Fale mechaniczne i akustyczne

Transkrypt

1 Fale mechaniczne i akusyczne Zadania z rozwiązaniami Projek współfinansowany przez Unię uropejską w ramach uropejskiego Funduszu Społecznego Projek współfinansowany przez Unię uropejską w ramach uropejskiego Funduszu Społecznego

2 Zadanie Oblicz częsoliwość fali sojącej worzącej się w rurze (o długości l = 34 cm) zamknięej z jednej srony. Fala sojąca powsaje w wyniku inerferencji (nałożenia) co najmniej dwóch fal, np. biegnącej i odbiej. Falę sojącą cechuje niezmienniczość położenia maksimów ampliudy (zw. srzałki) oraz miejsc całkowicie wygaszonych (zw. węzły). W rurze zamknięej jednosronnie węzeł worzy się przy krańcu zamknięym, zaś srzałka przy krańcu owarym. Między nimi może pojawić się dowolna liczba srzałek. W naszym przypadku ineresuje nas ylko największa długość fali. Odległość między kolejnymi węzłami (lub, analogicznie, srzałkami) wynosi pół długości fali. Między sąsiadującym węzłem i srzałką mamy zaem odległość równą ¼ długości fali. Dla największej długości fali, wewnąrz rury nie wysępuje żadna dodakowa srzałka lub węzeł. Sąd największa długość generowanej fali wynosi: 34m/ s 4l 36cm f 5Hz,36m

3 Zadanie Jaka jes częsoliwość fali sojącej worzącej się w rurze o długości l = m, zamknięej obusronnie? Jakie są częsoliwości kolejnych dwóch składowych harmonicznych? W rurze zamknięej dwusronnie węzeł worzy się przy obu krańcach. Dla największej długości fali, wewnąrz rury wysępuje ylko jedna srzałka pomiędzy węzłami na krańcach rury. Sąd największa długość generowanej fali wynosi: l m f 7Hz Dla kolejnych harmonicznych: l m l m 3 3 f f 34Hz 5Hz

4 Zadanie 3 Prę w rurze Kunda usawiono w en sposób, że po poarciu pręa, w rurze wyworzyła się fala sojąca. Nasępnie prę przesunięo o Dx = cm i ponownie orzymano falę sojącą. Jaka jes długość wprawianego w drgania pręa? Rura Kunda sanowi rezonaor, zamknięy z jednej srony na sałe. Z drugiej srony rurę domyka zakończenie ruchomego pręa. Prę, wprawiony w drgania, generuje falę o dwukronej długości jego samego. Przesuwanie pręa umożliwia zaobserwowanie w pewnych położeniach fali sojącej przy spełnieniu warunków opisanych w rozwiązaniu poprzedniego zadania. Aby zaobserwować falę sojącą, końcówka pręa musi znajdować się w miejscu przypadającym na węzeł fali. Przesunięcie pręa od jednego rezonansu do drugiego (najsilniejszej obserwacji fali) równe jes zaem odległości między kolejnymi węzłami. Sąd długość orzymanej w naszym przypadku fali wynosi: x cm Zaś długość pręa (d): d / x cm Laboraoryjna rura Kunda fo. Grzegorz Knor (licencja: własność publiczna)

5 Zadanie 4 Oblicz częsoliwość podsawową sruny o długości l = cm i masie m = g, jeśli naprężenie sruny wynosi F = 8 N. Prędkość fali mechanicznej, rozchodzącej się w srunie, wynosi: F m gdzie m = m/l gęsość liniowa sruny. Pamięamy, że dla fali sojącej zakowiczonej na obu końcach musi być spełniony warunek: f Fl l l m F ml Podsawiając warości liczbowe, orzymamy: f 4Hz

6 Zadanie 5 Naężenie dźwięku w odległości l = m od głośnika (emiującego falę kulisą) wynosi I =,8 W/m. Jaka jes moc głośnika? Jaki jes poziom naężenia dźwięku w odległości l = m? Naężenie dźwięku rozchodzącego się w posaci fali kulisej z punkowego źródła o mocy P maleje odwronie proporcjonalnie do odległości r i wyraża się zależnością: P I( r) 4r Znając naężenie w punkcie odległym o l, ławo możemy obliczyć moc źródła (P): P I P 4l I, 5W 4l Przez analogię, policzymy naężenie dźwięku w punkcie odległym o l : I P 4l I l W 4 m I, l 4l l Poziom naężenia dźwięku jes logarymiczną miarą naężenia dźwięku w sosunku do pewnej umownie przyjęej warości odniesienia (I = W/m ), wyrażaną w decybelach: L log I I db Poziom naężenia dźwięku w punkcie odległym o l wynosi zaem: I I log db L log 3

7 Zadanie 6 O ile wzrośnie poziom naężenia dźwięku w pewnym sałym punkcie, jeśli moc głośnika zwiększymy razy? Niech naężenie dźwięku w pewnym punkcie wynosi: I P 4r Po dwukronym zwiększeniu mocy głośnika, naężenie dźwięku w ym samym punkcie wyniesie: I P 4 r I Naomias poziom naężenia dźwięku w ym punkcie wyniesie: I I L log log log I I L L log L 3dB I I log Odp. Po dwukronym zwiększeniu mocy głośnika, poziom naężenia dźwięku wzrósł o 3 db.

8 Zadanie 7 Poziom naężenia dźwięku w odległości r =, m od wybuchającej peardy wyniósł L = 4 db. Ile wynosił promień (R) obszaru, w kórym wybuch mógł być słyszalny (j. L > )? Poziom naężenia dźwięku w punkcie odległym o r od miejsca wybuchu wynosi L L r r r I log I I r log I r I log I r r log r r L log Wysarczy rozwiązać eraz nierówność L(r) >, co prowadzi do nasępujących wniosków: r log r r L log r L r r L Osaecznie orzymujemy: L L r r r r km Odp. Wybuch peardy mógł być słyszalny w promieniu R = km.

9 Zadanie 8 Z jaką prędkością poruszał się samolo, jeśli ką rozwarcia sożka będącego czołem fali akusycznej emiowanej przez niego, wynosił º. Prędkość dźwięku wynosi v. Lecący samolo w każdej chwili jes źródłem fali kulisej, poruszającej się z prędkością dźwięku (υ ) w danym ośrodku. Superpozycja wszyskich ych fal worzy falę, kórej czoło sanowi powierzchnia sożka. Obserwując rozchodzenie się fali można zauważyć, że ką rozwarcia sożka zależy od sosunku prędkości dźwięku i prędkości samolou: g s Sąd prędkość samolou wynosi: s, g 3 58 υ s υ υ

10 Zadanie 9 W drgania wprawiono dwa kamerony: o częsoliwości f = Hz oraz nieco rozsrojony o częsoliwości f = Hz. Oblicz częsoliwość dudnienia dźwięku wywarzanego przez oba przyrządy. Zakładając, że oba kamerony generują falę akusyczną o ej samej ampliudzie, możemy zapisać wyrażenia na falę w miejscu równoodległym od obu przyrządów: Asin f ( ) Asin f x ( ) x Wychylenie fali, będącej inerferencją obu fal, zapisujemy jako sumę powyższych: f sin f x( ) x ( ) x ( ) A sin Korzysając ze wzoru rygonomerycznego na sumę sinusów, orzymujemy: f f f f (x ) Asin cos (x ) A sin 5, Hz cos 5, Hz Acos 5, Hz sin 5, Hz modulowana ampliuda Widzimy, że w efekcie orzymujemy falę akusyczną o uśrednionej częsoliwości,5 Hz, modulowaną zw. dudnieniami o częsoliwości,5 Hz. Dudnienie obserwuje się akże w syuacji, gdy ampliudy obu fal akusycznych są różne.

11 Zadanie Nieruchomy obserwaor zmierzył częsoliwość dźwięku sygnału kareki pogoowia, zbliżającej się do niego z prędkością = 7 km/h. Wynosiła ona f = 5 Hz. Ile wyniesie mierzona częsoliwość sygnału kareki, kóra minąwszy obserwaora zacznie się od niego oddalać? Na skuek ruchu źródła dźwięku względem spoczywającego obserwaora, nasępuje zmiana rejesrowanej częsoliwości fali, w sosunku do częsoliwości generaora (np. głośnika kareki) f. Gdy kareka zbliża się, częsość f jes większa niż f : f f Podobnie, gdy kareka się oddala, obserwowany jes przeciwny efek f jes mniejsza niż f : f f Ponieważ nie znamy częsoliwości generaora, możemy ją wyrugować, przekszałcając powyższe równania: f f f Podsawiając warości liczbowe, orzymujemy: 34m / s m / s f 5Hz 444Hz 34m / s m / s

12 Zadanie Oblicz częsoliwość fali świała linii sodu o długości = 58 nm. Prędkość świała (c), jej częsoliwość (n) oraz długość () związane są bardzo prosą zależnością: c Podsawiając warości liczbowe, naychmias orzymujemy: m s 9,5 m Hz Jes o, w przybliżeniu, pół miliona gigaherców! 5

13 Zadanie Częsoliwość generaora w kuchence mikrofalowej wynosi f =,45 GHz. Oblicz długość wywarzanych w en sposób mikrofal. Długość mikrofal jak wszyskich innych fal elekromagneycznych możemy wyznaczyć ze wzoru: c Wsawiając warości liczbowe, orzymujemy:,45 8 m 3 s, 9 Hz m cm W kuchence mikrofalowej generowana jes fala sojąca o obliczonej długości. Gdyby porawy nie obracały się na alerzu, w odległości ok. 6 cm (dlaczego?) powsawałyby obszary nagrzane, podczas gdy pomiędzy nimi porawa byłaby chłodna.

14 Zadanie 3 Wykaż, że naężenie pola elekrycznego fali płaskiej spełnia równanie falowe. Naężenie pola elekrycznego fali płaskiej wyraża się wzorem: Każda fala elekromagneyczna (jednowymiarowa) musi spełniać nasępujące równanie: Obliczamy kolejne pochodne naężenia pola elekrycznego względem położenia x i czasu : Ponado zachodzi wzajemna zależność wekora falowego, częsości kołowej i prędkości świała: kx i x exp ), ( c x ] exp[ ), ( kx i ik x x kx i k x x exp ), ( kx i i x exp ), ( c k exp exp exp kx i k c kx i c kx i k c x kx i x exp ), (

15 Fale elekromagneyczne Zadania z rozwiązaniami

16 Zadanie 4 Naężenie oświelenia na chodniku pod laarnią uliczną wynosi = 5 lx. Ile wynosi naężenie oświelenia na chodniku w miejscu, w kórym promienie padają pod kąem 45º? Naężenie oświelenia zależy od naężenia źródła, kwadrau odległości od niego i kąa, pod jakim padają promienie świała: ( ) I r cos r W naszym przypadku naężenie oświelenia pod laarnią wynosi: I h cos I h Zaś w miejscu, gdzie promienie padają pod kąem b (liczonym od powierzchni chodnika): I cos9 b r Z podsawowych zależności rygonomerycznych dosajemy, iż: h h sin b sin b r r h Zaem: I sin b cos 354 h 9 b sin b cos9 b 5lx 5 lx lx

17 Zadanie 5 Świało z małej żarówki o naężeniu świała I = lm jes skupiane przez soczewkę o ogniskowej f = cm znajdującej się w odległości x = f od żarówki. Ile wynosi naężenie oświelenia w punkcie X, odległym od żarówki o l = 5 cm? Żarówka i punk X znajdują się na osi opycznej soczewki. Oświelenie punku X możemy obliczać ak, jakby oświelał go obraz rzeczywisy żarówki, powsający w wyniku skupienia promieni przez soczewkę. Położenie obrazu wyznaczymy z równania soczewki: f x y y f x f f f y f Odległość d obrazu rzeczywisego żarówki od punku X obliczymy nasępująco: d= l x y= l 4 f Naężenie oświelenia w punkcie X wynosi zaem: I I lm cos lx d l 4 f cm żarówka X obraz rzeczywisy żarówki x y d

18 Zadanie 6 Wiązka lasera o długości fali = 4 nm pada prosopadle na powierzchnię płyy CD i ulega dyfrakcji. Oblicz ką, pod kórym obserwowane jes maksimum pierwszego rzędu, jeśli odległość między ścieżkami na płycie wynosi d =,6 mm. Płyę CD możemy rakować jak odbiciową siakę dyfrakcyjną, o odległości między szczelinami wynoszącej d. Wysarczy zaem zasosować równanie siaki dyfrakcyjnej dla maksimum pierwszego rzędu (j. n = ): d sin n 4nm sin d 6nm Znając warość sinusa, obliczamy warość kąa: 4 arcsin arcsin 4 4, 5 d

19 Zadanie 7 Jaką długość mają ęcze maksimów pierwszego rzędu wyworzone na ekranie znajdującym się w odległości l = m od siaki dyfrakcyjnej mającej nacięć na mm, kiedy pada na nią prosopadle świało słoneczne? Odległość między szczelinami siaki dyfrakcyjnej jes odwronością liczby nacięć na mm: d mm,mm nm Obliczamy eraz kąy, pod jakimi uginają się skrajne długości fal ęczy: czerwony ( cz = 75 nm) i fioleowy ( f = 38 nm): 75nm cz sin cz,75 cz, 75rad d nm f 38nm sin,38, 38rad f f d nm Długość ęczy (x) na ekranie możemy, w przybliżeniu, wyznaczyć jako długość łuku o kącie łukowym będącym różnicą kąów, pod jakimi obserwowane są maksima dyfrakcyjne skrajnych kolorów ęczy: x l m,75,38,37m mm 37 cz f Orzymana w en sposób ęcza może być doskonale obserwowana okiem nieuzbrojonym.

20 Zadanie 8 Promień czerwonego lasera o długości fali = 65 nm pada na włos, w wyniku czego obserwujemy na ekranie, odległym o l = m od włosa, maksima dyfrakcyjne. Oszacuj grubość włosa (d), jeśli odległość maksimum pierwszego od zerowego rzędu wynosi x = mm. Promień lasera ulega ugięciu na krawędziach włosa i inerferuje sam ze sobą, w wyniku czego na ekranie orzymujemy maksima, zupełnie jak w przypadku prawdziwej siaki dyfrakcyjnej. Ich położenia spełniają warunek: d sin n d n sin Sosując przybliżenie małych kąów orzymujemy: x sin g l l 65nm m d 65mm x,m

21 Zadanie 9 Ile wynosi minimalny ką całkowiego wewnęrznego odbicia dla granicy ośrodków powierze-woda? Promień świała, przechodząc przez granicę ośrodków o różnym współczynniku załamania n, ulega załamaniu zgodnie z prawem Snelliusa: n sin n sin Całkowie wewnęrzne odbicie zachodzi w przypadku akiego kąa padania, dla kórego musiałby być spełniony poniższy warunek, co jes możliwe ylko wedy, gdy świało przechodzi z ośrodka o większym współczynniku załamania: sin Dla granicy ośrodków woda (n =,33) powierze (n = ) mamy: n sin sin sin n,75 arcsin 48, 75 n

22 Zadanie Promień lasera pada na płaskorównoległą płykę szklaną (n =,5) pod kąem = 3º. Ile wynosi czas biegu promienia we wnęrzu płyki, jeśli jej grubość wynosi d = mm. Korzysając z prawa załamania świała, obliczamy sinus kąa (b), pod kórym porusza się promień wewnąrz płyki: sin b sin sin b sin n n Z podsawowych związków rygonomerycznych, droga pokonywana przez promień w płyce wynosi: d l d cosb l cosb d sin n d Pamięając, że prędkość świała w ośrodku zależy od współczynnika załamania, orzymujemy czas przelou: l nd,53 s 53ps sin c n

23 Zadania do samodzielnego rozwiązania

24 Fale mechaniczne i akusyczne. Rura, zamknięa z jednej srony, zosała wprawiona w drgania. Wyznacz najmniejszą możliwą długość rury, jeśli emiuje ona dźwięk o częsoliwości f = 5 Hz. (Odp. 68 cm). Zamknięą z jednej srony rurę wprawiono w drgania o częsoliwości f. Nasępnie zakryo jej drugi koniec. Jaką częsoliwość dźwięku wydaje eraz rura? (Odp. f) 3. Prę w rurze Kunda usawiono w en sposób, że po poarciu pręa, w rurze wyworzyła się fala sojąca. O ile należy przesunąć prę w rurze, aby narafić na kolejny rezonans, jeśli długość pręa wynosi l = cm. (Odp. cm) 4. Jak należy zmienić naprężenie mealowej sruny, aby podsawowa częsoliwość wzrosła o okawę (j. dwukronie)? (Odp. Zwiększyć czerokronie) 5. Ile wynosi naężenie dźwięku w odległości l = m od głośnika (emiującego falę kulisą) o mocy P =,57 W? Jaki jes poziom naężenia dźwięku w odległości l = 5 m? (Odp. W/m, 6 db) 6. O ile zwiększono moc głośnika, jeśli poziom naężenia dźwięku w pewnym sałym punkcie wzrósł o 5 db? (Odp. ) 7. Wybuch wulkanu Krakaau w 883 r. był słyszalny w promieniu 5 km. Ile wynosił poziom naężenia dźwięku w odległości 5 m od wybuchu wulkanu? (Odp. 8 db) 8. Ile wynosi ką rozwarcia sożka będącego czołem fali akusycznej emiowanej przez samolo poruszający się z prędkością /3 macha? Mach - sosunek prędkości obieku do prędkości dźwięku w danym środowisku. (Odp. 43º) 9. Po założeniu mealowej obrączki na jedno z ramion kameronu (o częsoliwości własnej f = 5 Hz), zaobserwowano dudnienia o częsoliwości f d = Hz. Ile wynosiła częsoliwość drgań rozsrojonego ramienia kameronu? (Odp. 48 Hz). Od chwili zobaczenia błysku do usłyszenia grzmou minęło sekund. W jakiej odległości od obserwaora uderzył piorun? (Odp. 3,4 km)

25 Fale elekromagneyczne. Ile wynosi długość fali elekromagneycznej, odpowiadająca częsoliwości 5 Hz? (Odp. 3 nm). Częsoliwość generaora w kuchence mikrofalowej wynosi f =,45 GHz. Ile wynosi odległość pomiędzy kolejnymi srzałkami fali sojącej, worzącej się w kuchence? (Odp. Ok. 6 cm) 3. Ile wynosi długość oraz prędkość rozchodzenia się fali lasera czerwonego (l = 65 nm), kóry zosał wprowadzony do ośrodka o współczynniku załamania n =,5? (Odp. /3 c, 975 nm) 4. Wykaż, że indukcja pola magneycznego fali płaskiej spełnia równanie falowe. 5. Dwie żarówki (jedna czerokronie jaśniejsza od drugiej) umieszczono w odległości l = 3 cm, a pomiędzy nimi umieszczono karkę. W jakiej odległości od jaśniejszej żarówki należy umieścić karkę, aby naężenie oświelenia po obu sronach było akie samo? (Odp. cm) 6. W połowie odległości między żarówką i lusrem umieszczono karkę papieru. Jaki jes sosunek naężenia świała padającego na karkę bezpośrednio oraz odbiego przez zwierciadło? (Odp. 9:) 7. Wiązka lasera o długości fali = 65 nm pada prosopadle na powierzchnię płyy DVD i ulega dyfrakcji. Maksimum pierwszego rzędu obserwowane jes pod kąem 6,5º. Oblicz odległość między ścieżkami na płycie. (Odp. 74 nm) 8. Ile wynosi maksymalny rząd prążka dyfrakcyjnego, jaki można orzymać oświelając siakę dyfrakcyjną o sałej sieci d = 5 mm promieniem lasera o długości = 65 nm? (Odp. 7) 9. Promień czerwonego lasera o długości fali = 65 nm pada na szczelinę śruby mikromerycznej rozsunięą o d =,5 mm, w wyniku czego obserwujemy na ekranie maksima dyfrakcyjne. W jakiej odległości od maksimum zerowego jes obserwowane na ekranie maksimum pierwszego rzędu? kran oddalony jes od śruby o l = m. (Odp. 3 mm) 3. W naczyniu z wodą (n =,33), uż pod jej powierzchnią, znajduje się świecący poziomo laser. Ile wynosi minimalne przyspieszenie balii, przy kórym promieniowi lasera uda się opuścić ośrodek? Wskazówka: powierzchnia wody usawia się prosopadle do wypadkowej siły działającej na nią w układzie nieinercjalnym. (Odp.,88 g)