Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Transkrypt

1 Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy Niech A [a ij ] bedzie m n-macierza nad cia lem K Operacje elementarne na wierszach macierzy A: (i) Pomnożenie i-tego wiersza macierzy A przez niezerowy skalar a Przy tej operacji nie zmieniamy wierszy o numerach różnych od i, zaś każdy wyraz i-tego wiersza mnożymy przez a Operacje oznaczamy symbolem a w i (ii) Zamiana miejscami i-tego wiersza macierzy A z wierszem j-tym (i j) macierzy A Przy tej operacji nie zmieniamy wierszy o numerach różnych od i oraz j Operacje oznaczamy symbolem w i w j (iii) Dodanie do j-tego wiersza macierzy A i-tego (i j) wiersza tej macierzy pomnożonego przez dowolny skalar a Przy tej operacji nie zmieniamy wierszy o numerach różnych od j, natomiast wiersz j-ty przybiera postać nastepuj ac a: Operacj e t e oznaczamy symbolem w j + a w i a j1 + a a i1, a j2 + a a i2,, a jn + a a in Operacje elementarne na kolumnach macierzy A: (i) Pomnożenie i-tej kolumny macierzy A przez niezerowa liczbe a Przy tej operacji nie zmieniamy kolumn o numerach różnych od i, zaś każdy wyraz i-tej kolumny mnożymy przez a Operacje oznaczamy symbolem a k i (ii) Zamiana miejscami i-tej kolumny macierzy A z kolumna j-ta (i j) macierzy A Przy tej operacji nie zmieniamy kolumn o numerach różnych od i oraz j Operacje oznaczamy symbolem k i k j (iii) Dodanie do j-tej kolumny macierzy A i-tej (i j) kolumny tej macierzy pomnożonej przez dowolna liczbe a Przy tej operacji nie zmieniamy kolumn o numerach różnych od j Operacje oznaczamy symbolem k j + a k i 2 W lasności wyznaczników Twierdzenie 51 Jeżeli macierz B powstaje z macierzy kwadratowej A przez zamian e miejscami dwóch wierszy (kolumn), to det(b) det(a) 1

2 Twierdzenie 52 Jeżeli macierz B powstaje z macierzy kwadratowej A przez pomnożenie pewnego wiersza (kolumny) przez dowolny skalar a, to det(b) a det(a) Twierdzenie 53 Jeżeli macierz B powstaje z macierzy kwadratowej A przez dodanie do pewnego wiersza (kolumny) innego wiersza (innej kolumny) pomnożonego (pomnożonej) przez dowolny skalar, to det(b) det(a) Stosujac operacje elementarne na wierszach i kolumnach macierzy kwadratowej A nad cia lem K możemy ja sprowadzić do postaci: c 11 c 12 c 13 c 1n 0 c 22 c 23 c 2n C 0 0 c 33 c 3n, (1) c nn gdzie c ij dla wszystkich i j sa dowolnymi elementami cia la K Twierdzenie 54 Wyznacznik macierzy C postaci (1) jest równy iloczynowi wszystkich jej elementów na g lównej przekatnej, czyli det(c) c 11 c 22 c nn Twierdzenia umożliwiaja nam efektywne obliczenie dowolnego wyznacznika przy pomocy operacji elementarnych Pokażemy to na nastepuj acym przyk ladzie w Przyk lad 55 2 w w 3 +w w 4 +3w w 2 +w w 3 +2w 2 w 4 +3w w ( 9) 4 +26w 3 ( 9) ( 9) Z twierdzenia 52 mamy natychmiast nastepuj acy 2

3 Wniosek 56 Jeżeli pewien wiersz (kolumna) macierzy kwadratowej A sk lada si e z samych zer, to det(a) 0 Z twierdzenia 53 i z wniosku 56 otrzymujemy od razu nastepuj acy Wniosek 57 det(a) 0 Jeżeli macierz kwadratowa A ma identyczne dwa wiersze (kolumny), to Twierdzenie 58 Wyznacznik macierzy transponowanej macierzy kwadratowej A jest równy wyznacznikowi macierzy A, czyli det(a T ) det(a) Twierdzenie 59 (Cauchy ego) Jeżeli A i B sa macierzami kwadratowymi tego samego stopnia nad tym samym cia lem, to det(a B) det(a) det(b) Twierdzenie 510 (Rozwiniecie Laplace a wzgledem i-tego wiersza) a 11 a 12 a 1n a i1 a i2 a in ( 1) i+1 a i1 det(a i1 ) + + ( 1) i+n a in det(a in ) a n1 a n2 a nn Twierdzenie 511 (Rozwiniecie Laplace a wzgledem j-tej kolumny) a 11 a 1j a 1n a 21 a 2j a 2n ( 1) 1+j a 1j det(a 1j ) + + ( 1) n+j a nj det(a nj ) a n1 a nj a nn W praktyce najszybszym sposobem obliczania wyznacznika jest stosowanie operacji elementarnych i rozwiniecia Laplace a wzgledem takiego wiersza (kolumny), w którym wystepuje co najwyżej jeden niezerowy wyraz Pokażemy to w nastepnym przyk ladzie w Przyk lad w ( 1) ( 1) ( 1) ( 5) 3 2 ( 5) ( ) 100 Strza lkami oznaczyliśmy kolumne, wzgledem której zastosowano rozwiniecie Laplace a 3 Odwracanie macierzy Oznaczmy przez M n (K) zbiór wszystkich macierzy kwadratowych stopnia n > 1 nad cia lem K Macierza jednostkowa nazywamy taka macierz I n M n (K), która na g lównej przekatnej 3

4 ma same jedynki, zaś na pozosta lych miejscach same zera Zatem I n (2) I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (K) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (K) Ponadto z twierdzenia 54 mamy, że det(i n ) 1 Powiemy, że macierz A M n (K) jest odwracalna, jeżeli istnieje macierz B M n (K) taka, że A B B A I n (3) W tej sytuacji mówimy, że B jest macierza odwrotna do macierzy A i piszemy B A 1 Jeżeli macierz A M n (K) jest odwracalna, to z twierdzenia Cauchy ego wynika od razu, że det(a) 0 Można udowodnić, że zachodzi nastepuj ace Twierdzenie 513 Macierz A M n (K) jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy det(a) 0 Z twierdzenia 513 latwo można wyprowadzić nastepuj ace Twierdzenie 514 Macierz B M n (K) jest macierza odwrotna do macierzy A M n (K) wtedy, i tylko wtedy, gdy A B I n 4 Algorytm wyznacznikowy odwracania macierzy Krok 1: Obliczamy det(a) Jeżeli det(a) 0, to A 1 nie istnieje Jeżeli det(a) 0, to przechodzimy do nastepnego kroku Krok 2: Dla i, j 1, 2,, n obliczamy det(a ij ), czyli wyznaczniki macierzy powstaj acych z macierzy A przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny Obliczamy też dope lnienia algebraiczne d ij elementu a ij macierzy A: d ij ( 1) i+j det(a ij ) Krok 3: Tworzymy macierz dope lnień D(A) d 11 d 12 d 1n d D(A) 21 d 22 d 2n (4) d n1 d n2 d nn Krok 4: Wypisujemy macierz odwrotna do macierzy A A 1 1 det(a) D(A)T (5) 4

5 Przyk lad 515 Wyznaczymy macierz odwrotna do macierzy A 1 a c 0 1 b nad cia lem liczb rzeczywistych Z twierdzenia 44, det(a) Ponadto d 11 ( 1) b 0 1 1, d 21 ( 1) 2+1 a c 0 1 a, d 31 ( 1) 3+1 a c ab c, 1 b d 12 ( 1) b 0 1 0, d 22 ( 1) c 0 1 1, d 32 ( 1) c 0 b b, d 13 ( 1) , d 23 ( 1) a 0 0 0, d 33 ( 1) a Zatem D(A) a 1 0 oraz A 1 1 det(a) D(A)T, czyli ab c b 1 A 1 1 a ab c 0 1 b 0 0 1, bo det(a) 1 Przyk lad 516 Wyznaczymy macierz odwrotna do macierzy A Obliczamy najpierw wyznacznik macierzy A: det(a) , czyli det(a) 1 0, wiec A 1 istnieje Teraz obliczamy dope lnienia algebraiczne wszystkich wyrazów macierzy A: d 11 ( 1) , d 12 ( 1) ( 18 20) 38, 5 3 d 13 ( 1) d 21 ( 1) ( ) 1, d 22 ( 1) , 5 3 d 23 ( 1) ( 4 25) d 31 ( 1) , d 32 ( 1) (8 42) 34, 6 4 d 33 ( 1)

6 Tworzymy macierz dope lnień D(A) ( 1) , czyli ostatecznie A 1 Zatem A 1 1 det(a) D(A)T Odwracanie macierzy przy pomocy operacji elementarnych Z definicji mnożenia macierzy wynika, że dla dowolnej macierzy A M n (K): operacji elementarnej na wierszach macierzy A odpowiada pomnożenie macierzy A z lewej strony przez macierz, która powstaje z macierzy jednostkowej I n przez wykonanie na niej tej samej operacji Stosujac operacje elementarne na wierszach nieosobliwej macierzy A (tzn takiej, że det(a) 0) możemy ja przekszta lcić do macierzy jednostkowej I n Wynika stad, że istnieja macierze B 1, B 2,, B s takie, że B s B 2 B 1 A I n (6) Zatem A 1 B s B 2 B 1, czyli A 1 B s B 2 B 1 I n Stad macierz A 1 powstaje z macierzy I n przez wykonanie na niej tych samych operacji elementarnych, co na macierzy A W praktyce przy obliczaniu macierzy odwrotnej do macierzy nieosobliwej A przy pomocy operacji elementarnych na wierszach postepu-jemy w sposób nastepuj acy Z prawej strony macierzy A dopisujemy macierz jednostkowa I n tego samego stopnia Na wierszach otrzymanej w ten sposób macierzy blokowej [A I n ] wykonujemy operacje elementarne aż do uzyskania macierzy blokowej postaci [I n B] Macierz B jest wtedy macierza odwrotna do macierzy A, tj B A 1 [A I n ] operacje elementarne na wierszach [I n A 1 ] Przyk lad 517 Stosujac operacje elementarne wyznaczymy macierz odwrotna do macierzy A w 1 w 4, w 2 2w 4, w 3 w 4 Mamy:

7 w 2 3w 3, w 4 2w 3 w 1 w w 1 +6w 4, w 2 5w 4 w 3 4w ( 1)w 3, ( 1)w 4 w 2 w w 3 w Zatem: A 1 w 1 +2w 3, w 2 3w Zadania do samodzielnego rozwiazania Zadanie 518 Stosujac rozwiniecie Laplace a wzgledem drugiej kolumny oblicz wyznacznik: Odp 50a + 16b + 44c + 50d 3 a b c d 1 2 Zadanie 519 Oblicz nast epuj ace wyznaczniki: a), b), c) , d) , 7

8 e) Odp a) 301 b) 21 c) 3 d) 8 e) 60 Zadanie 520 Oblicz nast epuj ace wyznaczniki: a) , b) Odp a) 5 b) 1932 Zadanie 521 Wyznacz macierz odwrotna do macierzy [ ] a) A, b) B 2 1 2, c) C [ ] Odp a) A b) B c) C Zadanie 522 Rozwiaż równania macierzowe stosujac macierz odwrotn a: [ ] [ ] [ ] a) X, b) X 2 3 4, c) X [ ] [ ] Odp a) X b) X c) X