POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

Transkrypt

1 POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

2 Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie, różnowartościowa. Znając funkcję falową możemy uzyskać wszystkie wielkości fizyczne dla danego układu. (x,t) funkcja falowa cząstki poruszającej się w jednym wymiarze (r,t) funkcja falowa cząstki poruszającej się w trzech wymiarach (r 1,r 2,t) funkcja falowa dla dwóch cząstek poruszających się w trzech wymiarach ( (x,t) (x,t)dx opisuje prawdopodobieństwo znalezienia obiektu w przedziale x, x+dx w chwili t.) Jeśli znamy funkcję falową, wiemy wszystko o układzie fizycznym.

3 wielkość fizyczna obserwabla charakterystyka układu którą można zmierzyć wyznaczyć doświadczalnie

4 Obserwable i Operatory Postulat 2a Każdej obserwabli odpowiada liniowy operator hermitowski Operator O f x =g x Operator liniowy, jeśli zachodzi równość dla dowolnych funkcji f 1 i f 2 oraz dla dowolnych stałych c 1 i c 2. L c 1 f 1 c 2 f 2 =c 1 L f 1 c 2 L f 2 Przykłady: który z operatorów jest liniowy? L 1 f = f 2 L 2 f =xf L 3 f = f L 4 f = df dx

5 Operatory hermitowskie Operator jest hermitowski, jeśli dla dowolnych funcji f i, f j znikających w nieskończoności zachodzi równość: f * i O f j dx=[ f j * O f i dx ] * The operator x is Hermitian The operator d dx is not Hermitian d but -i h is Hermitian dx The operator 2 d dx 2 is Hermitian

6 Podstawowe operatory zasady tworzenia operatorów Postulat 2a: położenie i pęd w mechanice kwantowej jest reprezentowany przez operator: ˆx = x rˆ = p x = i ħ d dx r p= i ħ[i x j y k z ]= i ħ (w jednym wymiarze) (w trzech wymiarach) Inne operatory tworzymy poprzez zastąpienie połozenia i pędu wyżej podanymi operatorami. Przykłady: Energia kinetyczna 2 p E x k = 2m 2 p E x k = 2m = ħ 2 2m d 2 dx 2 Hamiltonian (Energia) H = p2 V x 2m H = ħ2 2m d 2 dx 2 V x Moment pędu L=r x p L= i ħ r x 6

7 Przykład: Funkcje własne pędu Zagadnienie własne dla operatora pędu Operator pędu p x = i ħ d dx ˆ x φ p = φ p p x p x ( ) ( ) Funkcje własne pędu Wartość własna = pęd i ħ d dx p x = p p x Funkcje własne są falami płaskimi p i ħ p x =e x =e ikx p = ħk from the de Broglie relation 7

8 Funkcje własne i wektory własne Postulat 2b: wartości własne liniowego operatora hermitowskiego są możliwymi rezultatami pomiarów danej wielkości fizycznej. Zagadnienie własne liniowego operatora ˆ aφ = λ φ n n n Operator Funkcje własne Wartości własne Zagadnienie własne w przypadku macierzy Mx = λx Przykład: niezależne od czasu równanie Schrödingera: H x =[ ħ2 2m d 2 V x ] x =E x 2 dx Ważne: Wartości własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste. 8

9 Zagadnienie własne operatora. O f x =o f x Wartości własne operatora hermitowskiego są rzeczywiste. f * x O f x dx [ f * x O f x dx ] * =0 [o o * ] f * x f x dx=0 [o o * ]=0 Funkcje własne operatora hermitowskiego odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne. f 2 * x O f 1 x dx [ f 1 * x O f 2 x dx ] * =0 [o 1 o 2 ] f 1 * x f 2 x dx=0 f 1 * x f 2 x dx=0

10 Inne własności operatora hermitowskiego q n =q m =q (zdegenerowana wartość własna) Kombinacja liniowa zdegenerowanych funkcji własnych jest także funkcją własną z tą samą wartością własną. O c n n c m m =c n O n c m O m =q n c n n q m c m m =q c n n c m m Możemy ze zbioru tych funkcji wybrać dwie funkcje, które będą ortogonalne I unormowane, tj. n0 = n m0 =c 1 n c 2 m Dwa współczynniki pozwalają spełnić dwa warunki, by druga funkcja była ortogonalna do pierwszej i unormowana. Jeśli funkcje własne są ortogonalne i unormowane, nazywamy je wtedy, orthonormalnymi. Warunek ortonormalności funkcji: * n m dx= mn mn = 0 jeśli m n 1 jeśli m=n 10

11 Zbiór zupełny funkcji własnych Postulat 3 Funkcje własne liniowego operatora hermitowskiego tworzą zbiór zupełny. To oznacza, że dowolna funkcja spełniająca te same warunki brzegowe, co i funkcje własne można przedstawić jako liniową superpozycję funkcji własnych. N x = i=1 c i i x Jest to uogólnienie rozwinięcia funkcji w szereg Fouriera. Jak wyznaczyć współczynniki c i i jaka jest ich interpretacja? Funkcje i (x) są ortonormalne, więc c i = i * x x dx To rozwinęcie w bazie funkcji własnych ma implikacje dla procesu pomiaru w mechanice kwantowej. 11

12 Zupełność w przypadku ciągłego zbioru wartości własnych (moc zbioru funkcji własnych jest równa mocy zbioru liczb rzeczywistych) A wtedy x = c k k, x dk gdyż c k = * k, x x dx * k 1, x k 2, x dx= k1 k 2 Przykład: Funkcje własne pędu: k, x = 1 2 eikx x = c k 1 2 eikx dk c k = 1 2 e ikx x dk A to jest nic innego, jak analiza fourierowska funkcji 12

13 Funkcje własne i pomiar Postulat 4a: Jeśli pomiar obserwabli Q dokonany został na układzie opisanym unormowaną funkcją falową ψ, wtedy w wyniku pomiaru wartość własną q n z prawdopodobieństwem opisanym wzorem: Pr q n = c n 2 gdzie c n = n * x x dx Jest to tzw. całka przykrywania się funkcji falowych Współczynniki c n są współczynnikami rozwinięcia funkcji falowej w bazie funkcji własnych. N x = c n n x n=1 Jeżeli układ jest w stanie własnym φ n, to rezultatem pomiaru obserwabli Q będzie odpowiadająca wartość własna q n. 13

14 Rzutowanie funkcji falowej Postulat 4b: Bezpośrednio po pomiarze, układ jest w stanie opisanym funkcją własną odpowiadającą wyznaczonej wartości własnej. N x = c n n x pomiar x n x z prawdopodobieństwem n=1 Interpretacja John von Neumann in To oznacza, że następny pomiar bezpośrednio po pierwszym również da wartość własną tą samą. x = n x Pr q n =1 14

15 Wartość oczekiwana (średnia) Postulat 5 Wielkość średnia wielu pomiarów danej obserwabli układu opisanego funkcją falową (x) jest równa średniej wartości operatora reprezentującego daną obserwablę: Q= * x Q x dx Funkcje własne operatora i (x) tworzą bazę zupełną stąd funkcję opisującą stan układu (x) można przedstawić jako kombinację liniową funkcji własnych. x = c i i x i=1 * x Q x dx= i=1 Q= n c i * i * x Q i=n Pr q n q n = c n 2 q n n c n n x = i=1 c i * i * x i=n c n q n n x = c n 2 q n n

16 Przestrzeń Hilberta. Przestrzeń liniowa funkcji ciągłych, różnowartościowych i całkowalnych w kwadracie. Ponieważ jest to przestrzeń wektorowa, to funkcja w przestrzeni Hilberta jest reprezentowana przez element tej przestrzeni, tj. wektor.

17 Ciągły zbiór wartości własnych x f x =x 0 f x f x = x x 0 x = c x 0 x x 0 dx 0 gdzie c x 0 = x 0

18 Przestrzeń wektora ket x > x >= i=1 c i i >

19 Funkcjonał i iloczyn skalarny Operator matematyczny, który funkcji przyporządkowuje liczbę w ogólności zespoloną nazywamy funkcjonałem. x =n lub > =n Funkcjonał liniowy def. jak ogólnie dla operatora Przykładem funkcjonału jest iloczyn skalarny f 1 f 2 = f 1 * x f 2 x dx > = * x x dx Aby zdefiniować dla elementów przestrzeni ket iloczyn skalarny musimy dla każdego wektora ket zdefiniować tzw. wektor dualny bra < < > = * x x dx

20 Przestrzeń wektora bra (elementami są funkcjonały) Wektory dualne tworzą liniową przestrzeń wektorową < = i=1 c i * < i Iloczyn skalarny w uproszczeniu możemy zapisać następująco: < >= * x x dx

21 Komutator [ A, B]= A B B A Operatory komutują jeżeli [ A, B]= 0 Udowodnij, że spełniona jest relacja: [ x, i ħ x ]=i ħ

22 Operatory zgodne Dwie obserwable są zgodne jeśli ich operatory posiadają ten sam zbiór funkcji własnych (wartości własne są różne) O n =o n n R n =r n n Konsekwencje: dwie kompatybilne obserwable można mierzyć jednocześnie z dowolną dokładnością. Niech układ będzie w stanie opisanym funkcją falową: x = n a n n x Mierząc obserwablę O, otrzymamy wartość o m z prawdopodobieństwem a m 2 Układ przechodzi do stanu opisanego funkcjią falową φ m x = n a n n x m Mierząc obserwablę R, otrzymujemy wartość r m (wartość własną R odpowiadającą funkcji własnej φ m ) Funkcją falową układu pozostaje funkcja φ m x = m Mierząc powtórnie obserwablę O, otrzymamy wartość o m 22

23 Operatory zgodne Operatory zgodne komutują! O n =o n n R n =r n n Dowód Weźmy funkcję i zapiszmy ją w bazie funkcji własnych x = n a n n x O R R O = O R R O n a n o n r n r n o n n =0 = n a n n O R R O =0 [ O, R]= 0 Można wykazać też relację w drugą stronę: jeśli dwa operatory komutują to są zgodne. 23

24 Ewolucja czasowa układu Postulat VI Pomiędzy pomiarami funkcja falowa opisująca stan układu jest rozwiązaniem zależnego od czasu równania Schrodingera. i ħ x, t = H x, t t Jest to równanie różniczkowe liniowe, gdyż kombinacja liniowa dwóch rozwiązań jest rozwiązaniem. To jest Zasada superpozycji i ħ x, t 1 = H t 1 x, t i ħ x, t 2 = H t 2 x,t i ħ [ x, t x, t ] 1 2 = H [ t 1 x, t 2 x, t ]

25 ħ 2 2m r,t V r, t r, t = ħ i r,t t r,t = r t jeśli V r, t =V r 1 [ ħ2 2m r V r r ]= ħ i 1 t t = =const.=e t

26 Reprezentacja macierzowa (Heisenberga) O >=o > < = i=1 c i * < i >= i=1 c i i > c i < j O i >= o c i < j i > i=1 i =1 i=1 O ji c i =o i=1 I ji c i [O ji ][C i ]=o [I ji ][C i ] Problem znalezienia wartości własnych. Macierz hermitowska * O ij =O ji det [O oi ]=0

27

28