Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych

Transkrypt

1 Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I) suma dowolnych dwu wektorów należacych do V 1 należy do V 1, (II) jeśli α V 1 i a K, to a α V 1. Uwaga 6.2. Wektor zerowy θ należy do każdej podprzestrzeni V 1 przestrzeni V. Rzeczywiście, ponieważ V 1, wiec istnieje α V 1 i wówczas z (II) mamy, że 0 α V 1, skad z w lasności 5.15 jest θ V 1. Uwaga 6.3. Podprzestrzeń V 1 przestrzeni liniowej V jest przestrzeni liniow wzgledem dodawania wektorów zredukowanego do V 1 i mnożenia przez skalary zredukowanego do V 1. Sprawdzenie prawdziwości aksjomatów A1-A8 nie przedstawia trudności. Np. z (II) oraz z w lasności 5.16 wynika, że α V 1 dla każdego α V 1. Każda przestrzeń liniowa V zawiera co najmniej dwie podprzestrzenie: zbiór V oraz podprzestrzeń z lożon tylko z wektora θ. Pierwsz z tych podprzestrzeni nazywamy niew laściwa, a drug zerowa. Twierdzenie 6.4. Cześć wspólna dowolnej niepustej rodziny podprzestrzeni danej przestrzeni liniowej V jest podprzestrzeni przestrzeni V. Dowód. Niech W bedzie dowoln niepust rodzin podprzestrzeni przestrzeni liniowej V i niech W 0 = W. Z uwagi 6.2 mamy, że θ W dla każdego W W. Zatem θ W 0. Niech W W α, β W 0. Wtedy α, β W dla każdego W W, skad α + β W dla każdego W W, wiec α + β W 0. Jeśli a R oraz α W 0, to α W dla każdego W W, skad a α W dla każdego W W, wiec a α W 0. Zatem W 0 jest podprzestrzeni przestrzeni V. 2 Podprzestrzenie generowane i ich w lasności Twierdzenie 6.5. Niech V bedzie przestrzeni liniow i niech A bedzie dowolnym podzbiorem przestrzeni V. Istnieje najmniejsza (w sensie inkluzji) podprzestrzeń przestrzeni V zawierajac A. Dowód. Oznaczmy przez W rodzine wszystkich podprzestrzeni W przestrzeni V takich, że A W. Rodzina W jest niepusta, bo np. V W. Z twierdzenia 6.4 mamy, że W 0 = W W W jest podprzestrzeni przestrzeni V, a ponieważ A W dla każdego W W, wiec A W 0. Niech teraz V 1 bedzie podprzestrzeni przestrzeni V taka, że A V 1. Wtedy V 1 W, skad W 0 V 1. Zatem W 0 jest najmniejsz w sensie inkluzji podprzestrzeni przestrzeni V zawierajac zbiór A. 1

2 Uwaga 6.6. Najmniejsz podprzestrzeń przestrzeni liniowej V zawierajac zbiór A V nazywamy podprzestrzeni rozpiet na podzbiorze A lub generowan przez podzbiór A i oznaczamy przez lin(a). Z tego określenia wynika od razu, że lin( ) = {θ. Jeśli zbiór A jest skończony i A = {α 1, α 2,..., α n, to zamiast lin({α 1, α 2,..., α n ) bedziemy pisali lin(α 1, α 2,..., α n ). Zauważmy, że dla każdego α V jest lin(α) = {a α : a R. Rzeczywiście, α = 1 α {a α : a R oraz dla dowolnych a, b R mamy, że a α+b α = (a+b) α i a (b α) = (ab) α, wiec {a α : a R jest podprzestrzeni przestrzeni V zawierajac α. Jeżeli zaś W jest podprzestrzeni przestrzeni V taka, że α W, to dla dowolnego a R jest a α W, skad {a α : a R W. Zatem lin(α) = {a α : a R. Ponadto z definicji podprzestrzeni generowanej wynika od razu, że jeżeli A i B s podzbiorami przestrzeni liniowej V takimi, że A B, to lin(a) lin(b). Twierdzenie 6.7. Niech V 1, V 2,..., V n bed podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V. Wówczas zbiór V 1 + V V n = {α 1 + α α n : α i V i dla i = 1, 2,..., n jest podprzestrzeni przestrzeni V. Ponadto V 1 + V V n = lin(v 1 V 2... V n ). Dowód. Niech α i V i dla i = 1, 2,..., n. Wtedy α i = θ +. {{.. + θ +α i + θ +. {{.. + θ, skad α i V V n dla i = 1, 2,..., n. Zatem V 1... V n V V n. Niech α, β V V n. Wtedy istniej α i, β i V i dla i = 1, 2,..., n takie, że α = α α n i β = β β n, skad α + β = (α 1 + β 1 ) (α n + β n ) V V n, bo α i + β i V i dla i = 1, 2,..., n. Ponadto dla a K mamy, że a α i V i dla i = 1, 2,..., n, skad z w lasności 5.20 a α = a α a α n V V n. Zatem V V n jest podprzestrzenia przestrzeni V zawierajac zbiór V 1... V n. Niech teraz W bedzie dowoln podprzestrzeni przestrzeni V taka, że V 1... V n W. Weźmy dowolne α V V n. Wtedy istniej α i V i dla i = 1, 2,..., n takie, że α = α α n. Ale α 1,..., α n W, wiec α W. Zatem V V n W. Stad V V n lin(v 1... V n ). Ale lin(v 1... V n ) jest najmniejsz podprzestrzenia przestrzeni V zawierajac zbiór V 1... V n, wiec stad V V n = lin(v 1... V n ). Twierdzenie 6.8. Dla dowolnych wektorów α 1,..., α n przestrzeni liniowej V zachodzi wzór: lin(α 1,..., α n ) = {a 1 α a n α n : a 1,..., a n R. Dowód. Ponieważ α i lin(α i ) dla i = 1, 2,..., n, wiec {α 1,..., α n lin(α 1 )... lin(α n ), skad lin(α 1,..., α n ) lin(lin(α 1 )... lin(α n )). Ponadto {α i {α 1,..., α n, wiec lin(α i ) lin(α 1,..., α n ) dla i = 1, 2,..., n. Zatem lin(lin(α 1 )... lin(α n )) lin(α 1,..., α n ). Stad lin(α 1,..., α n ) = lin(lin(α 1 )... lin(α n )) = lin(α 1 )+...+lin(α n ) = {a 1 α a n α n : a 1,..., a n R na mocy twierdzenia 6.7 i uwagi 6.6. i 1 n i 2

3 Twierdzenie 6.9. Dla dowolnych podzbiorów X i Y przestrzeni liniowej V zachodzi wzór: lin(x Y ) = lin(x) + lin(y ). Dowód. Mamy, że X lin(x) lin(x) + lin(y ) i Y lin(y ) lin(x) + lin(y ), wiec X Y lin(x) + lin(y ). Ale lin(x Y ) jest najmniejsz podprzestrzeni zawierajac zbiór X Y, wiec stad lin(x Y ) lin(x) + lin(y ). Dalej, X X Y lin(x Y ), skad lin(x) lin(x Y ) oraz Y X Y lin(x Y ), wiec lin(y ) lin(x Y ). Stad lin(x) + lin(y ) lin(x Y ) i ostatecznie lin(x Y ) = lin(x) + lin(y ). Z twierdzenia 6.9 mamy natychmiast nastepuj acy Wniosek Dla dowolnych wektorów α 1,..., α n, β 1,..., β m przestrzeni liniowej V zachodzi wzór: lin(α 1,..., α n, β 1,..., β m ) = lin(α 1,..., α n ) + lin(β 1,..., β m ). Twierdzenie Dla dowolnego podzbioru X przestrzeni liniowej V i dla każdego wektora α V : α lin(x) lin(x {α) = lin(x). Dowód. Za lóżmy, że lin(x {α) = lin(x). Ponieważ X {α lin(x {α), wiec stad X {α lin(x), skad α lin(x). Na odwrót, niech teraz α lin(x). Wtedy lin(α) lin(x), skad lin(α) + lin(x) = lin(x). Ale z twierdzenia 6.9, lin(x {α) = lin(x) + lin(α), wiec lin(x {α) = lin(x). 3 Kombinacja liniowa wektorów Definicja Niech V bedzie przestrzeni liniowa. Powiemy, że wektor α V jest kombinacj liniow wektorów α 1, α 2,..., α n V, jeżeli istniej skalary a 1, a 2,..., a n R (zwane wspó lczynnikami tej kombinacji) takie, że α = a 1 α 1 + a 2 α a n α n. (1) Uwaga Twierdzenie 6.8 możemy wypowiedzieć nastepuj aco: lin(α 1,..., α n ) sk lada sie ze wszystkich kombinacji liniowych wektorów α 1,..., α n. Twierdzenie Niech X bedzie dowolnym niepustym podzbiorem przestrzeni liniowej V nad cia lem R. Wówczas lin(x) jest zbiorem wszystkich kombinacji liniowych wszystkich skończonych podzbiorów zbioru X. Dowód. Oznaczmy przez V 1 zbiór wszystkich kombinacji liniowych wszystkich skończonych podzbiorów zbioru X. Dla α X mamy, że α = 1 α V 1, wiec X V 1. Ponieważ X, wiec V 1. Niech a R oraz α, β V 1. Wtedy istniej α 1,..., α n, β 1,..., β m X takie, że α = a 1 α a n α n oraz β = b 1 β b m β m. Zatem a α = (aa 1 ) α (aa n )α n V 1 oraz α lin(α 1,..., α n ) i β lin(β 1,..., β m ), wiec z wniosku 3

4 6.10, α + β lin(α 1,..., α n, β 1,..., β m ), czyli na mocy uwagi 6.13 α + β V 1. Stad V 1 jest podprzestrzeni przestrzeni V zawierajac X. Niech W bedzie dowoln podprzestrzenia przestrzeni V zawierajac X. Wtedy dla dowolnych α 1,..., α n X mamy, że α 1,..., α n W, skad dla dowolnych a 1,..., a n R jest a 1 α a n α n W. Zatem V 1 W, czyli V 1 jest najmniejsz podprzestrzeni przestrzeni X zawierajac zbiór X. Zatem V 1 = lin(x). Twierdzenie Niech α, α 1,..., α n, β 1,..., β m bed wektorami przestrzeni liniowej V. Jeżeli wektor α jest kombinacj liniow wektorów β 1,..., β m oraz dla i = 1, 2,..., m wektor β i jest kombinacj liniow wektorów α 1,..., α n, to wektor α jest kombinacj liniow wektorów α 1,..., α n. Dowód. Z uwagi 6.13 mamy, że β 1,..., β m lin(α 1,..., α n ). Zatem lin(β 1,..., β m ) lin(α 1,..., α n ). Ale z uwagi 6.13 α lin(β 1,..., β m ), wiec stad α lin(α 1,..., α n ), czyli z uwagi 6.13 wektor α jest kombinacj liniow wektorów α 1,..., α n. Przyk lad Niech n N. W przestrzeni R n określamy wektory ε 1 = [1, 0, 0,..., 0], ε 2 = [0, 1, 0,..., 0], ε 3 = [0, 0, 1,..., 0],..., ε n = [0, 0, 0,..., 1] Dla dowolnych skalarów a 1,..., a n R a 1 ε 1 = [a 1, 0, 0,..., 0] a 2 ε 2 = [0, a 2, 0,..., 0] a 3 ε 3 = [0, 0, a 3,..., 0] a n ε n = [0, 0, 0,..., a n ] wi ec po dodaniu stronami tych równości uzyskamy wzór: [a 1, a 2,..., a n ] = a 1 ε 1 + a 2 ε a n ε n. (2) Z tego wzoru wynika zatem, że każdy wektor przestrzeni R n jest kombinacj liniow wektorów ε 1,..., ε n, czyli R n = lin(ε 1,..., ε n ). Mówimy też, że wektory ε 1,..., ε n generuj przestrzeń R n., 4 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V. Wyróżniamy nastepuj ace operacje elementarne nad uk ladem wektorów (α 1,..., α n ): O1. Zamiana miejscami wektorów α i z α j (dla i j) oznaczana przez w i w j. Oczywiście operacja ta jest do siebie odwrotna. O2. Pomnożenie i-tego wektora przez niezerowy skalar a R, oznaczenie: a w i. Ponieważ dla a 0 jest a 1 (a α i ) = (a 1 a) α i = 1 α i = α i, wiec operacj odwrotn do a w i jest operacja a 1 w i. 4

5 O3. Dodanie do wektora α i wektora α j (dla i j) pomnożonego przez dowolny skalar a R, oznaczenie: w i + a w j. Ponieważ (α i + a α j ) + ( a) α j = α i + a α j + ( (a α j )) = α i, wiec operacj odwrotn do operacji w i + a w j jest operacja w i + ( a) w j. Twierdzenie Jeżeli uk lad wektorów (β 1,..., β n ) przestrzeni liniowej V powstaje z uk ladu wektorów (α 1,..., α n ) przez kolejne wykonanie skończonej liczby operacji elementarnych, to lin(β 1,..., β n ) = lin(α 1,..., α n ). Dowód. Indukcja pozwala nam ograniczyć sie do jednej operacji. Ponadto operacje elementarne s odwracalne, wiec wystarczy wykazać, że lin(β 1,..., β n ) lin(α 1,..., α n ), czyli, że {β 1,..., β n lin(α 1,..., α n ). Dla operacji O1 jest to oczywiste. Dla operacji O2 mamy, że β j = α j dla j i oraz β i = a α i lin(α 1,..., α n ). Dla operacji O3 β k = α k dla k i oraz β i = α i + a α j lin(α 1,..., α n ). Przyk lad Sprawdzimy, czy wektor [1, 2, 3] należy do podprzestrzeni W = lin([1, 3, 2], [1, 2, 1], [2, 5, 3]) przestrzeni liniowej R 3. Po wykonaniu operacji w 2 w 1, w 3 2w 1 uzyskamy na mocy twierdzenia 6.17, że W = lin([1, 3, 2], [0, 1, 1], [0, 1, 1]) = lin([1, 3, 2], [0, 1, 1]) = {x [1, 3, 2]+y [0, 1, 1] : x, y R = {[x, 3x y, 2x y] : x, y R. Zatem [1, 2, 3] W wtedy i tylko wtedy, gdy istniej x, y R takie, że [1, 2, 3] = [x, 3x y, 2x y], czyli gdy x = 1 oraz 3x y = 2x y = 1, a wiec gdy x = 1 i x = 0. Uzyskana sprzeczność pokazuje, że [1, 2, 3] W. 5 Liniowa niezależność wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V. Powiemy, że uk lad wektorów (α 1,..., α n ) jest liniowo zależny, jeżeli istniej skalary a 1,..., a n R nie wszystkie równe 0 i takie, że a 1 α a n α n = θ. Przyk lad Wektory θ, α 1,..., α n V s liniowo zależne, bo np. 1 θ + 0 α α n = θ oraz 1 0. Uwaga Jeżeli uk lad wektorów (α 1,..., α n ) jest liniowo zależny, to dla dowolnej bijekcji f : {1, 2,..., n {1, 2,..., n uk lad (α f(1),..., α f(n) ) też jest liniowo zależny. Przyk lad Wektory α, α, α 1,..., α n s liniowo zależne, bo 1 α + ( 1) α + 0 α α n = θ i

6 Definicja Powiemy, że uk lad wektorów (α 1,..., α n ) przestrzeni liniowej V jest liniowo niezależny, jeżeli nie jest on liniowo zależny, tzn. a1,...,a n R [a 1 α a n α n = θ a 1 =... = a n = 0]. Przyk lad Ze wzoru (2) wynika od razu, że uk lad wektorów (ε 1,..., ε n ) przestrzeni R n jest liniowo niezależny. Uwaga Z uwagi 6.20 wynika, że jeśli uk lad wektorów (α 1,..., α n ) przestrzeni liniowej V jest liniowo niezależny (w skrócie lnz), to dla dowolnej bijekcji f : {1, 2,..., n {1, 2,..., n uk lad (α f(1),..., α f(n) ) też jest liniowo niezależny. Ponadto z przyk ladu 6.21 wynika, że wtedy α i α j dla i j. Możemy zatem powiedzieć, że zbiór wektorów {α 1,..., α n jest liniowo niezależny. Dalej, z przyk ladu wynika, że θ {α 1,..., α n. Jeżeli X = {β 1,..., β k jest niepustym podzbiorem zbioru {α 1,..., α n, to zbiór X też jest liniowo niezależny, gdyż w przeciwnym wypadku istnia lyby skalary b 1,..., b k nie wszystkie równe 0 i takie, że b 1 β b k β k = θ i wówczas uzupe lniajac ciag (b 1,..., b k ) zerami uzyskamy ciag (a 1,..., a n ) taki, że a 1 α a n α n = θ, wbrew liniowej niezależności zbioru {α 1,..., α n. Z uwagi 6.24 wynika zatem, że definicj e liniowej niezależności można rozszerzyć na dowolne podzbiory przestrzeni liniowej. Definicja Powiemy, że podzbiór X przestrzeni liniowej V jest liniowo niezależny (w skrócie lnz), jeżeli każdy skończony podzbiór zbioru X jest liniowo niezależny. Zbiór pusty wektorów uważamy za liniowo niezależny. Z uwagi 6.24 oraz z tej definicji mamy od razu nastepuj ace Twierdzenie Dowolny podzbiór liniowo niezależnego zbioru wektorów przestrzeni liniowej jest zbiorem liniowo niezależnym. Przyk lad W przestrzeni liniowej V = R[x] zbiór {1, x, x 2,... jest liniowo niezależny. Przyk lad Jeżeli α jest niezerowym wektorem przestrzeni liniowej V, to zbiór {α jest liniowo niezależny. Rzeczywiście, niech a R b edzie takie, że a α = θ. Wtedy z uwagi 5.19 mamy, że a = 0, czyli zbiór {α jest lnz. Twierdzenie Jeżeli uk lad wektorów (β 1,..., β n ) przestrzeni liniowej V powstaje z uk ladu (α 1,..., α n ) przez kolejne wykonanie skończonej liczby operacji elementarnych, to uk lad (β 1,..., β n ) jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy uk lad (α 1,..., α n ) jest liniowo niezależny. Dowód. Indukcja pozwala nam ograniczyć sie do jednej operacji elementarnej. Ponadto operacje elementarne s odwracalne, wiec wystarczy wykazać, że jeżeli uk lad (α 1,..., α n ) jest lnz, to uk lad (β 1,..., β n ) jest lnz. Dla operacji O1 jest to oczywiste. Dla operacji O2 mamy, że β j = α j dla j i oraz β i = a α i dla pewnego a 0. Weźmy dowolne a 1,..., a n R takie, że a 1 β a n β n = θ. Wtedy a 1 α (a i a) α i a n α n = θ. Stad z liniowej 6

7 niezależności uk ladu (α 1,..., α n ) mamy, że a 1 = a 2 =... = a i a =... = a n = 0. Ale a 0, wiec stad a 1 =... = a i =... = a n = 0, czyli uk lad (β 1,..., β n ) jest lnz. Dla operacji O3 bez zmniejszania ogólności możemy zak ladać, że b 1 = α 1 +a α 2 oraz β j = α j dla j = 2,..., n. Weźmy dowolne a 1,..., a n R takie, że a 1 β a n β n = θ. Wtedy a 1 (α 1 + a α 2 ) + a 2 α a n α n = θ, czyli a 1 α 1 + (a 1 a+a 2 ) α a n α n = θ, skad z lnz uk ladu (α 1,..., α n ) mamy, że a 1 = a 1 a + a 2 = a 3 =... = a n = 0, czyli a 1 = a 2 =... = a n = 0, a wiec uk lad (β 1,..., β n ) jest lnz. Twierdzenie Niech X b edzie zbiorem liniowo niezależnym wektorów przestrzeni liniowej V. Wówczas dla każdego wektora α V : α lin(x) [α X lub zbiór X {α jest liniowo zależny]. Dowód.. Za lóżmy, że α lin(x). Wtedy α X, gdyż X lin(x). Zatem zbiór X {α jest liniowo zależny. Ale zbiór X jest liniowo niezależny, wiec istniej parami różne wektory α 1,..., α n X takie, że zbiór {α, α 1,..., α n jest liniowo zależny. Zatem istniej skalary a, a 1,..., a n R nie wszystkie równe 0 i takie, że a α+a 1 α a n α n = θ. Stad z liniowej niezależności wektorów α 1,..., α n wynika, że a 0. Zatem α = ( a 1 a ) α ( an a ) α n lin(x), czyli α lin(x) na mocy twierdzenia 6.14 i mamy sprzeczność.. Na mocy twierdzenia 6.14 istniej α 1,..., α n X oraz a 1,..., a n R takie, że α = a 1 α a n α n. Zatem 1 α+( a 1 ) α ( a n ) α n = θ, skad wynika, że α X albo α X i zbiór X {α jest liniowo zależny. 7