Twierdzenie spektralne

Transkrypt

1 Twierdzenie spektralne Tomasz Kochanek Uniwersytet Śląski Instytut Matematyki XXXI Sesja KNM UŚ Motywacje, intuicje, konstrukcje Szczyrk listopada 2011 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 1 / 25

2 Czym jest twierdzenie spektralne? W algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej twierdzenie podające warunki na to, aby dany operator dało się rozłożyć na sumę prostych (i wzajemnie ortogonalnych ) operatorów. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 2 / 25

3 Czym jest twierdzenie spektralne? W algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej twierdzenie podające warunki na to, aby dany operator dało się rozłożyć na sumę prostych (i wzajemnie ortogonalnych ) operatorów. Jakie operatory uznajemy za proste? Jak rozumieć wzajemną ortogonalność operatorów? Kiedy można dokonać takiego rozkładu? Jakie są tego interpretacje i zastosowania? Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 2 / 25

4 Rys historyczny (część 1a) XVIII wiek: początki teorii spektralnej, motywowanej problemami fizyki (głownie dotyczącymi mechaniki ciał niebieskich), które prowadziły do układu liniowych równań różniczkowych i problemu istnienia wartości własnych. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 3 / 25

5 Rys historyczny (część 1a) XVIII wiek: początki teorii spektralnej, motywowanej problemami fizyki (głownie dotyczącymi mechaniki ciał niebieskich), które prowadziły do układu liniowych równań różniczkowych i problemu istnienia wartości własnych. Dzięki pracom Lagrange a w XVIII w. potrafiono sobie radzić z przypadkiem parami różnych pierwiastków wielomianu charakterystycznego (różne wartości własne), ale trudności sprawiały pierwiastki wielokrotne. Co więcej, problemy stabilności dla równań rózniczkowych wymagały ustalenia, kiedy wartości własne są rzeczywiste. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 3 / 25

6 Rys historyczny (część 1a) XVIII wiek: początki teorii spektralnej, motywowanej problemami fizyki (głownie dotyczącymi mechaniki ciał niebieskich), które prowadziły do układu liniowych równań różniczkowych i problemu istnienia wartości własnych. Dzięki pracom Lagrange a w XVIII w. potrafiono sobie radzić z przypadkiem parami różnych pierwiastków wielomianu charakterystycznego (różne wartości własne), ale trudności sprawiały pierwiastki wielokrotne. Co więcej, problemy stabilności dla równań rózniczkowych wymagały ustalenia, kiedy wartości własne są rzeczywiste : Cauchy, Jacobi, Jordan, Kronecker, Weierstrass dokonują formalizacji tych problemów do postaci czysto matematycznej. Budują teorię spektralną dla form dwuliniowych i kwadratowych. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 3 / 25

7 Rys historyczny (część 1b) 1829: Cauchy w swojej pracy, Sur l équation à l aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires des mouvements des planètes, Oeuvres (2) 9, podaje pierwszy poprawny dowód tego, że każda wartość własna symetrycznej macierzy rzeczywistej n n jest liczbą rzeczywistą. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 4 / 25

8 Rys historyczny (część 1b) 1829: Cauchy w swojej pracy, Sur l équation à l aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires des mouvements des planètes, Oeuvres (2) 9, podaje pierwszy poprawny dowód tego, że każda wartość własna symetrycznej macierzy rzeczywistej n n jest liczbą rzeczywistą. Lagrange i Laplace długo nie zdawali sobie sprawy, że symetria współczynników w ich równaniach może zagwarantować, że wartości własne są rzeczywiste. Pierwszy uświadomił to sobie Laplace, ale podał błędny dowód. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 4 / 25

9 Rys historyczny (część 1b) 1829: Cauchy w swojej pracy, Sur l équation à l aide de laquelle on détermine les inégalités séculaires des mouvements des planètes, Oeuvres (2) 9, podaje pierwszy poprawny dowód tego, że każda wartość własna symetrycznej macierzy rzeczywistej n n jest liczbą rzeczywistą. Lagrange i Laplace długo nie zdawali sobie sprawy, że symetria współczynników w ich równaniach może zagwarantować, że wartości własne są rzeczywiste. Pierwszy uświadomił to sobie Laplace, ale podał błędny dowód. Inspiracją dla Cauchy ego była jednak praca Lagrange a o formach kwadratowych trzech zmiennych (które opisywały ruch obrotowy ciał sztywnych). Idea Lagrange: jakie warunki muszą spełniać podstawienia liniowe zmiennych x, y, z, aby nie zmienić sumy x 2 + y 2 + z 2? Wielomian stopnia 3 ma zawsze pierwiastek rzeczywisty! Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 4 / 25

10 Rys historyczny (część 1c) Cauchy był w stanie uogólnić wynik Lagrange a, bo zbudował w 1812 r. systematyczną teorię wyznaczników. Nie zdawał sobie jednak sprawy ze związku swojego wyniku z rozwiązywaniem równań różniczkowych. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 5 / 25

11 Rys historyczny (część 1c) Cauchy był w stanie uogólnić wynik Lagrange a, bo zbudował w 1812 r. systematyczną teorię wyznaczników. Nie zdawał sobie jednak sprawy ze związku swojego wyniku z rozwiązywaniem równań różniczkowych. Tytuł pracy Cauchy ego z 1829 r. był wynikiem namowy Sturma, który pierwszy zrozumiał podobieństwo między różnymi problemami mechaniki i ich związek z pracą Cauchy ego. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 5 / 25

12 Rys historyczny (część 1c) Cauchy był w stanie uogólnić wynik Lagrange a, bo zbudował w 1812 r. systematyczną teorię wyznaczników. Nie zdawał sobie jednak sprawy ze związku swojego wyniku z rozwiązywaniem równań różniczkowych. Tytuł pracy Cauchy ego z 1829 r. był wynikiem namowy Sturma, który pierwszy zrozumiał podobieństwo między różnymi problemami mechaniki i ich związek z pracą Cauchy ego : Weierstrass dokonuje głębokiej analizy rozkładu wielomianu charakterystycznego i wprowadza tzw. postać kanoniczną Jordana. Klasyfikuje macierze (podobne) i formy dwuliniowe za pomocą postaci kanonicznej (niezależnie od Jordana). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 5 / 25

13 Przestrzenie euklidesowe W tej części wykładu ograniczamy się do skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych nad ciałem K {R, C}. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 6 / 25

14 Przestrzenie euklidesowe W tej części wykładu ograniczamy się do skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych nad ciałem K {R, C}. Definicja 1 Przestrzenią euklidesową nazywamy przestrzeń wektorową V nad ciałem R wyposażoną w formę dwuliniową f : V V R, która jest: Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 6 / 25

15 Przestrzenie euklidesowe W tej części wykładu ograniczamy się do skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych nad ciałem K {R, C}. Definicja 1 Przestrzenią euklidesową nazywamy przestrzeń wektorową V nad ciałem R wyposażoną w formę dwuliniową f : V V R, która jest: (i) symetryczna (tzn. f (x, y) = f (y, x)), Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 6 / 25

16 Przestrzenie euklidesowe W tej części wykładu ograniczamy się do skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych nad ciałem K {R, C}. Definicja 1 Przestrzenią euklidesową nazywamy przestrzeń wektorową V nad ciałem R wyposażoną w formę dwuliniową f : V V R, która jest: (i) symetryczna (tzn. f (x, y) = f (y, x)), (ii) dodatnio określona (tzn. f (x, x) > 0 dla x 0). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 6 / 25

17 Przestrzenie euklidesowe W tej części wykładu ograniczamy się do skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych nad ciałem K {R, C}. Definicja 1 Przestrzenią euklidesową nazywamy przestrzeń wektorową V nad ciałem R wyposażoną w formę dwuliniową f : V V R, która jest: (i) symetryczna (tzn. f (x, y) = f (y, x)), (ii) dodatnio określona (tzn. f (x, x) > 0 dla x 0). Każda symetryczna forma dwuliniowa f na przestrzeni V nad ciałem K (wystarczy założyć, że chark 2) ma bazę kanoniczną, tj. taką bazę (e i ) n i=1, że dla x = i x ie i, y = i y ie i mamy f (x, y) = i α ix i y i, gdzie α i K (metoda Lagrange a lub Jacobiego). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 6 / 25

18 Przestrzenie euklidesowe Każda forma kwadratowa q(x) = f (x, x) rzędu r n ma w pewnej bazie postać q(x) = λ 1 x λ r x 2 r (λ i 0). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 7 / 25

19 Przestrzenie euklidesowe Każda forma kwadratowa q(x) = f (x, x) rzędu r n ma w pewnej bazie postać q(x) = λ 1 x λ r x 2 r (λ i 0). W przypadku K = R możemy napisać q(x) = x x 2 s x 2 s+1... x 2 r i parę (s, r) nazywamy sygnaturą formy q. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 7 / 25

20 Przestrzenie euklidesowe Każda forma kwadratowa q(x) = f (x, x) rzędu r n ma w pewnej bazie postać q(x) = λ 1 x λ r x 2 r (λ i 0). W przypadku K = R możemy napisać q(x) = x x 2 s x 2 s+1... x 2 r i parę (s, r) nazywamy sygnaturą formy q. Dla przestrzeni euklidesowej mamy oczywiście postać kanoniczną q(x) = x x 2 n, skąd w szczególności wynika, że każda przestrzeń euklidesowa ma bazę ortonormalną i każde dwie przestrzenie euklidesowe (V, ) i (V, ) są izomorficzne (tj. istnieje taki izomorfizm ϕ: V V, że x y = ϕ(x) ϕ(y) dla x, y V ). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 7 / 25

21 Grupa O(n) macierzy ortogonalnych Symbolem O(n) oznaczamy grupę macierzy ortogonalnych wymiaru n n, złożoną z rzeczywistych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 8 / 25

22 Grupa O(n) macierzy ortogonalnych Symbolem O(n) oznaczamy grupę macierzy ortogonalnych wymiaru n n, złożoną z rzeczywistych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: (i) n r=1 a ri a rj = 0 (kolumny tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w R n ); Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 8 / 25

23 Grupa O(n) macierzy ortogonalnych Symbolem O(n) oznaczamy grupę macierzy ortogonalnych wymiaru n n, złożoną z rzeczywistych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: (i) n r=1 a ri a rj = 0 (kolumny tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w R n ); (ii) n r=1 a ir a jr = 0 (wiersze tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w R n ); Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 8 / 25

24 Grupa O(n) macierzy ortogonalnych Symbolem O(n) oznaczamy grupę macierzy ortogonalnych wymiaru n n, złożoną z rzeczywistych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: (i) n r=1 a ri a rj = 0 (kolumny tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w R n ); (ii) n r=1 a ir a jr = 0 (wiersze tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w R n ); (iii) AA T = I (czyli także A T A = I ); Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 8 / 25

25 Grupa O(n) macierzy ortogonalnych Symbolem O(n) oznaczamy grupę macierzy ortogonalnych wymiaru n n, złożoną z rzeczywistych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: (i) n r=1 a ri a rj = 0 (kolumny tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w R n ); (ii) n r=1 a ir a jr = 0 (wiersze tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w R n ); (iii) AA T = I (czyli także A T A = I ); (iv) A jest macierzą przejścia między pewnymi dwoma bazami ortonormalnymi przestrzeni euklidesowej wymiaru n. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 8 / 25

26 Grupa O(n) macierzy ortogonalnych Symbolem O(n) oznaczamy grupę macierzy ortogonalnych wymiaru n n, złożoną z rzeczywistych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: (i) n r=1 a ri a rj = 0 (kolumny tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w R n ); (ii) n r=1 a ir a jr = 0 (wiersze tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w R n ); (iii) AA T = I (czyli także A T A = I ); (iv) A jest macierzą przejścia między pewnymi dwoma bazami ortonormalnymi przestrzeni euklidesowej wymiaru n. Jeżeli A O(n), to det(a) = ±1. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 8 / 25

27 Przestrzenie unitarne Definicja 2 Przestrzenią unitarną nazywamy przestrzeń wektorową nad ciałem C wyposażoną w formę f : V V C, która jest: Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 9 / 25

28 Przestrzenie unitarne Definicja 2 Przestrzenią unitarną nazywamy przestrzeń wektorową nad ciałem C wyposażoną w formę f : V V C, która jest: (i) półtoraliniowa (tzn. f (, y) jest liniowe, f (x, ) jest addytywne oraz f (x, λy) = λf (x, y)), Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 9 / 25

29 Przestrzenie unitarne Definicja 2 Przestrzenią unitarną nazywamy przestrzeń wektorową nad ciałem C wyposażoną w formę f : V V C, która jest: (i) półtoraliniowa (tzn. f (, y) jest liniowe, f (x, ) jest addytywne oraz f (x, λy) = λf (x, y)), (ii) hermitowska (tzn. f (x, y) = f (y, x)), Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 9 / 25

30 Przestrzenie unitarne Definicja 2 Przestrzenią unitarną nazywamy przestrzeń wektorową nad ciałem C wyposażoną w formę f : V V C, która jest: (i) półtoraliniowa (tzn. f (, y) jest liniowe, f (x, ) jest addytywne oraz f (x, λy) = λf (x, y)), (ii) hermitowska (tzn. f (x, y) = f (y, x)), (iii) dodatnio określona (tzn. f (x, x) > 0 dla x V ). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 9 / 25

31 Przestrzenie unitarne Definicja 2 Przestrzenią unitarną nazywamy przestrzeń wektorową nad ciałem C wyposażoną w formę f : V V C, która jest: (i) półtoraliniowa (tzn. f (, y) jest liniowe, f (x, ) jest addytywne oraz f (x, λy) = λf (x, y)), (ii) hermitowska (tzn. f (x, y) = f (y, x)), (iii) dodatnio określona (tzn. f (x, x) > 0 dla x V ). Forma hermitowska f : V V C ma w dowolnej bazie macierz F, spełniająca warunek F = F = F T. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 9 / 25

32 Grupa U(n) macierzy unitarnych Symbolem U(n) oznaczamy grupę macierzy unitarnych wymiaru n n, złożoną z zespolonych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 10 / 25

33 Grupa U(n) macierzy unitarnych Symbolem U(n) oznaczamy grupę macierzy unitarnych wymiaru n n, złożoną z zespolonych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: (i) n r=1 a ri a rj = 0 (kolumny tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w C n ); Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 10 / 25

34 Grupa U(n) macierzy unitarnych Symbolem U(n) oznaczamy grupę macierzy unitarnych wymiaru n n, złożoną z zespolonych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: (i) n r=1 a ri a rj = 0 (kolumny tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w C n ); (ii) n r=1 a ir a jr = 0 (wiersze tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w C n ); Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 10 / 25

35 Grupa U(n) macierzy unitarnych Symbolem U(n) oznaczamy grupę macierzy unitarnych wymiaru n n, złożoną z zespolonych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: (i) n r=1 a ri a rj = 0 (kolumny tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w C n ); (ii) n r=1 a ir a jr = 0 (wiersze tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w C n ); (iii) AA = I (czyli także A A = I ); Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 10 / 25

36 Grupa U(n) macierzy unitarnych Symbolem U(n) oznaczamy grupę macierzy unitarnych wymiaru n n, złożoną z zespolonych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: (i) n r=1 a ri a rj = 0 (kolumny tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w C n ); (ii) n r=1 a ir a jr = 0 (wiersze tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w C n ); (iii) AA = I (czyli także A A = I ); (iv) A jest macierzą przejścia między pewnymi dwoma bazami ortonormalnymi przestrzeni unitarnej wymiaru n. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 10 / 25

37 Grupa U(n) macierzy unitarnych Symbolem U(n) oznaczamy grupę macierzy unitarnych wymiaru n n, złożoną z zespolonych macierzy A = (a ij ), spełniających jeden z równoważnych warunków: (i) n r=1 a ri a rj = 0 (kolumny tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w C n ); (ii) n r=1 a ir a jr = 0 (wiersze tworzą układ ortonormalny względem standardowego iloczynu skalarnego w C n ); (iii) AA = I (czyli także A A = I ); (iv) A jest macierzą przejścia między pewnymi dwoma bazami ortonormalnymi przestrzeni unitarnej wymiaru n. Jeżeli A U(n), to det(a) = 1. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 10 / 25

38 Grupy O(n) i U(n) przestrzenie euklidesowe przejście między bazami ortonormalnymi: Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 11 / 25

39 Grupy O(n) i U(n) przestrzenie euklidesowe przejście między bazami ortonormalnymi: macierze grupy O(n); Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 11 / 25

40 Grupy O(n) i U(n) przestrzenie euklidesowe przejście między bazami ortonormalnymi: macierze grupy O(n); przestrzenie unitarne przejście między bazami ortonormalnymi: Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 11 / 25

41 Grupy O(n) i U(n) przestrzenie euklidesowe przejście między bazami ortonormalnymi: macierze grupy O(n); przestrzenie unitarne przejście między bazami ortonormalnymi: macierze grupy U(n); Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 11 / 25

42 Grupy O(n) i U(n) przestrzenie euklidesowe przejście między bazami ortonormalnymi: macierze grupy O(n); przestrzenie unitarne przejście między bazami ortonormalnymi: macierze grupy U(n); SO(n) = {A O(n) : det(a) = 1}; Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 11 / 25

43 Grupy O(n) i U(n) przestrzenie euklidesowe przejście między bazami ortonormalnymi: macierze grupy O(n); przestrzenie unitarne przejście między bazami ortonormalnymi: macierze grupy U(n); SO(n) = {A O(n) : det(a) = 1}; SU(n) = {A U(n) : det(a) = 1}; Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 11 / 25

44 Grupy O(n) i U(n) przestrzenie euklidesowe przejście między bazami ortonormalnymi: macierze grupy O(n); przestrzenie unitarne przejście między bazami ortonormalnymi: macierze grupy U(n); SO(n) = {A O(n) : det(a) = 1}; SU(n) = {A U(n) : det(a) = 1}; SO(n) = O(n) SL n (R) SU(n) = U(n) SL n (C). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 11 / 25

45 Operator sprzężony (ujęcie pierwsze) Niech V będzie albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, dim V = n. Oznaczamy V = L (V, K) (przestrzeń dualna). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 12 / 25

46 Operator sprzężony (ujęcie pierwsze) Niech V będzie albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, dim V = n. Oznaczamy V = L (V, K) (przestrzeń dualna). Definicja 3a Dla każdego operatora liniowego A L (V, V ) definiujemy operator A L (V, V ) wzorem (x, A x ) = (Ax, x ) dla x V, x V i nazywamy go operatorem sprzężonym do A. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 12 / 25

47 Operator sprzężony (ujęcie pierwsze) Niech V będzie albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, dim V = n. Oznaczamy V = L (V, K) (przestrzeń dualna). Definicja 3a Dla każdego operatora liniowego A L (V, V ) definiujemy operator A L (V, V ) wzorem (x, A x ) = (Ax, x ) dla x V, x V i nazywamy go operatorem sprzężonym do A. Jeżeli operator A ma w pewnej bazie (e 1,..., e n ) przestrzeni V macierz A, to operator A ma w bazie dualnej (e 1,..., e n) macierz A T. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 12 / 25

48 Operator sprzężony (ujęcie pierwsze) Niech V będzie albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, dim V = n. Oznaczamy V = L (V, K) (przestrzeń dualna). Definicja 3a Dla każdego operatora liniowego A L (V, V ) definiujemy operator A L (V, V ) wzorem (x, A x ) = (Ax, x ) dla x V, x V i nazywamy go operatorem sprzężonym do A. Jeżeli operator A ma w pewnej bazie (e 1,..., e n ) przestrzeni V macierz A, to operator A ma w bazie dualnej (e 1,..., e n) macierz A T. Ponadto A = A, jeżeli tylko dokonamy naturalnego utożsamienia V V. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 12 / 25

49 Operator sprzężony (ujęcie drugie) Mówiąc o formie θ-liniowej mamy na myśli: θ = 2, gdy rozważana przestrzeń jest euklidesowa, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 13 / 25

50 Operator sprzężony (ujęcie drugie) Mówiąc o formie θ-liniowej mamy na myśli: θ = 2, gdy rozważana przestrzeń jest euklidesowa, θ = 3/2, gdy jest to przestrzeń unitarna. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 13 / 25

51 Operator sprzężony (ujęcie drugie) Mówiąc o formie θ-liniowej mamy na myśli: θ = 2, gdy rozważana przestrzeń jest euklidesowa, θ = 3/2, gdy jest to przestrzeń unitarna. Oznaczamy symbolem L θ (V, K) przestrzeń form θ-liniowych. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 13 / 25

52 Operator sprzężony (ujęcie drugie) Mówiąc o formie θ-liniowej mamy na myśli: θ = 2, gdy rozważana przestrzeń jest euklidesowa, θ = 3/2, gdy jest to przestrzeń unitarna. Oznaczamy symbolem L θ (V, K) przestrzeń form θ-liniowych. Rozważmy odwzorowanie L (V, V ) A f A L θ (V, K) dane wzorem f A (x, y) = Ax y. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 13 / 25

53 Operator sprzężony (ujęcie drugie) Mówiąc o formie θ-liniowej mamy na myśli: θ = 2, gdy rozważana przestrzeń jest euklidesowa, θ = 3/2, gdy jest to przestrzeń unitarna. Oznaczamy symbolem L θ (V, K) przestrzeń form θ-liniowych. Rozważmy odwzorowanie L (V, V ) A f A L θ (V, K) dane wzorem f A (x, y) = Ax y. Jest to izomorfizm liniowy. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 13 / 25

54 Operator sprzężony (ujęcie drugie) Mówiąc o formie θ-liniowej mamy na myśli: θ = 2, gdy rozważana przestrzeń jest euklidesowa, θ = 3/2, gdy jest to przestrzeń unitarna. Oznaczamy symbolem L θ (V, K) przestrzeń form θ-liniowych. Rozważmy odwzorowanie L (V, V ) A f A L θ (V, K) dane wzorem f A (x, y) = Ax y. Jest to izomorfizm liniowy. Przepis na odwzorowanie odwrotne L θ (V, K) f A f L (V, V ): Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 13 / 25

55 Operator sprzężony (ujęcie drugie) Mówiąc o formie θ-liniowej mamy na myśli: θ = 2, gdy rozważana przestrzeń jest euklidesowa, θ = 3/2, gdy jest to przestrzeń unitarna. Oznaczamy symbolem L θ (V, K) przestrzeń form θ-liniowych. Rozważmy odwzorowanie L (V, V ) A f A L θ (V, K) dane wzorem f A (x, y) = Ax y. Jest to izomorfizm liniowy. Przepis na odwzorowanie odwrotne L θ (V, K) f A f L (V, V ): ustalamy bazę ortonormalną przestrzeni V ; Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 13 / 25

56 Operator sprzężony (ujęcie drugie) Mówiąc o formie θ-liniowej mamy na myśli: θ = 2, gdy rozważana przestrzeń jest euklidesowa, θ = 3/2, gdy jest to przestrzeń unitarna. Oznaczamy symbolem L θ (V, K) przestrzeń form θ-liniowych. Rozważmy odwzorowanie L (V, V ) A f A L θ (V, K) dane wzorem f A (x, y) = Ax y. Jest to izomorfizm liniowy. Przepis na odwzorowanie odwrotne L θ (V, K) f A f L (V, V ): ustalamy bazę ortonormalną przestrzeni V ; jeżeli F oznacza macierz formy f w tej bazie, to za A f bierzemy operator o macierzy F T. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 13 / 25

57 Operator sprzężony (ujęcie drugie) Mówiąc o formie θ-liniowej mamy na myśli: θ = 2, gdy rozważana przestrzeń jest euklidesowa, θ = 3/2, gdy jest to przestrzeń unitarna. Oznaczamy symbolem L θ (V, K) przestrzeń form θ-liniowych. Rozważmy odwzorowanie L (V, V ) A f A L θ (V, K) dane wzorem f A (x, y) = Ax y. Jest to izomorfizm liniowy. Przepis na odwzorowanie odwrotne L θ (V, K) f A f L (V, V ): ustalamy bazę ortonormalną przestrzeni V ; jeżeli F oznacza macierz formy f w tej bazie, to za A f bierzemy operator o macierzy F T. Gdyby wziąć za A f operator o macierzy F, to zamiast f (x, y) = A f x y mielibyśmy f (x, y) = x A f y. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 13 / 25

58 Operatory sprzężone (ujęcie drugie) Definicja 3b Istnieją izomorfizmy liniowe L (V, V ) A f A L θ (V, K) oraz L (V, V ) A f A L θ (V, K), spełniające równości f A (x, y) = Ax y = x Ay dla x, y V. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 14 / 25

59 Operatory sprzężone (ujęcie drugie) Definicja 3b Istnieją izomorfizmy liniowe L (V, V ) A f A L θ (V, K) oraz L (V, V ) A f A L θ (V, K), spełniające równości f A (x, y) = Ax y = x Ay dla x, y V. Operator A nazywamy operatorem sprzężonym do A; jego macierz w dowolnej bazie ortonormalnej to sprzężenie hermitowskie A = A T macierzy A operatora A w tej bazie. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 14 / 25

60 Operatory sprzężone (ujęcie drugie) Definicja 3b Istnieją izomorfizmy liniowe L (V, V ) A f A L θ (V, K) oraz L (V, V ) A f A L θ (V, K), spełniające równości f A (x, y) = Ax y = x Ay dla x, y V. Operator A nazywamy operatorem sprzężonym do A; jego macierz w dowolnej bazie ortonormalnej to sprzężenie hermitowskie A = A T macierzy A operatora A w tej bazie. (A + B) = A + B, (αa) = αa, (AB) = B A, A = A Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 14 / 25

61 Specjalne typy operatorów Definicja 4 Niech A L (V, V ), gdzie V jest, jak ustaliliśmy, albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, oraz dim V = n. Operator A nazywamy: Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 15 / 25

62 Specjalne typy operatorów Definicja 4 Niech A L (V, V ), gdzie V jest, jak ustaliliśmy, albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, oraz dim V = n. Operator A nazywamy: hermitowskim (samosprzężonym), jeżeli A = A ; Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 15 / 25

63 Specjalne typy operatorów Definicja 4 Niech A L (V, V ), gdzie V jest, jak ustaliliśmy, albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, oraz dim V = n. Operator A nazywamy: hermitowskim (samosprzężonym), jeżeli A = A ; wtedy odpowiadająca mu forma f A jest hermitowska i macierz A w dowolnej bazie ortonormalnej jest hermitowska, tj. A = A = A T Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 15 / 25

64 Specjalne typy operatorów Definicja 4 Niech A L (V, V ), gdzie V jest, jak ustaliliśmy, albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, oraz dim V = n. Operator A nazywamy: hermitowskim (samosprzężonym), jeżeli A = A ; wtedy odpowiadająca mu forma f A jest hermitowska i macierz A w dowolnej bazie ortonormalnej jest hermitowska, tj. A = A = A T (gdy K = R, mówimy o operatorze symetrycznym); Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 15 / 25

65 Specjalne typy operatorów Definicja 4 Niech A L (V, V ), gdzie V jest, jak ustaliliśmy, albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, oraz dim V = n. Operator A nazywamy: hermitowskim (samosprzężonym), jeżeli A = A ; wtedy odpowiadająca mu forma f A jest hermitowska i macierz A w dowolnej bazie ortonormalnej jest hermitowska, tj. A = A = A T (gdy K = R, mówimy o operatorze symetrycznym); antyhermitowskim, jeżeli A = A Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 15 / 25

66 Specjalne typy operatorów Definicja 4 Niech A L (V, V ), gdzie V jest, jak ustaliliśmy, albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, oraz dim V = n. Operator A nazywamy: hermitowskim (samosprzężonym), jeżeli A = A ; wtedy odpowiadająca mu forma f A jest hermitowska i macierz A w dowolnej bazie ortonormalnej jest hermitowska, tj. A = A = A T (gdy K = R, mówimy o operatorze symetrycznym); antyhermitowskim, jeżeli A = A (gdy K = R, mówimy o operatorze antysymetrycznym); Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 15 / 25

67 Specjalne typy operatorów Definicja 4 Niech A L (V, V ), gdzie V jest, jak ustaliliśmy, albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, oraz dim V = n. Operator A nazywamy: hermitowskim (samosprzężonym), jeżeli A = A ; wtedy odpowiadająca mu forma f A jest hermitowska i macierz A w dowolnej bazie ortonormalnej jest hermitowska, tj. A = A = A T (gdy K = R, mówimy o operatorze symetrycznym); antyhermitowskim, jeżeli A = A (gdy K = R, mówimy o operatorze antysymetrycznym); unitarnym, jeżeli AA = I = A A Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 15 / 25

68 Specjalne typy operatorów Definicja 4 Niech A L (V, V ), gdzie V jest, jak ustaliliśmy, albo przestrzenią euklidesową, albo unitarną, oraz dim V = n. Operator A nazywamy: hermitowskim (samosprzężonym), jeżeli A = A ; wtedy odpowiadająca mu forma f A jest hermitowska i macierz A w dowolnej bazie ortonormalnej jest hermitowska, tj. A = A = A T (gdy K = R, mówimy o operatorze symetrycznym); antyhermitowskim, jeżeli A = A (gdy K = R, mówimy o operatorze antysymetrycznym); unitarnym, jeżeli AA = I = A A (gdy K = R, mówimy o operatorze ortogonalnym). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 15 / 25

69 Własności i analogie Twierdzenie 1 Każdy operator Z L (V, V ) można zapisać w postaci: Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 16 / 25

70 Własności i analogie Twierdzenie 1 Każdy operator Z L (V, V ) można zapisać w postaci: Z = A + B, gdzie A jest hermitowski, a B jest antyhermitowski, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 16 / 25

71 Własności i analogie Twierdzenie 1 Każdy operator Z L (V, V ) można zapisać w postaci: Z = A + B, gdzie A jest hermitowski, a B jest antyhermitowski, Z = A + ib, gdzie A oraz B są hermitowskie (o ile K = C). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 16 / 25

72 Własności i analogie Twierdzenie 1 Każdy operator Z L (V, V ) można zapisać w postaci: Z = A + B, gdzie A jest hermitowski, a B jest antyhermitowski, Z = A + ib, gdzie A oraz B są hermitowskie (o ile K = C). sprzężenie operatora sprzężenie liczby zespolonej Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 16 / 25

73 Własności i analogie Twierdzenie 1 Każdy operator Z L (V, V ) można zapisać w postaci: Z = A + B, gdzie A jest hermitowski, a B jest antyhermitowski, Z = A + ib, gdzie A oraz B są hermitowskie (o ile K = C). sprzężenie operatora sprzężenie liczby zespolonej operatory hermitowskie liczby rzeczywiste Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 16 / 25

74 Własności i analogie Twierdzenie 1 Każdy operator Z L (V, V ) można zapisać w postaci: Z = A + B, gdzie A jest hermitowski, a B jest antyhermitowski, Z = A + ib, gdzie A oraz B są hermitowskie (o ile K = C). sprzężenie operatora sprzężenie liczby zespolonej operatory hermitowskie liczby rzeczywiste operatory antyhermitowskie liczby czysto urojone Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 16 / 25

75 Własności i analogie Twierdzenie 1 Każdy operator Z L (V, V ) można zapisać w postaci: Z = A + B, gdzie A jest hermitowski, a B jest antyhermitowski, Z = A + ib, gdzie A oraz B są hermitowskie (o ile K = C). sprzężenie operatora sprzężenie liczby zespolonej operatory hermitowskie liczby rzeczywiste operatory antyhermitowskie liczby czysto urojone operatory unitarne (AA = I ) liczby zespolone o module 1 (zz = 1) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 16 / 25

76 Własności i analogie Twierdzenie 1 Każdy operator Z L (V, V ) można zapisać w postaci: Z = A + B, gdzie A jest hermitowski, a B jest antyhermitowski, Z = A + ib, gdzie A oraz B są hermitowskie (o ile K = C). sprzężenie operatora sprzężenie liczby zespolonej operatory hermitowskie liczby rzeczywiste operatory antyhermitowskie liczby czysto urojone operatory unitarne (AA = I ) liczby zespolone o module 1 (zz = 1) Twierdzenie 2 Operator A L (V, V ) jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy jest unitarny. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 16 / 25

77 Trzy kluczowe lematy Lemat 1 Każda wartość własna operatora hermitowskiego jest liczbą rzeczywistą. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 17 / 25

78 Trzy kluczowe lematy Lemat 1 Każda wartość własna operatora hermitowskiego jest liczbą rzeczywistą. Lemat 2 Każdy operator symetryczny na przestrzeni euklidesowej ma wektor własny. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 17 / 25

79 Trzy kluczowe lematy Lemat 1 Każda wartość własna operatora hermitowskiego jest liczbą rzeczywistą. Lemat 2 Każdy operator symetryczny na przestrzeni euklidesowej ma wektor własny. [ a b A(L) L, A L = b d ] Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 17 / 25

80 Trzy kluczowe lematy Lemat 1 Każda wartość własna operatora hermitowskiego jest liczbą rzeczywistą. Lemat 2 Każdy operator symetryczny na przestrzeni euklidesowej ma wektor własny. [ t a b χ(t) = det b t d ] = t 2 (a + d)t + (ad b 2 ) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 17 / 25

81 Trzy kluczowe lematy Lemat 1 Każda wartość własna operatora hermitowskiego jest liczbą rzeczywistą. Lemat 2 Każdy operator symetryczny na przestrzeni euklidesowej ma wektor własny. = (a + d) 2 4(ad b 2 ) = (a d) 2 + 4b 2 0 Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 17 / 25

82 Trzy kluczowe lematy Lemat 1 Każda wartość własna operatora hermitowskiego jest liczbą rzeczywistą. Lemat 2 Każdy operator symetryczny na przestrzeni euklidesowej ma wektor własny. = (a + d) 2 4(ad b 2 ) = (a d) 2 + 4b 2 0 Lemat 3 Jeżeli A L (V, V ) jest operatorem hermitowskim, a L V jest podprzestrzenią niezmienniczą (tj. A(L) L), to L również jest podprzestrzenią niezmienniczą. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 17 / 25

83 Twierdzenie spektralne dla operatorów hermitowskich Twierdzenie 3 Niech V będzie przestrzenią euklidesową bądź unitarną, dim V = n. Jeżeli operator A L (V, V ) jest hermitowski, to istnieje baza ortonormalna przestrzeni V złożona z wektorów własnych operatora A, a zatem macierz tego operatora w tej bazie jest diagonalna. Ponadto elementy tej macierzy (wartości własne) są liczbami rzeczywistymi. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 18 / 25

84 Twierdzenie spektralne dla operatorów hermitowskich Twierdzenie 3 Niech V będzie przestrzenią euklidesową bądź unitarną, dim V = n. Jeżeli operator A L (V, V ) jest hermitowski, to istnieje baza ortonormalna przestrzeni V złożona z wektorów własnych operatora A, a zatem macierz tego operatora w tej bazie jest diagonalna. Ponadto elementy tej macierzy (wartości własne) są liczbami rzeczywistymi. Czy da się udowodnić takie twierdzenie spektralne dla szerszej klasy operatorów? Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 18 / 25

85 Twierdzenie spektralne dla operatorów hermitowskich Twierdzenie 3 Niech V będzie przestrzenią euklidesową bądź unitarną, dim V = n. Jeżeli operator A L (V, V ) jest hermitowski, to istnieje baza ortonormalna przestrzeni V złożona z wektorów własnych operatora A, a zatem macierz tego operatora w tej bazie jest diagonalna. Ponadto elementy tej macierzy (wartości własne) są liczbami rzeczywistymi. Czy da się udowodnić takie twierdzenie spektralne dla szerszej klasy operatorów? Nie. Postać diagonalna macierzy w pewnej bazie ortonormalnej, z rzeczywistymi elementami na przekątnej, wymusza, że operator jest hermitowski. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 18 / 25

86 Twierdzenie spektralne dla operatorów hermitowskich Twierdzenie 3 Niech V będzie przestrzenią euklidesową bądź unitarną, dim V = n. Jeżeli operator A L (V, V ) jest hermitowski, to istnieje baza ortonormalna przestrzeni V złożona z wektorów własnych operatora A, a zatem macierz tego operatora w tej bazie jest diagonalna. Ponadto elementy tej macierzy (wartości własne) są liczbami rzeczywistymi. Czy da się udowodnić takie twierdzenie spektralne dla szerszej klasy operatorów? Nie. Postać diagonalna macierzy w pewnej bazie ortonormalnej, z rzeczywistymi elementami na przekątnej, wymusza, że operator jest hermitowski. A co, jeżeli elementy na przekątnej niekoniecznie są rzeczywiste? Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 18 / 25

87 Twierdzenie spektralne dla operatorów normalnych Niech V będzie przestrzenią unitarną (a więc nad ciałem C) i załóżmy, że operator A L (V, V ) jest diagonalizowalny w pewnej bazie ortonormalnej (e 1,..., e n ). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 19 / 25

88 Twierdzenie spektralne dla operatorów normalnych Niech V będzie przestrzenią unitarną (a więc nad ciałem C) i załóżmy, że operator A L (V, V ) jest diagonalizowalny w pewnej bazie ortonormalnej (e 1,..., e n ). Dla pewnych λ i C mamy więc Ae i = λ i e i dla 1 i n. Określmy operator B L (V, V ) tak, aby B(e i ) = λ i e i dla 1 i n. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 19 / 25

89 Twierdzenie spektralne dla operatorów normalnych Niech V będzie przestrzenią unitarną (a więc nad ciałem C) i załóżmy, że operator A L (V, V ) jest diagonalizowalny w pewnej bazie ortonormalnej (e 1,..., e n ). Dla pewnych λ i C mamy więc Ae i = λ i e i dla 1 i n. Określmy operator B L (V, V ) tak, aby B(e i ) = λ i e i dla 1 i n. Wtedy AB = BA Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 19 / 25

90 Twierdzenie spektralne dla operatorów normalnych Niech V będzie przestrzenią unitarną (a więc nad ciałem C) i załóżmy, że operator A L (V, V ) jest diagonalizowalny w pewnej bazie ortonormalnej (e 1,..., e n ). Dla pewnych λ i C mamy więc Ae i = λ i e i dla 1 i n. Określmy operator B L (V, V ) tak, aby B(e i ) = λ i e i dla 1 i n. Wtedy AB = BA oraz dla 1 i, j n mamy Ae i e j = λ i δ ij = λ j δ ij = e i Be j, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 19 / 25

91 Twierdzenie spektralne dla operatorów normalnych Niech V będzie przestrzenią unitarną (a więc nad ciałem C) i załóżmy, że operator A L (V, V ) jest diagonalizowalny w pewnej bazie ortonormalnej (e 1,..., e n ). Dla pewnych λ i C mamy więc Ae i = λ i e i dla 1 i n. Określmy operator B L (V, V ) tak, aby B(e i ) = λ i e i dla 1 i n. Wtedy AB = BA oraz dla 1 i, j n mamy a zatem B = A. Ae i e j = λ i δ ij = λ j δ ij = e i Be j, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 19 / 25

92 Twierdzenie spektralne dla operatorów normalnych Niech V będzie przestrzenią unitarną (a więc nad ciałem C) i załóżmy, że operator A L (V, V ) jest diagonalizowalny w pewnej bazie ortonormalnej (e 1,..., e n ). Dla pewnych λ i C mamy więc Ae i = λ i e i dla 1 i n. Określmy operator B L (V, V ) tak, aby B(e i ) = λ i e i dla 1 i n. Wtedy AB = BA oraz dla 1 i, j n mamy Ae i e j = λ i δ ij = λ j δ ij = e i Be j, a zatem B = A. To pokazuje, że A musi spełniać warunek: AA = A A. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 19 / 25

93 Twierdzenie spektralne dla operatorów normalnych Niech V będzie przestrzenią unitarną (a więc nad ciałem C) i załóżmy, że operator A L (V, V ) jest diagonalizowalny w pewnej bazie ortonormalnej (e 1,..., e n ). Dla pewnych λ i C mamy więc Ae i = λ i e i dla 1 i n. Określmy operator B L (V, V ) tak, aby B(e i ) = λ i e i dla 1 i n. Wtedy AB = BA oraz dla 1 i, j n mamy Ae i e j = λ i δ ij = λ j δ ij = e i Be j, a zatem B = A. To pokazuje, że A musi spełniać warunek: AA = A A. Twierdzenie 4 Niech V będzie przestrzenią unitarną, dim V = n. Jeżeli operator A L (V, V ) jest normalny, to istnieje baza ortonormalna przestrzeni V złożona z wektorów własnych operatora A, a zatem macierz tego operatora w tej bazie jest diagonalna. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 19 / 25

94 Zastosowanie w statystyce PCA Principal Component Analysis (Hotelling, 1933) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 20 / 25

95 Zastosowanie w statystyce PCA Principal Component Analysis (Hotelling, 1933) Rozważamy p-wymiarowy wektor zmiennych losowych x = [X 1,..., X p ] T oraz n-elementowy zbiór próbek (obserwacji), zapisany w postaci macierzy x 11 x x 1n X = x p1 x p2... x pn Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 20 / 25

96 Zastosowanie w statystyce PCA Principal Component Analysis (Hotelling, 1933) Rozważamy p-wymiarowy wektor zmiennych losowych x = [X 1,..., X p ] T oraz n-elementowy zbiór próbek (obserwacji), zapisany w postaci macierzy x 11 x x 1n X = x p1 x p2... x pn Niech Σ = Cov(x) będzie p p macierzą kowariancji (estymowaną z danej próby odpowiednim estymatorem nieobciążonym). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 20 / 25

97 Zastosowanie w statystyce PCA Principal Component Analysis (Hotelling, 1933) Rozważamy p-wymiarowy wektor zmiennych losowych x = [X 1,..., X p ] T oraz n-elementowy zbiór próbek (obserwacji), zapisany w postaci macierzy x 11 x x 1n X = x p1 x p2... x pn Niech Σ = Cov(x) będzie p p macierzą kowariancji (estymowaną z danej próby odpowiednim estymatorem nieobciążonym). Szukamy takiego wektora a R p, aby wariancja Var(a T x) = a T Σa (rzutu danego wektora losowego na a) była maksymalna. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 20 / 25

98 Zastosowanie w statystyce Macierz Σ jest symetryczna (zatem ma rozkład spektralny) oraz nieujemnie określona, a więc wszystkie jej wartości własne są nieujemne. Zakłada się, że są one w istocie dodatnie (w przeciwnym wypadku można ograniczyć się do mniejszego wektora losowego). Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 21 / 25

99 Zastosowanie w statystyce Macierz Σ jest symetryczna (zatem ma rozkład spektralny) oraz nieujemnie określona, a więc wszystkie jej wartości własne są nieujemne. Zakłada się, że są one w istocie dodatnie (w przeciwnym wypadku można ograniczyć się do mniejszego wektora losowego). Jeżeli (v 1,..., v n ) jest ciągiem kolejnych składowych głównych (tj. wzajemnie nieskorelowanych kombinacji oryginalnych zmiennych, które maksymalizują wariancje Var(v T i x)), to v i jest i-tym wektorem z bazy ortonormalnej w rozkładzie spektralnym macierzy (operatora) Σ. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 21 / 25

100 Rys historyczny (część 2a) 1906: Hilbert, inspirowany pracami Fredholma na temat równań całkowych, dowodzi pierwszej nieskończenie wymiarowej wersji twierdzenia spektralnego dla symetrycznych operatorów całkowych na L 2. Po raz pierwszy definiuje ciągłe spektrum dla operatorów, wprowadza też do powszechnego obiegu termin spektrum. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 22 / 25

101 Rys historyczny (część 2a) 1906: Hilbert, inspirowany pracami Fredholma na temat równań całkowych, dowodzi pierwszej nieskończenie wymiarowej wersji twierdzenia spektralnego dla symetrycznych operatorów całkowych na L 2. Po raz pierwszy definiuje ciągłe spektrum dla operatorów, wprowadza też do powszechnego obiegu termin spektrum : Riesz, rozważając operatory na przestrzeni l 2, wprowadza pojęcie operatora zwartego i dowodzi twierdzenia spektralnego dla zwartych operatorów samosprzężonych. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 22 / 25

102 Rys historyczny (część 2a) 1906: Hilbert, inspirowany pracami Fredholma na temat równań całkowych, dowodzi pierwszej nieskończenie wymiarowej wersji twierdzenia spektralnego dla symetrycznych operatorów całkowych na L 2. Po raz pierwszy definiuje ciągłe spektrum dla operatorów, wprowadza też do powszechnego obiegu termin spektrum : Riesz, rozważając operatory na przestrzeni l 2, wprowadza pojęcie operatora zwartego i dowodzi twierdzenia spektralnego dla zwartych operatorów samosprzężonych. 1925: Born zauważa, że wzory otrzymane przez Heisenberga, opisujące widmo wodoru, wynikają z mnożenia nieskończonych macierzy. Born: Heisenberg nie mógł odkryć mechaniki macierzowej, bo w 1925 r. nie wiedział, co to jest macierz. Born, Heisenberg i Jordan formułują tzw. kwantową mechanikę macierzową. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 22 / 25

103 Rys historyczny (część 2b) : Stone i von Neumann dowodzą ogólną wersję twierdzenia spektralnego, dla operatorów normalnych (nawet nieograniczonych). Co więcej, von Neumann daje pierwsze ścisłe sformułowanie mechaniki kwantowej: Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 23 / 25

104 Rys historyczny (część 2b) : Stone i von Neumann dowodzą ogólną wersję twierdzenia spektralnego, dla operatorów normalnych (nawet nieograniczonych). Co więcej, von Neumann daje pierwsze ścisłe sformułowanie mechaniki kwantowej: układ fizyczny przestrzeń Hilberta (H, ) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 23 / 25

105 Rys historyczny (część 2b) : Stone i von Neumann dowodzą ogólną wersję twierdzenia spektralnego, dla operatorów normalnych (nawet nieograniczonych). Co więcej, von Neumann daje pierwsze ścisłe sformułowanie mechaniki kwantowej: układ fizyczny przestrzeń Hilberta (H, ) wielkości fizyczne ( obserwable ) operatory hermitowskie na H (na ogół nieograniczone i zdefiniowane tylko na gęstym podzbiorze) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 23 / 25

106 Rys historyczny (część 2b) : Stone i von Neumann dowodzą ogólną wersję twierdzenia spektralnego, dla operatorów normalnych (nawet nieograniczonych). Co więcej, von Neumann daje pierwsze ścisłe sformułowanie mechaniki kwantowej: układ fizyczny przestrzeń Hilberta (H, ) wielkości fizyczne ( obserwable ) operatory hermitowskie na H (na ogół nieograniczone i zdefiniowane tylko na gęstym podzbiorze) stany układu wektory przestrzeni H Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 23 / 25

107 Rys historyczny (część 2b) : Stone i von Neumann dowodzą ogólną wersję twierdzenia spektralnego, dla operatorów normalnych (nawet nieograniczonych). Co więcej, von Neumann daje pierwsze ścisłe sformułowanie mechaniki kwantowej: układ fizyczny przestrzeń Hilberta (H, ) wielkości fizyczne ( obserwable ) operatory hermitowskie na H (na ogół nieograniczone i zdefiniowane tylko na gęstym podzbiorze) stany układu wektory przestrzeni H E P A (E)h h jest rozkładem prawdopodobieństwa, że w stanie h H wielkość obserwowana A przybierze wartość ze zbioru E R. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 23 / 25

108 Rys historyczny (część 2b) : Stone i von Neumann dowodzą ogólną wersję twierdzenia spektralnego, dla operatorów normalnych (nawet nieograniczonych). Co więcej, von Neumann daje pierwsze ścisłe sformułowanie mechaniki kwantowej: układ fizyczny przestrzeń Hilberta (H, ) wielkości fizyczne ( obserwable ) operatory hermitowskie na H (na ogół nieograniczone i zdefiniowane tylko na gęstym podzbiorze) stany układu wektory przestrzeni H E P A (E)h h jest rozkładem prawdopodobieństwa, że w stanie h H wielkość obserwowana A przybierze wartość ze zbioru E R. P A nazywamy miarą spektralną operatora A. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 23 / 25

109 Twierdzenie spektralne w B(H ) Niech Σ będzie σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω. Miarą spektralną nazywamy funkcję P : Σ B(H ) spełniającą warunki: Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 24 / 25

110 Twierdzenie spektralne w B(H ) Niech Σ będzie σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω. Miarą spektralną nazywamy funkcję P : Σ B(H ) spełniającą warunki: (i) P( ) = 0, P(Ω) = I, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 24 / 25

111 Twierdzenie spektralne w B(H ) Niech Σ będzie σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω. Miarą spektralną nazywamy funkcję P : Σ B(H ) spełniającą warunki: (i) P( ) = 0, P(Ω) = I, (ii) P(E) jest samosprzężonym rzutem w H dla E Σ, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 24 / 25

112 Twierdzenie spektralne w B(H ) Niech Σ będzie σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω. Miarą spektralną nazywamy funkcję P : Σ B(H ) spełniającą warunki: (i) P( ) = 0, P(Ω) = I, (ii) P(E) jest samosprzężonym rzutem w H dla E Σ, (iii) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 )P(E 2 ) dla E 1, E 2 Σ, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 24 / 25

113 Twierdzenie spektralne w B(H ) Niech Σ będzie σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω. Miarą spektralną nazywamy funkcję P : Σ B(H ) spełniającą warunki: (i) P( ) = 0, P(Ω) = I, (ii) P(E) jest samosprzężonym rzutem w H dla E Σ, (iii) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 )P(E 2 ) dla E 1, E 2 Σ, (iv) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) dla rozłącznych E 1, E 2 Σ, Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 24 / 25

114 Twierdzenie spektralne w B(H ) Niech Σ będzie σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω. Miarą spektralną nazywamy funkcję P : Σ B(H ) spełniającą warunki: (i) P( ) = 0, P(Ω) = I, (ii) P(E) jest samosprzężonym rzutem w H dla E Σ, (iii) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 )P(E 2 ) dla E 1, E 2 Σ, (iv) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) dla rozłącznych E 1, E 2 Σ, (v) funkcja Σ E P(E)x y jest miarą zespoloną dla wszelkich x, y H. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 24 / 25

115 Twierdzenie spektralne w B(H ) Niech Σ będzie σ-algebrą podzbiorów zbioru Ω. Miarą spektralną nazywamy funkcję P : Σ B(H ) spełniającą warunki: (i) P( ) = 0, P(Ω) = I, (ii) P(E) jest samosprzężonym rzutem w H dla E Σ, (iii) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 )P(E 2 ) dla E 1, E 2 Σ, (iv) P(E 1 E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) dla rozłącznych E 1, E 2 Σ, (v) funkcja Σ E P(E)x y jest miarą zespoloną dla wszelkich x, y H. Twierdzenie 5 Dla każdego operatora normalnego A B(H ) istnieje dokładnie jedna miara spektralna P A, określona na podzbiorach borelowskich spektrum σ(t ), dla której T (x) y = σ(t ) λ d P A (λ)x y. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 24 / 25

116 Twierdzenie spektralne w B(H ) T = σ(t ) λ dp A (λ) Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Twierdzenie spektralne 25 / 25