Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
|
|
- Justyna Witkowska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I) suma dowolnych dwu wektorów należacych do V 1 należy do V 1, (II) jeśli α V 1 i a K, to a α V 1. Uwaga 6.2. Wektor zerowy θ należy do każdej podprzestrzeni V 1 przestrzeni V. Rzeczywiście, ponieważ V 1, wiec istnieje α V 1 i wówczas z (II) mamy, że 0 α V 1, skad z w lasności 5.15 jest θ V 1. Uwaga 6.3. Podprzestrzeń V 1 przestrzeni liniowej V jest przestrzeni liniow wzgledem dodawania wektorów zredukowanego do V 1 i mnożenia przez skalary zredukowanego do V 1. Sprawdzenie prawdziwości aksjomatów A1-A8 nie przedstawia trudności. Np. z (II) oraz z w lasności 5.16 wynika, że α V 1 dla każdego α V 1. Każda przestrzeń liniowa V zawiera co najmniej dwie podprzestrzenie: zbiór V oraz podprzestrzeń z lożon tylko z wektora θ. Pierwsz z tych podprzestrzeni nazywamy niew laściwa, a drug zerowa. Twierdzenie 6.4. Cześć wspólna dowolnej niepustej rodziny podprzestrzeni danej przestrzeni liniowej V jest podprzestrzeni przestrzeni V. Dowód. Niech W bedzie dowoln niepust rodzin podprzestrzeni przestrzeni liniowej V i niech W 0 = W. Z uwagi 6.2 mamy, że θ W dla każdego W W. Zatem θ W 0. Niech W W α, β W 0. Wtedy α, β W dla każdego W W, skad α + β W dla każdego W W, wiec α + β W 0. Jeśli a R oraz α W 0, to α W dla każdego W W, skad a α W dla każdego W W, wiec a α W 0. Zatem W 0 jest podprzestrzeni przestrzeni V. 2 Podprzestrzenie generowane i ich w lasności Twierdzenie 6.5. Niech V bedzie przestrzeni liniow i niech A bedzie dowolnym podzbiorem przestrzeni V. Istnieje najmniejsza (w sensie inkluzji) podprzestrzeń przestrzeni V zawierajac A. Dowód. Oznaczmy przez W rodzine wszystkich podprzestrzeni W przestrzeni V takich, że A W. Rodzina W jest niepusta, bo np. V W. Z twierdzenia 6.4 mamy, że W 0 = W W W jest podprzestrzeni przestrzeni V, a ponieważ A W dla każdego W W, wiec A W 0. Niech teraz V 1 bedzie podprzestrzeni przestrzeni V taka, że A V 1. Wtedy V 1 W, skad W 0 V 1. Zatem W 0 jest najmniejsz w sensie inkluzji podprzestrzeni przestrzeni V zawierajac zbiór A. 1
2 Uwaga 6.6. Najmniejsz podprzestrzeń przestrzeni liniowej V zawierajac zbiór A V nazywamy podprzestrzeni rozpiet na podzbiorze A lub generowan przez podzbiór A i oznaczamy przez lin(a). Z tego określenia wynika od razu, że lin( ) = {θ. Jeśli zbiór A jest skończony i A = {α 1, α 2,..., α n, to zamiast lin({α 1, α 2,..., α n ) bedziemy pisali lin(α 1, α 2,..., α n ). Zauważmy, że dla każdego α V jest lin(α) = {a α : a R. Rzeczywiście, α = 1 α {a α : a R oraz dla dowolnych a, b R mamy, że a α+b α = (a+b) α i a (b α) = (ab) α, wiec {a α : a R jest podprzestrzeni przestrzeni V zawierajac α. Jeżeli zaś W jest podprzestrzeni przestrzeni V taka, że α W, to dla dowolnego a R jest a α W, skad {a α : a R W. Zatem lin(α) = {a α : a R. Ponadto z definicji podprzestrzeni generowanej wynika od razu, że jeżeli A i B s podzbiorami przestrzeni liniowej V takimi, że A B, to lin(a) lin(b). Twierdzenie 6.7. Niech V 1, V 2,..., V n bed podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V. Wówczas zbiór V 1 + V V n = {α 1 + α α n : α i V i dla i = 1, 2,..., n jest podprzestrzeni przestrzeni V. Ponadto V 1 + V V n = lin(v 1 V 2... V n ). Dowód. Niech α i V i dla i = 1, 2,..., n. Wtedy α i = θ +. {{.. + θ +α i + θ +. {{.. + θ, skad α i V V n dla i = 1, 2,..., n. Zatem V 1... V n V V n. Niech α, β V V n. Wtedy istniej α i, β i V i dla i = 1, 2,..., n takie, że α = α α n i β = β β n, skad α + β = (α 1 + β 1 ) (α n + β n ) V V n, bo α i + β i V i dla i = 1, 2,..., n. Ponadto dla a K mamy, że a α i V i dla i = 1, 2,..., n, skad z w lasności 5.20 a α = a α a α n V V n. Zatem V V n jest podprzestrzenia przestrzeni V zawierajac zbiór V 1... V n. Niech teraz W bedzie dowoln podprzestrzeni przestrzeni V taka, że V 1... V n W. Weźmy dowolne α V V n. Wtedy istniej α i V i dla i = 1, 2,..., n takie, że α = α α n. Ale α 1,..., α n W, wiec α W. Zatem V V n W. Stad V V n lin(v 1... V n ). Ale lin(v 1... V n ) jest najmniejsz podprzestrzenia przestrzeni V zawierajac zbiór V 1... V n, wiec stad V V n = lin(v 1... V n ). Twierdzenie 6.8. Dla dowolnych wektorów α 1,..., α n przestrzeni liniowej V zachodzi wzór: lin(α 1,..., α n ) = {a 1 α a n α n : a 1,..., a n R. Dowód. Ponieważ α i lin(α i ) dla i = 1, 2,..., n, wiec {α 1,..., α n lin(α 1 )... lin(α n ), skad lin(α 1,..., α n ) lin(lin(α 1 )... lin(α n )). Ponadto {α i {α 1,..., α n, wiec lin(α i ) lin(α 1,..., α n ) dla i = 1, 2,..., n. Zatem lin(lin(α 1 )... lin(α n )) lin(α 1,..., α n ). Stad lin(α 1,..., α n ) = lin(lin(α 1 )... lin(α n )) = lin(α 1 )+...+lin(α n ) = {a 1 α a n α n : a 1,..., a n R na mocy twierdzenia 6.7 i uwagi 6.6. i 1 n i 2
3 Twierdzenie 6.9. Dla dowolnych podzbiorów X i Y przestrzeni liniowej V zachodzi wzór: lin(x Y ) = lin(x) + lin(y ). Dowód. Mamy, że X lin(x) lin(x) + lin(y ) i Y lin(y ) lin(x) + lin(y ), wiec X Y lin(x) + lin(y ). Ale lin(x Y ) jest najmniejsz podprzestrzeni zawierajac zbiór X Y, wiec stad lin(x Y ) lin(x) + lin(y ). Dalej, X X Y lin(x Y ), skad lin(x) lin(x Y ) oraz Y X Y lin(x Y ), wiec lin(y ) lin(x Y ). Stad lin(x) + lin(y ) lin(x Y ) i ostatecznie lin(x Y ) = lin(x) + lin(y ). Z twierdzenia 6.9 mamy natychmiast nastepuj acy Wniosek Dla dowolnych wektorów α 1,..., α n, β 1,..., β m przestrzeni liniowej V zachodzi wzór: lin(α 1,..., α n, β 1,..., β m ) = lin(α 1,..., α n ) + lin(β 1,..., β m ). Twierdzenie Dla dowolnego podzbioru X przestrzeni liniowej V i dla każdego wektora α V : α lin(x) lin(x {α) = lin(x). Dowód. Za lóżmy, że lin(x {α) = lin(x). Ponieważ X {α lin(x {α), wiec stad X {α lin(x), skad α lin(x). Na odwrót, niech teraz α lin(x). Wtedy lin(α) lin(x), skad lin(α) + lin(x) = lin(x). Ale z twierdzenia 6.9, lin(x {α) = lin(x) + lin(α), wiec lin(x {α) = lin(x). 3 Kombinacja liniowa wektorów Definicja Niech V bedzie przestrzeni liniowa. Powiemy, że wektor α V jest kombinacj liniow wektorów α 1, α 2,..., α n V, jeżeli istniej skalary a 1, a 2,..., a n R (zwane wspó lczynnikami tej kombinacji) takie, że α = a 1 α 1 + a 2 α a n α n. (1) Uwaga Twierdzenie 6.8 możemy wypowiedzieć nastepuj aco: lin(α 1,..., α n ) sk lada sie ze wszystkich kombinacji liniowych wektorów α 1,..., α n. Twierdzenie Niech X bedzie dowolnym niepustym podzbiorem przestrzeni liniowej V nad cia lem R. Wówczas lin(x) jest zbiorem wszystkich kombinacji liniowych wszystkich skończonych podzbiorów zbioru X. Dowód. Oznaczmy przez V 1 zbiór wszystkich kombinacji liniowych wszystkich skończonych podzbiorów zbioru X. Dla α X mamy, że α = 1 α V 1, wiec X V 1. Ponieważ X, wiec V 1. Niech a R oraz α, β V 1. Wtedy istniej α 1,..., α n, β 1,..., β m X takie, że α = a 1 α a n α n oraz β = b 1 β b m β m. Zatem a α = (aa 1 ) α (aa n )α n V 1 oraz α lin(α 1,..., α n ) i β lin(β 1,..., β m ), wiec z wniosku 3
4 6.10, α + β lin(α 1,..., α n, β 1,..., β m ), czyli na mocy uwagi 6.13 α + β V 1. Stad V 1 jest podprzestrzeni przestrzeni V zawierajac X. Niech W bedzie dowoln podprzestrzenia przestrzeni V zawierajac X. Wtedy dla dowolnych α 1,..., α n X mamy, że α 1,..., α n W, skad dla dowolnych a 1,..., a n R jest a 1 α a n α n W. Zatem V 1 W, czyli V 1 jest najmniejsz podprzestrzeni przestrzeni X zawierajac zbiór X. Zatem V 1 = lin(x). Twierdzenie Niech α, α 1,..., α n, β 1,..., β m bed wektorami przestrzeni liniowej V. Jeżeli wektor α jest kombinacj liniow wektorów β 1,..., β m oraz dla i = 1, 2,..., m wektor β i jest kombinacj liniow wektorów α 1,..., α n, to wektor α jest kombinacj liniow wektorów α 1,..., α n. Dowód. Z uwagi 6.13 mamy, że β 1,..., β m lin(α 1,..., α n ). Zatem lin(β 1,..., β m ) lin(α 1,..., α n ). Ale z uwagi 6.13 α lin(β 1,..., β m ), wiec stad α lin(α 1,..., α n ), czyli z uwagi 6.13 wektor α jest kombinacj liniow wektorów α 1,..., α n. Przyk lad Niech n N. W przestrzeni R n określamy wektory ε 1 = [1, 0, 0,..., 0], ε 2 = [0, 1, 0,..., 0], ε 3 = [0, 0, 1,..., 0],..., ε n = [0, 0, 0,..., 1] Dla dowolnych skalarów a 1,..., a n R a 1 ε 1 = [a 1, 0, 0,..., 0] a 2 ε 2 = [0, a 2, 0,..., 0] a 3 ε 3 = [0, 0, a 3,..., 0] a n ε n = [0, 0, 0,..., a n ] wi ec po dodaniu stronami tych równości uzyskamy wzór: [a 1, a 2,..., a n ] = a 1 ε 1 + a 2 ε a n ε n. (2) Z tego wzoru wynika zatem, że każdy wektor przestrzeni R n jest kombinacj liniow wektorów ε 1,..., ε n, czyli R n = lin(ε 1,..., ε n ). Mówimy też, że wektory ε 1,..., ε n generuj przestrzeń R n., 4 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V. Wyróżniamy nastepuj ace operacje elementarne nad uk ladem wektorów (α 1,..., α n ): O1. Zamiana miejscami wektorów α i z α j (dla i j) oznaczana przez w i w j. Oczywiście operacja ta jest do siebie odwrotna. O2. Pomnożenie i-tego wektora przez niezerowy skalar a R, oznaczenie: a w i. Ponieważ dla a 0 jest a 1 (a α i ) = (a 1 a) α i = 1 α i = α i, wiec operacj odwrotn do a w i jest operacja a 1 w i. 4
5 O3. Dodanie do wektora α i wektora α j (dla i j) pomnożonego przez dowolny skalar a R, oznaczenie: w i + a w j. Ponieważ (α i + a α j ) + ( a) α j = α i + a α j + ( (a α j )) = α i, wiec operacj odwrotn do operacji w i + a w j jest operacja w i + ( a) w j. Twierdzenie Jeżeli uk lad wektorów (β 1,..., β n ) przestrzeni liniowej V powstaje z uk ladu wektorów (α 1,..., α n ) przez kolejne wykonanie skończonej liczby operacji elementarnych, to lin(β 1,..., β n ) = lin(α 1,..., α n ). Dowód. Indukcja pozwala nam ograniczyć sie do jednej operacji. Ponadto operacje elementarne s odwracalne, wiec wystarczy wykazać, że lin(β 1,..., β n ) lin(α 1,..., α n ), czyli, że {β 1,..., β n lin(α 1,..., α n ). Dla operacji O1 jest to oczywiste. Dla operacji O2 mamy, że β j = α j dla j i oraz β i = a α i lin(α 1,..., α n ). Dla operacji O3 β k = α k dla k i oraz β i = α i + a α j lin(α 1,..., α n ). Przyk lad Sprawdzimy, czy wektor [1, 2, 3] należy do podprzestrzeni W = lin([1, 3, 2], [1, 2, 1], [2, 5, 3]) przestrzeni liniowej R 3. Po wykonaniu operacji w 2 w 1, w 3 2w 1 uzyskamy na mocy twierdzenia 6.17, że W = lin([1, 3, 2], [0, 1, 1], [0, 1, 1]) = lin([1, 3, 2], [0, 1, 1]) = {x [1, 3, 2]+y [0, 1, 1] : x, y R = {[x, 3x y, 2x y] : x, y R. Zatem [1, 2, 3] W wtedy i tylko wtedy, gdy istniej x, y R takie, że [1, 2, 3] = [x, 3x y, 2x y], czyli gdy x = 1 oraz 3x y = 2x y = 1, a wiec gdy x = 1 i x = 0. Uzyskana sprzeczność pokazuje, że [1, 2, 3] W. 5 Liniowa niezależność wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V. Powiemy, że uk lad wektorów (α 1,..., α n ) jest liniowo zależny, jeżeli istniej skalary a 1,..., a n R nie wszystkie równe 0 i takie, że a 1 α a n α n = θ. Przyk lad Wektory θ, α 1,..., α n V s liniowo zależne, bo np. 1 θ + 0 α α n = θ oraz 1 0. Uwaga Jeżeli uk lad wektorów (α 1,..., α n ) jest liniowo zależny, to dla dowolnej bijekcji f : {1, 2,..., n {1, 2,..., n uk lad (α f(1),..., α f(n) ) też jest liniowo zależny. Przyk lad Wektory α, α, α 1,..., α n s liniowo zależne, bo 1 α + ( 1) α + 0 α α n = θ i
6 Definicja Powiemy, że uk lad wektorów (α 1,..., α n ) przestrzeni liniowej V jest liniowo niezależny, jeżeli nie jest on liniowo zależny, tzn. a1,...,a n R [a 1 α a n α n = θ a 1 =... = a n = 0]. Przyk lad Ze wzoru (2) wynika od razu, że uk lad wektorów (ε 1,..., ε n ) przestrzeni R n jest liniowo niezależny. Uwaga Z uwagi 6.20 wynika, że jeśli uk lad wektorów (α 1,..., α n ) przestrzeni liniowej V jest liniowo niezależny (w skrócie lnz), to dla dowolnej bijekcji f : {1, 2,..., n {1, 2,..., n uk lad (α f(1),..., α f(n) ) też jest liniowo niezależny. Ponadto z przyk ladu 6.21 wynika, że wtedy α i α j dla i j. Możemy zatem powiedzieć, że zbiór wektorów {α 1,..., α n jest liniowo niezależny. Dalej, z przyk ladu wynika, że θ {α 1,..., α n. Jeżeli X = {β 1,..., β k jest niepustym podzbiorem zbioru {α 1,..., α n, to zbiór X też jest liniowo niezależny, gdyż w przeciwnym wypadku istnia lyby skalary b 1,..., b k nie wszystkie równe 0 i takie, że b 1 β b k β k = θ i wówczas uzupe lniajac ciag (b 1,..., b k ) zerami uzyskamy ciag (a 1,..., a n ) taki, że a 1 α a n α n = θ, wbrew liniowej niezależności zbioru {α 1,..., α n. Z uwagi 6.24 wynika zatem, że definicj e liniowej niezależności można rozszerzyć na dowolne podzbiory przestrzeni liniowej. Definicja Powiemy, że podzbiór X przestrzeni liniowej V jest liniowo niezależny (w skrócie lnz), jeżeli każdy skończony podzbiór zbioru X jest liniowo niezależny. Zbiór pusty wektorów uważamy za liniowo niezależny. Z uwagi 6.24 oraz z tej definicji mamy od razu nastepuj ace Twierdzenie Dowolny podzbiór liniowo niezależnego zbioru wektorów przestrzeni liniowej jest zbiorem liniowo niezależnym. Przyk lad W przestrzeni liniowej V = R[x] zbiór {1, x, x 2,... jest liniowo niezależny. Przyk lad Jeżeli α jest niezerowym wektorem przestrzeni liniowej V, to zbiór {α jest liniowo niezależny. Rzeczywiście, niech a R b edzie takie, że a α = θ. Wtedy z uwagi 5.19 mamy, że a = 0, czyli zbiór {α jest lnz. Twierdzenie Jeżeli uk lad wektorów (β 1,..., β n ) przestrzeni liniowej V powstaje z uk ladu (α 1,..., α n ) przez kolejne wykonanie skończonej liczby operacji elementarnych, to uk lad (β 1,..., β n ) jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy uk lad (α 1,..., α n ) jest liniowo niezależny. Dowód. Indukcja pozwala nam ograniczyć sie do jednej operacji elementarnej. Ponadto operacje elementarne s odwracalne, wiec wystarczy wykazać, że jeżeli uk lad (α 1,..., α n ) jest lnz, to uk lad (β 1,..., β n ) jest lnz. Dla operacji O1 jest to oczywiste. Dla operacji O2 mamy, że β j = α j dla j i oraz β i = a α i dla pewnego a 0. Weźmy dowolne a 1,..., a n R takie, że a 1 β a n β n = θ. Wtedy a 1 α (a i a) α i a n α n = θ. Stad z liniowej 6
7 niezależności uk ladu (α 1,..., α n ) mamy, że a 1 = a 2 =... = a i a =... = a n = 0. Ale a 0, wiec stad a 1 =... = a i =... = a n = 0, czyli uk lad (β 1,..., β n ) jest lnz. Dla operacji O3 bez zmniejszania ogólności możemy zak ladać, że b 1 = α 1 +a α 2 oraz β j = α j dla j = 2,..., n. Weźmy dowolne a 1,..., a n R takie, że a 1 β a n β n = θ. Wtedy a 1 (α 1 + a α 2 ) + a 2 α a n α n = θ, czyli a 1 α 1 + (a 1 a+a 2 ) α a n α n = θ, skad z lnz uk ladu (α 1,..., α n ) mamy, że a 1 = a 1 a + a 2 = a 3 =... = a n = 0, czyli a 1 = a 2 =... = a n = 0, a wiec uk lad (β 1,..., β n ) jest lnz. Twierdzenie Niech X b edzie zbiorem liniowo niezależnym wektorów przestrzeni liniowej V. Wówczas dla każdego wektora α V : α lin(x) [α X lub zbiór X {α jest liniowo zależny]. Dowód.. Za lóżmy, że α lin(x). Wtedy α X, gdyż X lin(x). Zatem zbiór X {α jest liniowo zależny. Ale zbiór X jest liniowo niezależny, wiec istniej parami różne wektory α 1,..., α n X takie, że zbiór {α, α 1,..., α n jest liniowo zależny. Zatem istniej skalary a, a 1,..., a n R nie wszystkie równe 0 i takie, że a α+a 1 α a n α n = θ. Stad z liniowej niezależności wektorów α 1,..., α n wynika, że a 0. Zatem α = ( a 1 a ) α ( an a ) α n lin(x), czyli α lin(x) na mocy twierdzenia 6.14 i mamy sprzeczność.. Na mocy twierdzenia 6.14 istniej α 1,..., α n X oraz a 1,..., a n R takie, że α = a 1 α a n α n. Zatem 1 α+( a 1 ) α ( a n ) α n = θ, skad wynika, że α X albo α X i zbiór X {α jest liniowo zależny. 7
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Wyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe
1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Przestrzenie liniowe
Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie
. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach
Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element
Kombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
3 Przestrzenie liniowe
MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia
Wyk lad 3 Wyznaczniki
1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Analiza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Przestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013
Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Układy liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej
Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na
Układy równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Przestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Cia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska Wroc law Wroc law, kwiecień 2011
Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska 50-370 Wroc law Wroc law, kwiecień 2011 Analiza Funkcjonalna WPPT IIr. Wyk lady 4 i 5: Przestrzenie unitarne i Hilberta (rzeczywiste
9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Algebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Rozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych
Grupa, cia lo Zadanie 1. Jakie w lasności w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maj dzia lania a b = a b, a b = a 2 + b 2, a b = a+b, a b = b. 2 Zadanie 2. Pokazać, że (R
Rozdzia l 3. Relacje binarne
Rozdzia l 3. Relacje binarne 1. Para uporz adkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów Dla pary zbiorów {x, y} zachodzi, jak latwo sprawdzić, równość {x, y} = {y, x}. To znaczy, kolejność wymienienia
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
KOLOKWIUM Z ALGEBRY I R
Instrucje: Każde zadanie jest za 4 puntów. Rozwi azanie ażdego zadania musi znajdować siȩ na osobnej artce oraz być napisane starannie i czytelnie. W nag lówu ażdego rozwi azania musz a znajdować siȩ dane
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne
Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
R k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0
Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0}
1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej
1 Rząd macierzy Rozpatrzmy równanie jednorodne Ax = 0, gdzie A M(n, k). Wiemy, że posiada ono rozwiązanie. Jednakże wymiar macierzy A, a tym samym liczba równań w odpowiadającym jej układzie równań liniowych
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9
Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek
4 Przekształcenia liniowe
MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Baza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Suma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3
R n jako przestrzeń afiniczna
R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1
Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Zastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Praca domowa - seria 6
Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x
1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.
Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej X nad cia lem K ma nastepuj ace w lasności: (i) x, y + z = x, y + x, z, (ii) x, λy = λ x, y, (iii)
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu