Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny

Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) z 1 z 2 = (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + y 1 x 2 ) Powyższy zbiór z wyżej określonymi dzia laniami nazywamy cia lem liczb zespolonych i oznaczamy (C, +, ). Jeżeli z = (x, y), to liczbe rzeczywista x nazywamy cześci a rzeczywista, zaś liczbe rzeczywista y cześci a urojona liczby zespolonej z i piszemy x = Rz, y = Iz lub x =Rez, y =Imz.

Liczby zespolone II Liczby zespolone postaci (x, 0) czyli o zerowej cz eści urojonej utożsamiamy z liczbami rzeczywistymi. Liczbe (0, 1) nazywamy jednostka urojona i oznaczamy i. Ma ona te w lasność, że i 2 = 1. Latwo sprawdzić, że z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0). Stad otrzymujemy zapis z = x + iy (postać kanoniczna liczby zespolonej). Sprz eżeniem liczby zespolonej z = (x, y) nazywamy liczb e z = z := x iy. Modu lem liczby zespolonej nazywamy liczb e z := x 2 + y 2. Zachodzi równość z z = (x + iy)(x iy) = x 2 + y 2 = z 2.

Liczby zespolone III Pamietaj ac, że x = z cos ϕ i y = z sin ϕ otrzymujemy postać trygonometryczna liczby zespolonej z = z (cos ϕ + i sin ϕ) Potegowanie liczb zespolonych u latwia wzór de Moivre a z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) Pierwiastkiem algebraicznym stopnia n liczby zespolonej z nazywamy zbiór (n-elementowy) postaci n z := {w C : w n = z}

Liczby zespolone IV Zachodzi nastepuj acy wzór Eulera Stad wynikaja zależności cos ϕ = eiϕ + e iϕ 2 e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ oraz postać wyk ladnicza liczby zespolonej oraz sin ϕ = eiϕ e iϕ z = z e iϕ W szczególności, dla ϕ = π i z = 1 otrzymujemy najpi ekniejszy wzór matematyki e iπ + 1 = 0 2i

Macierze I Definicje Transpozycja macierzy A nazywamy macierz A T taka, że i, j : A T ij = A ji Sprzeżeniem hermitowskim macierzy A nazywamy macierz A taka, że i, j : A ij = A ji Macierz, której elementami sa liczby rzeczywiste nazywamy macierza rzeczywista Macierz, której elementami sa liczby zespolone nazywamy macierza zespolona

Macierze II Definicje Macierza jednostkowa oznaczana 1 nazywamy macierz taka, że i, j : 1 ij = δ ij Macierz A nazywamy diagonalna jeśli i j : A ij = 0 Macierz nazywamy odwrotna do macierzy A i oznaczamy A 1, jeśli A 1 A = AA 1 = 1

Macierze III Macierz A jest symetryczna, jeżeli A = A T antysymetryczna, jeżeli A = A T hermitowska, jeżeli A = A + unitarna, jeżeli A 1 = A + ortogonalna, jeżeli jest rzeczywista i unitarna

Wyznaczniki Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A nazywamy liczbe określona nastepuj aco: deta A = P ( 1)sgn(P) A 1P(1) A 2P(2)... A NP(N) gdzie N jest rozmiarem macierzy A a sumowanie przebiega po wszystkich N-elementowych permutacjach P. Aby obliczyć wyznacznik możemy użyć rozwini ecia Laplace a deta = N ( 1) i+j A ij Ā ij = i=1 N ( 1) i+j A ij Ā ij, gdzie przez Ā ij oznaczyliśmy wyznacznik macierzy powsta lej z A w wyniku usuni ecia i-tego wiersza i j-tej kolumny. j=1

W lasności wyznaczników dodanie do dowolnego wiersza (kolumny) macierzy dowolnej kombinacji liniowej pozosta lych wierszy (kolumn) nie zmienia wartości jej wyznacznika jeśli macierz posiada dwa identyczne wiersze (kolumny), to jej wyznacznik wynosi 0 zamiana dwóch wierszy (kolumn) macierzy zmienia jej wyznacznik na przeciwny deta T = deta deta = (deta) det(ab) = detadetb det(ca) = c N deta

Grupa Grupa nazywamy pare uporzadkowan a (G, ), gdzie G jest zbiorem a dzia laniem wewnetrznym, jeżeli 1 jest l aczne 2 istnieje w G element neutralny wzgl edem dzia lania 3 każdy element zbioru G posiada element odwrotny w G Dzia lanie nazywamy dzia laniem grupowym. Grupe nazywamy przemienna lub abelowa jeżeli dzia lanie grupowe jest przemienne. Notacja Jeżeli nie prowadzi to do niejednoznaczności, grup e (G, ) oznacza si e przez G. Dzia lanie grupowe zwykle nazywa si e iloczynem.

Przestrzeń wektorowa Weźmy cia lo K (na nasze potrzeby cia lo liczb rzeczywistych lub liczb zespolonych), grupe przemienna (V, ) i dzia lanie zewnetrzne : K V V. Trójke uporzadkowan a (K, V, ) nazywamy przestrzenia wektorowa nad cia lem K jeżeli 1 α K : u, v V : α (u v) = α u α v 2 α, β K : u V : (α + β) u = α u β u 3 α, β K : u V : α (β u) = (α β) u 4 u V : 1 u = u

Przyk lady przestrzeni wektorowych wektory w R 3 z dodawaniem wektorów jako dzia laniem grupowym i mnożeniem przez liczbe rzeczywista jako dzia laniem zewnetrznym wektory w R N z dzia laniami określonymi analogicznie jak powyżej funkcje f : R N C z dodawaniem funkcji jako dzia laniem grupowym i mnożeniem przez liczbe zespolona jako dzia laniem zewnetrznym funkcje f : R N C ca lkowalne w kwadracie modu lu z dodawaniem funkcji jako dzia laniem grupowym i mnożeniem przez liczbe zespolona jako dzia laniem zewnetrznym

Liniowa niezależność Weźmy przestrzeń wektorowa V nad cia lem K. Uk lad wektorów v 1,..., v n V nazywamy liniowo niezależnym jeżeli α 1,..., α n K : n α i v i = 0 α 1 = α 2... = α n = 0 i=1

Wymiar i baza przestrzeni Przestrzeń wektorowa jest n-wymiarowa, jeżeli istnieje w niej liniowo niezależny n-elementowy zbiór wektorów, a każdy n + 1 elementowy uk lad wektorów jest liniowo zależny. Jeżeli dla każdego n istnieje liniowo niezależny n-elementowy zbiór wektorów, przestrzeń jest nieskończenie wymiarowa. Baza przestrzeni n-wymiarowej jest dowolny n-elementowy ciag liniowo niezależnych wektorów.

Przestrzeń unitarna I Przestrzenia unitarna bedziemy nazywać przestrzeń wektorowa nad cia lem liczb zespolonych z dodatkowo określona dla każdej pary wektorów x, y liczba zespolona (iloczynem skalarnym) x y o nastepuj acych w laściwościach: 1 x y = y x 2 αx y = α x y 3 x + y z = x z + y z 4 x x = 0, tylko gdy x jest wektorem zerowym

Przestrzeń unitarna II Definicje norm e wektora zdefiniujemy jako x = x x odleg lościa miedzy wektorami x i y nazwiemy x y = x y x y uk lad wektorów nazwiemy ortogonalnym, jeśli iloczyn skalarny każdych dwóch różnych wektorów wynosi 0 wektor nazwiemy unormowanym, jeśli jego norma wynosi 1 uk lad wektorów nazwiemy ortonormalnym, jeśli jest on uk ladem ortogonalnym i każdy wektor jest unormowany

Przyk lad przestrzeni unitarnej przestrzeń funkcji f : R N C ca lkowalnych w kwadracie modu lu z dodawaniem funkcji jako dzia laniem grupowym i mnożeniem przez liczbe zespolona jako dzia laniem zewnetrznym iloczyn skalarny określony jako f g = τ f gdτ wszystkie zbieżne ciagi Cauchy ego maja granice należac a do przestrzeni (przestrzeń Hilberta)

Operatory I Definicje operator dzia laj ac na wektor daje wektor: Âx = y operator nazywamy liniowym, jeśli dla dowolnej pary wektorów x 1, x 2 i dowolnej pary liczb zespolonych c 1, c 2 zachodzi Â(c 1 x 1 + c 2 x 2 ) = c 1 Âx 1 + c 2 Âx 2 sume operatorów Ĉ =  + ˆB definiujemy tak, że dla dowolnego x : Ĉx = Âx + ˆBx iloczyn operatorów Ĉ = ˆB definiujemy tak, że dla dowolnego x : Ĉx = Â(ˆBx) operatorem jednostkowym oznaczanym ˆ1 nazywamy operator, dla którego dla dowolnego x : ˆ1x = x

Operatory II Definicje komutator operatorów  i ˆB: [Â, ˆB] = ˆB ˆB operatory  i ˆB komutuja, jeśli [Â, ˆB] = 0 operator  1 nazywamy odwrotnym do Â, jeśli dla dowolnego x :  1 (Âx) = Â( 1 x) = x operator  nazywamy sprzeżonym po hermitowsku do Â, jeśli dla dowolnej pary x, y : x Ây =  x y operator  nazywamy hermitowskim (samosprz eżonym), jeśli dla dowolnej pary x, y : x Ây = Âx y operator  nazywamy unitarnym, jeśli dla dowolnej pary x, y : Âx Ây = x y

Tożsamości komutatorowe ] [ˆB, Â] = [Â, ˆB ] ] [ + ˆB, Ĉ = [Â, Ĉ [ ] ] αâ, ˆB = α [Â, ˆB ] [ˆB, Ĉ =  [ˆB, Ĉ ] + [ˆB, Ĉ ] ] + [Â, Ĉ ˆB

Zagadnienie w lasne Mówimy, że λ jest wartościa w lasna operatora  jeżeli istnieje niezerowy wektor v taki, że Âv = λv Wektorem w lasnym operatora  do wartości w lasnej λ nazywamy każdy wektor v spe lniajacy Âv = λv, które to równanie nazywamy zagadnieniem w lasnym operatora Â. Zbiór wartości w lasnych operatora nazywamy jego widmem (spektrum).

Użyteczne twierdzenia Twierdzenie Wartości w lasne operatora hermitowskiego sa rzeczywiste. Twierdzenie Dla operatora hermitowskiego wektory w lasne do różnych wartości w lasnych sa ortogonalne Twierdzenie Dowolna kombinacja liniowa wektorów w lasnych do pewnej wartości w lasnej jest wektorem w lasnym do tej wartości w lasnej Twierdzenie Dwa operatory komutuja wtedy i tylko wtedy, gdy maja wspólny uk lad wektorów w lasnych