po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)

Transkrypt

1 Stan czastki określa funkcja falowa Ψ zależna od wspó lrzȩdnych określaj acych po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) Wartości funkcji mog a być zespolone Ψ (x, t) to wartość sprzȩżona zespolona do Ψ(x, t) Ψ = Ψ(x, t) (1) Statystyczna interpretacja funkcji falowej (Max Born 196) P(x, t) = Ψ (x, t)ψ(x, t)dx = Ψ dx, () gdzie Ψ oznacza modu l funkcji zespolonej, określa prawdopodobieństwo tego, że w chwili t czastka znajduje sie w przedziale (x,x+dx) Prawdopodobieństwo znalezienia czastki w chwili t w przedziale (a,b) oblicza siȩ jako b a Ψ (x, t)ψ(x, t)dx prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego równa si e 1 jeśli czastka może przebywać w nieograniczonym obszarze funkcja znormalizowana Ψ (x, t)ψ(x, t)dx = 1 (3) Dla czastki poruszajacej sie w przestrzeni trójwymiarowej (uk lad wspó lrzednych kartezjańskich x, y, z) funkcja falowa Ψ = Ψ(x, y, z, t) Ψ (x, y, z, t)ψ(x, y, z, t)dτ określa prawdopodobieństwo znalezienia czastki w nieskończenie ma lej objetości dτ=dxdydz w punkcie o wspó lrzednych x,y,z w chwili t Ψ (x, y, z, t)ψ(x, y, z, t) - g estość prawdopodobieństwa funkcja znormalizowana Ψ (x, y, z, t)ψ(x, y, z, t)dxdydz = 1 (4) uproszczony zapis Ψ (x, y, z, t)ψ(x, y, z, t)dτ = 1 (5)

2 Stany kwantowe (np. czasteczek), które nie zmieniaja sie w czasie. Dla czastki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x) ψ = ψ(x) (6) P(x) = ψ (x)ψ(x)dx = ψ dx, (7) prawdopodobieństwo tego, że czastka znajduje sie w przedziale (x,x+dx) Prawdopodobieństwo znalezienia czastki w przedziale (a,b) oblicza siȩ jako b a ψ (x)ψ(x)dx Warunek normalizacji funkcji: Funkcja znormalizowana. ψ (x)ψ(x)dx = 1 (8) Dla czastki poruszajacej sie w przestrzeni trójwymiarowej (uk lad wspó lrzednych kartezjańskich x, y, z) funkcja falowa ψ = ψ(x, y, z) ψ (x, y, z)ψ(x, y, z)dτ określa prawdopodobieństwo znalezienia czastki w nieskończenie ma lej objetości dτ=dxdydz w punkcie o wspó lrzednych x,y,z ψ (x, y, z)ψ(x, y, z) - g estość prawdopodobieństwa Warunek normalizacji funkcji: ψ (x, y, z)ψ(x, y, z)dxdydz = 1 (9) uproszczony zapis ψ (x, y, z)ψ(x, y, z)dτ = 1 (10) Funkcja znormalizowana.

3 zwykle RÓWNANIE W LASNE (operator) (funkcja) = LICZBA (ta sama funkcja) na przyk lad: d dx x 3 = 6x Jeśli (operator) (funkcja) = (inna funkcja) (operator) f = a f to funkcja f - funkcja w lasna operatora, liczba a - wartość w lasna operatora np. d dx sin(x) = 1 sin(x) Równanie Schrödingera niezależne od czasu dla czastki poruszajacej sie tylko w jednym wymiarze d m dxψ + V (x)ψ = Eψ (11) V (x) - wyrażenie dla energii potencjalnej (zależy od uk ladu, np. V (x) = 0 albo V (x) = 1 kx ) m - masa czastki, = h/π, gdzie h - sta la Plancka uproszczony zapis ψ zamiast ψ(x) Ĥ operator równanie Schrödingera d Ĥ = + V (x) (1) m dx Ĥψ = Eψ (13) ψ - funkcja w lasna operatora Ĥ E - wartość w lasna operatora Ĥ (można udowodnić, że jest to zawsze liczba rzeczywista) 3

4 znane Ĥ, szukane ψ i E rozwiazać równanie Schrödingera - znaleźć funkcje w lasne Ĥ i odpowiadajace im wartości w lasne E Funkcje w lasne operatora Ĥ - funkcje falowe, które opisuj a stany czastki o określonej energii Wartości w lasne operatora Ĥ - możliwe wartości energii uk ladu (cz astki) Na przyk lad, operator Ĥ dla jakiejś cz astki ma 3 funkcje w lasne: Ĥψ 1 = E 1 ψ 1 (14) Ĥψ = E ψ (15) Ĥψ 3 = E 3 ψ 3 (16) czastka ta może mieć energie o wartościach E 1, E albo E 3. Kiedy jest w stanie opisywanym przez funkcje falowa ψ 1, to w wyniku pomiaru energii czastki otrzymamy wartość E 1, itd. Ĥψ = Eψ (17) d Ĥ = + V (x) (18) m dx Ĥ to operator odpowiadajacy energii czastki (reprezentujacy energie ca lkowita uk ladu), Ĥ operator Hamiltona (hamiltonian) Ĥ = ˆT + ˆV ˆV operator energii potencjalnej - jego dzia lanie na funkcje polega na pomnożeniu tej funkcji przez V (x) d m dx - to operator energii kinetycznej (jednej czastki poruszajacej sie w jednym wymiarze (x)) oznaczany ˆT 4

5 Druga pochodna funkcji a energia kinetyczna czastki Średnia wartość bezwzgl edna drugiej pochodnej cos 5x wi eksza niż wartosć bezwzgl edna drugiej pochodnej cos x λ < λ 1, czyli (wobec relacji de Broglie a λ = h p ) p > p 1 Energia kinetyczna czastki, której odpowiada fala o wiekszej d lugości jest mniejsza. Równania Schrödingera nie można wyprowadzić W jaki sposób Schrödinger móg l wpaść na pomys l, żeby zaproponować w laśnie takie równanie? Rozważanie - L. Piela, Idee chemii kwantowej, PWN 003, str.70 Równanie Schrödingera niezależne od czasu dla czastki w przestrzeni trójwymiarowej ψ + V (x, y, z)ψ = Eψ (19) m laplasjan (operator Laplace a) = = ( x + y + z) (0) 5

6 Interpretacja kwadratu modu lu funkcji falowej jako gestości prawdopodobieństwa znalezienia czastki narzuca wymagania, które musza spe lniać możliwe do przyjecia funkcje w lasne operatora Ĥ. funkcje porzadne albo funkcje klasy Q ciag le jednoznaczne ca lkowalne w kwadracie musza mieć ciag l a pierwsza pochodna (bo musi istnieć druga pochodna) Przyk lad funkcji, która nie jest jednoznaczna: Aby znaleźć funkcje falowe opisujace stany uk ladu o określonej energii należy: znaleźć funkcje w lasne operatora Hamiltona wybrać tylko funkcje w lasne, które sa funkcjami porzadnymi, odpowiadajace im wartości w lasne to wartości energii uk ladu pojawia sie kwantowanie energii - energia uk ladu nie może mieć dowolnych wartości (może mieć tylko wartości, które odpowiadaja funkcjom w lasnym spe lniajacym odpowiednie warunki) 6

7 Każda wielkość mechaniczna reprezentowana jest przez operator operator wspó lrz ednej x wektora po lożenia: ˆx = x operator wspó lrz ednej p x wektora p edu: ˆp x = i d dx aby utworzyć operator reprezentujacy inna wielkość mechaniczna należy wyrazić te wielkość za pomoca x, y, z i p x, p y, p z i zastapić wspó lrzedne wektorów po lożenia i pedu przez ich operatory np. operator wspó lrz ednej L x wektora momentu p edu L = r p (L x = yp z zp y ): ˆL x = i (y z z y ) (1) Niech: ˆαf i = a i f i ; ˆαf j = a j f j Dla operatorów stosowanych w mechanice kwantowej, które sa tzw. operatorami hermitowskimi: f i f j dτ = 0, jeśli a i a j funkcje ortogonalne Funkcje w lasne operatora, odpowiadajace różnym wartościom w lasnym, a ortogonalne s Wartości w lasne operatora sa rzeczywiste. ( w tym przypadku: a i, a j - liczby rzeczywiste) W. Ko los, J. Sadlej Atom i czasteczka (Uzup. 6.), WNT 008 L. Piela, Idee chemii kwantowej (Dod. B.5) 7

8 Wynik pomiaru wielkości mechanicznej Wielkość mechaniczna A reprezentuje operator ˆα ˆαf 1 = a 1 f 1, ˆαf = a f () ˆαf 3 = a 3 f 3,... ˆαf n = a n f n (3) Stan uk ladu opisuje f 1. Wynik pomiaru A to a 1. Wartość średnia pomiaru wielkości mechanicznej Wielkość mechaniczna A reprezentuje operator ˆα. Stan uk ladu opisuje funkcja g, która nie jest funkcja w lasna operatora ˆα. Możliwe wyniki pomiaru A: a 1, a, a 3..., a n (z określonym prawdopodobieństwem) Wartość średnia ā dużej liczby pomiarów wielkości mechanicznej A: ā = g ˆαgdτ (4) ˆαf 1 = a 1 f 1, ˆαf = a f (5) g = c 1 f 1 + c f (6) c 1c 1 -prawdopodobieństwo uzyskania wyniku a 1, c c -prawdopodobieństwo uzyskania wyniku a 8

9 PRZYK LAD: Pewnej wartości mechanicznej A odpowiada operator ˆα. ˆαf 1 =.0 f 1, ˆαf = 3.5 f, ˆαf 3 = 5. f 3 f i f j dτ = 0, jeśli i j i f i f idτ = 1 Funkcje f 1, f, f 3 sa wzajemnie ortogonalne i znormalizowane. Stan uk ladu opisuje funkcja g = 1 3 f f + 3 f 3 czyli c 1 = 1 3, c = 6 3, c 3 = 3 Wartość średnia pomiaru A: ā = ā = g ˆαgdτ (7) ( ) ( ) f f + 3 f ˆα 3 f f + 3 f 3 dτ (8) ā = 1 3 f 1 ˆα 1 3 f 1dτ+ 6 3 f ˆα 1 3 f 1dτ + 3 f 3 ˆα 1 3 f 1dτ+ 1 3 f 1 ˆα 6 3 f dτ+ 6 3 f ˆα 6 3 f dτ+ 3 f 3 ˆα 6 3 f dτ+ 1 3 f 1 ˆα 3 f 3dτ+ 6 3 f ˆα 3 f 3dτ+ 3 f 3 ˆα 3 f 3dτ = f1 f 1 dτ f f 1 dτ f3 f 1 dτ f1 f dτ f f dτ f3 f dτ f1 f 3 dτ f f 3 dτ f3 f 3 dτ= prawdopodobieństwo uzyskania w wyniku pomiaru wartości.0 wynosi prawdopodobieństwo uzyskania w wyniku pomiaru wartości 3.5 wynosi prawdopodobieństwo uzyskania w wyniku pomiaru wartości 5. wynosi

10 Równanie Schrödingera zależne od czasu Zmiana w czasie funkcji falowej ψ(x, y, z, t) jest określona równaniem: i ψ = Ĥψ (9) t 10