Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Transkrypt

1 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?, wyznacz te elementy w powyższych grupach. Zadanie 2 Które z podanych struktur są ciałami: (N, +,,, 1), (Z, +,,, 1), (Q, +,,, 1), (R, +,,, 1) czy dodawanie i mnożenie w ciele muszą być przemienne? Lizcby zespolone. Zadanie Wykonaj działania na liczbach zespolonych. 1. ( + 4i) + (7 5i), (2 + i) ( + 2i) 2. (1 + i) (1 i), (a + bi) (c + di). 1+2i +4i, 2+i, +8i 2 i 2i, a+bi c+di Zadanie 4 Rozwiąż równanie (2 i)x + (1 i) = ix + 4 rozwiąż układ równań { x + iy = 1 ix + y = 1 Zadanie 5 Rozwiąż równania 1. x 2 + 2x + = 2. x 2 + ix + 1 = Zadanie 6 Dla wybranej liczby zespolonej z wyznacz i przedstaw na płaszczyźnie zespolonej: z, z, Re(z), Im(z), arg(z). Zadanie 7 Zaznacz na płaszczyźnie zbiory 1. {z : Re(z) 4} 2. {z : z }. {z : 2 z } Zadanie 8 Zaznacz na płaszczyźnie zbiory 1. {z : π arg(z) 2 π} 2. {z : arg(z) π 2 z } 1

2 Zadanie 9 Przedstaw w postaci trygonometryczne liczby zespolone 4, 2i, i + 1, i 1, 2 2 i, i. Zadanie 1 Oblicz (1 + i) 4, (1 i) Zadanie 11 Wyznacz wszystkie liczby zespolone z takie, że z 6 = 1, przedstaw rozwiązanie na płaszczyźnie zespolonej. Zadanie 12 Wyznacz wszystkie liczby zespolone z takie, że z 5 = 2 2 i Zadanie 1 Przypomni wzór e ix =... oblicz e iπ, 4e i π 2, e +iπ, e 2+i znajdź x, y takie, że: ye ix = 1 + i, ye ix = i Wielomiany. Zadanie Wykonaj dzielenie wielomianu x + 4x 2 + 6x + 1 przez wielomian 2x Bez wykonywania dzielenia sprawdź, że welomian x 5 x 4 + x x 2 + x 1 jest podzielny przez x 1 Zadanie 15 Reszta z dzielenia wielomianu f(x) przez x 1 jest równa, a reszta z dzielenia f(x) przez x 4 jest równa 5. wyznacz resztę z dzielenia wielomianu f(x) przez (x 1)(x 4). Zadanie 16 Wyznacz krotność pierwiastka x wielomianu f(x): 1. f(x) = (x 1)(x 2)(x 1)(x 2 1), x = 1 2. f(x) = x 5 + 2x 4 + x 1x 8, x = 1 Zadanie 17 Wyznacz wymierne pierwiastki wielomianu 15x 4 11x + 17x 2 11x + 2 Zadanie 18 Wyznacz wielomian f(x) taki, że f(1) = 2, f(2) =, f() = 5. Zadanie 19 Przedstaw wielomian x jako iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia nie większego niż dwa. Zadanie 2 Przedstaw wielomian x jako iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia nie większego niż dwa. Zadanie 21 Przypomnij definicję funkcji wymiernej, podaj przykłady, przedstaw funkcję f(x) = x5 +x +2x 2 +1 jako sumę wielomianu i funkcji wymiernej, której licznik x 2 +x+2 ma stopień mniejszy niż stopień mianownika. Przypomnij które funkcje wymierne nazywamy ułamkami prostymi, podaj przykła- Zadanie 22 dy, przedstaw funkcję f(x) = 2 x 2 4 jako sumę ułamków prostych. 2

3 Zadanie 2 Przedstaw jako sumę ułamków prostych następujące funkcje wymierne:. x + 1 x 2 x + 2, x x 2 + 2x + 1, 1 x x 2 + x 1, 2 x 4 + 2x Geometria. Zadanie 24 Wyznacz współrzędne wektora którego początek i koniec leżą w punktach A = (, 7), B = (1, 4). Podaj przykład innego wektora o tych samych współrzędnych, oblicz jego długość. Wykonaj działanie [1, 2, 7] + [, 4, 1] 2[1, 2, 1]. Wyznacz początek wektora o współrzędnych [, 7, 1] którego koniec leży w punkcie (1,, 2). Oblicz [1, 2, ] [1,, 2], [2, 7] [14, 4] Jaki jest związek iloczynu skalarnego z prostopadłością wektorów. Zadanie 25 Wyznacz rzut wektora [2, 1, 4] na wektor [1, 1, 1]. Zadanie 26 Podaj wzór łączący kąt między wektorami z iloczynem skalarnym. Podaj kąt między wektorami [2,, 4], [2, 1, 1]. Zadanie 27 Niech A = (2, 4), B = (7, 8). Znajdź środek odcinka AB. Znajdź punkt dzielący odcinek AB w stosunku : 4. Zadanie 28 Trzy wierzchołki pewnego równoległoboku leżą w punktach o współrzędnych: (1, 1, 2), (1, 6, 1), (, 2, 5). Oblicz współrzędne czwartego wierzchołka. Zadanie 29 Znajdź współrzędne wektora prostopadłego do prostej o równaniu y = 2x + 4. Podaj odległość punktu (1, 2) od płaszczyzny o równaniu x + 2y + 2 =. Macierze Zadanie Oblicz: , 1 4 [ ] , 4 1 [ ] [ ] Zadanie 1 Napisz przykład macierzy wymiaru [a ij ] wymiaru 4 5 nad liczbami rzeczywistymi. Podaj następujące jej elementy a 1,2, a,, a 4,5 Niech A R n m, B R k l. Dla jakich m, n, k, l wykonalne są działania A + B, B + A, A B, AB, BA, ra, gdzie ostatnie działanie jest mnożeniem przez skalar? Zadanie 2 Czy dodawanie macierzy jest łączne i przemienne, czy mnożenie macierzy jest łączne i przemienne? Podaj odpowiednie przykłady. Zadanie Przypomnij kiedy macierz nazywamy diagonalną, górnotrójkątną, trójkątną.

4 Wykonaj obliczenia i sformułuj odpowiednią hipotezę. 6 8, 1 6 8, Zadanie 4 Oblicz 5 Zadanie 5 Niech A = Przestrzenie liniowe. 1 7, 5 1 [ ] [ ] [ ] Oblicz A Zadanie 6 Podaj definicje podprzestrzen liniowej. Opisz geometrycznie podprzestrzenie przestrzeni liniowej R. Pokaż, że zbiór {(x, y, ) : x, y R} jest podprzestrzenią przestrzeni R. Pokaż, że zbiór {(x, y, z) : x + y + 2z = } jest podprzestrzenią przestrzeni R. Czy zbiór {(x, y, z) : x + y + 2z = 1} jest podprzestrzenią przestrzeni R. Czy zbiór {(x, y, z) : x, y, z > } jest podprzestrzenią przestrzeni R. Zadanie 7 Pokaż, że zbiór {(x, y, z, t) R 4 : x + 2y =, z t = } jest podprzestrzenią przestrzeni R 4 Zadanie 8 Wektory [, 2, 5], [, 1, 1] przestrzeni liniowej R wektorów: przedstaw jako kombinacje liniowe 1. [1, 2, ], [1,, 1], [, 2 1] 2. [1, 2, ], [1,, 1], [ 1, 2, 1] Zadanie 9 Podaj definicje podzbioru liniowo niezależnego. Czy wektory [1,, ], [,, 1] są liniowo niezależne? Uzasadnij, że wektory[1, ], [1], [, 4] są liniowo zależne. Kiedy podzbiór liniowo niezależny jest bazą? Zadanie 4 Zbadaj liniową niezależność następujących zbiorów; 1. [1, 2, ], [1,, 1], [, 2, 1] w R. 2. x + x 2 + x + 1, x + x 2 + x 1, x + x 2 x 1, x x 2 x 1 w R[X]. Zadanie 41 Pokaż, że wektory [1,, ], [1, 1, ], [1, 1, 1] stanowi bazę przestrzeni R. Zadanie 42 Znajdź bazę i wymiar następującej podprzestrzeni liniowej rozpiętej na wektorach {[1,, 1, ], [2, 1, 2, 1], [ Funkcje liniowe liniowe 4

5 Zadanie 4 Podaj definicję funkcji liniowej. Podaj kilka przykładów funkcji liniowych. które z podanych funkcji są liniowe: f(x) = 2x, g(x) = x + 1, h(x) = x 2 opisz wykresy funkcji Lin(R, R) opisz wykresy funkcji Lin(R 2, R) Zadanie 44 Sprawdź, że podane funkcje są liniowe: 1. f(x, y, z, t) = x Lin(R 4, R) 2. f(x, y, z, t) = (x, y, z) Lin(R 4, R ). f(x, y, z, t) = (x + y + z + t) Lin(R 4, R) 4. f(x, y, z, t) = (2x + y + z, 4y + z t) Lin(R 4, R 2 ) Zadanie 45 Wyznacz macierze funkcji liniowych z poprzedniego zadania. 1 2 Zadanie 46 Wyraź wzorem funkcję liniową daną macierzą : Zadanie 47 Dla pewnej funkcji liniowej g Lin(R 2, R) zachodzi g(, 1) =, g(1, ) = 5 podaj wzór funkcji g Dla pewnej funkcji liniowej f Lin(R, R 2 ) zachodzi f(1, 2, ) = (1, 2), f(2,, ) = (, 1), f(1, 2, ) = (2, 1). Podaj macierz funkcji f Wyznaczniki Zadanie 48 Oblicz wyznaczniki macierzy stosując metodę Sarrusa [ ] [ ] ,, 5 5, Zadanie 49 Przypomnij na przykładzie metodę Laplace a obliczania wyznacznika. Dla jakiego wymiaru macierzy można ją stosować? Zadanie 5 Oblicz wyznaczniki macierzy stosując metodę Laplace a , Zadanie 51 Oblicz wyznaczniki macierzy , 5 5 1,

6 Zadanie 52 Oblicz wyznaczniki macierzy , Zadanie 5 Niech A = Oblicz det(a A T ) Zadanie 54 Oblicz wyznaczniki macierzy Zadanie 55 Niech A = , 5 1 [ ] [ ] [ ] Oblicz det(a ) Zadanie 56 Oblicz wyznaczniki , Zadanie 57 Uzadadnij, że jeśli macierz kwadratowa ma dwie jednakowe kolumny (wiersze), to jej wyznacznik jest równy zero. Odwracanie macierzy, układy równań Zadanie 58 Wyjaśnij czym są operacje elementarne na wierszach macierzy. Podaj przykłady. Zadanie 59 Za pomocą operacji elementarnych na wierszach przekształć macierze do postaci górnotrójkątnej , Zadanie 6 Oblicz macierz odwrotną do macierzy: [ ] [ ] , Zadanie 61 rozwiąż układ równań za pomocą macierzy odwrotnej. { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 62 Wyjaśnij związek między wyznacznikiem macierzy a istnieniem macierzy odwrotnej. Jak nazywamy macierz kwadratową o niezerowym wyznaczniku? 6

7 Zadanie 6 Wyznacz macierze odwrotne rozwiązując odpowiedni układ równań. [ ] [ ] ,, Zadanie 64 Wyznacz macierze odwrotne stosując metodę operacji elementarnych. [ ] [ ] ,, 5 5, Zadanie 65 Wyznacz macierze odwrotne stosując metodę dopełnień algebraicznych , Zadanie 66 Wyznacz macierz odwrotną , Zadanie 67 Uzadadnij, że jeśli macierz kwadratowa mająca dwie jednakowe kolumny (wiersze) jest nieodwracalna. Zadanie 68 Przypomnij metodę Cramera rozwiązywania układów równań. Podaj warunki na liczbę rozwiązań układu. Zadanie 69 Zbadaj rozwiązania układu równań w zależności od parametru a. ax + y + z = 5 x + y + 2z = 9 4x + 5y z = 9, 2x + ay z = 1 x + 4y + z = 4 x + 6y 5z = Zadanie 7 Zapisz za pomocą macierzy rozszerzonej układy równań. 2x + y + 4z = 4x + y + 2z = 9 4x + 2y 7z = 9, x + 4y z = 12 x + 6y + 5z = 11 5x + y 5z = 7 Zadanie 71 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 72 rozwiąż układ równań metodą eliminacji Gaussa. 2x + y + z = 5 x + y + 2z = 9 4x + 5y z = 9, 2x + 4y z = 1 x + 4y + z = 4 x + 6y 5z = 7

8 Zadanie 7 Wyznacz zbiór rozwiązań układu równań { 2x + y + z = 5 4x + 5y z = 9 Zadanie 74 rozwiąż układ równań. x + y + z = 5 4x + y z = x + 2y + z = 2, x + 2y + z = 2x + y z = 2 x + y 4z = Zadanie 75 Zapisz macierzowo układ równań. { 7x + 2y = 15 2x y = 11 Zadanie 76 Jakiemu układowi równań odpowiada równanie macierzowe: [ ] [ ] [ ] 1 2 x 7 = 4 5 y 8 Krzysztof Majcher Krzysztof Majcher 8