzystmy z tbeli: - - ( ) ( ) ( )

9 Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy 9 ( ) - ( ) ( ) ( ) Z tbeli odczytujemy, Ŝe A B 8 c) Obliczymy njpierw mcierz B I, nstępnie zpiszemy mcierze w odpowiedniej tbeli: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B 7 skąd odczytujemy, Ŝe ( I ) A

10 Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy d) Symbol B rozumiemy jko iloczyn B B - - ( ) ( ) ( ) ( ) czyli 7 6 B Wyzncznik mcierzy kwdrtowej jest liczbą rzeczywistą, którą obliczmy w nstępujący sposób: b ) Jeśli A, to det A d bc ; c d ) Jeśli A, to det A Uwg!

11 Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy Wyzncznik, będący pewną liczbą rzeczywistą, posid kŝd mcierz kwdrtow, jednk sposoby obliczni wyznczników mcierzy większego wymiru, są brdziej skomplikowne; pomijmy je tutj Jeśli mcierz jest wymiru, mówimy o wyznczniku drugiego stopni; jeśli - to trzeciego, itd Zdnie Oblicz wyznczniki mcierzy: ) A b) A 6 Rozwiązni: ) Zgodnie z powyŝszym, prostym wzorem, mmy: det A ( ) ( ) 7

12 Zestw - Rząd mcierzy, ukłdy równń liniowych b) Aby łtwiej było wykonć podne obliczeni, zpiszemy rz jeszcze dną mcierz, dopisując dodtkowo dwie pierwsze kolumny: 6 det A Będziemy nstępnie mnoŝyć przez siebie wyrzy znjdujące się n głównej przekątnej mcierzy A orz wzdłuŝ dwóch kolejnych linii równoległych do głównej przekątnej; otrzymne iloczyny dodjemy Podobne dziłni wykonmy zczynjąc od drugiej przekątnej mcierzy A, otrzymne w ten sposób iloczyny iloczyny będziemy odejmowć od sumy poprzednich: ( ) ( ) ( ) ( ) det A 6 Rzędem dowolnej mcierzy A nzywmy stopień njwiększego ( w sensie wymiru) podwyzncznik niezerowego mcierzy A Zdnie Oblicz rząd mcierzy A ) A

13 Zestw - Rząd mcierzy, ukłdy równń liniowych b) A c) A Rozwiązni: ) Rząd tej mcierzy moŝe być równy co njwyŝej ; zpiszemy wszystkie podwyznczniki drugiego stopni:, orz Mmy: ; 6 8, ztem nie m potrzeby obliczni trzeciego podwyzncznik drugiego stopni; stwierdzmy, Ŝe rząd mcierzy A jest równy ; piszemy rza b) Rząd tej mcierzy moŝe być równy co njwyŝej ; jedynym jej podwyzncznikiem trzeciego stopni jest wyzncznik mcierzy A Mmy ztem: ( ) 9 6 det A, ztem rza < Spróbujemy terz znleźć podwyzncznik drugiego stopni, róŝny od zer: ( ), ztem rza c) Podobnie jk poprzednio, rza Aby stwierdzić, czy zchodzi równość, obliczymy wyzncznik mcierzy A :

14 Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch; wyzncznik i rząd mcierzy ( ) ( 9) det A 6, ztem rza ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA Zdnie Dne są wektory u [,,], u [,, ], u [, 8,] Wyzncz wektor u ) b) c) u u u u u u u u u u u u Zdnie Wyzncz wektor u u u u, jeŝeli ) u [ ], u [,], u [ ],, b) u [,, ], u [ ], u [,, ],,

15 Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch; wyzncznik i rząd mcierzy c) u [,,], u [,, ], u [,,] Zdnie Oblicz długości nstępujących wektorów: c) u [, ] d) u [,, ] e) u [,, 6] f) u [,, ] g) PQ ; P (, ); Q (, ) h) PQ ; P (,,) ; Q (,,) i) PQ ; P (,, ); Q (,,7 ) j) PQ ; P (,, ); Q (,, ) Zdnie Oblicz iloczyn sklrny nstępujących pr wektorów Czy podne wektory są ortogonlne? c) [, ] u, v [, ] d) u [, ], v [,] e) u [,], v [, ] f) u [,,], v [,, ] g) u [,,], v [,, ] h) u [,,], v [,,6] Zdnie

16 Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch; wyzncznik i rząd mcierzy 6 Dl podnych mcierzy: 8 A, B, oblicz 7 c) A B, f) A B, d) A B, e) A B, g) A B Zdnie 6 Dl podnych mcierzy A, B, oblicz: e) B A, f) A B g) ( B I ) A h) A ( B I ) Zdnie 7 Oblicz A B, jeŝeli ) A, B c) A, B b) A, B A, B d) [ ]

17 Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch; wyzncznik i rząd mcierzy 7 e) A, B Zdnie 8 Oblicz wyznczniki mcierzy: c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

18 Zestw - Rząd mcierzy, ukłdy równń liniowych 8 Zdnie 9 Oblicz rząd mcierzy A d) A e) A f) A g) A 6 h) A ODPOWIEDZI Zdnie ) [, 9,] b) [,,] c) [,, ] Zdnie ) [ 9,] b) [,, ] c) [,,]

19 Zestw - Rząd mcierzy, ukłdy równń liniowych 9 Zdnie ) u d) u g) u b) u e) u h) u c) u f) u Zdnie ) uo v, nie b) uo v, tk c) uo v, nie d) uo v, tk e) uo v, nie f) uo v, nie Zdnie 8 8 ) 9 8 b) 8 6 c) 9 d) e) Zdnie 6 ) c) 9 b) 6 d)

20 Zestw - Rząd mcierzy, ukłdy równń liniowych Zdnie 7 ) 7 d) b) 6 6 c) e) 6 Zdnie 8 ) det A b) det A c) det A d) det A 9 e) det A f) det A 7 g) det A h) det A i) det A j) det A Zdnie 9 ) rza b) rza c) rza d) rza e) rza