Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach"

Transkrypt

1 Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi nturlnymi Prostoktn tblice n n m1 m2 mn (1) utworzon z liczb ij (i 1 m; j 1 n) nzywmy m n-mcierz Elementy ij nzywmy wyrzmi mcierzy Rzedy pionowe nzywmy kolumnmi poziome - wierszmi tej mcierzy Kolumny numerujemy od lewej strony do prwej zś wiersze - od góry do do lu Ztem element ij stoi w i-tym wierszu i j-tej kolumnie rozptrywnej mcierzy Przyk ld 11 Jeżeli to We wszystkich oznczenich dotyczcych mcierzy tkich jk np ij A ij m n M m n (R) przyjmujemy umowe że pierwszy indeks z lewej strony dotyczy wiersz zś drugi-kolumny Dl mcierzy (1) piszemy też: ij i1m (2) lub krótko: ij gdy znne s jej wymiry m i n Oznczeni mcierzy: A B C itd Zbiór wszystkich m n - mcierzy oznczmy przez M m n (R) Dwie mcierze ij i B b ij nzywmy równymi jeżeli jko tblice s identyczne tzn mcierze te mj tkie sme wymiry ( wiec: m-liczb wierszy mcierzy A jest równ liczbie wierszy mcierzy B i n-liczb kolumn mcierzy A jest równ liczbie kolumn mcierzy B) orz ij b ij dl wszystkich i 1 2 m j 1 2 n 1

2 2 Rodzje mcierzy kwdrtowych n n-mcierze nzywmy mcierzmi kwdrtowymi stopni n Zbiór wszystkich mcierzy kwdrtowych stopni n bedziemy oznczli przez M n (R) Ogólne przyk ldy mcierzy kwdrtowych stopni to odpowiednio c b d b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ntomist ogóln postci mcierzy kwdrtowej stopni n jest n n n1 n2 nn (3) Odcinek l cz cy elementy 11 i nn mcierzy (3) nzywmy g lówn przektn tej mcierzy zś sume wszystkich elementów leżcych n g lównej przektnej mcierzy (3) nzywmy śldem mcierzy (3) i oznczmy przez tr(a) Ztem n tr n nn (4) n1 n2 nn Mcierze kwdrtowe ij M n (R) w których ij 0 dl wszystkich i > j tzn mcierze postci: n n n (5) nn nzywmy mcierzmi trójktnymi górnymi Ntomist mcierze kwdrtowe ij M n (R) w których ij 0 dl wszystkich i < j tzn mcierze postci: n1 n2 n3 nn nzywmy mcierzmi trójktnymi dolnymi (6) 2

3 Mcierze ij M n (R) które s jednocześnie trójktne górne i dolne tzn tkie że ij 0 dl wszystkich i j wiec mcierze postci: nn (7) nzywmy mcierzmi digonlnymi Szczególnym przypdkiem mcierzy digonlnych s tzw mcierze sklrne czyli tkie mcierze digonlne ij M n (R) że nn wiec mcierze postci: gdzie R (8) Mcierz sklrn postci (8) dl 1 nzywmy mcierz jednostkow i oznczmy przez I n Ztem I n (9) Mcierze kwdrtowe ij M n (R) tkie że ij ji dl wszystkich i j nzywmy mcierzmi symetrycznymi Ogólne przyk ldy mcierzy kwdrtowych symetrycznych stopni to odpowiednio b b d b 2 b 3 3 b 3 c 3 Mcierze kwdrtowe ij M n (R) tkie że ij ji dl wszystkich i j nzywmy mcierzmi ntysymetrycznymi Ogólne przyk ldy mcierzy kwdrtowych ntysymetrycznych stopni to odpowiednio 0 b c 0 b c 0 Ltwo zuwżyć że jeśli ij M n (R) jest mcierz ntysymetryczn to ii 0 dl wszystkich i 1 2 n tzn n g lównej przektnej tkiej mcierzy stoj sme zer 3

4 3 Dzi lni n mcierzch ) Mcierz trnsponown A T m n-mcierzy A postci (1) nzywmy tk n m-mcierz któr jko sw i-t kolumne dl i 1 2 m m i-ty wiersz mcierzy A Ztem T n m n m2 (10) m1 m2 mn 1n 2n mn 1 3 Przyk ld 12 Mcierz trnsponown mcierzy jest mcierz mcierz T trnsponown mcierzy jest mcierz 2 2 czyli T orz Dl dowolnej mcierzy A zchodzi wzór: (A T ) T A b) Mnożenie mcierzy przez liczbe Aby pomnożyć mcierz A przez liczbe nleży wszystkie jej wyrzy pomnożyć przez Ztem n n n n (11) m1 m2 mn m1 m2 mn W skróconej notcji: Przyk ld 13 2 ij i1m ij i1m (12) c) Dodwnie mcierzy Mcierze A i B o tych smych wymirch możemy dodwć Minowicie jeżeli ij i1m orz B b ij i1m to Przyk ld 14 + A + B ij + b ij i1m (13)

5 Dodwnie mcierzy jest przemienne l czne i posid element neutrlny tzw mcierz zerow 0 m n któr jest m n-mcierz o smych zerch tzn dl dowolnych m n-mcierzy A B C zchodz wzory: A + B B + A Mcierz przeciwn do mcierzy (A + B) + C A + (B + C) A + 0 m n 0 m n + A ij i1m nzywmy mcierz Zchodz dl niej wzory: ij i1m A + ( A) ( A) + 0 m n ( 1) A Możn wykzć że dl dowolnych m n-mcierzy A B i dl dowolnych liczb b zchodz wzory: (A + B) T A T + B T (A + B) A + B ( A) T A T ( + b) A + b A (b) (b A) d) Odejmownie mcierzy Różnic m n-mcierzy A i B nzywmy mcierz Jeżeli ztem ij i1m Przyk ld 15 A B A + ( B) orz B b ij i1m to A B ij b ij i1m e) Mnożenie mcierzy Jeżeli A jest m n-mcierz orz B jest n k-mcierz (tzn liczb kolumn mcierzy A jest równ liczbie wierszy mcierzy B) to możemy określić iloczyn A B który jest m k-mcierz przy czym wyrz x ij mcierzy A B jest iloczynem (sklrnym) i-tego wiersz mcierzy A: i1 i2 in 5

6 przez j-t kolumne mcierzy B: b 1j b 2j b nj czyli x ij i1 b 1j + i2 b 2j + + in b nj (14) Ztem by pomnożyć mcierz A M m n (R) przez mcierz B M n k (R) nleży pierwszy wiersz mcierzy A pomnożyć (sklrnie) przez pierwsz kolumne mcierzy B nstepnie nleży pomnożyć pierwszy wiersz mcierzy A przez drug kolumne mcierzy B itd W ten sposób uzyskmy kolejne wyrzy pierwszego wiersz mcierzy A B Aby otrzymć drugi wiersz mcierzy A B nleży pomnożyć drugi wiersz mcierzy A przez kolejne kolumny mcierzy B W końcu nleży pomnożyć osttni wiersz mcierzy A kolejno przez wszystkie kolumny mcierzy B Przyk ld 16 Niech i B Wówczs B A nie m sensu (gdyż liczb kolumn mcierzy B nie jest równ liczbie wierszy mcierzy A) orz A B bo Wynik std że mnożenie mcierzy nie jest n ogó l przemienne Twierdzenie 17 Jeżeli A M m n (R) B M n k (R) C M k p (R) to (A B) C A (B C) Twierdzenie 18 Jeżeli A M m n (R) orz B C M n k (R) to A (B +C) A B +A C Twierdzenie 19 Jeżeli A B M m n (R) i C M n k (R) to (A + B) C A C + B C Odnotujmy jeszcze inne w lsności dzi lń n mcierzch: Twierdzenie 110 Jeżeli A M m n (R) i B M n k (R) to (A B) T B T A T Twierdzenie 111 Jeżeli A M m n (R) i B M n k (R) to dl dowolnej liczby : (A B) ( A) B A ( B) Przyk ld 112 Korzystjc z podnych w lsności dzi lń n mcierzch obliczymy D B A T + (A C) T T 6

7 dl B C (A T ) T B T + (A C) A B T + A C A (B T + C) czyli Pondto B T czyli D wi ec B T + C D A (B T + C) Opercje elementrne n mcierzch Otóż D (B A T ) T +(A C) T T orz D Brdzo wżne znczenie w lgebrze liniowej odgrywj tzw opercje elementrne n wierszch lub kolumnch mcierzy Niech ij bedzie m n-mcierz Opercje elementrne n wierszch mcierzy A: (i) Pomnożenie i-tego wiersz mcierzy A przez niezerow liczbe Przy tej opercji nie zmienimy wierszy o numerch różnych od i zś kżdy wyrz i-tego wiersz mnożymy przez Opercje te oznczmy symbolem w i (ii) Zmin miejscmi i-tego wiersz mcierzy A z wierszem j-tym (i j) mcierzy A Przy tej opercji nie zmienimy wierszy o numerch różnych od i orz j Opercje te oznczmy symbolem w i w j (iii) Dodnie do j-tego wiersz mcierzy A i-tego (i j) wiersz tej mcierzy pomnożonego przez dowoln liczbe Przy tej opercji nie zmienimy wierszy o numerch różnych od j ntomist wiersz j-ty przybier postć: Opercj e t e oznczmy symbolem w j + w i j1 + i1 j2 + i2 jn + in Opercje elementrne n kolumnch mcierzy A: (i) Pomnożenie i-tej kolumny mcierzy A przez niezerow liczbe Przy tej opercji nie zmienimy kolumn o numerch różnych od i zś kżdy wyrz i-tej kolumny mnożymy przez Opercje te oznczmy symbolem k i (ii) Zmin miejscmi i-tej kolumny mcierzy A z kolumn j-t (i j) mcierzy A Przy tej opercji nie zmienimy kolumn o numerch różnych od i orz j Opercje te oznczmy symbolem k i k j (iii) Dodnie do j-tej kolumny mcierzy A i-tej (i j) kolumny tej mcierzy pomnożonej przez dowoln liczbe Przy tej opercji nie zmienimy kolumn o numerch różnych od j Opercje te oznczmy symbolem k j + k i 7

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,

Bardziej szczegółowo

Wykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia

Wykªad 1. Macierze i wyznaczniki Macierze podstawowe okre±lenia Wykªd 1 Mcierze i wyznczniki 11 Mcierze podstwowe okre±leni Denicj 1 Mcierz (rzeczywist ) wymiru m n, gdzie m, n N, nzywmy prostok tn tblic zªo»on z m n liczb rzeczywistych ustwionych w m wierszch i n

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach

PODSTAWY ALGEBRY MACIERZY. Operacje na macierzach PODSTWY LGEBRY MCIERZY WIERSZ i, KOLUMN (j) Mcierz m,n, gdzie m to ilość wierszy, n ilość kolumn i,j element mcierzy z itego wiersz, jtej kolumny Opercje n mcierzch Równość mcierzy m,n = B m,n. def i,j

Bardziej szczegółowo

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.

Bardziej szczegółowo

Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy

Pojęcia Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Temt: Mcierze Pojęci Dziłni n mcierzch Wyzncznik mcierzy Symbolem gwizdki (*) oznczono zgdnieni przeznczone dl studentów wybitnie zinteresownych prezentowną temtyką. Ann Rjfur Pojęcie mcierzy Mcierz to

Bardziej szczegółowo

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy

Zestaw 11- Działania na wektorach i macierzach, wyznacznik i rząd macierzy Zestw - Dziłni n wektorch i mcierzch, wyzncznik i rząd mcierzy PRZYKŁADOWE ZADANIA Z ROZWIAZANIAMI Dodjąc( bądź odejmując) do siebie dw wektory (lub więcej), dodjemy (bądź odejmujemy) ich odpowiednie współrzędne

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA

Algebra macierzowa. Akademia Morska w Gdyni Katedra Automatyki Okrętowej Teoria sterowania. Mirosław Tomera 1. ELEMENTARNA TEORIA MACIERZOWA kdemi Morsk w Gdyni Ktedr utomtyki Okrętowej Teori sterowni lger mcierzow Mirosłw Tomer. ELEMENTRN TEORI MCIERZOW W nowoczesnej teorii sterowni rdzo często istnieje potrze zstosowni notcji mcierzowej uprszczjącej

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna 1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,

Bardziej szczegółowo

Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A

Wyznacznik macierzy. - wyznacznik macierzy A Wzncznik mcierz Uwg Wzncznik definiujem tlko dl mcierz kwdrtowch:,,,,,, =,,,,,, n n n n nn n,,, det = n,,, n n nn - mcierz - wzncznik mcierz Wzncznik mcierz to wzncznik n wektorów, które stnowią kolumn

Bardziej szczegółowo

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

Pierwiastek z liczby zespolonej

Pierwiastek z liczby zespolonej Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.

ZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu. ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.

Bardziej szczegółowo

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4. RACHUNEK WEKTOROWY 4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY ALGEBRY LINIOWEJ ALGEBRA MACIERZY

PODSTAWY ALGEBRY LINIOWEJ ALGEBRA MACIERZY PODSTWY LGEBRY LINIOWEJ LGEBR MCIERZY Mcierzą prostokątą o m ierszch i kolumch zymy tblicę m liczb rzeczyistych ij (i,,...,m; j,,...,) zpisą postci ujętego isy kdrtoe prostokąt liczb M m M m Liczby rzeczyiste

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f

Bardziej szczegółowo

1 Ułamki zwykłe i dziesiętne

1 Ułamki zwykłe i dziesiętne Liczby wymierne i niewymierne Liczby wymierne i niewymierne - powtórzenie Ułmki zwykłe i dziesiętne. Rozszerznie ułmków Rozszerz ułmki b c b c 6 8. Skrcnie ułmków c b c b 8 0 Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

Wyrównanie sieci niwelacyjnej 1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

GRAFY i SIECI. Graf: G = ( V, E ) - para uporządkowana

GRAFY i SIECI. Graf: G = ( V, E ) - para uporządkowana GRAFY podstwowe definicje GRAFY i SIECI Grf: G = ( V, E ) - pr uporządkown V = {,,..., n } E { {i, j} : i j i i, j V } - zbiór wierzchołków grfu - zbiór krwędzi grfu Terminologi: grf = grf symetryczny,

Bardziej szczegółowo

Matematyka I. WYKŁAD 8. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH II Macierzowa Postać Eliminacji Gaussa. gdzie

Matematyka I. WYKŁAD 8. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH II Macierzowa Postać Eliminacji Gaussa. gdzie Mtemtk I /9 WYKŁD 8. UKŁDY RÓWNŃ LINIOWYCH II Mcierow ostć limincji Guss B gdie nn n n n B n Metod elimincji: () Odejmownie od pewnego równni wielokrotności (nieerowej) wrnego innego równni, nie mienijąc

Bardziej szczegółowo

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-)

Wszystkim życzę Wesołych Świąt :-) Poniższe zdni pochodzą ze zbiorów: ) J. Rutkowski, Algebr bstrkcyjn w zdnich b) M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zdń z lgebry Do kolokwium proszę też przejrzeć zdni z ćwiczeń. Wszystkim życzę Wesołych

Bardziej szczegółowo

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:

WEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać: WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3. Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Wykład 4 (Funkcje) przyporządkowany został dokładnie jeden element

MATEMATYKA Wykład 4 (Funkcje) przyporządkowany został dokładnie jeden element MATEMATYKA Wykłd 4 (Funkcje) Pisząc f : (,b) R rozumiemy Ŝe kŝdemu (, b) przyporządkowny zostł dokłdnie jeden element y R. Wykresem funkcji nzywmy zbiór pr (,f()) n płszczyźnie skłdjącej się ze wszystkich

Bardziej szczegółowo

Macierze w MS Excel 2007

Macierze w MS Excel 2007 Mcierze w MS Ecel 7 Progrm MS Ecel umożliwi wykoywie opercji mcierzch. Służą do tego fukcje: do możei mcierzy MIERZ.ILOZYN do odwrci mcierzy MIERZ.ODW do trspoowi mcierzy TRNSPONUJ do oliczi wyzczik mcierzy

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

Algebra WYKŁAD 6 ALGEBRA 1

Algebra WYKŁAD 6 ALGEBRA 1 Algebr WYKŁAD 6 ALGEBRA Ogóln postć ukłdu równń liniowych Rozwżmy ukłd m równń liniowych z n niewidomymi m m n n mn n n n b b b m o współczynnikch ik orz b i. Mcierz ukłdu równń wymiru m n m postć A m

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH

MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH oprcowne n podstwie przedmiotowego systemu ocenini NOWEJ ERY

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnik Gdńsk Wydził Elektrotechniki i Automtyki Ktedr Inżynierii Systemów Sterowni Teori sterowni Sterowlność i obserwowlność liniowych ukłdów sterowni Zdni do ćwiczeń lbortoryjnych termin T Oprcownie:

Bardziej szczegółowo

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna

Algebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci

Bardziej szczegółowo

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne:

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Wykłd Litertur: M. Lssk, Mtemtyk dl studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczyls, Anliz mtemtyczn M. Gewert, Z. Skoczyls, Anliz mtemtyczn W. Krysicki, L.Włodrski, Anliz mtemtyczn w zdnich cz. i cz.. Pomocnicze

Bardziej szczegółowo

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć

Bardziej szczegółowo

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy

Bardziej szczegółowo

Badanie regularności w słowach

Badanie regularności w słowach Przypdek sekwencyjny Mrcin Piątkowski Wydził Mtemtyki i Informtyki Uniwersytet Mikołj Kopernik Edsger Wybe Dijkstr (1930 2002) Computer science is no more bout computers thn stronomy is bout telescopes,

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny

5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny 5.4.1. Ruch unozeni, zględny i bezzględny Przy ominiu ruchu punktu lub bryły zkłdliśmy, że punkt lub brył poruzły ię zględem ukłdu odnieieni x, y, z użnego z nieruchomy. Możn rozptrzyć tki z przypdek,

Bardziej szczegółowo

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2) Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI

MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI Definicj 1. Niech A i B będą dowolnymi zbiormi. Zbiór A B = {(, b) : A b B} wszystkich pr uporządkownych (, b) tkich, że A i b B nzywmy iloczynem krtezjńskim zbiorów

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

Układy równań liniowych Macierze rzadkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Ukłdy równń liniowych Mcierze rzdkie wr zesie ń SciLb w obliczenich numerycznych - część Sljd Pln zjęć. Zdnie rozwiązni ukłdu równń liniowych..

Bardziej szczegółowo

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory

MATHCAD 2000 - Obliczenia iteracyjne, macierze i wektory MTHCD - Obliczei itercyje, mcierze i wektory Zmiee zkresowe. Tblicowie fukcji Wzór :, π.. π..8.9...88.99..8....8.98. si().9.88.89.9.9.89.88.9 -.9 -.88 -.89 -.9 - Opis, :,, przeciek, Ctrl+Shift+P, /,, ;średik,

Bardziej szczegółowo

bezkontekstowa generujac X 010 0X0.

bezkontekstowa generujac X 010 0X0. 1. Npisz grmtyke ezkontekstow generujc jezyk : L 1 = { 0 i 10 j 10 p : i, j, p > 0, i + j = p } Odpowiedź. Grmtyk wygląd tk: Nieterminlem strtowym jest S. S 01X0 0S0 X 010 0X0. Nieterminl X generuje słow

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

Matematyka II dla Wydziału Zarządzania

Matematyka II dla Wydziału Zarządzania Mtemtyk II dl Wydziłu Zrządzni nottki do użytku wewnętrznego dr Leszek Rudk Uniwersytet Wrszwski Wydził Zrządzni Podręczniki. Bżńsk T., Krwowsk I., Nykowsk M., Zdni z mtemtyki. Podręcznik dl studiów ekonomicznych,

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

Podstawy układów logicznych

Podstawy układów logicznych Podstwy ukłdów logicznych Prw logiki /9 Alger Boole Prw logiki WyrŜeni i funkcje logiczne Brmki logiczne Alger Boole /9 Alger Boole' Powszechnie stosowne ukłdy cyfrowe (logiczne) prcują w oprciu o tzw.

Bardziej szczegółowo

2.3.1. Iloczyn skalarny

2.3.1. Iloczyn skalarny 2.3.1. Ilon sklrn Ilonem sklrnm (sklrowm) dwóh wektorów i nwm sklr równ ilonowi modułów ou wektorów pre kosinus kąt wrtego międ nimi. α O Rs. 2.8. Ilustrj do definiji ilonu sklrnego Jeżeli kąt międ wektormi

Bardziej szczegółowo

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b, WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 14

Obliczenia naukowe Wykład nr 14 Obliczeni nuowe Wyłd nr 14 Pweł Zielińsi Ktedr Informtyi, Wydził Podstwowych Problemów Technii, Politechni Wrocłws Litertur Litertur podstwow [1] D. Kincid, W. Cheney, Anliz numeryczn, WNT, 2005. [2] A.

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

- Wydział Fizyki Zestaw nr 5. Powierzchnie 2-go stopnia

- Wydział Fizyki Zestaw nr 5. Powierzchnie 2-go stopnia 1 Algebr Liniow z Geometri - Wydził Fizyki Zestw nr 5 Powierzchnie -go stopni 1 N sferze 1 + + 3 = 4 znleźć punkt, którego odległość od punktu p = (, 6, 3) byłby njmniejsz Wyznczyć osie elipsy powstłej

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami ZałóŜmy, Ŝe macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, Ŝe macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6, Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie

Bardziej szczegółowo

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane? INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa

Klasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa Kls drug: II TK1, II TK2 Poziom podstwowy 3 godz. 30 tyg.= 0 nr progrmu DKOS-5002-7/07 I. Funkcj kwdrtow Moduł - dził - L.p. temt Wykres 1 f()= 2 2 Zkres treści Pojęcie Rysownie wykresów Związek współczynnik

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 2 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 2 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy bz dnych" 1 Pojęcie krotki - definicj Definicj. Niech dny będzie skończony zbiór U := { A 1, A 2,..., A n }, którego

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Całkowanie numeryczne. Definicje, twierdzenia, algorytmy

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Całkowanie numeryczne. Definicje, twierdzenia, algorytmy http://wwwiiuniwrocpl/ sle/teching/n-wdrpdf Anliz numeryczn Stnisłw Lewnowicz Styczeń 008 r Cłownie numeryczne Definicje, twierdzeni, lgorytmy 1 Pojęci wstępne Niech IF IF [, b] ozncz zbiór wszystich funcji

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysłw Smorwińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kliszu Wymgni edukcyjne niezbędne do uzyskni poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klsyfikcyjnych z obowiązkowych zjęć

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne Po nieco intuicyjnych początkch, zjmiemy się obiektmi, n których opier się progrmownie są to zmienne. Zmienne Progrmy operują n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni.

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy

Materiały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1

FUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1 FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny MARZEC 2017 schemat oceniania. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych C A D C C B C C C D C B A A A C A B D D C A C A C

Próbny egzamin maturalny MARZEC 2017 schemat oceniania. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych C A D C C B C C C D C B A A A C A B D D C A C A C Próbny egzmin mturlny MARZEC 7 schemt ocenini Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych 4 5 7 8 9 4 5 7 8 9 4 5 C A D C C B C C C D C B A A A C A B D D C A C A C Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie. (-) x Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny KLASA II 1.Sumy lgebriczne Mtemtyk wykz umiejętności wymgnych n poszczególne oceny KLASA II N ocenę dop: 1. Rozpoznwnie jednominów i sum lgebricznych 2. Oblicznie wrtości liczbowych wyrżeń lgebricznych 3. Redukownie

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom podstwowy Mrzec 7 Zdni zmknięte Z kżdą poprwną odpowiedź zdjący otrzymuje punkt. Poprwn odpowiedź Wskzówki do rozwiązni. B 5 5 6 5 = =

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych Macierze rzadkie

Układy równań liniowych Macierze rzadkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Ukłdy rówń liiowych Mcierze rzdkie 5 mrzec 009 SciLb w obliczeich umeryczych - część Sljd Pl zjęć. Zdie rozwiązi ukłdu rówń liiowych.. Ćwiczeie -

Bardziej szczegółowo