Twierdzenie spektralne

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Twierdzenie spektralne"

Transkrypt

1 Twierdzenie spektralne Tomasz Kochanek Uniwersytet Śląski Instytut Matematyki XXXI Sesja KNM UŚ Motywacje, intuicje, konstrukcje Szczyrk listopada 2011 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 1 / 25

2 Czym jest twierdzenie spektralne? W algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej twierdzenie podające warunki na to, aby dany operator dało się rozłożyć na sumę prostych (i wzajemnie ortogonalnych ) operatorów. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 2 / 25

3 Czym jest twierdzenie spektralne? W algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej twierdzenie podające warunki na to, aby dany operator dało się rozłożyć na sumę prostych (i wzajemnie ortogonalnych ) operatorów. Jakie operatory uznajemy za proste? Jak rozumieć wzajemną ortogonalność operatorów? Kiedy można dokonać takiego rozkładu? Jakie są tego interpretacje i zastosowania? Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 2 / 25

4 Rys historyczny (część 1a) XVIII wiek: początki teorii spektralnej, motywowanej problemami fizyki (głownie dotyczącymi mechaniki ciał niebieskich), które prowadziły do układu liniowych równań różniczkowych i problemu istnienia wartości własnych. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 3 / 25

5 Rys historyczny (część 1a) XVIII wiek: początki teorii spektralnej, motywowanej problemami fizyki (głownie dotyczącymi mechaniki ciał niebieskich), które prowadziły do układu liniowych równań różniczkowych i problemu istnienia wartości własnych. Dzięki pracom Lagrange a w XVIII w. potrafiono sobie radzić z przypadkiem parami różnych pierwiastków wielomianu charakterystycznego (różne wartości własne), ale trudności sprawiały pierwiastki wielokrotne. Co więcej, problemy stabilności dla równań rózniczkowych wymagały ustalenia, kiedy wartości własne są rzeczywiste. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 3 / 25

6 Rys historyczny (część 1a) XVIII wiek: początki teorii spektralnej, motywowanej problemami fizyki (głownie dotyczącymi mechaniki ciał niebieskich), które prowadziły do układu liniowych równań różniczkowych i problemu istnienia wartości własnych. Dzięki pracom Lagrange a w XVIII w. potrafiono sobie radzić z przypadkiem parami różnych pierwiastków wielomianu charakterystycznego (różne wartości własne), ale trudności sprawiały pierwiastki wielokrotne. Co więcej, problemy stabilności dla równań rózniczkowych wymagały ustalenia, kiedy wartości własne są rzeczywiste : Cauchy, Jacobi, Jordan, Kronecker, Weierstrass dokonują formalizacji tych problemów do postaci czysto matematycznej. Budują teorię spektralną dla form dwuliniowych i kwadratowych. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 3 / 25

7 Rys historyczny (część 1b) 1829: Cauchy w swojej pracy, Sur l équation à l aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires des mouvements des planètes, Oeuvres (2) 9, podaje pierwszy poprawny dowód tego, że każda wartość własna symetrycznej macierzy rzeczywistej n n jest liczbą rzeczywistą. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 4 / 25

8 Rys historyczny (część 1b) 1829: Cauchy w swojej pracy, Sur l équation à l aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires des mouvements des planètes, Oeuvres (2) 9, podaje pierwszy poprawny dowód tego, że każda wartość własna symetrycznej macierzy rzeczywistej n n jest liczbą rzeczywistą. Lagrange i Laplace długo nie zdawali sobie sprawy, że symetria współczynników w ich równaniach może zagwarantować, że wartości własne są rzeczywiste. Pierwszy uświadomił to sobie Laplace, ale podał błędny dowód. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 4 / 25

9 Rys historyczny (część 1b) 1829: Cauchy w swojej pracy, Sur l équation à l aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires des mouvements des planètes, Oeuvres (2) 9, podaje pierwszy poprawny dowód tego, że każda wartość własna symetrycznej macierzy rzeczywistej n n jest liczbą rzeczywistą. Lagrange i Laplace długo nie zdawali sobie sprawy, że symetria współczynników w ich równaniach może zagwarantować, że wartości własne są rzeczywiste. Pierwszy uświadomił to sobie Laplace, ale podał błędny dowód. Inspiracją dla Cauchy ego była jednak praca Lagrange a o formach kwadratowych trzech zmiennych (które opisywały ruch obrotowy ciał sztywnych). Idea Lagrange: jakie warunki muszą spełniać podstawienia liniowe zmiennych x, y, z, aby nie zmienić sumy x 2 + y 2 + z 2? Wielomian stopnia 3 ma zawsze pierwiastek rzeczywisty! Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 4 / 25

10 Rys historyczny (część 1c) Cauchy był w stanie uogólnić wynik Lagrange a, bo zbudował w 1812 r. systematyczną teorię wyznaczników. Nie zdawał sobie jednak sprawy ze związku swojego wyniku z rozwiązywaniem równań różniczkowych. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 5 / 25

11 Rys historyczny (część 1c) Cauchy był w stanie uogólnić wynik Lagrange a, bo zbudował w 1812 r. systematyczną teorię wyznaczników. Nie zdawał sobie jednak sprawy ze związku swojego wyniku z rozwiązywaniem równań różniczkowych. Tytuł pracy Cauchy ego z 1829 r. był wynikiem namowy Sturma, który pierwszy zrozumiał podobieństwo między różnymi problemami mechaniki i ich związek z pracą Cauchy ego. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 5 / 25

12 Rys historyczny (część 1c) Cauchy był w stanie uogólnić wynik Lagrange a, bo zbudował w 1812 r. systematyczną teorię wyznaczników. Nie zdawał sobie jednak sprawy ze związku swojego wyniku z rozwiązywaniem równań różniczkowych. Tytuł pracy Cauchy ego z 1829 r. był wynikiem namowy Sturma, który pierwszy zrozumiał podobieństwo między różnymi problemami mechaniki i ich związek z pracą Cauchy ego : Weierstrass dokonuje głębokiej analizy rozkładu wielomianu charakterystycznego i wprowadza tzw. postać kanoniczną Jordana. Klasyfikuje macierze (podobne) i formy dwuliniowe za pomocą postaci kanonicznej (niezależnie od Jordana). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 5 / 25

13 Przestrzenie euklidesowe W tej części wykładu ograniczamy się do skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych nad ciałem K {R, C}. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 6 / 25

14 Przestrzenie euklidesowe W tej części wykładu ograniczamy się do skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych nad ciałem K {R, C}. Definicja 1 Przestrzenią euklidesową nazywamy przestrzeń wektorową V nad ciałem R wyposażoną w formę dwuliniową f : V V R, która jest: Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 6 / 25

15 Przestrzenie euklidesowe W tej części wykładu ograniczamy się do skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych nad ciałem K {R, C}. Definicja 1 Przestrzenią euklidesową nazywamy przestrzeń wektorową V nad ciałem R wyposażoną w formę dwuliniową f : V V R, która jest: (i) symetryczna (tzn. f (x, y) = f (y, x)), Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 6 / 25

16 Przestrzenie euklidesowe W tej części wykładu ograniczamy się do skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych nad ciałem K {R, C}. Definicja 1 Przestrzenią euklidesową nazywamy przestrzeń wektorową V nad ciałem R wyposażoną w formę dwuliniową f : V V R, która jest: (i) symetryczna (tzn. f (x, y) = f (y, x)), (ii) dodatnio określona (tzn. f (x, x) > 0 dla x 0). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 6 / 25

17 Przestrzenie euklidesowe W tej części wykładu ograniczamy się do skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych nad ciałem K {R, C}. Definicja 1 Przestrzenią euklidesową nazywamy przestrzeń wektorową V nad ciałem R wyposażoną w formę dwuliniową f : V V R, która jest: (i) symetryczna (tzn. f (x, y) = f (y, x)), (ii) dodatnio określona (tzn. f (x, x) > 0 dla x 0). Każda symetryczna forma dwuliniowa f na przestrzeni V nad ciałem K (wystarczy założyć, że chark 2) ma bazę kanoniczną, tj. taką bazę (e i ) n i=1, że dla x = i x ie i, y = i y ie i mamy f (x, y) = i α ix i y i, gdzie α i K (metoda Lagrange a lub Jacobiego). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 6 / 25

18 Przestrzenie euklidesowe Każda forma kwadratowa q(x) = f (x, x) rzędu r n ma w pewnej bazie postać q(x) = λ 1 x λ r x 2 r (λ i 0). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 7 / 25

19 Przestrzenie euklidesowe Każda forma kwadratowa q(x) = f (x, x) rzędu r n ma w pewnej bazie postać q(x) = λ 1 x λ r x 2 r (λ i 0). W przypadku K = R możemy napisać q(x) = x x 2 s x 2 s+1... x 2 r i parę (s, r) nazywamy sygnaturą formy q. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 7 / 25

20 Przestrzenie euklidesowe Każda forma kwadratowa q(x) = f (x, x) rzędu r n ma w pewnej bazie postać q(x) = λ 1 x λ r x 2 r (λ i 0). W przypadku K = R możemy napisać q(x) = x x 2 s x 2 s+1... x 2 r i parę (s, r) nazywamy sygnaturą formy q. Dla przestrzeni euklidesowej mamy oczywiście postać kanoniczną q(x) = x x 2 n, skąd w szczególności wynika, że każda przestrzeń euklidesowa ma bazę ortonormalną i każde dwie przestrzenie euklidesowe (V, ) i (V, ) są izomorficzne (tj. istnieje taki izomorfizm ϕ: V V, że x y = ϕ(x) ϕ(y) dla x, y V ). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 7 / 25

21 Grupa O(n) macierzy ortogonalnych Symbolem O(n) oznaczamy grupę macierzy ortogonalnych wymiaru n n, złożoną z rzeczywistych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 8 / 25

22 Grupa O(n) macierzy ortogonalnych Symbolem O(n) oznaczamy grupę macierzy ortogonalnych wymiaru n n, złożoną z rzeczywistych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: (i) n r=1 a ri a rj = 0 (kolumny tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w R n ); Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 8 / 25

23 Grupa O(n) macierzy ortogonalnych Symbolem O(n) oznaczamy grupę macierzy ortogonalnych wymiaru n n, złożoną z rzeczywistych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: (i) n r=1 a ri a rj = 0 (kolumny tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w R n ); (ii) n r=1 a ir a jr = 0 (wiersze tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w R n ); Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 8 / 25

24 Grupa O(n) macierzy ortogonalnych Symbolem O(n) oznaczamy grupę macierzy ortogonalnych wymiaru n n, złożoną z rzeczywistych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: (i) n r=1 a ri a rj = 0 (kolumny tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w R n ); (ii) n r=1 a ir a jr = 0 (wiersze tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w R n ); (iii) AA T = I (czyli także A T A = I ); Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 8 / 25

25 Grupa O(n) macierzy ortogonalnych Symbolem O(n) oznaczamy grupę macierzy ortogonalnych wymiaru n n, złożoną z rzeczywistych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: (i) n r=1 a ri a rj = 0 (kolumny tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w R n ); (ii) n r=1 a ir a jr = 0 (wiersze tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w R n ); (iii) AA T = I (czyli także A T A = I ); (iv) A jest macierzą przejścia między pewnymi dwoma bazami ortonormalnymi przestrzeni euklidesowej wymiaru n. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 8 / 25

26 Grupa O(n) macierzy ortogonalnych Symbolem O(n) oznaczamy grupę macierzy ortogonalnych wymiaru n n, złożoną z rzeczywistych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: (i) n r=1 a ri a rj = 0 (kolumny tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w R n ); (ii) n r=1 a ir a jr = 0 (wiersze tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w R n ); (iii) AA T = I (czyli także A T A = I ); (iv) A jest macierzą przejścia między pewnymi dwoma bazami ortonormalnymi przestrzeni euklidesowej wymiaru n. Jeżeli A O(n), to det(a) = ±1. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 8 / 25

27 Przestrzenie unitarne Definicja 2 Przestrzenią unitarną nazywamy przestrzeń wektorową nad ciałem C wyposażoną w formę f : V V C, która jest: Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 9 / 25

28 Przestrzenie unitarne Definicja 2 Przestrzenią unitarną nazywamy przestrzeń wektorową nad ciałem C wyposażoną w formę f : V V C, która jest: (i) półtoraliniowa (tzn. f (, y) jest liniowe, f (x, ) jest addytywne oraz f (x, λy) = λf (x, y)), Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 9 / 25

29 Przestrzenie unitarne Definicja 2 Przestrzenią unitarną nazywamy przestrzeń wektorową nad ciałem C wyposażoną w formę f : V V C, która jest: (i) półtoraliniowa (tzn. f (, y) jest liniowe, f (x, ) jest addytywne oraz f (x, λy) = λf (x, y)), (ii) hermitowska (tzn. f (x, y) = f (y, x)), Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 9 / 25

30 Przestrzenie unitarne Definicja 2 Przestrzenią unitarną nazywamy przestrzeń wektorową nad ciałem C wyposażoną w formę f : V V C, która jest: (i) półtoraliniowa (tzn. f (, y) jest liniowe, f (x, ) jest addytywne oraz f (x, λy) = λf (x, y)), (ii) hermitowska (tzn. f (x, y) = f (y, x)), (iii) dodatnio określona (tzn. f (x, x) > 0 dla x V ). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 9 / 25

31 Przestrzenie unitarne Definicja 2 Przestrzenią unitarną nazywamy przestrzeń wektorową nad ciałem C wyposażoną w formę f : V V C, która jest: (i) półtoraliniowa (tzn. f (, y) jest liniowe, f (x, ) jest addytywne oraz f (x, λy) = λf (x, y)), (ii) hermitowska (tzn. f (x, y) = f (y, x)), (iii) dodatnio określona (tzn. f (x, x) > 0 dla x V ). Forma hermitowska f : V V C ma w dowolnej bazie macierz F, spełniająca warunek F = F = F T. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 9 / 25

32 Grupa U(n) macierzy unitarnych Symbolem U(n) oznaczamy grupę macierzy unitarnych wymiaru n n, złożoną z zespolonych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 10 / 25

33 Grupa U(n) macierzy unitarnych Symbolem U(n) oznaczamy grupę macierzy unitarnych wymiaru n n, złożoną z zespolonych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: (i) n r=1 a ri a rj = 0 (kolumny tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w C n ); Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 10 / 25

34 Grupa U(n) macierzy unitarnych Symbolem U(n) oznaczamy grupę macierzy unitarnych wymiaru n n, złożoną z zespolonych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: (i) n r=1 a ri a rj = 0 (kolumny tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w C n ); (ii) n r=1 a ir a jr = 0 (wiersze tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w C n ); Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 10 / 25

35 Grupa U(n) macierzy unitarnych Symbolem U(n) oznaczamy grupę macierzy unitarnych wymiaru n n, złożoną z zespolonych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: (i) n r=1 a ri a rj = 0 (kolumny tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w C n ); (ii) n r=1 a ir a jr = 0 (wiersze tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w C n ); (iii) AA = I (czyli także A A = I ); Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 10 / 25

36 Grupa U(n) macierzy unitarnych Symbolem U(n) oznaczamy grupę macierzy unitarnych wymiaru n n, złożoną z zespolonych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: (i) n r=1 a ri a rj = 0 (kolumny tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w C n ); (ii) n r=1 a ir a jr = 0 (wiersze tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w C n ); (iii) AA = I (czyli także A A = I ); (iv) A jest macierzą przejścia między pewnymi dwoma bazami ortonormalnymi przestrzeni unitarnej wymiaru n. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 10 / 25

37 Grupa U(n) macierzy unitarnych Symbolem U(n) oznaczamy grupę macierzy unitarnych wymiaru n n, złożoną z zespolonych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: (i) n r=1 a ri a rj = 0 (kolumny tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w C n ); (ii) n r=1 a ir a jr = 0 (wiersze tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w C n ); (iii) AA = I (czyli także A A = I ); (iv) A jest macierzą przejścia między pewnymi dwoma bazami ortonormalnymi przestrzeni unitarnej wymiaru n. Jeżeli A U(n), to det(a) = 1. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 10 / 25

38 Grupy O(n) i U(n) przestrzenie euklidesowe przejście między bazami ortonormalnymi: Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 11 / 25

39 Grupy O(n) i U(n) przestrzenie euklidesowe przejście między bazami ortonormalnymi: macierze grupy O(n); Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 11 / 25

40 Grupy O(n) i U(n) przestrzenie euklidesowe przejście między bazami ortonormalnymi: macierze grupy O(n); przestrzenie unitarne przejście między bazami ortonormalnymi: Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 11 / 25

41 Grupy O(n) i U(n) przestrzenie euklidesowe przejście między bazami ortonormalnymi: macierze grupy O(n); przestrzenie unitarne przejście między bazami ortonormalnymi: macierze grupy U(n); Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 11 / 25

42 Grupy O(n) i U(n) przestrzenie euklidesowe przejście między bazami ortonormalnymi: macierze grupy O(n); przestrzenie unitarne przejście między bazami ortonormalnymi: macierze grupy U(n); SO(n) = {A O(n) : det(a) = 1}; Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 11 / 25

43 Grupy O(n) i U(n) przestrzenie euklidesowe przejście między bazami ortonormalnymi: macierze grupy O(n); przestrzenie unitarne przejście między bazami ortonormalnymi: macierze grupy U(n); SO(n) = {A O(n) : det(a) = 1}; SU(n) = {A U(n) : det(a) = 1}; Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 11 / 25

44 Grupy O(n) i U(n) przestrzenie euklidesowe przejście między bazami ortonormalnymi: macierze grupy O(n); przestrzenie unitarne przejście między bazami ortonormalnymi: macierze grupy U(n); SO(n) = {A O(n) : det(a) = 1}; SU(n) = {A U(n) : det(a) = 1}; SO(n) = O(n) SL n (R) SU(n) = U(n) SL n (C). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 11 / 25

45 Operator sprzężony (ujęcie pierwsze) Niech V będzie albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, dim V = n. Oznaczamy V = L (V, K) (przestrzeń dualna). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 12 / 25

46 Operator sprzężony (ujęcie pierwsze) Niech V będzie albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, dim V = n. Oznaczamy V = L (V, K) (przestrzeń dualna). Definicja 3a Dla każdego operatora liniowego A L (V, V ) definiujemy operator A L (V, V ) wzorem (x, A x ) = (Ax, x ) dla x V, x V i nazywamy go operatorem sprzężonym do A. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 12 / 25

47 Operator sprzężony (ujęcie pierwsze) Niech V będzie albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, dim V = n. Oznaczamy V = L (V, K) (przestrzeń dualna). Definicja 3a Dla każdego operatora liniowego A L (V, V ) definiujemy operator A L (V, V ) wzorem (x, A x ) = (Ax, x ) dla x V, x V i nazywamy go operatorem sprzężonym do A. Jeżeli operator A ma w pewnej bazie (e 1,..., e n ) przestrzeni V macierz A, to operator A ma w bazie dualnej (e 1,..., e n) macierz A T. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 12 / 25

48 Operator sprzężony (ujęcie pierwsze) Niech V będzie albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, dim V = n. Oznaczamy V = L (V, K) (przestrzeń dualna). Definicja 3a Dla każdego operatora liniowego A L (V, V ) definiujemy operator A L (V, V ) wzorem (x, A x ) = (Ax, x ) dla x V, x V i nazywamy go operatorem sprzężonym do A. Jeżeli operator A ma w pewnej bazie (e 1,..., e n ) przestrzeni V macierz A, to operator A ma w bazie dualnej (e 1,..., e n) macierz A T. Ponadto A = A, jeżeli tylko dokonamy naturalnego utożsamienia V V. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 12 / 25

49 Operator sprzężony (ujęcie drugie) Mówiąc o formie θ-liniowej mamy na myśli: θ = 2, gdy rozważana przestrzeń jest euklidesowa, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 13 / 25

50 Operator sprzężony (ujęcie drugie) Mówiąc o formie θ-liniowej mamy na myśli: θ = 2, gdy rozważana przestrzeń jest euklidesowa, θ = 3/2, gdy jest to przestrzeń unitarna. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 13 / 25

51 Operator sprzężony (ujęcie drugie) Mówiąc o formie θ-liniowej mamy na myśli: θ = 2, gdy rozważana przestrzeń jest euklidesowa, θ = 3/2, gdy jest to przestrzeń unitarna. Oznaczamy symbolem L θ (V, K) przestrzeń form θ-liniowych. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 13 / 25

52 Operator sprzężony (ujęcie drugie) Mówiąc o formie θ-liniowej mamy na myśli: θ = 2, gdy rozważana przestrzeń jest euklidesowa, θ = 3/2, gdy jest to przestrzeń unitarna. Oznaczamy symbolem L θ (V, K) przestrzeń form θ-liniowych. Rozważmy odwzorowanie L (V, V ) A f A L θ (V, K) dane wzorem f A (x, y) = Ax y. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 13 / 25

53 Operator sprzężony (ujęcie drugie) Mówiąc o formie θ-liniowej mamy na myśli: θ = 2, gdy rozważana przestrzeń jest euklidesowa, θ = 3/2, gdy jest to przestrzeń unitarna. Oznaczamy symbolem L θ (V, K) przestrzeń form θ-liniowych. Rozważmy odwzorowanie L (V, V ) A f A L θ (V, K) dane wzorem f A (x, y) = Ax y. Jest to izomorfizm liniowy. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 13 / 25

54 Operator sprzężony (ujęcie drugie) Mówiąc o formie θ-liniowej mamy na myśli: θ = 2, gdy rozważana przestrzeń jest euklidesowa, θ = 3/2, gdy jest to przestrzeń unitarna. Oznaczamy symbolem L θ (V, K) przestrzeń form θ-liniowych. Rozważmy odwzorowanie L (V, V ) A f A L θ (V, K) dane wzorem f A (x, y) = Ax y. Jest to izomorfizm liniowy. Przepis na odwzorowanie odwrotne L θ (V, K) f A f L (V, V ): Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 13 / 25

55 Operator sprzężony (ujęcie drugie) Mówiąc o formie θ-liniowej mamy na myśli: θ = 2, gdy rozważana przestrzeń jest euklidesowa, θ = 3/2, gdy jest to przestrzeń unitarna. Oznaczamy symbolem L θ (V, K) przestrzeń form θ-liniowych. Rozważmy odwzorowanie L (V, V ) A f A L θ (V, K) dane wzorem f A (x, y) = Ax y. Jest to izomorfizm liniowy. Przepis na odwzorowanie odwrotne L θ (V, K) f A f L (V, V ): ustalamy bazę ortonormalną przestrzeni V ; Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 13 / 25

56 Operator sprzężony (ujęcie drugie) Mówiąc o formie θ-liniowej mamy na myśli: θ = 2, gdy rozważana przestrzeń jest euklidesowa, θ = 3/2, gdy jest to przestrzeń unitarna. Oznaczamy symbolem L θ (V, K) przestrzeń form θ-liniowych. Rozważmy odwzorowanie L (V, V ) A f A L θ (V, K) dane wzorem f A (x, y) = Ax y. Jest to izomorfizm liniowy. Przepis na odwzorowanie odwrotne L θ (V, K) f A f L (V, V ): ustalamy bazę ortonormalną przestrzeni V ; jeżeli F oznacza macierz formy f w tej bazie, to za A f bierzemy operator o macierzy F T. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 13 / 25

57 Operator sprzężony (ujęcie drugie) Mówiąc o formie θ-liniowej mamy na myśli: θ = 2, gdy rozważana przestrzeń jest euklidesowa, θ = 3/2, gdy jest to przestrzeń unitarna. Oznaczamy symbolem L θ (V, K) przestrzeń form θ-liniowych. Rozważmy odwzorowanie L (V, V ) A f A L θ (V, K) dane wzorem f A (x, y) = Ax y. Jest to izomorfizm liniowy. Przepis na odwzorowanie odwrotne L θ (V, K) f A f L (V, V ): ustalamy bazę ortonormalną przestrzeni V ; jeżeli F oznacza macierz formy f w tej bazie, to za A f bierzemy operator o macierzy F T. Gdyby wziąć za A f operator o macierzy F, to zamiast f (x, y) = A f x y mielibyśmy f (x, y) = x A f y. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 13 / 25

58 Operatory sprzężone (ujęcie drugie) Definicja 3b Istnieją izomorfizmy liniowe L (V, V ) A f A L θ (V, K) oraz L (V, V ) A f A L θ (V, K), spełniające równości f A (x, y) = Ax y = x Ay dla x, y V. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 14 / 25

59 Operatory sprzężone (ujęcie drugie) Definicja 3b Istnieją izomorfizmy liniowe L (V, V ) A f A L θ (V, K) oraz L (V, V ) A f A L θ (V, K), spełniające równości f A (x, y) = Ax y = x Ay dla x, y V. Operator A nazywamy operatorem sprzężonym do A; jego macierz w dowolnej bazie ortonormalnej to sprzężenie hermitowskie A = A T macierzy A operatora A w tej bazie. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 14 / 25

60 Operatory sprzężone (ujęcie drugie) Definicja 3b Istnieją izomorfizmy liniowe L (V, V ) A f A L θ (V, K) oraz L (V, V ) A f A L θ (V, K), spełniające równości f A (x, y) = Ax y = x Ay dla x, y V. Operator A nazywamy operatorem sprzężonym do A; jego macierz w dowolnej bazie ortonormalnej to sprzężenie hermitowskie A = A T macierzy A operatora A w tej bazie. (A + B) = A + B, (αa) = αa, (AB) = B A, A = A Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 14 / 25

61 Specjalne typy operatorów Definicja 4 Niech A L (V, V ), gdzie V jest, jak ustaliliśmy, albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, oraz dim V = n. Operator A nazywamy: Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 15 / 25

62 Specjalne typy operatorów Definicja 4 Niech A L (V, V ), gdzie V jest, jak ustaliliśmy, albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, oraz dim V = n. Operator A nazywamy: hermitowskim (samosprzężonym), jeżeli A = A ; Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 15 / 25

63 Specjalne typy operatorów Definicja 4 Niech A L (V, V ), gdzie V jest, jak ustaliliśmy, albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, oraz dim V = n. Operator A nazywamy: hermitowskim (samosprzężonym), jeżeli A = A ; wtedy odpowiadająca mu forma f A jest hermitowska i macierz A w dowolnej bazie ortonormalnej jest hermitowska, tj. A = A = A T Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 15 / 25

64 Specjalne typy operatorów Definicja 4 Niech A L (V, V ), gdzie V jest, jak ustaliliśmy, albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, oraz dim V = n. Operator A nazywamy: hermitowskim (samosprzężonym), jeżeli A = A ; wtedy odpowiadająca mu forma f A jest hermitowska i macierz A w dowolnej bazie ortonormalnej jest hermitowska, tj. A = A = A T (gdy K = R, mówimy o operatorze symetrycznym); Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 15 / 25

65 Specjalne typy operatorów Definicja 4 Niech A L (V, V ), gdzie V jest, jak ustaliliśmy, albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, oraz dim V = n. Operator A nazywamy: hermitowskim (samosprzężonym), jeżeli A = A ; wtedy odpowiadająca mu forma f A jest hermitowska i macierz A w dowolnej bazie ortonormalnej jest hermitowska, tj. A = A = A T (gdy K = R, mówimy o operatorze symetrycznym); antyhermitowskim, jeżeli A = A Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 15 / 25

66 Specjalne typy operatorów Definicja 4 Niech A L (V, V ), gdzie V jest, jak ustaliliśmy, albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, oraz dim V = n. Operator A nazywamy: hermitowskim (samosprzężonym), jeżeli A = A ; wtedy odpowiadająca mu forma f A jest hermitowska i macierz A w dowolnej bazie ortonormalnej jest hermitowska, tj. A = A = A T (gdy K = R, mówimy o operatorze symetrycznym); antyhermitowskim, jeżeli A = A (gdy K = R, mówimy o operatorze antysymetrycznym); Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 15 / 25

67 Specjalne typy operatorów Definicja 4 Niech A L (V, V ), gdzie V jest, jak ustaliliśmy, albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, oraz dim V = n. Operator A nazywamy: hermitowskim (samosprzężonym), jeżeli A = A ; wtedy odpowiadająca mu forma f A jest hermitowska i macierz A w dowolnej bazie ortonormalnej jest hermitowska, tj. A = A = A T (gdy K = R, mówimy o operatorze symetrycznym); antyhermitowskim, jeżeli A = A (gdy K = R, mówimy o operatorze antysymetrycznym); unitarnym, jeżeli AA = I = A A Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 15 / 25

68 Specjalne typy operatorów Definicja 4 Niech A L (V, V ), gdzie V jest, jak ustaliliśmy, albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, oraz dim V = n. Operator A nazywamy: hermitowskim (samosprzężonym), jeżeli A = A ; wtedy odpowiadająca mu forma f A jest hermitowska i macierz A w dowolnej bazie ortonormalnej jest hermitowska, tj. A = A = A T (gdy K = R, mówimy o operatorze symetrycznym); antyhermitowskim, jeżeli A = A (gdy K = R, mówimy o operatorze antysymetrycznym); unitarnym, jeżeli AA = I = A A (gdy K = R, mówimy o operatorze ortogonalnym). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 15 / 25

69 Własności i analogie Twierdzenie 1 Każdy operator Z L (V, V ) można zapisać w postaci: Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 16 / 25

70 Własności i analogie Twierdzenie 1 Każdy operator Z L (V, V ) można zapisać w postaci: Z = A + B, gdzie A jest hermitowski, a B jest antyhermitowski, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 16 / 25

71 Własności i analogie Twierdzenie 1 Każdy operator Z L (V, V ) można zapisać w postaci: Z = A + B, gdzie A jest hermitowski, a B jest antyhermitowski, Z = A + ib, gdzie A oraz B są hermitowskie (o ile K = C). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 16 / 25

72 Własności i analogie Twierdzenie 1 Każdy operator Z L (V, V ) można zapisać w postaci: Z = A + B, gdzie A jest hermitowski, a B jest antyhermitowski, Z = A + ib, gdzie A oraz B są hermitowskie (o ile K = C). sprzężenie operatora sprzężenie liczby zespolonej Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 16 / 25

73 Własności i analogie Twierdzenie 1 Każdy operator Z L (V, V ) można zapisać w postaci: Z = A + B, gdzie A jest hermitowski, a B jest antyhermitowski, Z = A + ib, gdzie A oraz B są hermitowskie (o ile K = C). sprzężenie operatora sprzężenie liczby zespolonej operatory hermitowskie liczby rzeczywiste Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 16 / 25

74 Własności i analogie Twierdzenie 1 Każdy operator Z L (V, V ) można zapisać w postaci: Z = A + B, gdzie A jest hermitowski, a B jest antyhermitowski, Z = A + ib, gdzie A oraz B są hermitowskie (o ile K = C). sprzężenie operatora sprzężenie liczby zespolonej operatory hermitowskie liczby rzeczywiste operatory antyhermitowskie liczby czysto urojone Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 16 / 25

75 Własności i analogie Twierdzenie 1 Każdy operator Z L (V, V ) można zapisać w postaci: Z = A + B, gdzie A jest hermitowski, a B jest antyhermitowski, Z = A + ib, gdzie A oraz B są hermitowskie (o ile K = C). sprzężenie operatora sprzężenie liczby zespolonej operatory hermitowskie liczby rzeczywiste operatory antyhermitowskie liczby czysto urojone operatory unitarne (AA = I ) liczby zespolone o module 1 (zz = 1) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 16 / 25

76 Własności i analogie Twierdzenie 1 Każdy operator Z L (V, V ) można zapisać w postaci: Z = A + B, gdzie A jest hermitowski, a B jest antyhermitowski, Z = A + ib, gdzie A oraz B są hermitowskie (o ile K = C). sprzężenie operatora sprzężenie liczby zespolonej operatory hermitowskie liczby rzeczywiste operatory antyhermitowskie liczby czysto urojone operatory unitarne (AA = I ) liczby zespolone o module 1 (zz = 1) Twierdzenie 2 Operator A L (V, V ) jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy jest unitarny. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 16 / 25

77 Trzy kluczowe lematy Lemat 1 Każda wartość własna operatora hermitowskiego jest liczbą rzeczywistą. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 17 / 25

78 Trzy kluczowe lematy Lemat 1 Każda wartość własna operatora hermitowskiego jest liczbą rzeczywistą. Lemat 2 Każdy operator symetryczny na przestrzeni euklidesowej ma wektor własny. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 17 / 25

79 Trzy kluczowe lematy Lemat 1 Każda wartość własna operatora hermitowskiego jest liczbą rzeczywistą. Lemat 2 Każdy operator symetryczny na przestrzeni euklidesowej ma wektor własny. [ a b A(L) L, A L = b d ] Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 17 / 25

80 Trzy kluczowe lematy Lemat 1 Każda wartość własna operatora hermitowskiego jest liczbą rzeczywistą. Lemat 2 Każdy operator symetryczny na przestrzeni euklidesowej ma wektor własny. [ t a b χ(t) = det b t d ] = t 2 (a + d)t + (ad b 2 ) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 17 / 25

81 Trzy kluczowe lematy Lemat 1 Każda wartość własna operatora hermitowskiego jest liczbą rzeczywistą. Lemat 2 Każdy operator symetryczny na przestrzeni euklidesowej ma wektor własny. = (a + d) 2 4(ad b 2 ) = (a d) 2 + 4b 2 0 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 17 / 25

82 Trzy kluczowe lematy Lemat 1 Każda wartość własna operatora hermitowskiego jest liczbą rzeczywistą. Lemat 2 Każdy operator symetryczny na przestrzeni euklidesowej ma wektor własny. = (a + d) 2 4(ad b 2 ) = (a d) 2 + 4b 2 0 Lemat 3 Jeżeli A L (V, V ) jest operatorem hermitowskim, a L V jest podprzestrzenią niezmienniczą (tj. A(L) L), to L również jest podprzestrzenią niezmienniczą. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 17 / 25

83 Twierdzenie spektralne dla operatorów hermitowskich Twierdzenie 3 Niech V będzie przestrzenią euklidesową bądź unitarną, dim V = n. Jeżeli operator A L (V, V ) jest hermitowski, to istnieje baza ortonormalna przestrzeni V złożona z wektorów własnych operatora A, a zatem macierz tego operatora w tej bazie jest diagonalna. Ponadto elementy tej macierzy (wartości własne) są liczbami rzeczywistymi. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 18 / 25

84 Twierdzenie spektralne dla operatorów hermitowskich Twierdzenie 3 Niech V będzie przestrzenią euklidesową bądź unitarną, dim V = n. Jeżeli operator A L (V, V ) jest hermitowski, to istnieje baza ortonormalna przestrzeni V złożona z wektorów własnych operatora A, a zatem macierz tego operatora w tej bazie jest diagonalna. Ponadto elementy tej macierzy (wartości własne) są liczbami rzeczywistymi. Czy da się udowodnić takie twierdzenie spektralne dla szerszej klasy operatorów? Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 18 / 25

85 Twierdzenie spektralne dla operatorów hermitowskich Twierdzenie 3 Niech V będzie przestrzenią euklidesową bądź unitarną, dim V = n. Jeżeli operator A L (V, V ) jest hermitowski, to istnieje baza ortonormalna przestrzeni V złożona z wektorów własnych operatora A, a zatem macierz tego operatora w tej bazie jest diagonalna. Ponadto elementy tej macierzy (wartości własne) są liczbami rzeczywistymi. Czy da się udowodnić takie twierdzenie spektralne dla szerszej klasy operatorów? Nie. Postać diagonalna macierzy w pewnej bazie ortonormalnej, z rzeczywistymi elementami na przekątnej, wymusza, że operator jest hermitowski. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 18 / 25

86 Twierdzenie spektralne dla operatorów hermitowskich Twierdzenie 3 Niech V będzie przestrzenią euklidesową bądź unitarną, dim V = n. Jeżeli operator A L (V, V ) jest hermitowski, to istnieje baza ortonormalna przestrzeni V złożona z wektorów własnych operatora A, a zatem macierz tego operatora w tej bazie jest diagonalna. Ponadto elementy tej macierzy (wartości własne) są liczbami rzeczywistymi. Czy da się udowodnić takie twierdzenie spektralne dla szerszej klasy operatorów? Nie. Postać diagonalna macierzy w pewnej bazie ortonormalnej, z rzeczywistymi elementami na przekątnej, wymusza, że operator jest hermitowski. A co, jeżeli elementy na przekątnej niekoniecznie są rzeczywiste? Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 18 / 25

87 Twierdzenie spektralne dla operatorów normalnych Niech V będzie przestrzenią unitarną (a więc nad ciałem C) i załóżmy, że operator A L (V, V ) jest diagonalizowalny w pewnej bazie ortonormalnej (e 1,..., e n ). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 19 / 25

88 Twierdzenie spektralne dla operatorów normalnych Niech V będzie przestrzenią unitarną (a więc nad ciałem C) i załóżmy, że operator A L (V, V ) jest diagonalizowalny w pewnej bazie ortonormalnej (e 1,..., e n ). Dla pewnych λ i C mamy więc Ae i = λ i e i dla 1 i n. Określmy operator B L (V, V ) tak, aby B(e i ) = λ i e i dla 1 i n. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 19 / 25

89 Twierdzenie spektralne dla operatorów normalnych Niech V będzie przestrzenią unitarną (a więc nad ciałem C) i załóżmy, że operator A L (V, V ) jest diagonalizowalny w pewnej bazie ortonormalnej (e 1,..., e n ). Dla pewnych λ i C mamy więc Ae i = λ i e i dla 1 i n. Określmy operator B L (V, V ) tak, aby B(e i ) = λ i e i dla 1 i n. Wtedy AB = BA Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 19 / 25

90 Twierdzenie spektralne dla operatorów normalnych Niech V będzie przestrzenią unitarną (a więc nad ciałem C) i załóżmy, że operator A L (V, V ) jest diagonalizowalny w pewnej bazie ortonormalnej (e 1,..., e n ). Dla pewnych λ i C mamy więc Ae i = λ i e i dla 1 i n. Określmy operator B L (V, V ) tak, aby B(e i ) = λ i e i dla 1 i n. Wtedy AB = BA oraz dla 1 i, j n mamy Ae i e j = λ i δ ij = λ j δ ij = e i Be j, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 19 / 25

91 Twierdzenie spektralne dla operatorów normalnych Niech V będzie przestrzenią unitarną (a więc nad ciałem C) i załóżmy, że operator A L (V, V ) jest diagonalizowalny w pewnej bazie ortonormalnej (e 1,..., e n ). Dla pewnych λ i C mamy więc Ae i = λ i e i dla 1 i n. Określmy operator B L (V, V ) tak, aby B(e i ) = λ i e i dla 1 i n. Wtedy AB = BA oraz dla 1 i, j n mamy a zatem B = A. Ae i e j = λ i δ ij = λ j δ ij = e i Be j, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 19 / 25

92 Twierdzenie spektralne dla operatorów normalnych Niech V będzie przestrzenią unitarną (a więc nad ciałem C) i załóżmy, że operator A L (V, V ) jest diagonalizowalny w pewnej bazie ortonormalnej (e 1,..., e n ). Dla pewnych λ i C mamy więc Ae i = λ i e i dla 1 i n. Określmy operator B L (V, V ) tak, aby B(e i ) = λ i e i dla 1 i n. Wtedy AB = BA oraz dla 1 i, j n mamy Ae i e j = λ i δ ij = λ j δ ij = e i Be j, a zatem B = A. To pokazuje, że A musi spełniać warunek: AA = A A. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 19 / 25

93 Twierdzenie spektralne dla operatorów normalnych Niech V będzie przestrzenią unitarną (a więc nad ciałem C) i załóżmy, że operator A L (V, V ) jest diagonalizowalny w pewnej bazie ortonormalnej (e 1,..., e n ). Dla pewnych λ i C mamy więc Ae i = λ i e i dla 1 i n. Określmy operator B L (V, V ) tak, aby B(e i ) = λ i e i dla 1 i n. Wtedy AB = BA oraz dla 1 i, j n mamy Ae i e j = λ i δ ij = λ j δ ij = e i Be j, a zatem B = A. To pokazuje, że A musi spełniać warunek: AA = A A. Twierdzenie 4 Niech V będzie przestrzenią unitarną, dim V = n. Jeżeli operator A L (V, V ) jest normalny, to istnieje baza ortonormalna przestrzeni V złożona z wektorów własnych operatora A, a zatem macierz tego operatora w tej bazie jest diagonalna. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 19 / 25

94 Zastosowanie w statystyce PCA Principal Component Analysis (Hotelling, 1933) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 20 / 25

95 Zastosowanie w statystyce PCA Principal Component Analysis (Hotelling, 1933) Rozważamy p-wymiarowy wektor zmiennych losowych x = [X 1,..., X p ] T oraz n-elementowy zbiór próbek (obserwacji), zapisany w postaci macierzy x 11 x x 1n X = x p1 x p2... x pn Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 20 / 25

96 Zastosowanie w statystyce PCA Principal Component Analysis (Hotelling, 1933) Rozważamy p-wymiarowy wektor zmiennych losowych x = [X 1,..., X p ] T oraz n-elementowy zbiór próbek (obserwacji), zapisany w postaci macierzy x 11 x x 1n X = x p1 x p2... x pn Niech Σ = Cov(x) będzie p p macierzą kowariancji (estymowaną z danej próby odpowiednim estymatorem nieobciążonym). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 20 / 25

97 Zastosowanie w statystyce PCA Principal Component Analysis (Hotelling, 1933) Rozważamy p-wymiarowy wektor zmiennych losowych x = [X 1,..., X p ] T oraz n-elementowy zbiór próbek (obserwacji), zapisany w postaci macierzy x 11 x x 1n X = x p1 x p2... x pn Niech Σ = Cov(x) będzie p p macierzą kowariancji (estymowaną z danej próby odpowiednim estymatorem nieobciążonym). Szukamy takiego wektora a R p, aby wariancja Var(a T x) = a T Σa (rzutu danego wektora losowego na a) była maksymalna. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 20 / 25

98 Zastosowanie w statystyce Macierz Σ jest symetryczna (zatem ma rozkład spektralny) oraz nieujemnie określona, a więc wszystkie jej wartości własne są nieujemne. Zakłada się, że są one w istocie dodatnie (w przeciwnym wypadku można ograniczyć się do mniejszego wektora losowego). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 21 / 25

99 Zastosowanie w statystyce Macierz Σ jest symetryczna (zatem ma rozkład spektralny) oraz nieujemnie określona, a więc wszystkie jej wartości własne są nieujemne. Zakłada się, że są one w istocie dodatnie (w przeciwnym wypadku można ograniczyć się do mniejszego wektora losowego). Jeżeli (v 1,..., v n ) jest ciągiem kolejnych składowych głównych (tj. wzajemnie nieskorelowanych kombinacji oryginalnych zmiennych, które maksymalizują wariancje Var(v T i x)), to v i jest i-tym wektorem z bazy ortonormalnej w rozkładzie spektralnym macierzy (operatora) Σ. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 21 / 25

100 Rys historyczny (część 2a) 1906: Hilbert, inspirowany pracami Fredholma na temat równań całkowych, dowodzi pierwszej nieskończenie wymiarowej wersji twierdzenia spektralnego dla symetrycznych operatorów całkowych na L 2. Po raz pierwszy definiuje ciągłe spektrum dla operatorów, wprowadza też do powszechnego obiegu termin spektrum. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 22 / 25

101 Rys historyczny (część 2a) 1906: Hilbert, inspirowany pracami Fredholma na temat równań całkowych, dowodzi pierwszej nieskończenie wymiarowej wersji twierdzenia spektralnego dla symetrycznych operatorów całkowych na L 2. Po raz pierwszy definiuje ciągłe spektrum dla operatorów, wprowadza też do powszechnego obiegu termin spektrum : Riesz, rozważając operatory na przestrzeni l 2, wprowadza pojęcie operatora zwartego i dowodzi twierdzenia spektralnego dla zwartych operatorów samosprzężonych. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 22 / 25

102 Rys historyczny (część 2a) 1906: Hilbert, inspirowany pracami Fredholma na temat równań całkowych, dowodzi pierwszej nieskończenie wymiarowej wersji twierdzenia spektralnego dla symetrycznych operatorów całkowych na L 2. Po raz pierwszy definiuje ciągłe spektrum dla operatorów, wprowadza też do powszechnego obiegu termin spektrum : Riesz, rozważając operatory na przestrzeni l 2, wprowadza pojęcie operatora zwartego i dowodzi twierdzenia spektralnego dla zwartych operatorów samosprzężonych. 1925: Born zauważa, że wzory otrzymane przez Heisenberga, opisujące widmo wodoru, wynikają z mnożenia nieskończonych macierzy. Born: Heisenberg nie mógł odkryć mechaniki macierzowej, bo w 1925 r. nie wiedział, co to jest macierz. Born, Heisenberg i Jordan formułują tzw. kwantową mechanikę macierzową. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 22 / 25

103 Rys historyczny (część 2b) : Stone i von Neumann dowodzą ogólną wersję twierdzenia spektralnego, dla operatorów normalnych (nawet nieograniczonych). Co więcej, von Neumann daje pierwsze ścisłe sformułowanie mechaniki kwantowej: Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 23 / 25

104 Rys historyczny (część 2b) : Stone i von Neumann dowodzą ogólną wersję twierdzenia spektralnego, dla operatorów normalnych (nawet nieograniczonych). Co więcej, von Neumann daje pierwsze ścisłe sformułowanie mechaniki kwantowej: układ fizyczny przestrzeń Hilberta (H, ) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 23 / 25

105 Rys historyczny (część 2b) : Stone i von Neumann dowodzą ogólną wersję twierdzenia spektralnego, dla operatorów normalnych (nawet nieograniczonych). Co więcej, von Neumann daje pierwsze ścisłe sformułowanie mechaniki kwantowej: układ fizyczny przestrzeń Hilberta (H, ) wielkości fizyczne ( obserwable ) operatory hermitowskie na H (na ogół nieograniczone i zdefiniowane tylko na gęstym podzbiorze) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 23 / 25

106 Rys historyczny (część 2b) : Stone i von Neumann dowodzą ogólną wersję twierdzenia spektralnego, dla operatorów normalnych (nawet nieograniczonych). Co więcej, von Neumann daje pierwsze ścisłe sformułowanie mechaniki kwantowej: układ fizyczny przestrzeń Hilberta (H, ) wielkości fizyczne ( obserwable ) operatory hermitowskie na H (na ogół nieograniczone i zdefiniowane tylko na gęstym podzbiorze) stany układu wektory przestrzeni H Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 23 / 25

107 Rys historyczny (część 2b) : Stone i von Neumann dowodzą ogólną wersję twierdzenia spektralnego, dla operatorów normalnych (nawet nieograniczonych). Co więcej, von Neumann daje pierwsze ścisłe sformułowanie mechaniki kwantowej: układ fizyczny przestrzeń Hilberta (H, ) wielkości fizyczne ( obserwable ) operatory hermitowskie na H (na ogół nieograniczone i zdefiniowane tylko na gęstym podzbiorze) stany układu wektory przestrzeni H E P A (E)h h jest rozkładem prawdopodobieństwa, że w stanie h H wielkość obserwowana A przybierze wartość ze zbioru E R. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 23 / 25

108 Rys historyczny (część 2b) : Stone i von Neumann dowodzą ogólną wersję twierdzenia spektralnego, dla operatorów normalnych (nawet nieograniczonych). Co więcej, von Neumann daje pierwsze ścisłe sformułowanie mechaniki kwantowej: układ fizyczny przestrzeń Hilberta (H, ) wielkości fizyczne ( obserwable ) operatory hermitowskie na H (na ogół nieograniczone i zdefiniowane tylko na gęstym podzbiorze) stany układu wektory przestrzeni H E P A (E)h h jest rozkładem prawdopodobieństwa, że w stanie h H wielkość obserwowana A przybierze wartość ze zbioru E R. P A nazywamy miarą spektralną operatora A. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 23 / 25

109 Twierdzenie spektralne w B(H ) Niech Σ będzie σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω. Miarą spektralną nazywamy funkcję P : Σ B(H ) spełniającą warunki: Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 24 / 25

110 Twierdzenie spektralne w B(H ) Niech Σ będzie σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω. Miarą spektralną nazywamy funkcję P : Σ B(H ) spełniającą warunki: (i) P( ) = 0, P(Ω) = I, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 24 / 25

111 Twierdzenie spektralne w B(H ) Niech Σ będzie σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω. Miarą spektralną nazywamy funkcję P : Σ B(H ) spełniającą warunki: (i) P( ) = 0, P(Ω) = I, (ii) P(E) jest samosprzężonym rzutem w H dla E Σ, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 24 / 25

112 Twierdzenie spektralne w B(H ) Niech Σ będzie σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω. Miarą spektralną nazywamy funkcję P : Σ B(H ) spełniającą warunki: (i) P( ) = 0, P(Ω) = I, (ii) P(E) jest samosprzężonym rzutem w H dla E Σ, (iii) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 )P(E 2 ) dla E 1, E 2 Σ, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 24 / 25

113 Twierdzenie spektralne w B(H ) Niech Σ będzie σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω. Miarą spektralną nazywamy funkcję P : Σ B(H ) spełniającą warunki: (i) P( ) = 0, P(Ω) = I, (ii) P(E) jest samosprzężonym rzutem w H dla E Σ, (iii) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 )P(E 2 ) dla E 1, E 2 Σ, (iv) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) dla rozłącznych E 1, E 2 Σ, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 24 / 25

114 Twierdzenie spektralne w B(H ) Niech Σ będzie σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω. Miarą spektralną nazywamy funkcję P : Σ B(H ) spełniającą warunki: (i) P( ) = 0, P(Ω) = I, (ii) P(E) jest samosprzężonym rzutem w H dla E Σ, (iii) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 )P(E 2 ) dla E 1, E 2 Σ, (iv) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) dla rozłącznych E 1, E 2 Σ, (v) funkcja Σ E P(E)x y jest miarą zespoloną dla wszelkich x, y H. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 24 / 25

115 Twierdzenie spektralne w B(H ) Niech Σ będzie σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω. Miarą spektralną nazywamy funkcję P : Σ B(H ) spełniającą warunki: (i) P( ) = 0, P(Ω) = I, (ii) P(E) jest samosprzężonym rzutem w H dla E Σ, (iii) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 )P(E 2 ) dla E 1, E 2 Σ, (iv) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) dla rozłącznych E 1, E 2 Σ, (v) funkcja Σ E P(E)x y jest miarą zespoloną dla wszelkich x, y H. Twierdzenie 5 Dla każdego operatora normalnego A B(H ) istnieje dokładnie jedna miara spektralna P A, określona na podzbiorach borelowskich spektrum σ(t ), dla której T (x) y = σ(t ) λ d P A (λ)x y. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 24 / 25

116 Twierdzenie spektralne w B(H ) T = σ(t ) λ dp A (λ) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 25 / 25

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Zadania egzaminacyjne

Zadania egzaminacyjne Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do komputerów kwantowych

Wstęp do komputerów kwantowych Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Podstawy matematyczne 1 Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. 1. Macierze.

Algebra liniowa. 1. Macierze. Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy

Bardziej szczegółowo

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5 wstęp 1 i wiadomości wstępne 5 1 Zbiory i zdania............................ 5 Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7. Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30 Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA M2 Nazwa w języku angielskim ALGEBRA M2 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Specjalność (jeśli

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XV: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 2 lutego 2015 r. Standaryzacja danych Standaryzacja danych Własności macierzy korelacji Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie.

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )

Bardziej szczegółowo

Szczegółowa lista zagadnień kursu Algebra z geometrią MT obowiązujących na egzamin ustny w roku akademickim 2018/19

Szczegółowa lista zagadnień kursu Algebra z geometrią MT obowiązujących na egzamin ustny w roku akademickim 2018/19 Szczegółowa lista zagadnień kursu Algebra z geometrią MT obowiązujących na egzamin ustny w roku akademickim 2018/19 1. Zbiory, zdania i formy zdaniowe. 2. Operacje logiczne i podstawowe prawa rachunku

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład XII: Zagadnienia redukcji wymiaru danych 12 maja 2014 Definicja Niech X będzie zmienną losową o skończonym drugim momencie. Standaryzacją zmiennej X nazywamy zmienną losową Z = X EX Var (X ). Definicja

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH

Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra

Bardziej szczegółowo

Postać Jordana macierzy

Postać Jordana macierzy Rozdział 8 Postać Jordana macierzy Niech F = R lub F = C Macierz J r λ) F r r postaci λ 1 0 0 0 λ 1 J r λ) = 0 λ 1 0 0 λ gdzie λ F nazywamy klatką Jordana stopnia r Oczywiście J 1 λ) = [λ Definicja 81

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1 Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna 1.

Analiza funkcjonalna 1. Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Nazwa Algebra liniowa z geometrią Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot Kod Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I

2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Hilberta

Informacja o przestrzeniach Hilberta Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1 Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Modelu Standardowego

Wstęp do Modelu Standardowego Wstęp do Modelu Standardowego Plan (Uzupełnienie matematyczne II) Abstrakcyjna przestrzeń stanów Podstawowe własności Iloczyn skalarny amplitudy prawdopodobieństwa Operatory i ich hermitowskość Wektory

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Wykłady z Mechaniki Kwantowej

Wykłady z Mechaniki Kwantowej Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 4 Najpiękniejszą rzeczą, jakiej możemy doświadczyć jest oczarowanie tajemnicą.

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

Własności wyznacznika

Własności wyznacznika Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach. WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Bardziej szczegółowo

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania

Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,

Bardziej szczegółowo

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.

Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie

Bardziej szczegółowo

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26 Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Geometria Lista 0 Zadanie 1

Geometria Lista 0 Zadanie 1 Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Endomorfizmy liniowe

Endomorfizmy liniowe Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2 Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =

Bardziej szczegółowo

1 Podobieństwo macierzy

1 Podobieństwo macierzy GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa

Bardziej szczegółowo

z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ

z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) = Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j = 11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie Hilberta

1 Przestrzenie Hilberta M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Wykład 14. Elementy algebry macierzy Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe

Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Definicja 1 (Iloczyn skalarny). Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany

Bardziej szczegółowo

1 Ciągłe operatory liniowe

1 Ciągłe operatory liniowe 1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego

Bardziej szczegółowo

2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe

2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe 2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe Rozważamy teraz przestrzenie unormowane X skończenie wymiarowe. Załóżmy, że dimx = m. Niech dalej e,e 2,...,e m będzie bazą algebraiczną tej przestrzeni

Bardziej szczegółowo

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań. Analiza stabilności rozwiązań stanowi ważną część jakościowej teorii równań różniczkowych. Jej istotą jest poszukiwanie odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska

ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011

Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011 Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 4 listopada 2011 W trakcie poprzedniego wykładu zdefiniowaliśmy pojęcie k-kowektora na przestrzeni wektorowej. Wprowadziliśmy także iloczyn zewnętrzny wielokowektorów

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Reprezentacje sygnału Jak reprezentujemy sygnał: wybieramy sygnały wzorcowe (bazę) rozwijamy sygnał w wybranej

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane

Bardziej szczegółowo

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L

Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Lista nr 1 - Liczby zespolone

Lista nr 1 - Liczby zespolone Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018

DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo