Mechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg

Transkrypt

1 Mechanika kwantowa Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg

2 Falowe równanie ruchu (uproszczenie: przypadek jednowymiarowy) Dla fotonów Dla cząstek Równanie Schrödingera y x = 1 c y t y( x, t) = Asin( kx ωt) ω = k c E = p c

3 Równanie Schrödingera Nie działają siły: Sprawdzamy czy funkcja: spełnia równanie Całkowita energia jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej

4 Probabilistyczna interpretacja funkcji falowej (Max Born lata dwudzieste XX w.) Funkcja falowa jest zespolona nie posiada sensu fizycznego Nie ma sensu pytać co faluje dla fal materii Interpretuję się nie funkcję falową, ale jej kwadrat P(x) jest gęstością prawdopodobieństwa P(x)dx jest prawdopodobieństwem znalezienia cząstki w obszarze (x, x + dx) Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w skończonym obszarze (x 1, x ) P x = Ψ ( x, t) x 1 dx

5 Kot Schrödingera

6 Ψ Równanie Schrödingera niezależne od czasu p E i( x t) (, ) = x t Ae (separacja zmiennych) Dla cząstki swobodnej = Ae ikx e iωt Ogólniej Separacja zmiennych przestrzennych i czasowych = Ψ( x) e iωt Wstawiamy do r. Schr.

7 Jeśli dla dowolnych zmiennych niezależnych x i y: F(x)=G(y), to F(x)=G(y)=const.

8 C=E Dla potencjału niezależnego od czasu Równanie Schrödingera niezależne od czasu

9 Właściwości funkcji falowych Funkcja falowa musi być skończona Funkcja falowa musi być ciągła (wraz z I pochodną)

10 Rozwiązanie równanie Schrödingera dla prostych przypadków (cd) Cząstka w pudle: elektron w (nieskończonej) studni potencjału (II) (I, III) I II III Rozwiązanie równania Schrödingera sklejamy z trzech rozwiązań p i x ikx (II) ψ ( x ) = Ae = Ae (I, III) ψ ( x) = Asin ψ ( x) = 0 ψ ( 0) = ψ ( L) = p Warunki brzegowe x oraz 0 p L = nπ

11 Cząstka w pudle: elektron w (nieskończonej) studni potencjału p n = nπ L p E = m ψ ( x) = 0 p ψ ( x) = Asin x ψ ( x) = 0 E n = n π ml I II III

12 Cząstka w pudle: elektron w (nieskończonej) studni potencjału Funkcja falowa (Funkcja falowa) L=0,1 nm Przykład: pudełko o rozmiarze atomu E π 37, ev ml 6 1 = =

13 Budowa atomu Początek XX w.: Materia składa się z ujemnych (elektrony) i dodatnich (ładunków) Model Thomsona (1904) Model Rutherforda (1911) 1 fm Masa atomu skupiona jest w jądrze elektrony krążą wokół Problem z wyjaśnieniem widm atomowych

14 Budowa atomu Problem z wyjaśnieniem widm atomowych Spektroskopia (Joseph von Fraunhofer 1814)

15 Widmo wodoru Wzór Balmera (1885)

16 Wzór Rydberga (1888)

17 Atom (wodoru) Bohra

18 Postulaty Bohra I. Dozwolone są tylko dyskretne orbity, dla których moment pędu jest skwantowany Wodór (Z=1)

19 Postulaty Bohra II. Przejściu elektronu miedzy dwoma dozwolonymi stacjonarnymi orbitami towarzyszy emisja (lub absorpcja) kwantu promieniowania o energii związanej z energiami orbit poprzez teorią Planck a hν = E i E f 1 = λ E0Z ch = ν 1 ( m E0Z h 1 n 1 m 1 n ( ) )

20 1 = λ Serie widmowe dla wodoru 0 ( ) E h 1 m 1 n m = 1 m = m = 3 λ [nm]

21 Warunek Bohra a postulat de Broglie a πr = nλ πr = n h p λ = h p h rp = L = n = π n

22 Równanie Schrödingera atom wodoru 1. Trzy wymiary. Potencjał zależny od położenia V 3. Wygodny układ współrzędnych masa zredukowana 4. Niebanalne równanie różniczkowe do rozwiązania

23 Równanie Schrödingera we współrzędnych sferycznych Separacja zmiennych Trzy liczby kwantowe (tyle ile zmiennych) Główna: n = 1,, 3,... Orbitalna: l = 0, 1,,..., n-1, czyli 0 l n-1 Magnetyczna: m l = -l, -l+1, -l+,...l, l 1, l, czyli -l m l 1 Kwantowanie pojawia się zawsze, gdy mamy przestrzenne ograniczenia ruchu

24 R n l, ( r) funkcje radialne atom wodoru Wielomiany Laguerre a Promień Bohra

25 Y l ( θ,, ϕ m l ) harmoniki sferyczne atom wodoru F-cje Legengre a

26 Gęstość prawdopodobieństwa* atom wodoru Stan podstawowy atomu wodoru (stan o najniższej energii): n=1, l=0, m l =0 1 ψ 0,0,0( r, θ, ϕ) = 3 π a Radialna gęstość prawdopodobieństwa: opisuje prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w powłoce kulistej między (r, r+dr) P( r) dr = ψ dv = ψ 4πr P ( r) = 4 a 3 0 r 0 e e -r a -r 0 a 0 dr *Uwaga: współrzędne sferyczne

27 atom wodoru Radialna gęstość prawdopodobieństwa dla elektronu w atomie wodoru dla n = 1,, 3 Kątowa gęstość prawdopodobieństwa dla elektronu w atomie wodoru dla l = 0,1, Elektron może znajdować się w dowolnej odległości od jądra - nie ma dla niego obszarów zupełnie niedozwolonych, ale najbardziej prawdopodobne jest jego znalezienie w okolicy orbity znanej z teorii Bohra

28 Nie ma sensu mówić o orbitach, mówimy o orbitalach Orbital to funkcja opisująca falowe zachowanie się elektronu Orbital scharakteryzowany jest przez trzy liczby kwantowe Liczby kwantowe: Główna: n = 1,, 3,... Orbitalna: l = 0, 1,,..., n-1, czyli 0 l n-1 Magnetyczna: m l = -l, -l+1, -l+,...l, l 1, l, czyli -l m l 1 l Historycznie: = 0, 1,, 3,... s, p, d, f,...

29 Sens fizyczny liczb kwantowych: Każda z nich odpowiada za kwantowanie pewnej wielkości atom wodoru Główna: n = 1,, 3,... Odpowiada za kwantowanie energii Określa średni promień orbity Energia Energia zależy tylko od n (stany są zdegenerowane) ev

30 węzeł węzeł węzeł węzeł Radialna gęstość prawdopodobieństwa r

31 Sens fizyczny liczb kwantowych: Każda z nich odpowiada za kwantowanie pewnej wielkości Orbitalna: l = 0, 1,,..., n-1, czyli 0 l n-1 Magnetyczna: m l = -l, -l+1, -l+,...l, l 1, l, czyli -l m l 1 odpowiadają za kwantowanie momentu pędu (długości i kierunku) L Orbitalna liczba kwantowa l określa kształt orbity, odpowiada za kwantowanie długości L: = L = l( l + 1), dla l = 0, 1,, 3,... Historycznie: s, p, d, f,... węzeł

32 Sens fizyczny liczb kwantowych: L Klasycznie = r Orbitalny moment pędu elektronu p Ze względu na zasadę nieoznaczoności można wyznaczyć tylko długość oraz jego orientację przestrzenną L Magnetyczna liczba kwantowa m odpowiada za kwantowanie przestrzenne (orientację orbity): L = m, dla m = 0, ± 1, ±, ± 3,... z l ± l

33

34 µ Moment magnetyczny atomu Obraz klasyczny L + v e - m e Elektron krążący wokół stanowi prąd elektryczny i = ev πr Moment pędu elektronu L = m v r e Moment magnetyczny obwodu z prądem µ = ev µ = Ai = πr πr e m e L = Jeśli skwantowany jest moment pędu, to skwantowany jest też moment magnetyczny 1 evr

35 µ Moment magnetyczny atomu Obraz kwantowy µ = e m e L + Jeśli skwantowany jest moment pędu, to skwantowany jest też moment magnetyczny L v e - m e i jego zetowa składowa Doświadczenie Sterna Gerlacha atomów srebra off on Pole magnetyczne

36 Spin Elektron posiada też własny moment pędu: spin W obrazie klasycznym można go sobie przybliżyć obrotem wokół własnej osi Opisuje go czwarta liczba kwantowa spinowa - s S = S = s( s + 1), dla s = jego zetowa składowa m s = ± 1 1 Doświadczenie Sterna Gerlacha

37 Atomy wieloelektronowe Np. elektrony (atom helu) Elektrony oddziałują z jądrem i między sobą Równanie Schrödingera nie ma rozwiązań analitycznych Metody przybliżone Np. elektrony (atom helu) hel (Z = ) He : 1s -gi elektron: Odczuwa ładunek jądra Z= lub Z=1 Średnio: Z ef =1.5 Dla wodoru E Dla helu Zef = 13.6 n ev 30eV Z uwzględnieniem el el. E=4.6 ev

38 Atomy wieloelektronowe Zniesienie degeneracji ze względu na orbitalną liczbę kwantową

39 Jeden orbital może być obsadzony przez dwa elektrony (zakaz Pauliego) n l Podpowłoka m l Liczba orbitali w podpowłoce Liczba orbitali w powłoce

40 He elektrony

41 C 6 elektronów Kolejność obsadzania orbitali dla danego l : Reguły Hundta

42 O 8 elektronów

43 Ne 10 elektronów

44 Na 11 elektronów

45 Cl 17 elektronów

46 Ar 18 elektronów

47 Ca 0 elektronów

48 Sc 1 elektronów Metal przejściowy