Dualizm korpuskularno falowy

Transkrypt

1 Dualizm korpuskularno falowy Fala elektromagnetyczna o długości λ w pewnych zjawiskach zachowuje się jak cząstka (foton) o pędzie p=h/λ i energii E = h = h. c/λ p Cząstki niosą pęd p Cząstce o pędzie p można przyporządkować falę o długości λ=h/p λ

2 Postulat o falowej naturze elektronów (1924, Nagroda Nobla 1929) ν Louis-Victor, 7 e duke de Broglie Louis de Broglie ( )

3 Jak jest długość fali elektronu o energii 10 ev? (V= m/s) λ = h p 2 p Ek = p = 2mE 2m K

4 Jak jest długość fali piłki tenisowej? (V=50 km/s) λ = h p = J s kg m s = m

5 Fale ulegają dyfrakcji i interferują Elektrony zachowują się jak fale? Thomas Young ( )

6 Doświadczenie Younga S 2 S 1 θ Δr r 1 θ d r 2 P O y Warunek maksimum d sin θ = mλ Warunek minimum d sin θ = ( m λ) D Δr = r2 -r1 = d sin θ E1 = E0 sin( kr1 ωt) E2 = E0 sin( kr2 ωt) E = E 1 + E 2 = 2E 0 sin(k r - ωt) Warunkiem interferencji jest spójność (koherencja) żródeł światła S 1 i S 2, czyli stałość różnicy faz

7 Postulat o falowej naturze elektronów (1924) Udowodniony już w roku 1927 Clinton Davisson, Lester Germer (nierelatywistyczne elektrony) George Thomson (relatywistyczne elektrony) Ekran, film Wiązka padająca prom. X elektrony Dyfrakcja elektronów niskoenergetycznych na powierzchni kryształu niklu Folia metalowa Pierścień dyfrakcyjny

8 Dualizm korpuskularno falowy Fala elektromagnetyczna o długości λ w pewnych zjawiskach zachowuje się jak cząstka (foton) o pędzie p=h/λ i energii E = h = h. c/λ p Cząstki niosą pęd p Cząstce o pędzie p można przyporządkować falę o długości λ=h/p λ

9 Jak opisać matematycznie fale materii? Równanie klasycznej fali Najprostsze rozwiązanie Fala biegnąca o dokładnie określonej częstotliwości istniejąca w całej przestrzeni

10 = h 2π Jak opisać fale materii? W najprostszym przybliżeniu: 2π k = = λ p ω = E Ψ( x, t) = Asin( kx ω t + ϕ) p E = Asin( x t + ϕ) zbyt szczególne, ogólniej w postaci zespolonej: Ψ( x, t) = A[sin( kx ω t + ϕ) + i cos( kx ωt + ϕ)] Ψ( x, t) = Ae i( kx ωt+ ϕ ) = Ae i( p x E t+ ϕ ) Funkcja falowa opisująca cząstkę o pędzie dokładnie = p O takiej cząstce możemy powiedzieć, że się znajduje wszędzie Uwaga! Liczby zespolone

11 Opis fal przy pomocy liczb zespolonych Pole elektryczne fali świetlnej o częstości ω można opisać: Ψ(x,t) = A cos(kx ωt ϕ) Ponieważ exp(iϕ) = cos(θ) + i sin(θ) (formuła Eulera ): lub Ψ (x,t) = Re { A exp[i(kx ωt ϕ)]} Ψ (x,t) = 1/2 A exp[i(kx ωt ϕ)] + c.c. gdzie + c.c. oznacza plus sprzężenie zespolone wszystkiego, co jest przed plusem.

12 Przypomnienie: liczby zespolone Każdą liczbę zespoloną z, można zapisać: Tak więc: i z = Re{ z } + i Im{ z } Re{ z } = 1/2 ( z + z* ) Im{ z } = 1/2i ( z z* ) gdzie z* jest liczbą sprzężoną liczby z ( i i ) Wielkość z (moduł), liczby zespolonej: z 2 = z z* = Re{ z } 2 + Im{ z } 2 Liczbę z zapisać można w postaci polarnej: A exp(iϕ). z A 2 = Re{ z } 2 + Im{ z } 2 tan(ϕ) = Im{ z } / Re{ z }

13 Fale zapisane przy pomocy zespolonych amplitud W opisie fal wygodnie jest dopuścić zespolone amplitudy: Ψ (x,t) = A exp[i(kx ωt ϕ)] Ψ (x,t) = { Aexp(-i ϕ )} exp[i(kx ωt] Ψ 0 (x,t) = Aexp(-i ϕ) (Stała amplituda zespolona) Ψ (x,t) = Ψ 0 exp [i(kx ωt)] Szybko-zmienne części zostały odseparowane od części stałych

14 Liczby zespolone ułatwiają życie Dodawanie fal o tych samych częstościach i różnych fazach początkowych daje falę o tej samej częstości. Nie jest to takie oczywiste w zapisie z użyciem funkcji trygonometrycznych, a jest natychmiastowe z użyciem funkcji wykładniczych Ψ tot (x,t) = Ψ 1 exp [i(kx ωt)] + Ψ 2 exp [i(kx ωt)]+ Ψ 3 exp [i(kx ωt)]= = (Ψ 1 + Ψ 2 + Ψ 3 ) exp [i(kx ωt)] wszystkie fazy początkowe zostały włączone w E 1, E 2, i E 3. Ψ tot (x,t) Ψ 1 Ψ 2 Ψ 3

15 Interpretacja funkcji falowej Klasyczna fala świetlna Klasyczna fala świetlna f.f. opisuje natężenie pola e-mag, a jej kwadrat natężenie światła. Ale obraz interferencyjny obserwowany jest też jeśli na szczelinę padają pojedyncze fotony. Wtedy: Obraz dyfrakcyjny należy interpretować jako obraz prawdopodobieństwa wykrycia fotonu w danym miejscu Podobnie dla fal materii

16 Interpretacja funkcji falowej Klasyczne cząstki Fale materii Fala materii funkcja falowa związana jest z prawdopodobieństwem tego, że cząstka znajduje się w danym miejscu.

17 Interpretacja funkcji falowej (Max Born, 1926) Przykład: funkcja falowa cząstki o stałym pędzie dokładnie = p (cząstka swobodna poruszająca się w przestrzeni bez żadnych ograniczeń) Ψ p E i( x t) (, ) = x t Ae = Ae ikx e iωt Separacja zmiennych przestrzennych i czasowych = Ψ( x) e iωt Interpretuję się nie funkcję falową (zespolona), ale jej kwadrat P( x) dx = Ψ( x, t) 2 dx P(x) jest gęstością prawdopodobieństwa P(x)dx jest prawdopodobieństwem znalezienia cząstki w obszarze (x, x + dx) Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w skończonym obszarze (x 1, x 2 ) Uwaga! Liczby zespolone * Ψ 2 P x = 2 = Ψ Ψ Ψ ( x, t) x 1 2 dx

18

19 Interpretacja funkcji falowej 2 Dla cząstki swobodnej: p E i( x t) p E i( x t) Ψ( x, t) = Ae Ae = A 2 Gęstość prawdopodobieństwa Ψ( x, t) 2 Dla cząstki swobodnej: Gęstość prawdopodobieństwa jest w przestrzeni stała Warunek normalizacji: prawdopodobieństwo znalezienia cząstki gdziekolwiek = 1 Ψ( x, t) 2 dx = 1

20 Cząstki oddziałują (nie są swobodne) Np. elektrony w krysztale, ale także swobodny elektron który docierając do ekranu zostaje zarejestrowany Jak wygląda funkcja falowa elektronu, którego położenie jest lepiej określone? Na przykład tak: Pakiet falowy (paczka falowa)

21 Pakiet falowy jest wynikiem superpozycji wielu fal o różnych częstościach i długościach Najprostszy przypadek dwie fale Zdudnienia

22 Pakiet falowy jest wynikiem superpozycji wielu fal o różnych częstościach i długościach. Δk Δx Pakiet falowy jest wynikiem superpozycji wielu fal o różnych częstościach i długościach. Im szerszy jest zakres liczb falowych fal składowych (Δk), tym mniejsza jest szerokość pakietu Δx

23 PhET Interactive Simulations Copyright University of Colorado. Some rights reserved. Visit Symulacja

24 Można udowodnić że: k p p p x 1 Zasada nieoznaczoności Heisenberga x y z x y z 2π k = = λ p Iloczyn nieokreśloności pędu cząstki i nieokreśloności jej położenia w danym kierunku równy co najmniej od stałej Plancka. Oznacza to, że im dokładniej mierzymy pęd, to znaczy zmniejszamy np. Δp x, tym bardziej rośnie nieoznaczoność położenia Δx. Podobnie: E t Jeżeli cząstka posiada energię E, to dokładność jej wyznaczenia ΔE zależy od czasu pomiaru Δt. Im dłużej cząstka jest w stanie o energii E tym dokładniej można tę energię wyznaczyć.

25

26

27

28 Mechanika kwantowa Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg