MATEMATYKA W EKONOMII I ZARZĄDZANIU

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MATEMATYKA W EKONOMII I ZARZĄDZANIU"

Transkrypt

1 MATEMATYA W EONOMII I ZARZĄDZANIU Wykłd - Alger iiow) eszek S Zre Wektore zywy iąg liz ) p 567) 5) itp W ekooii koszyk dór zpisuje się jko wektory Np 567) jko koszyk dór wyspie Hul Gul oŝe ozzć 5 jłek 6 ów i 7 poidorów Wektory oŝ dodwć i oŝyć przez dowolą lizę rzezywistą to jest ) ) y y y ) y y y ) ) α ) α α α ) A zkupił koszyk dór 567) zś jej rzezoy Wojtek kupił koszyk dór 47) )Ile dór łązie kupili?; Ai siostr kupił rzy większy koszyk dór iŝ Wojtek ) Jki to ył koszyk? Odpowiedź: ) upili łązie 567)47)9) dór; ) 47) 846) Ilozye sklry dwóh wektorów ) orz y y y ) zywy lizę i ) y iyi y y y i Jeśli ) jest koszykie dór zś y y y y ) jest wektore ih e to ilozy sklry wyrŝ koszt zkupu koszyk Jeśli przykłd wyspie Hul Gul kŝde jłko kosztuje huly kŝdy huly zś kŝdy poidor 4 huly to koszyk Wojtk oŝ kupić z 47)4) 8 4 hulów W fish wektor 547) oŝe ozzć zkupy kji fir A B C z odpowiedio 5zł 4zł 7zł Tki wektor oŝey zwć portfele iwestor Gdyy iwestor sprzedł krótko to zzy poŝyzył is sprzedł) kje firy B z 5 tys zł zś kupił kje fir A i C z odpowiedio 5zł zł to jego portfel P wyglądły stępująo: P 5-5) i ie wygły rzez js włsego kpitłu!

2 Portfel P zwiey ritrŝowy dl iwestor którego horyzot iwestyyjy wyosi T di jeśli i) P ie wyg włsego kpitłu; orz ii) iezleŝie od seriusz zyli tego o się stie po T dih od dziś) zysk z portfel P ędzie Jeśli P ) jest portfele zś R r r r ) wektore stóp zwrotu z iwestyji w które ziwestowo odpowiedio zł zł zł to i 4) P R i r i jest zyskie z portfel P i Np P64) zś retowośi z tyh -eh iwestyji de są wektore R% 7% -5%) Wówzs zysk wyiesie P R zł Olizy terz si zysk z portfel P46) gdy R% 7% -5%) P R? Przykłd ZłóŜy Ŝe jeśli wyory prletre wygr PiS to stopy zwrotu z iwestyji w ieruhoośi wyiosą % w oy skrowe 5% zś w kje spółek whodząyh do ideksu WIG ędą rówe -% wię wektor stóp zwrotu PiS R 5 Jeśli z kolei wygr PO to wektor stóp zwrotu z wyieio- yh powyŝej iwestyji wyiesie PO R P 4-9 5) jest ritrŝowy 5 Udowodij Ŝe portfel Rozwiązie Od rzu widć Ŝe P ie wyg włsego kpitłu orz Ŝe są tu seriusze pokrywjąe wszystkie przypdki: seriusz r wygr PiS orz seriusz r wygr PO Pozostje upewić się Ŝe zysk z portfel P w kŝdy z seriuszy ędzie W ty elu skorzysty ze wzoru 4) otrzyują PiS 5 5) P R zł PO 5 6) P R zł o końzy dowód

3 Tk jk wektor jest uogólieie lizy zyś rdziej strkyjy jk liz) tk ierz jest uogólieie wektor Rzezywiśie ierzą zywy kŝdy prostokąty ukłd liz p ) A B Dodwie dwóh ierzy określ się tk jk dodwie dwóh wektorów to zzy po współrzędyh o ile rzez js ją tką są iloś wierszy i kolu jk p ierze A i B Łtwo sprwdzić Ŝe 5 A B Ilozy ierzy określy w ieo rdziej skoplikowy sposó iowiie y pooŝyć ierz C przez D leŝy pooŝyć kŝdy wiersz C przez kŝdą 8 koluę D wię p gdy C D 4 to C D 5 9 ZuwŜy Ŝe ie d się pooŝyć ierzy A przez B poiewŝ ie d się pooŝyć Ŝdego wiersz A przez jkąkolwiek koluę B Rzezywiśie y pooŝyć dw wektory przez sieie usz oe ieć tki s wyir tyle so współrzędyh) o ie iejs w przypdku wierszy ierzy Aj 4 współrzęde) i kolu ierzy Bj współrzęde) Uwg MoŜeie ierzy o ile jest wykole) jest rdzo proste w Eelu wystrzy owie zzzyć iejse ierz ędąą ilozye dwóh ierzy A i B które oŝyy przez sieie zyli zzzyć tyle wierszy ile ierz A orz tyle kolu ile ierz B) stępie skorzystć z fukji MACIERZIOCZYN Przykłd II-i sposó) Dzięki szej zjoośi ierzy rozwiąŝey te przykłd w krótszy sposó Zist owie olizć dw ilozyy sklre 5) i 6) pooŝyy tylko rz

4 4 ierz stóp zwrotu R przez portfel P p poprzez fukję MACIERZIOCZYN) gdzie 5 8) R 5 4 P otrzyują zyli ieujee zyski w kŝdy z dwóh seriuszy Zwróćy uwgę to Ŝe I-y wiersz ierzy R reprezetuje stopy zwrotu w przypdku gdy wygr PiS zś II-i wiersz reprezetuje stopy zwrotu w przypdku zwyięstw PO Z kolei I- kolu R podje stopy zwrotu z ieruhoośi II- kolu stopy zwrotu z oów skrowyh III- kolu z kji fir leŝąyh do ideksu WIG Przykłd do rozwiązi w dou) Bizes Aski ziwestowł 5 tyszł w fudusz ieruhoośi tyszł w oy orz tyszł w kjezyli łązie 5 tyszł) Widoo Ŝe stopy zwrotu holdig period returs) z ieruhoośi oów i kji de są w przypdku zwyięstw PiS przez wektor 5; 5;7) zś w przypdku zwyiestw PO przez wektor 95; 5;4) Sąsid Askiego wyrł portfel Z; -; ) Wykoują oŝeie odpowiedih ierzy i wektorów ) Czy portfel Askiego Y 5; ; ) jest ez ryzyk?; ) Ile ędzie wrt Y po roku? ) Jk stopę zwrotu uzysk Aski z Y? d) N którą prtie zgłosuje sąsid Askiego? e) Czy jego portfel Z jest ritrŝowy? Odpowiedzi: ) Y jest ez ryzyk poiewŝ Y ędzie wrt tyle so w ou seriuszh; ) Y ędzie wrt 95zł; ) 778%; d) PiS; d) tk Włsośi ierzy: ) A B B A przeieość dodwi) ) AB C) AB AC rozdzielość dodwi względe oŝei)

5 5 ) AB)C ABC) łązość oŝei) 4) AB BA oŝeie ie jest przeiee) Podoie jk wśród liz rzezywistyh z dziłie oŝei istieje dokłdie jede eleet eutrly iowiie liz o tej włsośi Ŝe orz tk i wśród ierzy z dziłie oŝei zdefiiowy powyŝej istieje dokłd- ie jede eleet eutrly względe oŝei iowiie ierz jedykow ozz dlej przez J) któr se jedyki główej przekątej orz se zer poz tą przekątą Ozz to Ŝe 9) JA A orz AJ A gdzie J Podto większość ierzy A eleet odwroty ierz odwrotą) oz- zą przez A o tej włsośi Ŝe ) A A ) J A A) Fkt Gdy C i D są ierzi odwrlyi to zzy istieją ierze ierz CD jest odwrl orz ) CD ) D C C i D ) to UŁADY RÓWNAŃ INIOWYCH RozwŜy rówie ierzowo wektorowe A zyli ) M M które jest izy iy jk ukłde rówń liiowyh z iewidoyi zwykle zpisywyi w stępujy sposó ) M

6 6 Nie jest to ukłd rówń rdzo łtwy do rozwiązi wręz przeiwie Jedk skróoy le rówowŝy jedoześie zpis ) pozwl go rozwiązć w prostszy sposó szzególie prosty wtedy gdy to zzy gdy ilość rówń jest tk s jk ilość iewidoyh Do tego jedk potrzee ędzie jeszze jedo pojęie iowiie pojęie wyzzik które przytzy poiŝej Defiij Dl ierzy kwdrtowej stopi k określy jej wyzzik w sposó idukyjy to zzy przyjują Ŝe potrfiy juŝ olizć wyzzik dowolej ierzy kw- drtowej stopi k- Ay t etodologi ił ses usiy wiedzieć jk olizć wyzzik jiejszej ierzy to jest ierzy stopi któr jest po prostu lizą PoiŜsz etod zyw się olizie wyzzik ierzy kwdrtowej z pooą rozwiięi ple według dowolego wiersz lo dowolej koluy Jeśli A [ ] to jej wyzzik A) ; Zkłdją Ŝe potrfiy olizć wyzziki ierzy kwdrtowyh stopi k- poiŝszy wzór określ jk olizyć wyzzik dowolej ierzy kwdrtowej stopi k z pooą rozwiięi ple według -go wiersz: A) A A Ak A A A k A k A Akk k i k ) A iwi ) AW ) AW ) A kw k i gdzie W ij B) przy zy B jest podierzą A któr powstje z A po skreśleiu i-ego wiersz orz j-ej koluy ierzy A Przykłd Oliz A) ) -go wiersz stępie ) 4-ej koluy z pooą rozwiięi ple według

7 7 Rozwiązie) A) ) ) W W Ay olizyć postąpiy tk so jk liijkę wyŝej stosują rozwi- ięie ple według pewego wiersz lu koluy W jki wyrć te wiersz lu tę koluę? Njlepiej ędzie olizyć te wyzzik z pooą rozwiięi ple ądź według -ej koluy gdyŝ w -ej koluie jest tylko jede eleet róŝy od zer) ądź według -go wiersz gdyŝ w -i wierszu jest rówieŝ tylko jede eleet róŝ od zer) Wyierzy p tą drugą oŝliwość otrzyują Ŝe ) Skorzystliśy tu z rdzo prostego i zego wzoru który ówi Ŝe wyzzik dowolej ierzy zyli ierzy d jest rówy d W istoie rzezy wzór te otrzyujey olizją wyzzik ierzy z pooą rozwiięi ple według -go wiersz zyli według wiersz [ ] Wykoują to otrzyujey d d W W ) ) Ay olizyć zstosujy rozwiięie ple według -go wiersz otrzyują -) z zego wyik iŝ A) - ) Rozwijją według 4-ej koluy ędziey ieć

8 8 ) ) Pierwszy z tyh dwóh wyzzików olizyy stosują rozwiięi ple względe -go wiersz gdyŝ w -i wierszu jest tylko jed liz róŝ od zer) zś drugi wyzzik olizyy stosują rozwiięi ple względe -ej koluy Otrzyujey zte ) orz ) Osttezie - Włsośi wyzzików ) Wyzzik ierzy trspoowej T A wiersze A zostły zieioe koluy rówowŝie oŝ powiedzieć Ŝe koluy A zostły zieioe wiersze) rówy jest wyzzikowi ierzy A to zzy A) T A ); ) JeŜeli w ierzy A przestwiy ze soą wiersze lu koluy) to wrtość wyzzik ziei się przeiwą; ) JeŜeli wszystkie eleety pewego wiersz ądź koluy) ierzy A pooŝyy przez stłą to wyzzik tk otrzyej ierzy A ędzie rzy większy iŝ wyzzik A to zzy A ) A); 4) Jeśli ierz B powstie z ierzy A w te sposó Ŝe do eleetów jkiegokolwiek wiersz ądź koluy) ierzy A dody eleety iego wiersz ądź koluy) pooŝoe przez stłą to B) A); 5) Jeśli wszystkie eleety pewego wiersz ądź koluy) ierzy A są rówe zero to A) ;

9 9 6) Jeśli wszystkie eleety pewego wiersz ądź koluy) ierzy A są proporjole do eleetów iego wiersz koluy) to A) Fkt Jeśli ierz kwdrtow B stopi zyli o wierszh i koluh) wyzzik róŝy od zer to rówie ierzowo-wektorowe B R zyli 4) M M zwsze to zzy dl dowolego ) rozwiązie de wzore 5) B Przykłd 4 RozwŜy ukłd rówń z iewidoyi: 5 5 N oy fktu jego rozwiązie jest posti B Olizją przy uŝyiu dostępej w Eelu fukji MACIERZODW ierz odwrotą do B otrzyujey B 4 wię 4 o ozz iŝ ; wześiej upewiy się z pooą fukji WYZNACZNIMACIERZY Ŝe B) Fkt iekw iterpretj oŝei ierzy przez wektor) Jeśli ierz B oŝyy przez wektor por 4)) ozz to Ŝe - kolu B oŝo jest przez - kolu B oŝo jest przez itd stępie dodwe są do sieie tk otrzye koluy tworzą koluę rówą Stosują tę włsość do przykłdu 4 ędziey ieć 6) - 5 5

10 Rozwiązywlość ukłdu rówń liiowyh Pozostje do wyjśiei kiedy istieje jedo lu więej) rozwiązie ukłdu rówń liiowyh ) gdzie iloś iewidoyh jest z reguły i iŝ ilość rówń Tutj przyhodzi w sukurs pojęie liiowej iezleŝośi wektorów orz pojęie rzędu ierzy Powiey Ŝe wektor e jest liiowo zleŝy od wektorów k jeśli istieją t- kie lizy k λ λ λ Ŝe zhodzi rówość e k k λ λ λ Rówie 6) pokzuje Ŝe wektor jest liiowo zleŝy od wektorów 5 5 Powiey Ŝe wektory są iezleŝe jeśli Ŝde z ih ie jest zleŝy od pozostłyh Njrdziej prosty przykłde liiowo iezleŝyh wektorów jest ukłd wektorów które ją jedą współrzędą rówą zś pozostłe współrzęde są rówe zero p 7) Zdie do dou: udowodij iŝ powyŝsze wektory są liiowo iezleŝe! Rząd ierzy A ozzy przez rza) jest to ksyl- ilość liiowo iezleŝyh kolu ierzy A Fkt 4 ) rza) ksylej ilośi liiowo iezleŝyh wierszy ) Mierz kwdrtow stopi k rząd rówy k wtedy i tylko wtedy gdy A) Przykłd 5 Oliz rząd ierzy C 5 5 Po pierwsze rzc)< 4 poiewŝ ierz C tylko wiersze zś oy fktu 4) rząd kŝdej ierzy

11 jest rówy ksylej ilośi jej liiowo iezleŝyh wierszy Po drugie ozz- ją przez B podierz skłdjąą się z pierwszyh kolu C wioskujey oy fktu 4) iŝ rządb) poiewŝ B)5 Dowodzi to iŝ rzc) o łązie z ierówośią rzc)<4 pokzuje Ŝe rzc) Fkt 5 RozwŜy ukłd rówń liiowyh z iewidoyi M zyli rówie ierzowo wektorowe M M zpisywe skrótowo jko A PowyŜszy ukłd rówń liiowyh o jiej jedo rozwiązie wtedy i tylko wtedy gdy rza) rza) Przykłd 6 Powróy do ukłdu rówń z iewidoyi 8) 5 5 rozptrywy juŝ w przykłdzie 4 Sprwdźy zy ty rze rza)rza) gdzie A 5 5 zś A) 5 5 Jest to dl s szzególie łtwe poiewŝ rozwiązują przykłd 5 pokzliśy iŝ rza) orz rza) z zego wyik iŝ rówie ierzowo-wektorowe 8) o jiej jedo rozwiązie Zdie str 7 z Podręzik) Wyprodukowie preli kosztuje ) przyhód ze sprzedŝy preli dy jest fukją R) 8 ) iedy zysk ędzie rówy?; ) Jki jest zysk strt) ze sprzedŝy preli?; oliz zysk ze sprzedŝy preli; ) Dl jkiego zysk wyiesie 5?

12 Rozwiązie Zysk przyhód ze sprzedŝy koszty zyli Z) ) ) Zte zysk ze sprzedŝy preli Z) ) R) zyli 8 5 4; ) Z) R) ) 5 -; Z) 5 ; ) Z) zyli 4 preli Zdie str 7 z Podręzik) owlski pluje zkup udziłów jedostek uzestitw w PIONIER) orz y udziłów kji) TP SA Dziś jedostk uzestitw kosztuje 8zł zś kj TP SA 9zł Dywidedy wyoszą odpowiedio 48zł orz 56zł Jk owlski powiie rozdyspoow swy kpitłe w wysokośi 4 tyszł y uzysk 6zł z dywided? Rozwiązie My tu ukłd rówń z dwie iewidoyi: 8 9 y y 6 który oŝ zpis w posti ierzowo-wektorowej jko A gdzie A y 6 N oy Fktu rozwiązie jest por wzór 5)) A y Ay uzysk 6zł dywidedy owlski powiie kupi 986 jedostek uzestitw PIONIER orz 7 kji TP SA Zdie 4 str7z Podręzik) Idiie Wputi wyriją koe dywy i spódie Ŝdy ko wyg 4 godz przędzei weły 4 godz frowi 5 godz pleei Ŝdy dyw wyg godz przędzei 5 godz frowi orz 8 godz pleei Ŝd spódi wyg godz przędzei godz frowi orz 9 godz pleei Ile koy ) dywów y) i spódi z) wyprodukuj Idiie jeśli poświeą przędzeie 6 godz frowie 59 godz zś pleeie godz? Rozwizie Otrzyujey stępująy ukłd rówń liiowyh ze względu iewidoe:

13 4 y z 6 zs przezzoy przędzeie) 4 5y z 59 zs przezzoy frowie) 5 8y 9z zs przezzoy pleeie) W ty przykłdzie 4 6 A / A 5 4 / / 6 Idiie wyprodukują 5 koy dywy i spódię y z A Zdie str6z Podręzik) Resturj przygotowuje rodzje surówek: włoskie fruskie i orietle Surówk włosk skłd się z kg ukiii kg rokuł orz 4kg rhwi Surówk frusk skłd sie z 6kg rokuł orz 4kg rhwi toist surówk orietl skłd sie z kg ukiii 5kg rokuł kg rhwi Resturj posid w gzyie 6kg ukiii 44kg rokułów i 94kg rhwi Ile zestwów surówek włoskih fruskih I orietlyh jest w stie przygotowć y zuŝyć dokłdie wszystkie zpsy w gzyie? Rozwiązie Nieh # zestwów włoskih; y # zestwów fruskih; z # zestwów orietlyh Zdefiiujy ierz A w stępująy sposó: A MoŜą -y wiersz A przez y z otrzyujey ile ukiii zjduje sie we wszystkih zestwh surówek MoŜą -i wiersz A przez y otrzyujey ile rokułów z zjduje sie we wszystkih zestwh surówek Podoie oŝą -i wiersz A przez

14 4 y otrzyujey ile rhwi zjduje się we wszystkih zestwh surówek z Otrzyujey wię rówie ierzowo-wektorowe 6 9) 6 5 y z 94 które rozwiązujey w tki s sposó jk powyŝej tz y z / 44 / / /

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:

WYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję: YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą

Bardziej szczegółowo

Działania wewnętrzne i zewnętrzne

Działania wewnętrzne i zewnętrzne Autmtyk i Rtyk Alger -Wykłd - dr Adm Ćmiel miel@gedupl Dziłi wewętrze i zewętrze Nie X ędzie ustlym iepustym zirem Def Dwurgumetwym dziłiem wewętrzym w zirze X zywmy fukję Jeśli X i y X t y X zywmy wyikiem

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO

Scenariusz lekcji matematyki w klasie II LO Autor: Jerzy Wilk Sceriusz lekcji mtemtyki w klsie II LO oprcowy w oprciu o podręczik i zbiór zdń z mtemtyki utorów M. Bryński, N. Dróbk, K. Szymński Ksztłceie w zkresie rozszerzoym Czs trwi: jed godzi

Bardziej szczegółowo

TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM

TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zakres GIMNAZJUM TABLICE WZORÓW I TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH zkres GIMNAZJUM LICZBY Lizy turle: 0,1,,,4, Koleje lizy turle zwsze różią się o 1, zpis, +1, +, gdzie to dowol liz turl ozz trzy koleje lizy turle, Lizy pierwsze:

Bardziej szczegółowo

Mamy nadzieję, że zestaw, który przygotowaliśmy maturzystom, spełni swoje zadanie i przyczyni się do egzaminacyjnych sukcesów.

Mamy nadzieję, że zestaw, który przygotowaliśmy maturzystom, spełni swoje zadanie i przyczyni się do egzaminacyjnych sukcesów. Zestw wzoów mtemtyzy zostł pzygotowy dl potze egzmiu mtulego z mtemtyki oowiązująej od oku 00. Zwie wzoy pzydte do ozwiązi zdń z wszystki dziłów mtemtyki, dltego może służyć zdjąym ie tylko podzs egzmiu,

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ ĆWICZENIE 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Opis kł pomirowego A) Wyzzie ogiskowej sozewki skpijąej z pomir oległośi przemiot i obrz o sozewki Szzególie proste, rówoześie

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności.

CIĄGI LICZBOWE. Naturalną rzeczą w otaczającym nas świecie jest porządkowanie różnorakich obiektów, czyli ustawianie ich w pewnej kolejności. CIĄGI LICZBOWE Nturlą rzeczą w otczjącym s świecie jest porządkowie różorkich obiektów, czyli ustwiie ich w pewej kolejości. Dl przykłdu tworzymy różego rodzju rkigi, p. rkig jlepszych kierowców rjdowych.

Bardziej szczegółowo

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1,

I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczby całkowite C : C..., 3, 2, 1, I. DZIAŁANIA W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH ZBIORY LICZBOWE: liczy turle N : N 0,,,,,,..., N,,,,,... liczy cłkowite C : C...,,,, 0,,,,... Kżdą liczę wymierą moż przedstwić z pomocą ułmk dziesiętego skończoego

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ

ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A

Bardziej szczegółowo

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a

2. Ciągi liczbowe. Definicja 2.1 Funkcję a : N R nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość funkcji a(n) oznaczamy symbolem a Ciągi liczbowe Defiicj Fukcję : N R zywmy iem liczbowym Wrtość fukcji () ozczmy symbolem i zywmy -tym lub ogólym wyrzem u Ciąg Przykłdy Defiicj róŝic zpisujemy rówieŝ w postci { } + Ciąg liczbowy { } zywmy

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zsd idukcji mtemtyczej. Dowody idukcyje. W rozdzile sformułowliśmy dl liczb turlych zsdę miimum. Bezpośredią kosekwecją tej zsdy jest brdzo wże twierdzeie, które umożliwi i ułtwi wiele dowodów twierdzeń

Bardziej szczegółowo

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +

Bardziej szczegółowo

Od wzorów skróconego mnoŝenia do klasycznych nierówności

Od wzorów skróconego mnoŝenia do klasycznych nierówności Hery Pwłowsi IV LO Toruń O wzorów sróoego moŝei o lsyzyh ierówośi Uzą w szole wzorów sróoego moŝei zzymy o owozei wóh toŝsmośi: () ( ) () ( ) Nstępie uŝywmy ih o przesztłi wyrŝeń Tym rzem zrómy z ih iy

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10 Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:

Bardziej szczegółowo

2.3.1. Iloczyn skalarny

2.3.1. Iloczyn skalarny 2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,

Bardziej szczegółowo

2. Funktory TTL cz.2

2. Funktory TTL cz.2 2. Funktory TTL z.2 1.2 Funktory z otwrtym kolektorem (O.. open olletor) ysunek poniżej przedstwi odnośny frgment płyty zołowej modelu. Shemt wewnętrzny pojedynzej rmki NAND z otwrtym kolektorem (O..)

Bardziej szczegółowo

KARTA WZORÓW MATEMATYCZNYCH. (a + b) c = a c + b c. p% liczby a = p a 100 Liczba x, której p% jest równe a 100 a p

KARTA WZORÓW MATEMATYCZNYCH. (a + b) c = a c + b c. p% liczby a = p a 100 Liczba x, której p% jest równe a 100 a p KRT WZORÓW MTEMTYZNY WŁSNOŚI DZIŁŃ Pwo pzemiennośi dodwni + = + Pwo łąznośi dodwni + + = ( + ) + = + ( + ) Pwo zemiennośi mnoŝeni = Pwo łąznośi mnoŝeni = ( ) = ( ) Pwo ozdzielnośi mnoŝeni względem dodwni

Bardziej szczegółowo

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostką budżetową Zamawiającym Wykonawcą

Gdyńskim Ośrodkiem Sportu i Rekreacji jednostką budżetową Zamawiającym Wykonawcą W Z Ó R U M O W Y n r 1 4 k J Bk 2 0 Z a ł» c z n i k n r 5 z a w a r t a w G d y n i w d n i u 1 4 ro ku p o m i 2 0d z y G d y s k i m O r o d k i e m S p o r t u i R e k r e a c j ei d n o s t k» b

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ANKIETY SKIEROWANEJ DO UCZNIÓW ZESPOŁU SZKÓŁ

ANALIZA ANKIETY SKIEROWANEJ DO UCZNIÓW ZESPOŁU SZKÓŁ ANALIZA ANKIETY SKIEROWANEJ DO UCZNIÓW ZEOŁU SZKÓŁ Bni nkietowe zostły przeprowzono w rmh relizji projektu eukyjnego Nie wyrzuj jk lei. Celem tyh ń yło uzysknie informji n temt świomośi ekologiznej uzniów

Bardziej szczegółowo

Tok sprawdzania nośności ścian obciążonych pionowo wg metody uproszczonej zgodnie z PN-EN 1996-3

Tok sprawdzania nośności ścian obciążonych pionowo wg metody uproszczonej zgodnie z PN-EN 1996-3 To sprwdzi ośości ści ociążoyc pioowo wg eody uproszczoej zgodie z P- 996- UWAGA: ośość ści eży sprwdzć żdej odygcji, cy że gruość ści i wyrzyłość uru ścisie są ie se wszysic odygcjc..... 5. De: rodzje

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 2 32 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f O b s ł u g a o p e r a t o r s k a u r a w i s a m o j e z d n

Bardziej szczegółowo

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic

MATLAB PODSTAWY. [ ] tworzenie tablic, argumenty wyjściowe funkcji, łączenie tablic MTLB PODSTWY ZNKI SPECJLNE symbol przypisi [ ] tworzeie tblic, rgumety wyjściowe fukcji, łączeie tblic { } ideksy struktur i tblic komórkowych ( ) wisy do określi kolejości dziłń, do ujmowi ideksów tblic,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 25.01.2003 r.

Matematyka finansowa 25.01.2003 r. Memyk fisow 5.0.003 r.. Kóre z poiższych ożsmości są prwdziwe? (i) ( ) i v v i k m k m + (ii) ( ) ( ) ( ) m m v (iii) ( ) ( ) 0 + + + v i v i i Odpowiedź: A. ylko (i) B. ylko (ii) C. ylko (iii) D. (i),

Bardziej szczegółowo

Co można zrobić za pomocą maszyny Turinga? Wszystko! Maszyna Turinga potrafi rozwiązać każdy efektywnie rozwiązywalny problem algorytmiczny!

Co można zrobić za pomocą maszyny Turinga? Wszystko! Maszyna Turinga potrafi rozwiązać każdy efektywnie rozwiązywalny problem algorytmiczny! TEZA CHURCHA-TURINGA Mzyn Turing: m końzenie wiele tnów zpiuje po jenym ymolu n liniowej tśmie Co możn zroić z pomoą mzyny Turing? Wzytko! Mzyn Turing potrfi rozwiązć kży efektywnie rozwiązywlny prolem

Bardziej szczegółowo

, GEOMETRIA NA PŁASZCZYZNIE (PLANIMETRIA)

, GEOMETRIA NA PŁASZCZYZNIE (PLANIMETRIA) Treść:, GEOMETRI N PŁSZCZYZNIE (PLNIMETRI) 1. Podstwowe pojęi geometrii (punkt, prost, płszzyzn, przestrzeń, półprost, odinek, łmn, figur geometryzn (płsk i przestrzenn). -------------------------------------------------------------------------------------------------------------.

Bardziej szczegółowo

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ROZWIAZANIAMI Dodjąc( bądź odejmując) do siebie dw wektory (lub więcej), dodjemy (bądź odejmujemy) ich odpowiednie współrzędne

Bardziej szczegółowo

GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY, al. Niepodległości 208, 00-925 Warszawa DS-50 I OCHRONA ZDROWIA W GOSPODARSTWACH DOMOWYCH, Kwestionariusz indywidualny

GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY, al. Niepodległości 208, 00-925 Warszawa DS-50 I OCHRONA ZDROWIA W GOSPODARSTWACH DOMOWYCH, Kwestionariusz indywidualny GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY, l. Niepodległośi 08, 00-95 Wrszw www.stt.gov.pl Dził 1. CHARAKTERYSTYKA OSOBY 1. Symol województw gospodrstw domowego. Nr gospodrstw domowego. Nr kolejny osoy ojętej dniem w

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

Ł Ś Ą ó ó ó ś ó ó ś ó ó ó ó ó Ó ś ó ś ó ó ś Ó ó Ó ś ó ś ó ó ó Ź ó ó ś ó ó ó ś ó ść ó ó ó Ą ó ś ó ó ó ś śó ó ó ź ó ó ś ó Ź ś ó ć ó ś Ę Ą ó ś óź ó ó ś ó ś Ę ó Ó ź ść ó ó ś ś ś Ó ó ź ó ś Ó ó ó ó ó ó ś Ó ó

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 07 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t Gó w d y s k i e g o C e n

Bardziej szczegółowo

a) b) Rys. 6.1. Schemat ideowo-konstrukcyjny układu do przykładu 6.1 a) i jego schemat blokowy

a) b) Rys. 6.1. Schemat ideowo-konstrukcyjny układu do przykładu 6.1 a) i jego schemat blokowy 04 6. Ztoownie metod hemtów lokowh do nliz włśiwośi ukłdów utomtki Shemt lokow ukłdu utomtki jet formą zpiu mtemtznego modelu dnego ukłdu, n podtwie której, wkorztują zd przedtwione rozdzile 3.7, możn

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyńskie Centrum Sportu jednostka budżetowa w Gdyni Rozdział 2. Informacja o trybie i stosowaniu przepisów Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 0 2 8 2 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f W y k o n a n i e ro b ó t b u d o w l a n y c h w b u d y n k u H

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny 5.4.1. Ruch unozeni, zględny i bezzględny Przy ominiu ruchu punktu lub bryły zkłdliśmy, że punkt lub brył poruzły ię zględem ukłdu odnieieni x, y, z użnego z nieruchomy. Możn rozptrzyć tki z przypdek,

Bardziej szczegółowo

SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE

SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE Publikcj współfisow ze środków Uii Europejskiej w rmch Europejskiego Fuduszu Społeczego SKRYPT DO ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE dr iż Ryszrd Krupiński

Bardziej szczegółowo

2 7k 0 5k 2 0 1 5 S 1 0 0 P a s t w a c z ł o n k o w s k i e - Z a m ó w i e n i e p u b l i c z n e n a u s ł u g- i O g ł o s z e n i e o z a m ó w i e n i u - P r o c e d u r a o t w a r t a P o l

Bardziej szczegółowo

9 6 6 0, 4 m 2 ), S t r o n a 1 z 1 1

9 6 6 0, 4 m 2 ), S t r o n a 1 z 1 1 O p i s p r z e d m i o t u z a m ó w i e n i a - z a k r e s c z y n n o c i f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t ó w G d y s k i e g o O r o d k a S p o r t u i R e ks r e a c j i I S t a d i

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Semantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 2 Działania na ułamkach, krotki i rekordy

Semantyka i Weryfikacja Programów - Laboratorium 2 Działania na ułamkach, krotki i rekordy Semntyk i Weryfikj Progrmów - Lortorium Dziłni n ułmkh, krotki i rekory Cz. I. Dziłni n ułmkh Prolem. Oprowć zestw funkji o ziłń rytmetyznyh n ułmkh zwykłyh posti q, gzie, są lizmi łkowitymi i 0. Rozwiąznie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 0 3 12 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f O b s ł u g a o p e r a t o r s k aw r a z z d o s t a w» s p r

Bardziej szczegółowo

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej).

CIĄGI LICZBOWE N = zbiór liczb naturalnych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezentowany przez punkty osi liczbowej). MATEMATYKA I - Lucj Kowlski {,,,... } CIĄGI LICZBOWE N zbiór liczb turlych. R zbiór liczb rzeczywistych (zbiór reprezetowy przez pukty osi liczbowej. Nieskończoy ciąg liczbowy to przyporządkowie liczbom

Bardziej szczegółowo

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale Trójkąt Pscl od kuchni Kls 1 Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnym i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle ul. Ks.St.Połetk 32 32-043 Skł Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w

Bardziej szczegółowo

Z INFORMATYKI RAPORT

Z INFORMATYKI RAPORT OKRĘGOWA KOMISJA EGZAMINACYJNA W POZNANIU WYNIKI EGZAMINU MATURALNEGO Z INFORMATYKI RAPORT WOJEWÓDZTWA LUBUSKIE*WIELKOPOLSKIE*ZACHODNIOPOMORSKIE 2 Egzmin mturlny z informtyki zostł przeprowdzony w łym

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.

Matematyka finansowa 06.10.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLVII Egzami dla Aktuariuszy z 6 paździerika 2008 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut . Kredytobiorca

Bardziej szczegółowo

O F E R T A H o t e l Z A M E K R Y N * * * * T a m, g d z i e b łł k i t j e z i o r p r z e p l a t a s ił z s o c z y s t z i e l e n i t r a w, a r a d o s n e t r e l e p t a z m i a r o w y m s z

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM CHEMICZNE sprzęt, BHP, zasady obliczeń

LABORATORIUM CHEMICZNE sprzęt, BHP, zasady obliczeń Ali Czerihowski, Krzysztof Skudlrski PODSTAWOWY SPRZĘT l. Sprzęt szkly LABORATORIU CHEICZNE sprzęt, BHP, zsdy olizeń Większość pr wykoywyh w lortorih hemizyh przeprowdz się w zyih szklyh. Szkło jest odpore

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk

Bardziej szczegółowo

mgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej,

mgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej, Wykłd z fizyki. Piot Posmykiewicz 49 6-4 Enegi potencjln Cłkowit pc wykonn nd punktem mteilnym jest ówn zminie jego enegii kinetycznej. Często jednk, jesteśmy zinteesowni znlezieniem pcy jką sił wykonł

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ

PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ PODSTAWY MATEMATYKI INANSOWEJ WZORY I POJĘCIA PODSTAWOWE ODSETKI, A STOPA PROCENTOWA KREDYTU (5) ODSETKI OD KREDYTU KWOTA KREDYTU R R- rocza stopa oprocetowaia kredytu t - okres trwaia kredytu w diach

Bardziej szczegółowo

S.A RAPORT ROCZNY Za 2013 rok

S.A RAPORT ROCZNY Za 2013 rok O P E R A T O R T E L E K O M U N I K A C Y J N Y R A P O R T R O C Z N Y Z A 2 0 1 3 R O K Y u r e c o S. A. z s i e d z i b t w O l e ~ n i c y O l e ~ n i c a, 6 m a j a 2 0 14 r. S p i s t r e ~ c

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 70 1 3 7 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U d o s t p n i e n i e w r a z z r o z s t a w i e n i e m o g

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Projektowanie konstrukcji z blach i profili

Projektowanie konstrukcji z blach i profili Projektownie konstrukji z lh i profili KAtlog 1.1 01/2011 zmówienie fksowe: +48 (0) 61 29 70 123 legend towr w opkowniu s Do prezentji n regłh z hkmi. W opkowniu typu skin i lister. opkownie hurtowe Pojedyńze

Bardziej szczegółowo

Technologia i Zastosowania Satelitarnych Systemów Lokalizacyjnych GPS, GLONASS, GALILEO Szkolenie połączone z praktycznymi demonstracjami i zajęciami na terenie polig onu g eodezyjneg o przeznaczone dla

Bardziej szczegółowo

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć

Bardziej szczegółowo

2 0 0 M P a o r a z = 0, 4.

2 0 0 M P a o r a z = 0, 4. M O D E L O W A N I E I N Y N I E R S K I E n r 4 7, I S S N 1 8 9 6-7 7 1 X A N A L I Z A W Y T R Z Y M A O C I O W A S Y S T E M U U N I L O C K 2, 4 S T O S O W A N E G O W C H I R U R G I I S Z C Z

Bardziej szczegółowo

Wartość przyszła FV. Zmienna wartość pieniądza w czasie. złotówka w garści jest warta więcej niŝ złotówka spodziewana w przyszłości

Wartość przyszła FV. Zmienna wartość pieniądza w czasie. złotówka w garści jest warta więcej niŝ złotówka spodziewana w przyszłości Zmiea wartość pieiądza w czasie Zmiea wartość pieiądza w czasie Zmiea wartość pieiądza w czasie jeda z podstawowych prawidłowości wykorzystywaych w fiasach polegająca a tym, Ŝe: złotówka w garści jest

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = =

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = = WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU Wprowadzeie. Przy przejśiu światła z jedego ośrodka do drugiego występuje zjawisko załamaia zgodie z prawem Selliusa siα

Bardziej szczegółowo

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowni i Systemów Informtycznych Teoretyczne Podstwy Informtyki List 4 Deterministyczne i niedeterministyczne utomty Wprowdzenie Automt skończony jest modelem mtemtycznym

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

ć Ą ą ą Ż Ż ó ą ż Ć ą ĆŻ Ż Ó Ó Ó ą Ó ń ą ę ą ę Ź ń ą Ó ą ą ą ą ą ą Ó Ż ęż ę ą ę ą ą ż ĘĆ ż ę Żą ż ą ń Ó ą Ó ą ę ż ęż ó ó ć ż ń ęż ń ń ć ń ż ć ć ą ą Ó Ó ó ó ń ó ę ó Ó ą ż Ć ę Ó ę ż Ó ó ą ó Ó ż Ć ę ó Ó ó

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE LINIOWE.

PROGRAMOWANIE LINIOWE. Wykłd 6 Progrowe lowe. Zstosow ekoocze. PROGRAMOWANIE LINIOWE. ZASTOSOWANIA EKONOMICZNE. CENY DUALNE. ANALIZA WRAŻLIWOŚCI.. RACHUNEK EKONOMICZNY. ZASADY RACJONALNEGO GOSPODAROWANIA. Rchuek ekooczy - porówe

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

IZBA KSIĘGARSTWA POLSKIEGO Sprawozdanie finansowe za rok 2011 - dodatkowe informacje i objaśnienia

IZBA KSIĘGARSTWA POLSKIEGO Sprawozdanie finansowe za rok 2011 - dodatkowe informacje i objaśnienia NOTA nr 1 ZMIANY W STANIE WARTOŚCI NIEMATERIALNYCH I PRAWNYCH - WARTOŚĆ BRUTTO Koszt zkończonych prc rozwojowych Wrtość firmy Inne wrtości niemterilne i utorskie prw mjątkowe, prw pokrewne, licencje, koncesje

Bardziej szczegółowo

ć Ę ó ó Ź ó ó ć ź ć ć Ś ć Ź ó Ó ó ó Ś ó ó ć ó ć Ź ź ć ó ź ć ó ź ó ó ó ó ć Ą ó ó ź ó ó ó ć ź ć ć ź ź Ś ó ó ó ć ó Ź ó ó ć ó ó ó ó Ę ó ó ź Ę ó ó ó ć ó ó ź Ć Ź ź ó ó ó ó ó ó ó óź ź ó ź ó ó ó ó ć ó ó ć ó ó

Bardziej szczegółowo

Zadania do rozdziału 7.

Zadania do rozdziału 7. Zdni do ozdziłu 7. Zd.7.. wiezchołkch kwdtu o okch umieszczono ednkowe łdunku. Jki łdunek o znku pzeciwnym tze umieścić w śodku kwdtu y sił wypdkow dziłąc n kżdy łdunek ył ówn zeu? ozwiąznie: ozptzmy siły

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

z d n i a 2 3. 0 4.2 0 1 5 r.

z d n i a 2 3. 0 4.2 0 1 5 r. C h o r ą g i e w D o l n o l ą s k a Z H P I. P o s t a n o w i e n i a p o c z ą t k o w e U c h w a ł a n r 1 5 / I X / 2 0 1 5 K o m e n d y C h o r ą g w i D o l n o l ą s k i e j Z H P z d n i a

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2.

Rozdział 1. Nazwa i adres Zamawiającego Gdyński Ośrodek Sportu i Rekreacji jednostka budżetowa Rozdział 2. Z n a k s p r a w y G O S I R D Z P I 2 7 1 03 3 2 0 1 4 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A f U d o s t p n i e n i e t e l e b i m ó w i n a g ł o n i e n i

Bardziej szczegółowo

Regulamin współpracy z pasażem www.zakupy.poradnikzdrowie.pl

Regulamin współpracy z pasażem www.zakupy.poradnikzdrowie.pl Regulmin współpry z psżem www.zkupy.pordnikzdrowie.pl 1 Definije 1 Murtor MURATOR Spółk Akyjn z siedzią w Wrszwie, 00-570 Wrszw, l. Wyzwoleni 14, NIP 526-00-08-745, wpisn do Krjowego Rejestru Sądowego

Bardziej szczegółowo

2... Pˆ - teoretyczna wielkość produkcji (wynikająca z modelu). X X,..., b b,...,

2... Pˆ - teoretyczna wielkość produkcji (wynikająca z modelu). X X,..., b b,..., Główne zynniki produkji w teorii ekonoii: praa żywa (oznazenia: L, ), praa uprzediotowiona (kapitał) (oznazenia: K, ), zieia (zwłaszza w rolnitwie). Funkja produkji Cobba-Douglasa: b b b P ˆ b... k 0 k

Bardziej szczegółowo

Ą Ą Ł ś ś Ł ś Ę Ę Ś Ś Ó Ę ź ś ś ś ś ś ń Ł Ą Ę ś ś ś Ś ń Ś ś Ę Ó Ź ś ś ś ś Ś ń ń ś ś Ś ń ź Ą ś ś Ł ź Ź Ś ś Ś ś ś ń ś Ś Ś ś Ł ś Ć ź ź ś Ś ś ś Ś ń Ć Ł Ą Ę ś ś ś Ś ść Ź ś Ś ś ś ś ń Ę ś Ś ś Ą Ó ś ś Ę Ł Ź ś

Bardziej szczegółowo

ć Ł Ą Ź Ś Ó Ó ŚĆ Ó Ż ż Ó Ó Ć Ó Ś Ą Ą Ź Ś Ś Ź Ź Ó ż Ó Ź Ś ż Ę ć ż Ę Ź ÓŻ Ś ż Ą Ó Ą Ś ż ź Ó ż ć Ż Ź Ó Ó ć ż ć ć ż ć Ą Ż Ż Ó ć Ź Ż ć Ę ć Ó Ż ć Ś ć ć Ó Ó Ą ć ć Ść ć ć Ż ż ż Ó Ż ż ć Ż ć ć ć ć ć Ó Ż ć Ę ć Ó

Bardziej szczegółowo

G d y n i a W y k o n a n i e p r a c p i e l g n a c y j- n o r e n o w a c y j n y c h n a o b i e k t a c h s p o r t o w y c h G C S o r a z d o s t a w a n a s i o n t r a w, n a w o z u i w i r u

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Miejsce a aklejkę z kodem szkoły dysleksja MIN-R_P-072 EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ ROK 2007 POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I Czas pracy 90 miut Istrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzamiacyjy

Bardziej szczegółowo

Ń Ł Ń Ó Ł Ę Ó Ó Ę ĘŚ Ó ÓŚ Ó Ę Ć Ó Ć Ę Ł Ó Ę Ć Ś Ż Ś Ś Ó Ó Ś Ń Ś Ó Ę Ę Ż Ć Ś Ó Ę Ó Ę Ę Ę Ę Ó Ś Ę Ę Ł Ć Ć Ś Ó Ę Ź Ę Ż Ź Ś Ź Ę Ę Ę Ó Ó Ó Ę Ę Ę Ę Ó Ę Ę Ć Ę Ć Ł Ź Ę Ę Ś Ń Ę Ć Ź Ó Ź Ó Ó Ę Ć Ć Ć Ź Ę Ę Ć Ę Ę

Bardziej szczegółowo

ROZPORZ DZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia

ROZPORZ DZENIE MINISTRA GOSPODARKI 1) z dnia RZPRZDZNI MINISTRA GSPDARKI 1) Projek z dia w srawie szzegóowego zakresu obowizku uzyskaia i rzedsawieia do uorzeia wiadew eekywoi eergeyzej i uiszzaia oay zaszej rzez rzedsibiorswa eergeyze srzedaje eergi

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Technologiczno- Humanistyczny w Radomiu Radom 2013

Uniwersytet Technologiczno- Humanistyczny w Radomiu Radom 2013 Uiwesytet Techologiczo- Huistyczy w Rdoiu Rdo 3 Podstwy tetyki fisowej D Zbigiew Śleszyński ted Bizesu i Fisów Międzyodowych Wydził kooiczy tudi podyploowe OWOCZ UŁUGI BIZOW Teść wykłdu: Powtók z tetyki

Bardziej szczegółowo

8 6 / m S t a n d a r d w y m a g a ń e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu E L E K T R Y K K o d z k l a s y f i k a c j i z a w o d ó w i s p e c j a l n o ś c i d l a p o t r z e b r y n k

Bardziej szczegółowo

RADA NA DZIŚ. Kompletny zapis artykułu dostęp ego pod adrese : http://www.strategie-rozwoju.pl/o-smierci-rada-na-dzis/

RADA NA DZIŚ. Kompletny zapis artykułu dostęp ego pod adrese : http://www.strategie-rozwoju.pl/o-smierci-rada-na-dzis/ Kompletny zapis artykułu dostęp ego pod adrese : http://www.strategie-rozwoju.pl/o-smierci-rada-na-dzis/ Spis treś i Mądrość ludzi łody h... 3 Rada dla żyją y h... 4 www.strategie-rozwoju.pl Piotr Michalak

Bardziej szczegółowo

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/00 Elementy podstwowe symbol dodtkowy element grficzny kolorystyk typogrfi Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/01 Elementy podstwowe /

Bardziej szczegółowo

FORMULAR) ŻYWIENIA ANKIETA

FORMULAR) ŻYWIENIA ANKIETA FORMULAR) ŻYWIENIA Wysła ie for ularza jest jed oz a z e ze złoże ie za ówie ia i ak epta ją regula i u w każdy pu k ie. ANKIETA. I ię i azwisko:. Płat ość: peł a kwota/ a raty lu * * iepotrze e skreślić.

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska

Repetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska Repetytorium z Matematyi Elemetarej Wersja Olimpijsa Podae tutaj zadaia rozwiązywae były w jedej z grup ćwiczeiowych Są w więszości ieco trudiejsze od pozostałych zadań przygotowaych w ramach przedmiotu

Bardziej szczegółowo

O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH

O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH DECYZJE nr 1 czerwiec 2004 37 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Krzysztof Jjug Akdemi Ekonomiczn we Wrocłwiu Wprowdzenie modele teorii finnsów Teori finnsów, zwn również ekonomią finnsową, jest jednym

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

Etyka procesów sieci Petriego w wietle teorii ladów

Etyka procesów sieci Petriego w wietle teorii ladów U n i w e r s y t e t W r s z w s k i Wydził Mtemtyki, Informtyki i Mehniki Etyk proesów siei Petriego w wietle teorii ldów rozprw doktorsk Jonn Jółkowsk Uniwersytet Mikołj Kopernik w Toruniu Wydził Mtemtyki

Bardziej szczegółowo

MISKOLC. ubytovací katalóg. 1 www.hellomiskolc.hu

MISKOLC. ubytovací katalóg. 1 www.hellomiskolc.hu O í O OÓW OOWY 1 www í,, ý, ľ x š, í ť, čť, š š čý ý ľ, ý, ž ž,, ý č í Uč ľ, ň ý ľ í í í žť ť š ý ž ý č ž ý ô, š ď š í O 16 -í š äčš ž? ôž ť ž čť! ý ľ x č ý ť žť šť äčší žý ý í í ď, šš, č, í, í žčíš íš

Bardziej szczegółowo