RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU

Transkrypt

1 X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne d dx : Postać (kształt) funkcji własnych ψ zależy od potencjału V. a) cząstka swobodna Dla V(x) = 0 równanie (X.1) sprowadza się do postaci: ħ2 2m d 2 x dx 2 = E x (X.2) d 2 x dx 2 p 2 = 0 (X.3) ħ E x = Ae ikx (X.4) Wielkość k we wzorze (X.4) jest równa: k= p ħ = 2mE ħ (X.5) {E} zbiór ciągły 1

2 { 2 k ħ 2 E = 2m } b) cząstka w nieskończenie głębokiej studni potencjału Rys.X.1. Nieskończenie głęboka studnia potencjału. Cząstka nie ma prawa przebywać w obszarach I i III ze względu na olbrzymią barierę potencjału. Obszar II: V(x) = 0, 0 xa d 2 x dx 2 2mE ħ 2 = 0 (X.6) Równanie (X.6) jak dla oscylatora harmonicznego. d 2 x dt x k ' x = 0, F = k ' 2 (X.7a) i (X.7b) są to dwa szczegółowe rozwiązania równani (6). 1 x = A sin kx (X.7a) 2 x = B cos kx (X.7b) Funkcja własna ψ 2 (x) nie spełnia warunku ciągłości bo: 2

3 2 x=0=b brak ciągłości B 0 = 2 x 0 Natomiast funkcja własna ψ 1 (x) jest spełniona dla takiego warunku: 1 x=0= Asin k 0=0= 1 x0 1 x=a = Asin k a=0 = n, n = 0, 1,... ka = n (X.8) Z wzorów (X.5) i (X.8) otrzymujemy, że energia na n tym poziomie energetycznym wyraża się wzorem: E n = ħ2 2 2ma 2 n2 (X.9) Ze wzoru (X.9) wynika, że zbiór energii {E} jest dyskretny, stąd kwantowanie. Funkcje własne cząstki zamkniętej w jamie potencjału: n x = A sin n a x (X.10) 3

4 Rys.X.2. Ilustracja graficzna wzoru (X.9). Rys.X.3. Ilustracja graficzna wzoru (X.10). Rys.X.4. Wykres gęstości prawdopodobieństwa dla różnych ψ n. 4

5 X.1. OPERATOROWA POSTAĆ RÓWNANIA SCHRÖDINGERA. {a}: zbiór ciągły (cząstka swobodna), dyskretny (cząstka w jamie potencjału) A =a a Jeżeli do danej wartości własnej należy więcej niż jedna funkcja własna to dana wartość jest zdegenerowana. Jeśli dla a i istnieje n różnych funkcji własnych {ψ 1, ψ 2,..., ψ n }, to jest to n krotna degeneracja (zwyrodnienie) [ ħ2 2m 2 x 2 2 y 2 2 z 2 V x, y, z,t ] x, y, z,t = E x, yz (X.1.1) Stosuje się równoważny zapis równania (X.1.1): H = E (X.1.2) gdzie: H hamiltonian (operator Hamiltona) jest wyrażony wzorem: H = 2m ħ 2 2 x 2 2 y 2 2 V x, y, z (X.1.3) 2 z Wyrażenie (X.1.3) również zapisuje się w skróconej wersji: H = ħ 2 gdzie: 2m V (X.1.4) = 2 x y z 2 (X.1.5) to operator Laplace'a 5

6 X.2. OPERATOR ENERGII. Operatorem energii nazywamy wyrażenie: E=i ħ t (X.2.6) Równanie własne dla operatora energii jest postaci: E = E x, y, z,t (X.2.7) czyli: i ħ x, y, zt = E (X.2.8) t X.3. OPERATOR PĘDU. p= p x, p y, p z x, y, z,t = Aexp[ i ħ xp x + yp y + zp z Et] (X.3.1) p=[ p x, p y, p z ] Poszukujemy operatora: p x x x, y, z,t = A i ħ p x exp [ i ħ xp x + yp y + zp z Et ] = i ħ x, y, z,t (X.3.2) Po podzieleniu równania (X.3.2) przez i ħ otrzymujemy: Z własności operatorów: Z równań (X.3.3) oraz (X.3.4) wynika, że: i ħ x = p x (X.3.3) p x = p x (X.3.4) 6

7 p x = i ħ x (X.3.5a) Analogicznie można znaleźć operatory: p y, p z p y = i ħ y p z = i ħ z (X.3.5b) (X.3.5c) X.4. WARTOŚCI WŁASNE I FUNKCJE WŁASNE KRĘTU L= p Stara teoria kwantowa: II postulat Bohra L=n ħ : L z = p = n ħ (X.4.1) Reguły kwantowania Wilsona Somerfelda: L=r p (X.4.2) = i j k L x y z L=L x, L y, L z r= x, y, z p= p x, p y, p z p x p y p z = i yp z zp y j zp x xp z k xp y yp x (X.4.3) Składowym krętu L przypisujemy odpowiednio ich operatory: L x = yp z zp y (X.4.4a) L x = y p z z p y (X.4.5a) L y =zp x xp z (X.4.4b) L y =z p x x p z (X.4.5b) 7

8 L z =xp y yp x (X.4.4c) L z = x p y y p x (X.4.5c) Podstawiając do wzorów (X.4.5) uzyskane wcześniej wartości operatorów składowych pędu otrzymujemy: L x = i ħ y z z y (X.4.6a) L y = i ħ z x x z (X.4.6b) L z = i ħ x y y x (X.4.6c) L z = (X.4.7) Równanie (X.4.7) po podstawieniu wartości operatora składowej krętu (X.4.6c) przyjmuje postać: Współrzędne biegunowe: i ħ x y y x = (X.4.7a) x = rsin cos y = rsin sin z = rcos Operator krętu we współrzędnych biegunowych: L x = i ħ sin ctg cos (X.4.8a) 8

9 L y = i ħ cos ctg sin (X.4.8b) Równanie własne z towej składowej: L z = i ħ (X.4.8c) Z wzorów (X.4.7) i (X.4.8c) wynika: i ħ d d = (X.4.9) d = i ħ (X.4.10) d = i ħ (X.4.11) ln = i ħ (X.4.12) i ħ = A e (X.4.13) Wzór (X.4.13) stanowi matematyczne rozwiązanie równania własnego (X.4.7). założenia: 2= A=1 i ħ e i ħ e 2 i ħ =e i ħ e 2 =1 cos 2 ħ =1 Z jednoznaczności funkcji, przy takim założeniu znajdujemy funkcje własne. 9

10 gdzie m magnetyczna liczba kwantowa, = m ħ (X.4.14) m = 0, ±1, ±2,... m = A e im (X.4.15) [ L i, L j ] 0 i j składowe krętu podlegają zasadzie nieoznaczoności Heisenberga. X.5. WARTOŚCI WŁASNE I FUNKCJE WŁASNE L 2 [ L i 2, L i ] = 0 (X.5.1) L 2 = L 2 x L 2 y L 2 z (X.5.2) 2[ L 2 = ħ 1 sin sin 1 sin 2 2 2] (X.5.3) Y, - funkcja własna L 2 Stosujemy metodę separacji zmiennych: L 2 Y, = Y, (X.5.4) Z wzorów (X.5.4) i (X.5.5) otrzymujemy: 1 Y, = (X.5.5) d 2 d = sin 2 sin sin 2 (X.5.6) We wzorze (X.5.6) lewa strona będzie równa prawej wtedy i tylko wtedy, gdy obie strony równania będą stałe: 10

11 sin 1 d 2 d 2 = m2 sin sin2 = m 2 (X.5.7a) (X.5.7b) =B e i m (X.5.8) m=0, ±1, ±2,... Rozwiązanie (X.5.7b) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy = l l 1ħ 2 (X.5.9) l=0,1,2,... m l 2l1 wartości m m [ l, l,..., l 1,l ] L 2 L=ħ ll 1 (X.5.10) Kwantowanie L jest inne niż przewiduje stara teoria kwantowa. Według niej kręt wyraża się wzorem: L * = n ħ, n =1,2,..., n L L* dla dużego l. Największa różnica w wartościach krętu jest w wartości minimalnej. Z wzoru (X.5.10) wynika, że minimalna wartość krętu jest równa : L min l=0=0 Natomiast według starej teorii kwantów wartość minimalna krętu: * L min = ħ Mamy więc sprzeczność, bo: * L min L min 11

12 Eksperyment potwierdza słuszność, że zależność (X.5.11) jest prawdziwa: ml = B 2 sin m P l m cos (X.5.11) gdzie P l m cos wielomian Legendre'a L=n ħ L min =ħ l m P l m cos cos 3 3cos 1 2 cos2 1 Tabela X.1. Przykładowe wartości wielomianu Legendre'a dla różnych wartości liczb kwantowych l i m. Z wyrażeń (X.5.5), (X.5.6) oraz (X.5.11) otrzymujemy, że: Y lm, = m lm = B e i m sin m P m l cos (X.5.11) 2l1 m [ l, l,..., l 1,l ] Orbitalna liczba kwantowa l określa stany elektronowe. Symbol stanu l s p d f Tabela X.2. Stany elektronowe dla odpowiednich wartości l. Elektron s, to taki, dla którego kręt orbitalny jest równy 0, elektron p kręt orbitalny równy 1, itd. 12

13 X.6. FUNKCJA FALOWA CZĄSTKI SWOBODNEJ (FALE MATERII). Cząstka swobodna potencjał V jest równy 0. V(x,y,z)=0 założenie 1: = x H = E k (X.6.1) H = ħ 2 Po podstawieniu wyrażenia (X.6.2) do równania (X.6.1) otrzymujemy: 2m d 2 dx 2 (X.6.2) d 2 dx 2 2mE k ħ 2 = 0 (X.6.3) Funkcje własne dane są wzorem: x = A e i x (X.6.4) założenie 2: A=1 Wylicza się, że współczynnik α wynosi: = 2 h 2mE k = 2 h p x = 2 = kx (X.6.5) x = e ik x x (X.6.6) W trzech wymiarach wzór (X.6.6) przyjmuje postać: x, y, z = exp [ik x xk y yk z z ] = e i k r (X.6.7) k = k x, k y, k z r= x, y, z 13

14 Postać funkcji falowej: a) w jednym wymiarze (1D): x,t = x t = e ik x x e it = exp [i k x x i t ] (X.6.8) b) W trzech wymiarach (3D): r,t = exp [i k r i t ] (X.6.9) P r,t = * r,t r,t = 1 = const. Według wyniku prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest wszędzie takie samo, co jest sprzeczne z definicją cząstki, bo cząstka jest w jakimś miejscu, a nie wszędzie. Lepszym rozwiązaniem dla cząstki swobodnej jest pakiet falowy, między innymi rozwiązuje problem lokalizacji. X.7. PAKIET FALOWY. Definicja pakietu falowego: Jest to funkcja falowa, która w pewnym miejscu (obszarze) ma wartości różne od zera, a po za tym obszarem jest równa 0. Konstrukcja pakietu falowego: 1D: k [k 0 k, k 0 k ] x,t = df k 0 + k c k 0 e i k x t dk (X.7.1) k 0 k c(k 0 ) amplituda funkcji. 14

15 Funkcja falowa (X.7.1) po rozwinięciu w szereg ma postać: K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. 2ck 0 [sin x k t k ] [ x d 0] dk k exp[i k 0 x 0 t ] (X.7.2) Wyrażenie (X.7.2) stanowi matematyczną postać pakietu falowego. Możemy je zapisać jako: x,t = c x,t exp [i k 0 x 0 t] (X.7.3a) Przy czym c (x,t) stanowi amplitudę i wyraża się wzorem: c x,t = 2ck o sin (X.7.3b) gdzie: =[ x d t] dt k (X.7.3c) 0 Ponieważ 0 c x, t 2ct 0, to muszą być spełnione warunki: Z pierwszego otrzymujemy, że: Natomiast z drugiego: sin =0 oraz sin =1 = ± = 0 15

16 Rys.X.2. Zależność funkcji falowej od położenia x. * x,t x,t ~ sin 2 2 Rys.X.3. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w przedziale [- x,+ x] funkcji x. X.8. PRĘDKOŚĆ GRUPOWA u. Prędkość grupowa jest to prędkość z jaką przesuwa się maksimum główne w pakiecie falowym. Jest ona równa prędkości cząstki fali de Broglie'a. cx,t = 2c k 0, =0 x = d t (X.8.1) dt 0 16

17 u = dx dt = d dk 0 (X.8.2) Prędkość fazowa fali jest to prędkość, z jaką przesuwa się faza np. punkt 1. v = df k v = f (X.8.3) =vt= v f k= 2 (X.8.4) u = v dv d (X.8.5) Wzór (X.8.5) przedstawia zależność pomiędzy prędkością fazową v, a prędkością grupową u. Te wielkości są tożsame wtedy, gdy prędkość nie zależy od długości fali (brak dyspersji). X.9. RELACJA PRĘDKOŚCI GRUPOWEJ (u) Z PRĘDKOŚCIĄ CZĄSTKI (v 0 ). Opis cząstki klasycznie: p=mv 0 E= p2 2m Opis tej samej cząstki poprzez fale materii: k = p ħ 17

18 f = E h u = v 0 E= p2 2m E=ħ ħ = p2 2m = k 2 ħ 2 2m = ħ k 2 2m d = 2k ħ 2m dk u = d dk = k ħ m = p m = mv 0 m = v 0 18