Sformułowanie Schrödingera mechaniki kwanowej Fizyka II, lao 018 1
Wprowadzenie Posać funkcji falowej dla fali de Broglie a, sin sin k 1 Jes o przypadek jednowymiarowy Posać a zosała określona meodą zgadywania. Wykorzysano wierdzenie: Cząska swobodna ma sały pęd, gdyż nie działa na nią żadna siła. Długość fali sowarzyszonej z cząską λ p h p R.Eisberg, R. Resnick Fizyka kwanowa Fizyka II, lao 018
Wprowadzenie Równanie 1 jes znaną posacią fali bieżącej o sałej długości λ. Fala a ma akże sałą częsoliwość ν, kórej warość orzymuje się ze związku Einseina ν =E/h gdzie E jes energią całkowią sowarzyszonej z falą cząski. Równanie falowe dla sruny można wyprowadzić z równania Newona, równanie falowe dla fal elekromagneycznych można wyprowadzić z równań Mawella. Nie należy oczekiwać, by kwanowe równanie falowe orzymać równań mechaniki klasycznej. Można sądzić, że będą pomocne posulay de Broglie a i Einseina: h p E h E h Fizyka II, lao 018 3
Wprowadzenie Poszukiwane równanie kwanowe musi spełniać nasępujące założenia: 1. Równanie musi być zgodne z posulaami de Broglie a i Einseina. Równanie musi być zgodne ze związkiem na całkowią energię: E p m V pomija się energię spoczynkową 3. Równanie musi być liniowe względem ψ, czyli jeżeli ψ 1, oraz ψ, są dwoma rozwiązaniami odpowiadającymi ej samej energii poencjalnej, wówczas dowolna kombinacja liniowa ψ,=c 1 ψ 1,+c ψ, jes eż rozwiązaniem. Fizyka II, lao 018 4
Wprowadzenie Kombinacja nazywa się liniową, gdyż zawiera pierwsze poęgi funkcji. r, c1 1 r, c r, Kombinacja jes dowolna, gdyż sałe c 1 i c mogą przyjmować dowolne warości; mogą być nawe zespolone. Żądanie liniowości zapewnia, że będziemy mogli dodawać do siebie funkcje falowe worząc charakerysyczną dla fal inerferencję konsrukywną i desrukywną. Fizyka II, lao 018 5
c1 1 r, c r, Funkcja falowa Inerferencja fal maerii funkcja falowa elekronu, kóry przeszedł przez szczelinę 1 funkcja falowa elekronu, kóry przeszedł przez szczelinę Funkcja falowa elekronu na ekranie dosaecznie daleko od układu szczelin jes sumą ych dwóch funkcji. Kwadra ej sumy, kóry jes związany z prawdopodobieńswem znalezienia elekronu, zawiera człony inerferencyjnie porzebne do prawidłowego opisu przejścia nawe pojedynczego elekronu przez układ dwóch szczelin. r, r, R r, ep is r, może być funkcją zespoloną Fizyka II, lao 018 6
Fizyka II, lao 018 7 Inerferencja fal maerii, ep,, is R r r r *,,,, R r r r r część rzeczywisa moduł funkcji falowej część urojona faza funkcji falowej, ep,, * is R r r r sprzężenie zespolone funkcji falowej
Inerferencja fal maerii Przykład: Funkcja falowa w punkcie na ekranie dla elekronu, kóry przeszedł przez szczelinę 1 wynosi RepiS 1. Funkcja falowa w ym samym punkcie ekranu dla elekronu, kóry przeszedł przez szczelinę oznaczoną wynosi RepiS. Funkcje R, S 1 i S są rzeczywise. Pokazać, że gdy obie szczeliny są oware, kwadra modułu funkcji falowej na ekranie ma cechy obrazu inerferencyjnego. is R epis R ep 1 Fizyka II, lao 018 8
Inerferencja fal maerii Rozwiązanie: Gdy oware są obie szczeliny, o funkcja falowa na ekranie ma posać: is R epis R ep Sąd, kwadra modułu wynosi: 1 epis epis ep is ep R is 1 1 R 1 cos S S 1 Fizyka II, lao 018 9
Inerferencja fal maerii Rozwiązanie: Kwadra modułu w punkcie na ekranie wynosi: R 1 cos S S 1 Różnica faz S 1 -S zmienia się z położeniem, sąd: 0 4 R W en sposób powsaje sandardowy obraz inerferencyjny z obszarami osłabienia inerferencja desrukywna i wzmocnienia inerferencja konsrukywna. Fizyka II, lao 018 10
Równanie Schrödingera Energia poencjalna, przedsawiona dla przypadku ogólnego jako: V=V,, musi być wielkością sałą, niezależną od czasu V=cons. Dla cząski swobodnej V=0 i wówczas fala sowarzyszona ma sałą częsoliwość ν oraz długość λ. Energia kineyczna z uwzględnieniem hipoezy de Broglie a: E K p h m m Całkowia energia E: p E Ek V V m Fizyka II, lao 018 11
Równanie Schrödingera Wykorzysujemy związki: k h i wówczas całkowia energia może być zapisana równaniem: k m V Szukane dla funkcji falowej równanie ma posać: r, V r, r, m i r, Jes o równanie Schrödingera Fizyka II, lao 018 1
Równanie Schrödingera 1887-1961 V r r, poencjał Fale maerii są opisywane równaniem Schrödingera zaproponowanym w 196 przez fizyka ausriackiego Erwina Schrödingera i funkcja falowa cząski m masa cząski r, r, V r r, m y Fizyka II, lao 018 13 z operaor Laplace a laplasjan
Fizyka II, lao 018 14 Najczęściej używamy jednowymiarowej posaci równania Schrödingera: 1887-1961 Hamilonian jes operaorem działającym na funkcję falową. Warości własne ego operaora reprezenują energię zgodnie z klasyczną formułą:,,, V m i lub:,, V m i Hamilonian V m p E Równanie Schrödingera
Funkcja falowa i jej inerpreacja probabilisyczna W 196, niemiecki fizyk eoreyk Ma Born zaproponował inerpreację funkcji falowej wprowadzonej przez Schrödingera. r, 188-1970 Inerpreacja a polega na ym, że wyrażenie r, d 3 r jes miarą prawdopodobieńswa znalezienia elekronu w chwili w sześciennym r pudełku o objęości d 3 r wokół punku Wyniki eksperymenu z dwoma szczelinami można inerpreować jako zwiększone inerferencja konsrukywna lub zmniejszone inerferencja desrukywna prawdopodobieńswo doarcia elekronu do pewnego ooczenia punku na ekranie. Fizyka II, lao 018 15
Funkcja falowa i jej inerpreacja probabilisyczna Ze względu na o, że w danej chwili czasu, znalezienia elekronu gdziekolwiek w przesrzeni jes zdarzeniem pewnym, z inerpreacji Borna wynika, że: r, d 3 r 1 normalizacja Funkcje falowe sosowane do opisu cząsek akich jak elekrony o fale prawdopodobieńswa. Tam gdzie ampliuda funkcji falowej jes mała, prawdopodobieńswo znalezienia cząski jes małe. Funkcje falowe mają fazy co pozwala im inerferować jak wszyskim innym falom. Fizyka II, lao 018 16
Funkcja falowa -własności Funkcja falowa r, lub, musi spełniać nasępujące warunki: 1. Jes klasy C1 funkcja i jej pierwsze pochodne są ciągłe. Jes jednoznaczna * 3.,,,, oznacza gęsość prawdopodobieńswa na jednoskę długości znalezienia cząski w pobliżu punku o współrzędnej w danej chwili czasu Fizyka II, lao 018 17
Sacjonarne równanie Schrödingera-niezależne od czasu Przyjmując, że energia poencjalna V nie zależy w sposób jawny od czasu można rozwiązać jednowymiarowe równanie Schrödingera przez separację zmiennych i orzymać zw. niezależne od czasu równanie Schrödingera Takie ograniczenie nie jes zby drasyczne, gdyż w mechanice kwanowej oraz klasycznej poencjał dla większości układów nie zależy od czasu. Ta meoda zakłada, że funkcja falowa może być zapisana jako iloczyn dwóch funkcji: Θ zależnej ylko od czasu i φ zależnej ylko od położenia :, Meoda a prowadzi do zasąpienia cząskowego równania różniczkowego zbiorem zwyczajnych równań różniczkowych. Fizyka II, lao 018 18
Fizyka II, lao 018 19 Sacjonarne równanie Schrödingera-niezależne od czasu Równanie Schrödingera przyjmuje posać: V d d m d d i Dzieląc przez ψφ, orzymujemy 1 1 V d d m d d i Obie srony ego równania zależą od całkowicie niezależnych zmiennych: lewa srona od a prawa od. Jedynym sposobem, aby o równanie było spełnione dla każdej chwili czasu i każdego położenia jes aby każda ze sron była równa sałej niezależnej od i ej samej dla obu sron. Nosi ona nazwę sałej separacji i oznaczamy ją symbolem E. Sała a będzie miała znaczenie fizyczne jes o energia cząski ale na ym eapie jeszcze nie można nadać jej akiej inerpreacji.
Sacjonarne równanie Schrödingera-niezależne od czasu Orzymujemy dwa niezależne równania: m Drugie równanie: d d V i d d E E To równanie jes zw. niezależnym od czasu równaniem Schrödingera. Można je rozwiązać jeśli znana jes posać V. jes prosym zwyczajnym równaniem różniczkowym pierwszego rzędu i możemy zaproponować prose rozwiązanie sandardowe w posaci ep Fizyka II, lao 018 0
Inerpreacja sałej separacji Podsawiamy: i orzymujemy: ep i d d do równania: E i ep E ep Osaecznie, rozwiązanie ma posać: ie ep E E cos i sin i jes funkcją oscylującą z częsością E A zaem zgodnie z posulaem Einseina E=ħω sała E jes o energia całkowia cząski i jej jednoską jes 1J Fizyka II, lao 018 1 E i i E
Problem własny Rozwiązaniem niezależnego od czasu jes :, E ep ie Możemy zapisać: Hˆ E E E Hamilionian,operaor Ĥ φ E jes funkcją własną operaora Hamilona, E jes odpowiadającą mu warością własną Problem rozwiązania równania Schrödingera sprowadza się do znalezienia funkcji własnych i warości własnych Hamilonianu. Fizyka II, lao 018
Fala płaska jako rozwiązanie równania Schrödingera dla cząski swobodnej Cząska swobodna V=0, przypadek jednowymiarowy. Zgodnie z mechaniką klasyczną cząska swobodna porusza się ze sałym pędem lub jes w spoczynku. W obu przypadkach jej całkowia energia E jes sała. Równanie Schrödingera dla akiego zagadnienia ma posać: m d d E Szukamy rozwiązania w posaci: Aep Fizyka II, lao 018 3
Fala płaska jako rozwiązanie równania Schrödingera dla cząski swobodnej Po wsawieniu propozycji φ do równania różniczkowego orzymujemy: me E i m a ponieważ: Aep o: Aep i me B ep i me Fizyka II, lao 018 4
Fala płaska jako rozwiązanie równania Schrödingera dla cząski swobodnej np. dla rozwiązania + mamy: Aep i me A[cos me i sin me Korzysamy z zależności: me p k Orzymujemy: Acosk isin k Fizyka II, lao 018 5
Fala płaska jako rozwiązanie równania Schrödingera dla cząski swobodnej Rozwiązanie dla równania Schrödingera zależnego od czasu ma posać: E, ep i lub zgodnie z posulaem Einseina: E rozwiązanie jes w posaci:, ep i Fizyka II, lao 018 6
Fala płaska jako rozwiązanie równania Schrödingera dla cząski swobodnej Korzysając ze znanego rozwiązania równania sacjonarnego w posaci: orzymujemy: Aep ik, Aep[ i k ] lub:, Acos k iasin k Jes o równanie fali bieżącej Fizyka II, lao 018 7
Fala płaska jako rozwiązanie równania Schrödingera Falę płaską można zapisać, jako:, A cos k i sin k, Aep i k gdzie: k lub:, i p Aep E p E k jes liczbą falową ω jes częsością pulsacją Fizyka II, lao 018 8
Nieskończona sudnia poencjału Nieskończenie duży poencjał na krawędziach sudni nie pozwala elekronom opuścić obszaru 0<<L; w ym obszarze elekron jes swobodny. φ=0 na zewnąrz sudni, gęsość prawdopodobieńswa znalezienia V V=0 elekronu wynosi zero =0 =L Poencjał wynosi zero wewnąrz i zmierza do nieskończoności na zewnąrz sudni W obszarze wewnąrz sudni, j. dla 0<<L, niezależne od czasu równanie Schrödingera ma posać: m d d Warunki brzegowe: 0 L E 0 Fizyka II, lao 018 9
Nieskończona sudnia poencjału Proponowane rozwiązanie: E Asin k A jes sałą Jes o rozwiązanie o ile: E k m dyskrene poziomy energeyczne Sosując warunki brzegowe: Sąd: sin kl 0 dlar =L, φ E =0 kl n dla n=1,, Energia elekronu przyjmuje ylko warości dyskrene Energia jes skwanowana Fizyka II, lao 018 30 3 0
Rozwiązania Nieskończona sudnia poencjału u n n Asin L odpowiadają falom sojącym z różną liczbą n węzłów wewnąrz sudni Funkcje własne φ n dla nieskończonej sudni Dozwolone mody drgań dla klasycznej sruny z węzłami na końcach Fizyka II, lao 018 31 3 1