Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas

Transkrypt

1 Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj aco, korzystamy z dwóch terminów jednocześnie. W zbiorze V := C C określmy naturalne dodawanie (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) := (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ), a mnożenie przez liczbȩ λ C zdefiniujmy jednym z nastȩpuj acych wzorów: (a) λ (z 1, z 2 ) := (λ 1 z 1, z 2 ); (b) λ (z 1, z 2 ) := (λz 1, 0); (c) λ (z 1, z 2 ) := ((Re λ)z 1, (Re λ)z 2 ). Dla każdego z tych przypadków sprawdzić, które z aksjomatów przestrzeni wektorowej nad cia lem C s a spe lnione, a które nie s a. Rozwi azanie: Dodawanie w zbiorze V := C C jest standardowym dodawaniem przestrzeni wektorowej zespolonej C 2. Zatem, mamy dobrze określone dodawanie + : C C C tworz ac grupȩ abelow a (V, +) z elementem neutralnym (0, 0). Oczwiście, element przeciwny elementu (x, y) to ( x, y). Aby udowdonić, że (V, +, ) jest przestrzeni a liniow a, musimy sprawdzić, czy mnożenie spe lnia wszsytkie w laściwosci przestrzeni liniowej. Zrobimy to dla każdego mnożenia. a) λ (z 1, z 2 ) := (λz 1, z 2 ) Rozdzielność mnożenia ze wzglȩdu na dodawanie: Ta w lasność siȩ spe lnia, gdy λ [(z 1, z 2 ) + ( z 1, z 2 )] = λ (z 1, z 2 ) + λ ( z 1, z 2 ), λ C, (z 1, z 2 ), ( z 1, z 2 ) C C. Widać, że pierwsze mnożenie spe lnia t a w lasność ponieważ λ [(z 1, z 2 ) + ( z 1, z 2 )] = λ (z 1 + z 1, z 2 + z 2 ) = (λ(z 1 + z 1 ), z 2 + z 2 ) dla wszystkich λ C i (z 1, z 2 ), ( z 1, z 2 ) C C. Rozdzielność dodawania ze wzglȩdu na mnożenia: Ta w lasność siȩ spe lnia, gdy = (λz 1, z 2 ) + (λ z 1, z 2 ) = λ (z 1, z 2 ) + λ ( z 1, z 2 ). (λ + λ) (z 1, z 2 ) = λ (z 1, z 2 ) + λ (z 1, z 2 ), λ, λ C, (z 1, z 2 ) C C.

2 W naszym przepadku: (λ + λ) (z 1, z 2 ) = ((λ + λ)z 1, z 2 ) = (λz 1 + λz 1, z 2 ) (λz 1, z 2 ) + ( λz 1, z 2 ) = λ (z 1, z 2 ) + λ (z 1, z 2 ), z 2 C\{0}. Element neutralny mnożenia: Element neutralny mnożenia to taki element a C taki, że a (z 1, z 2 ) = (z 1, z 2 ), (z 1, z 2 ) C C. Widać, że taki element jest w laśnie liczba 1 C. Wiȩc, to pierwsze mnożenie ma element neutralny. Czȩsto, napiszȩ siȩ 1 dla elementu neutralnego mnożenia. W tym przypadku, elementu neutralnego mnożenia to w laśnie liczba 1. Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów: Mówi siȩ, że mnożenie spe lnia tak a w lasność gdy: (λ 1 λ 2 ) (z 1, z 2 ) = λ 1 [λ 2 (z 1, z 2 )), λ 1 λ 2 C, (z 1, z 2 ) C C. W naszym przypadku: (λ 1 λ 2 ) (z 1, z 2 ) = (λ 1 λ 2 z 1, z 2 ) = λ 1 (λ 2 z 1, z 2 ) = λ 1 [λ 2 (z 1, z 2 )] dla wszystkich λ 1 λ 2 C i dla każdego (z 1, z 2 ) C C. Wiȩc, ta w lasność spe lnia siȩ. Podsumuj ac, (C C, + ) nie jest przestrzeni a liniow a. b) λ (z 1, z 2 ) := (λz 1, 0) Rozdzielność mnożenia ze wzglȩdu na dodawanie: Widać, że λ [(z 1, z 2 ) + ( z 1, z 2 )] := λ (z 1 + z 1, z 2 + z 2 ) = (λ(z 1 + z 1 ), 0) = (λz 1, 0) + (λ z 1, 0) = λ (z 1, z 2 ) + λ ( z 1, z 2 ), dla dowolnych (z 1, z 2 ), ( z 1, z 2 ) C C i λ C. Wówczas, nasze mnożenia spe lnia rozdzielność ze wzglȩdu na dodawanie. Rozdzielność dodawania ze wzglȩdu na mnożenia:

3 Mamy, że (λ + λ) (z 1, z 2 ) := ((λ + λ)z 1, 0) = (λz 1 + λz 1, 0) = (λz 1, 0) + ( λz 1, 0) = λ (z 1, z 2 ) + λ (z 1, z 2 ), λ, λ C, (z 1, z 2 ) C C. Zatem, nasze mnożenie spe lnia rozdzielność wzgl adem mnożenia. Element neutralny mnożenia: Element neutralny mno zenia to liczba a C, który spe lnia, że a (z 1, z 2 ) = (z 1, z 2 ), (z 1, z 2 ) C C. Natomiast, mamy, że dla każdej liczby a C wynika, że a (z 1, z 2 ) = (az 1, 0) (z 1, z 2 ), z 2 C\{0}. Wiȩc, te drugie mnożenia nie ma elementu neutralnego. Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów: Mówi siȩ, że mnożenie spe lnia tak a w lasność gdy: (λ 1 λ 2 ) (z 1, z 2 ) = λ 1 [λ 2 (z 1, z 2 )), λ 1 λ 2 C, (z 1, z 2 ) C C. W naszym przypadku: (λ 1 λ 2 ) (z 1, z 2 ) := (λ 1 λ 2 z 1, 0) = λ 1 (λ 2 z 1, 0) = λ 1 [λ 2 (z 1, z 2 )), Zatem, ta w laśność spe lnia siȩ. Podsumuj ac, (C C, +, ) nie jest przestrzeni a liniow a nad C. c) λ (z 1, z 2 ) := ((Re λ)z 1, (Re λ), z 2 ) Rozdzielność mnożenia ze wzglȩdu na dodawanie: λ 1 λ 2 C, (z 1, z 2 ) C C. λ [(z 1, z 2 ) + ( z 1, z 2 )] = λ (z 1 + z 1, z 2 + z 2 ) = ((Re λ)(z 1 + z 1 ), (Re λ)(z 2 + z 2 )) = ((Re λ)z 1, (Re λ)z 2 ) + ((Re λ) z 1, (Re λ) z 2 ) = λ (z 1, z 2 ) + λ ( z 1, z 2 ) dla dowolnych λ C i (z 1, z 2 ), ( z 1, z 2 ) C C. Wiȩc, to mnożenie spe lnia t a w lasność.

4 Rozdzielność dodawania ze wzglȩdu na mnożenia: (λ + λ) (z 1, z 2 ) := (Re(λ + λ)z 1, z 2 ) = (Re(λ)z 1 + Re( λ)z 1, Re(λ)z 2 + Re( λ)z 2 ) = (Re(λ)z 1, Re(λ)z 2 ) + (Re( λ)z 1, Re( λ)z 2 ) = λ (z 1, z 2 ) + λ (z 1, z 2 ). Wiȩc, mnożenie spe lnia tej w lasności. Element neutralny mnożenia: Element neutralny mno zenia, to element 1 C spe lniaj ac, 1 (z 1, z 2 ) = (z 1, z 2 ), (z 1, z 2 ) C C. (1.1) Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów: Mamy, że dla uogólnych liczb zespolonech λ 1, λ 2 mamy, że (λ 1 λ 2 ) (z 1, z 2 ) := (Re(λ 1 λ 2 )z 1, z 2 ) (Re(λ 1 )Re(λ 2 )z 1, z 2 ) = λ 1 (Re(λ 2 )z 1, z 2 ) = λ 1 [λ 2 (z 1, z 2 )). Natomiast, widać, że ta w lasność spe lnia siȩ dla skalarów zespolonych. Natomiast, ta w lasność siȩ spe lnia dla libcz rzeczywistych. Podsumuj ac, (C C, +, ) nie jest przestrzeni a liniow a nad C. Natomiast, (C C, +, ) jest przestrzeni a liniow a nad R. Ćwiczenie 2. Niech V := {x R : x > 0 i n N : x n Q}. Sprawdzić, że V jest przestrzeni a wektorow a nad cia lem K := Q, jeżeli zdefiniujemy : (v, w) V V vw V i mnożenie : (λ, v) K V v λ V, gdzie vw i v λ to zwyk le mnożenie i potȩgowanie liczb rzeczywistych. Wykazać, że liczby pierwsze 2, 3, 5, 7, 11, s a liniowo niezależne i generuj a ca l a V. Rozwi azanie: Aby sprawdzić, że (V,, ) to przestrzeń liniowa musimy sprawdzić po kolej wszystkie w laściwości przestrzeni wektorowej. Najpierw, sprawdzamy czy (V, ) to grupa abelowa. Widać, że : V V V jest dobrze określone dzia lanie: v, w V, n 1, n 2 N, v n 1 Q i w n 2 Q (v w) n 1n 2 = (vw) n 1n 2 = [v n 1 ] n 2 [w n 2 ] n 1. Skoro v n 1, w n 2 Q, to [v n 1 ] n 2, [w n 2 ] n 1 Q i zatem v w = [v n 1 ] n 2 [w n 2 ] n 1 Q. Wówczas, v w V.

5 Dodawanie jest l aczne: v, w, z V, (v w) z = vw z = vwz = v (wz) = v (w z). Element neutralny dodawania w, V, (1 w) = w. Normalnie, element neutralny dodawanie oznacza siȩ przez 0. Natomiast, w tym przypadku, element neutralny dodawanie to liczba 1 Q. Element przeciwny. Dla każdego v V, istnieje n N taki, że v n Q. Skoro v 0, to Q v n = (v 1 ) n i v 1 V. Korzystaj ac z tego: Dzia lanie abelowe Sprawdzamy w lasciwości mnożenia: w, V, (w 1 w) = w 1 w = 1. v, w V, v w = vw = wv = w v. Najpierw, sprawdzamy czy mnożenie jest dobrze zdefiniowane. Jeżeli v V, to istnieje n N taki, że v n Q. Dany λ Q istnieje m N taki, że mλ Z. Skoro v n Q i λm Z to (v λ ) nm = (v n ) λm Q i λ v = v λ V. Rozdzielność mnożenia ze wzglȩdu na dodawanie: Dla dowolnego λ Q i v 1, v 2 V mamy, że λ (v 1 v 2 ) = λ (v 1 v 2 ) = (v 1 v 2 ) λ = v λ 1 v λ 2 = v λ 1 v λ 2 = λ v 1 λ v 2. Rozdzielność dodawania ze wzglȩdu na mnożenia: Element neutralny mnożenia: (λ + λ) v = v λ+ λ = v λ v λ = λ v λ v. w V, 1 w = w. (2.1)

6 Zatem 1 to element neutralny mnożenia. Warto zauważyć, że w tym przypadku element neutralny mnożenia i dodawania s a sobie równe. Natomiast, też trzeba pamiȩtać, że element neutralny mnożenie to skalar 1. Natomiast, element neutralny dodawania to wektor 1. Okazuże siȩ, że obie liczby s a równe. Natomiast, pierwszy element trzeba zrozumieć jako skalar i drugi jako wektor. W tym sensie, nie s a sobie równe, ponieważ s a elementami ró znych zbiorów przestrzeni wektorowej. Mnożenie przez skalar jest zgodne z mnożeniem skalarów: (λ 1 λ 2 ) v = (v λ 1λ 2 ) = (v λ 2 ) λ 1 = λ 1 [λ 2 v], λ 1, λ 2 Q, v V. Sprawdzamy teraz, że elementy 2, 3, 5, 7,... generuj a ca l a przestrzeń V. Każdy element v V spe lnia, że v n Q. Z tego powodu i skoro v > 0, możemy napisać v n = p/q dla p N i q N wzglȩdnie pierwsze. Zatem, qv n = p n p nr r, dla pewnych libcz pierwszych i niezerowych liczb naturalnych n 1,..., n r. Dodatkowo, q = p n 1 1 p n k k dla liczb pierwszych p 1,..., p k i niezerowych lyczb naturalnych n 1,..., n k. Jezeli p 1, p 2,..., p s to s a wszystkie liczby pierwszy poprzednich rozk ladów, to możemy napisać rozk lady liczb qv n i q jako iloczyń potȩg tych liczb pierwszych i, to qv n = p n p ns s, q = p n 1 1 p n s s. v n = p n 1/ n p n 2/ n s s = v = s i=1 s n i p i, n 1,..., n s Z i=1 n i n i n i n p i. Zatem, liczby pierwsze generuj a V. Teraz udowodnimy, że liczby pierwsze s a liniowo niezależny. Przypominamy, że elementy v 1,v 2,..., przestrzeni liniowej V nazywaj a siȩ liniowo zależnym, gdy istnieje skończona liczba różnych wektorów v 1,v 2,...,v n tego zbioru oraz skalary λ 1, λ 2,..., λ n Q, nie wszystkie zerowe (jako element neutralne dodawania cia la), takie, że r λ i v i = 1 i=1 (1element neutralny dodawania przestrzeni wektorowej!!).

7 Teraz udowodnijmy, że elementy p 1 = 2, p 2 = 3,... s a liniowo niezależne n i=1 λ i p i = 1 p λ p λn n = 1. Liczbe λ 1,..., λ r możba mnożyć przez liczbȩ naturaln a m, tak a, że λ i m Z. Napisujemy potȩgi p λ i i dla λ i > 0 po prawej stronie i reszt a po lewej. Mamy, że p λ i 1 i 1... p λ in i n = p λ i 1 i 1... p λ in i n. Skoro każda liczba naturalna, czyli p λ i 1 i 1... p λ in i n ma jedyny rozk lad jako iloczyn potȩgów liczb pierwszy, mamy, że prawa i lewa strona s a sobie równe i λ 1 =... = λ n = 0. Ćwiczenie 3. Niech R 3 [X] bȩdzie przestrzeni a wektorow a (nad R) wszystkich wielomianów o wspó lczynnikach rzeczywistych stopnia nie wiȩkszego od 3. Zbadać liniow a zależność wektorów P 1 (X) := 1 + X + 2X 2 + X 3, P 2 (X) := 2 + X + X 2 X 3, P 3 (X) := 7 + 5X + 4X 2 + X 3. Rozwi azanie: Wielomiany {P 1 (X), P 2 (X), P 3 (X)} s a liniowo niezależny, gdy λ 1 P 1 (X)+λ 2 P 2 (X)+λ 3 P 3 (X) = 0(towektorzero, czyliwielomianzero) λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0. Korzystaj ac z faktu, że dwa wielomiany s a takie same gdy wszystkie wspó lczynniki s a takie same, to λ 1 + 2λ 2 + 7λ 3 = 0, λ 1 + λ 2 + 5λ 3 = 0, 3λ 2 + 6λ 3 = 0, (λ 1 = λ 2 λ 3 ) 2λ 2 + 4λ 3 = 0, 2λ 1 + λ 2 + 4λ 3 = 0, 3λ 2 + 2λ 3 = 0, λ 1 λ 2 + λ 3 = 0, Zatem (λ 2 = 2λ 3 ) { 4λ3 + 4λ 3 = 0, 6λ 3 + 2λ 3 = 0, λ 3 = 0 λ 2 = 0 λ 1 = 0.

8 Aby uprościć rozwi azanie tych uk ladów, korzystamy z notacji macierzowej R 1 R 4 R 1 R 2 R 4 R 2 R 3 2R 4 R R 1 R 3 R 1 3R 2 2R 3 R Ćwiczenie 4. Zbadać liniow a zależność wektorów (1, 1, 0, 2, 4), (7, 5, 0, 2, 2), (1, 0, 1, 0, 1), (8, 4, 2, 0, 0) w Q 5 (nad Q). (1, 2, 0, 2, 4), (1, 0, 3, 0, 5), (1+ 2, 0, 1, 0, 2), (1, 2, 2, 2, 3), ( 3, 4, 1, 0, 4 2) w R 5 (nad R i nad Q). (i, i, 0, 2, 4), (2, 0, 0, 2 2i, 1 4i), (1, 1, 0, 2, 1) w C 5 (nad R i nad C). Rozwi azanie: Wektory e 1 := (i, i, 0, 2, 4), e 2 := (2, 0, 0, 2 2i, 1 4i), e 3 := (1, 1, 0, 2, 1) s a liniowo niezależny nad C gdy Macierzowo to oznacza: i i i i 1 0 Zatem λ 1 e 1 + λ 2 e 2 + λ 3 e 3 = 0 λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0. (4.1) R 1 +R 2 R 1 R 4 R 5 R 4 i i i 1 0 4R 1 ir 5 R 1 3R 2 2R 3 R i 4 i i 1 0 Zatem λ 2 = λ 3 i λ 1 = [ λ 3 (1 4i)λ 2 ]/4, czyli λ 1 = iλ 3. To oznacza, że wektory e 1, e 2, e 3 s a liniowo zależne nad C. Natomiast, widać, że s a liniowo niezależne nad R ponieważ nie ma rzeczywistych liczb różnych od zera spe lniaj a warunek (4.1)..

9 Ćwiczenie 5. Zbadać liniow a zależność w przestrzeni V := R R, czyli przestrzeń wektorow a nad R funkcji f : R R, uk ladu funkcji: cos ϕ, cos 3ϕ, cos 3 ϕ, sin ϕ, sin 3ϕ, sin 3 ϕ, cos ϕ, sin ϕ, cos 2 ϕ, sin 2 ϕ. Rozwi azanie: Widać, że cos ϕ, cos 3ϕ i cos 3 ϕ s a liniowo zależne. W laśnie, cos 3ϕ = cos 2ϕ cos ϕ sin 2ϕ sin ϕ = (cos 2 ϕ sin 2 ϕ) cos ϕ 2 sin 2 ϕ cos ϕ = cos 3 ϕ 3 sin 2 ϕ cos ϕ = cos 3 ϕ 3(1 cos 2 ϕ) cos ϕ = 4 cos 3 ϕ 3 cos ϕ. (5.1) Zatem, 4 cos 3 ϕ cos 3ϕ 3 cos ϕ = 0. Skoro poprzednia równość spe lnia siȩ dla dowonego ϕ, to możemy postawić ϕ = π/2 ϕ i otrzymać, że 4 cos 3 (π/2 ϕ ) cos(3π/2 3ϕ) 3 cos(π/2 ϕ ) = 0. Zatem 4 sin 3 ϕ + sin 3ϕ 3 sin ϕ = 0 ϕ R i funkcje sin 3 ϕ, sin 3ϕ i sin ϕ s a liniowo zależne. Natomiast, jeżeli λ 1 cos ϕ + λ 2 sin ϕ + λ 3 cos 2 ϕ + λ 4 sin 2 ϕ = 0 to mamy, że i ϕ = 0 λ 1 + λ 3 = 0, ϕ = π/2 λ 2 + λ 4 = 0 ϕ = π λ 1 + λ 3 = 0, ϕ = 3π/2 λ 2 + λ 4 = 0. Z tego wynika, że λ 1 = λ 2 = λ 3 = λ 4 = 0 i te funkcje s a liniowo niezależne.