Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych"

Transkrypt

1 Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I) suma dowolnych dwu wektorów należacych do V 1 należy do V 1, (II) jeśli α V 1 i a K, to a α V 1. Uwaga 6.2. Wektor zerowy θ należy do każdej podprzestrzeni V 1 przestrzeni V. Rzeczywiście, ponieważ V 1, wiec istnieje α V 1 i wówczas z (II) mamy, że 0 α V 1, skad z w lasności 5.15 jest θ V 1. Uwaga 6.3. Podprzestrzeń V 1 przestrzeni liniowej V jest przestrzeni liniow wzgledem dodawania wektorów zredukowanego do V 1 i mnożenia przez skalary zredukowanego do V 1. Sprawdzenie prawdziwości aksjomatów A1-A8 nie przedstawia trudności. Np. z (II) oraz z w lasności 5.16 wynika, że α V 1 dla każdego α V 1. Każda przestrzeń liniowa V zawiera co najmniej dwie podprzestrzenie: zbiór V oraz podprzestrzeń z lożon tylko z wektora θ. Pierwsz z tych podprzestrzeni nazywamy niew laściwa, a drug zerowa. Twierdzenie 6.4. Cześć wspólna dowolnej niepustej rodziny podprzestrzeni danej przestrzeni liniowej V jest podprzestrzeni przestrzeni V. Dowód. Niech W bedzie dowoln niepust rodzin podprzestrzeni przestrzeni liniowej V i niech W 0 = W. Z uwagi 6.2 mamy, że θ W dla każdego W W. Zatem θ W 0. Niech W W α, β W 0. Wtedy α, β W dla każdego W W, skad α + β W dla każdego W W, wiec α + β W 0. Jeśli a R oraz α W 0, to α W dla każdego W W, skad a α W dla każdego W W, wiec a α W 0. Zatem W 0 jest podprzestrzeni przestrzeni V. 2 Podprzestrzenie generowane i ich w lasności Twierdzenie 6.5. Niech V bedzie przestrzeni liniow i niech A bedzie dowolnym podzbiorem przestrzeni V. Istnieje najmniejsza (w sensie inkluzji) podprzestrzeń przestrzeni V zawierajac A. Dowód. Oznaczmy przez W rodzine wszystkich podprzestrzeni W przestrzeni V takich, że A W. Rodzina W jest niepusta, bo np. V W. Z twierdzenia 6.4 mamy, że W 0 = W W W jest podprzestrzeni przestrzeni V, a ponieważ A W dla każdego W W, wiec A W 0. Niech teraz V 1 bedzie podprzestrzeni przestrzeni V taka, że A V 1. Wtedy V 1 W, skad W 0 V 1. Zatem W 0 jest najmniejsz w sensie inkluzji podprzestrzeni przestrzeni V zawierajac zbiór A. 1

2 Uwaga 6.6. Najmniejsz podprzestrzeń przestrzeni liniowej V zawierajac zbiór A V nazywamy podprzestrzeni rozpiet na podzbiorze A lub generowan przez podzbiór A i oznaczamy przez lin(a). Z tego określenia wynika od razu, że lin( ) = {θ. Jeśli zbiór A jest skończony i A = {α 1, α 2,..., α n, to zamiast lin({α 1, α 2,..., α n ) bedziemy pisali lin(α 1, α 2,..., α n ). Zauważmy, że dla każdego α V jest lin(α) = {a α : a R. Rzeczywiście, α = 1 α {a α : a R oraz dla dowolnych a, b R mamy, że a α+b α = (a+b) α i a (b α) = (ab) α, wiec {a α : a R jest podprzestrzeni przestrzeni V zawierajac α. Jeżeli zaś W jest podprzestrzeni przestrzeni V taka, że α W, to dla dowolnego a R jest a α W, skad {a α : a R W. Zatem lin(α) = {a α : a R. Ponadto z definicji podprzestrzeni generowanej wynika od razu, że jeżeli A i B s podzbiorami przestrzeni liniowej V takimi, że A B, to lin(a) lin(b). Twierdzenie 6.7. Niech V 1, V 2,..., V n bed podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V. Wówczas zbiór V 1 + V V n = {α 1 + α α n : α i V i dla i = 1, 2,..., n jest podprzestrzeni przestrzeni V. Ponadto V 1 + V V n = lin(v 1 V 2... V n ). Dowód. Niech α i V i dla i = 1, 2,..., n. Wtedy α i = θ +. {{.. + θ +α i + θ +. {{.. + θ, skad α i V V n dla i = 1, 2,..., n. Zatem V 1... V n V V n. Niech α, β V V n. Wtedy istniej α i, β i V i dla i = 1, 2,..., n takie, że α = α α n i β = β β n, skad α + β = (α 1 + β 1 ) (α n + β n ) V V n, bo α i + β i V i dla i = 1, 2,..., n. Ponadto dla a K mamy, że a α i V i dla i = 1, 2,..., n, skad z w lasności 5.20 a α = a α a α n V V n. Zatem V V n jest podprzestrzenia przestrzeni V zawierajac zbiór V 1... V n. Niech teraz W bedzie dowoln podprzestrzeni przestrzeni V taka, że V 1... V n W. Weźmy dowolne α V V n. Wtedy istniej α i V i dla i = 1, 2,..., n takie, że α = α α n. Ale α 1,..., α n W, wiec α W. Zatem V V n W. Stad V V n lin(v 1... V n ). Ale lin(v 1... V n ) jest najmniejsz podprzestrzenia przestrzeni V zawierajac zbiór V 1... V n, wiec stad V V n = lin(v 1... V n ). Twierdzenie 6.8. Dla dowolnych wektorów α 1,..., α n przestrzeni liniowej V zachodzi wzór: lin(α 1,..., α n ) = {a 1 α a n α n : a 1,..., a n R. Dowód. Ponieważ α i lin(α i ) dla i = 1, 2,..., n, wiec {α 1,..., α n lin(α 1 )... lin(α n ), skad lin(α 1,..., α n ) lin(lin(α 1 )... lin(α n )). Ponadto {α i {α 1,..., α n, wiec lin(α i ) lin(α 1,..., α n ) dla i = 1, 2,..., n. Zatem lin(lin(α 1 )... lin(α n )) lin(α 1,..., α n ). Stad lin(α 1,..., α n ) = lin(lin(α 1 )... lin(α n )) = lin(α 1 )+...+lin(α n ) = {a 1 α a n α n : a 1,..., a n R na mocy twierdzenia 6.7 i uwagi 6.6. i 1 n i 2

3 Twierdzenie 6.9. Dla dowolnych podzbiorów X i Y przestrzeni liniowej V zachodzi wzór: lin(x Y ) = lin(x) + lin(y ). Dowód. Mamy, że X lin(x) lin(x) + lin(y ) i Y lin(y ) lin(x) + lin(y ), wiec X Y lin(x) + lin(y ). Ale lin(x Y ) jest najmniejsz podprzestrzeni zawierajac zbiór X Y, wiec stad lin(x Y ) lin(x) + lin(y ). Dalej, X X Y lin(x Y ), skad lin(x) lin(x Y ) oraz Y X Y lin(x Y ), wiec lin(y ) lin(x Y ). Stad lin(x) + lin(y ) lin(x Y ) i ostatecznie lin(x Y ) = lin(x) + lin(y ). Z twierdzenia 6.9 mamy natychmiast nastepuj acy Wniosek Dla dowolnych wektorów α 1,..., α n, β 1,..., β m przestrzeni liniowej V zachodzi wzór: lin(α 1,..., α n, β 1,..., β m ) = lin(α 1,..., α n ) + lin(β 1,..., β m ). Twierdzenie Dla dowolnego podzbioru X przestrzeni liniowej V i dla każdego wektora α V : α lin(x) lin(x {α) = lin(x). Dowód. Za lóżmy, że lin(x {α) = lin(x). Ponieważ X {α lin(x {α), wiec stad X {α lin(x), skad α lin(x). Na odwrót, niech teraz α lin(x). Wtedy lin(α) lin(x), skad lin(α) + lin(x) = lin(x). Ale z twierdzenia 6.9, lin(x {α) = lin(x) + lin(α), wiec lin(x {α) = lin(x). 3 Kombinacja liniowa wektorów Definicja Niech V bedzie przestrzeni liniowa. Powiemy, że wektor α V jest kombinacj liniow wektorów α 1, α 2,..., α n V, jeżeli istniej skalary a 1, a 2,..., a n R (zwane wspó lczynnikami tej kombinacji) takie, że α = a 1 α 1 + a 2 α a n α n. (1) Uwaga Twierdzenie 6.8 możemy wypowiedzieć nastepuj aco: lin(α 1,..., α n ) sk lada sie ze wszystkich kombinacji liniowych wektorów α 1,..., α n. Twierdzenie Niech X bedzie dowolnym niepustym podzbiorem przestrzeni liniowej V nad cia lem R. Wówczas lin(x) jest zbiorem wszystkich kombinacji liniowych wszystkich skończonych podzbiorów zbioru X. Dowód. Oznaczmy przez V 1 zbiór wszystkich kombinacji liniowych wszystkich skończonych podzbiorów zbioru X. Dla α X mamy, że α = 1 α V 1, wiec X V 1. Ponieważ X, wiec V 1. Niech a R oraz α, β V 1. Wtedy istniej α 1,..., α n, β 1,..., β m X takie, że α = a 1 α a n α n oraz β = b 1 β b m β m. Zatem a α = (aa 1 ) α (aa n )α n V 1 oraz α lin(α 1,..., α n ) i β lin(β 1,..., β m ), wiec z wniosku 3

4 6.10, α + β lin(α 1,..., α n, β 1,..., β m ), czyli na mocy uwagi 6.13 α + β V 1. Stad V 1 jest podprzestrzeni przestrzeni V zawierajac X. Niech W bedzie dowoln podprzestrzenia przestrzeni V zawierajac X. Wtedy dla dowolnych α 1,..., α n X mamy, że α 1,..., α n W, skad dla dowolnych a 1,..., a n R jest a 1 α a n α n W. Zatem V 1 W, czyli V 1 jest najmniejsz podprzestrzeni przestrzeni X zawierajac zbiór X. Zatem V 1 = lin(x). Twierdzenie Niech α, α 1,..., α n, β 1,..., β m bed wektorami przestrzeni liniowej V. Jeżeli wektor α jest kombinacj liniow wektorów β 1,..., β m oraz dla i = 1, 2,..., m wektor β i jest kombinacj liniow wektorów α 1,..., α n, to wektor α jest kombinacj liniow wektorów α 1,..., α n. Dowód. Z uwagi 6.13 mamy, że β 1,..., β m lin(α 1,..., α n ). Zatem lin(β 1,..., β m ) lin(α 1,..., α n ). Ale z uwagi 6.13 α lin(β 1,..., β m ), wiec stad α lin(α 1,..., α n ), czyli z uwagi 6.13 wektor α jest kombinacj liniow wektorów α 1,..., α n. Przyk lad Niech n N. W przestrzeni R n określamy wektory ε 1 = [1, 0, 0,..., 0], ε 2 = [0, 1, 0,..., 0], ε 3 = [0, 0, 1,..., 0],..., ε n = [0, 0, 0,..., 1] Dla dowolnych skalarów a 1,..., a n R a 1 ε 1 = [a 1, 0, 0,..., 0] a 2 ε 2 = [0, a 2, 0,..., 0] a 3 ε 3 = [0, 0, a 3,..., 0] a n ε n = [0, 0, 0,..., a n ] wi ec po dodaniu stronami tych równości uzyskamy wzór: [a 1, a 2,..., a n ] = a 1 ε 1 + a 2 ε a n ε n. (2) Z tego wzoru wynika zatem, że każdy wektor przestrzeni R n jest kombinacj liniow wektorów ε 1,..., ε n, czyli R n = lin(ε 1,..., ε n ). Mówimy też, że wektory ε 1,..., ε n generuj przestrzeń R n., 4 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V. Wyróżniamy nastepuj ace operacje elementarne nad uk ladem wektorów (α 1,..., α n ): O1. Zamiana miejscami wektorów α i z α j (dla i j) oznaczana przez w i w j. Oczywiście operacja ta jest do siebie odwrotna. O2. Pomnożenie i-tego wektora przez niezerowy skalar a R, oznaczenie: a w i. Ponieważ dla a 0 jest a 1 (a α i ) = (a 1 a) α i = 1 α i = α i, wiec operacj odwrotn do a w i jest operacja a 1 w i. 4

5 O3. Dodanie do wektora α i wektora α j (dla i j) pomnożonego przez dowolny skalar a R, oznaczenie: w i + a w j. Ponieważ (α i + a α j ) + ( a) α j = α i + a α j + ( (a α j )) = α i, wiec operacj odwrotn do operacji w i + a w j jest operacja w i + ( a) w j. Twierdzenie Jeżeli uk lad wektorów (β 1,..., β n ) przestrzeni liniowej V powstaje z uk ladu wektorów (α 1,..., α n ) przez kolejne wykonanie skończonej liczby operacji elementarnych, to lin(β 1,..., β n ) = lin(α 1,..., α n ). Dowód. Indukcja pozwala nam ograniczyć sie do jednej operacji. Ponadto operacje elementarne s odwracalne, wiec wystarczy wykazać, że lin(β 1,..., β n ) lin(α 1,..., α n ), czyli, że {β 1,..., β n lin(α 1,..., α n ). Dla operacji O1 jest to oczywiste. Dla operacji O2 mamy, że β j = α j dla j i oraz β i = a α i lin(α 1,..., α n ). Dla operacji O3 β k = α k dla k i oraz β i = α i + a α j lin(α 1,..., α n ). Przyk lad Sprawdzimy, czy wektor [1, 2, 3] należy do podprzestrzeni W = lin([1, 3, 2], [1, 2, 1], [2, 5, 3]) przestrzeni liniowej R 3. Po wykonaniu operacji w 2 w 1, w 3 2w 1 uzyskamy na mocy twierdzenia 6.17, że W = lin([1, 3, 2], [0, 1, 1], [0, 1, 1]) = lin([1, 3, 2], [0, 1, 1]) = {x [1, 3, 2]+y [0, 1, 1] : x, y R = {[x, 3x y, 2x y] : x, y R. Zatem [1, 2, 3] W wtedy i tylko wtedy, gdy istniej x, y R takie, że [1, 2, 3] = [x, 3x y, 2x y], czyli gdy x = 1 oraz 3x y = 2x y = 1, a wiec gdy x = 1 i x = 0. Uzyskana sprzeczność pokazuje, że [1, 2, 3] W. 5 Liniowa niezależność wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V. Powiemy, że uk lad wektorów (α 1,..., α n ) jest liniowo zależny, jeżeli istniej skalary a 1,..., a n R nie wszystkie równe 0 i takie, że a 1 α a n α n = θ. Przyk lad Wektory θ, α 1,..., α n V s liniowo zależne, bo np. 1 θ + 0 α α n = θ oraz 1 0. Uwaga Jeżeli uk lad wektorów (α 1,..., α n ) jest liniowo zależny, to dla dowolnej bijekcji f : {1, 2,..., n {1, 2,..., n uk lad (α f(1),..., α f(n) ) też jest liniowo zależny. Przyk lad Wektory α, α, α 1,..., α n s liniowo zależne, bo 1 α + ( 1) α + 0 α α n = θ i

6 Definicja Powiemy, że uk lad wektorów (α 1,..., α n ) przestrzeni liniowej V jest liniowo niezależny, jeżeli nie jest on liniowo zależny, tzn. a1,...,a n R [a 1 α a n α n = θ a 1 =... = a n = 0]. Przyk lad Ze wzoru (2) wynika od razu, że uk lad wektorów (ε 1,..., ε n ) przestrzeni R n jest liniowo niezależny. Uwaga Z uwagi 6.20 wynika, że jeśli uk lad wektorów (α 1,..., α n ) przestrzeni liniowej V jest liniowo niezależny (w skrócie lnz), to dla dowolnej bijekcji f : {1, 2,..., n {1, 2,..., n uk lad (α f(1),..., α f(n) ) też jest liniowo niezależny. Ponadto z przyk ladu 6.21 wynika, że wtedy α i α j dla i j. Możemy zatem powiedzieć, że zbiór wektorów {α 1,..., α n jest liniowo niezależny. Dalej, z przyk ladu wynika, że θ {α 1,..., α n. Jeżeli X = {β 1,..., β k jest niepustym podzbiorem zbioru {α 1,..., α n, to zbiór X też jest liniowo niezależny, gdyż w przeciwnym wypadku istnia lyby skalary b 1,..., b k nie wszystkie równe 0 i takie, że b 1 β b k β k = θ i wówczas uzupe lniajac ciag (b 1,..., b k ) zerami uzyskamy ciag (a 1,..., a n ) taki, że a 1 α a n α n = θ, wbrew liniowej niezależności zbioru {α 1,..., α n. Z uwagi 6.24 wynika zatem, że definicj e liniowej niezależności można rozszerzyć na dowolne podzbiory przestrzeni liniowej. Definicja Powiemy, że podzbiór X przestrzeni liniowej V jest liniowo niezależny (w skrócie lnz), jeżeli każdy skończony podzbiór zbioru X jest liniowo niezależny. Zbiór pusty wektorów uważamy za liniowo niezależny. Z uwagi 6.24 oraz z tej definicji mamy od razu nastepuj ace Twierdzenie Dowolny podzbiór liniowo niezależnego zbioru wektorów przestrzeni liniowej jest zbiorem liniowo niezależnym. Przyk lad W przestrzeni liniowej V = R[x] zbiór {1, x, x 2,... jest liniowo niezależny. Przyk lad Jeżeli α jest niezerowym wektorem przestrzeni liniowej V, to zbiór {α jest liniowo niezależny. Rzeczywiście, niech a R b edzie takie, że a α = θ. Wtedy z uwagi 5.19 mamy, że a = 0, czyli zbiór {α jest lnz. Twierdzenie Jeżeli uk lad wektorów (β 1,..., β n ) przestrzeni liniowej V powstaje z uk ladu (α 1,..., α n ) przez kolejne wykonanie skończonej liczby operacji elementarnych, to uk lad (β 1,..., β n ) jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy uk lad (α 1,..., α n ) jest liniowo niezależny. Dowód. Indukcja pozwala nam ograniczyć sie do jednej operacji elementarnej. Ponadto operacje elementarne s odwracalne, wiec wystarczy wykazać, że jeżeli uk lad (α 1,..., α n ) jest lnz, to uk lad (β 1,..., β n ) jest lnz. Dla operacji O1 jest to oczywiste. Dla operacji O2 mamy, że β j = α j dla j i oraz β i = a α i dla pewnego a 0. Weźmy dowolne a 1,..., a n R takie, że a 1 β a n β n = θ. Wtedy a 1 α (a i a) α i a n α n = θ. Stad z liniowej 6

7 niezależności uk ladu (α 1,..., α n ) mamy, że a 1 = a 2 =... = a i a =... = a n = 0. Ale a 0, wiec stad a 1 =... = a i =... = a n = 0, czyli uk lad (β 1,..., β n ) jest lnz. Dla operacji O3 bez zmniejszania ogólności możemy zak ladać, że b 1 = α 1 +a α 2 oraz β j = α j dla j = 2,..., n. Weźmy dowolne a 1,..., a n R takie, że a 1 β a n β n = θ. Wtedy a 1 (α 1 + a α 2 ) + a 2 α a n α n = θ, czyli a 1 α 1 + (a 1 a+a 2 ) α a n α n = θ, skad z lnz uk ladu (α 1,..., α n ) mamy, że a 1 = a 1 a + a 2 = a 3 =... = a n = 0, czyli a 1 = a 2 =... = a n = 0, a wiec uk lad (β 1,..., β n ) jest lnz. Twierdzenie Niech X b edzie zbiorem liniowo niezależnym wektorów przestrzeni liniowej V. Wówczas dla każdego wektora α V : α lin(x) [α X lub zbiór X {α jest liniowo zależny]. Dowód.. Za lóżmy, że α lin(x). Wtedy α X, gdyż X lin(x). Zatem zbiór X {α jest liniowo zależny. Ale zbiór X jest liniowo niezależny, wiec istniej parami różne wektory α 1,..., α n X takie, że zbiór {α, α 1,..., α n jest liniowo zależny. Zatem istniej skalary a, a 1,..., a n R nie wszystkie równe 0 i takie, że a α+a 1 α a n α n = θ. Stad z liniowej niezależności wektorów α 1,..., α n wynika, że a 0. Zatem α = ( a 1 a ) α ( an a ) α n lin(x), czyli α lin(x) na mocy twierdzenia 6.14 i mamy sprzeczność.. Na mocy twierdzenia 6.14 istniej α 1,..., α n X oraz a 1,..., a n R takie, że α = a 1 α a n α n. Zatem 1 α+( a 1 ) α ( a n ) α n = θ, skad wynika, że α X albo α X i zbiór X {α jest liniowo zależny. 7

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania

Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego

Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 2 Podgrupa grupy

Wyk lad 2 Podgrupa grupy Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne

Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze

Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe

Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe 1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych

Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

14. Przestrzenie liniowe

14. Przestrzenie liniowe 14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.

1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór. 20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika

Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach

(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne

Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:

Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach: Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x

Bardziej szczegółowo

3 Przestrzenie liniowe

3 Przestrzenie liniowe MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wyznaczniki

Wyk lad 3 Wyznaczniki 1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna 1.

Analiza funkcjonalna 1. Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.

Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym. Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas

Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice

Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Układy liniowo niezależne

Układy liniowo niezależne Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018

DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej

Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej 1. Podalgebry, homomorfizmy Definicja. Niech = B A oraz o bȩdzie n-argumentow a operacj a na zbiorze A. Mówimy, że zbiór B jest zamkniȩty na operacjȩ o, gdy dla

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera

Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =

Bardziej szczegółowo

Cia la i wielomiany Javier de Lucas

Cia la i wielomiany Javier de Lucas Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska Wroc law Wroc law, kwiecień 2011

Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska Wroc law Wroc law, kwiecień 2011 Tomasz Downarowicz Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wroc lawska 50-370 Wroc law Wroc law, kwiecień 2011 Analiza Funkcjonalna WPPT IIr. Wyk lady 4 i 5: Przestrzenie unitarne i Hilberta (rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej

Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania, seria 5.

Rozwiązania, seria 5. Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych

Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych Grupa, cia lo Zadanie 1. Jakie w lasności w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maj dzia lania a b = a b, a b = a 2 + b 2, a b = a+b, a b = b. 2 Zadanie 2. Pokazać, że (R

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 3. Relacje binarne

Rozdzia l 3. Relacje binarne Rozdzia l 3. Relacje binarne 1. Para uporz adkowana. Produkt kartezjański dwóch zbiorów Dla pary zbiorów {x, y} zachodzi, jak latwo sprawdzić, równość {x, y} = {y, x}. To znaczy, kolejność wymienienia

Bardziej szczegółowo

Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej

Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej

Bardziej szczegółowo

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

KOLOKWIUM Z ALGEBRY I R

KOLOKWIUM Z ALGEBRY I R Instrucje: Każde zadanie jest za 4 puntów. Rozwi azanie ażdego zadania musi znajdować siȩ na osobnej artce oraz być napisane starannie i czytelnie. W nag lówu ażdego rozwi azania musz a znajdować siȩ dane

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne

Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne Rozdzia l 10. Najważniejsze normalne logiki modalne 1. Logiki modalne normalne Definicja. Inwariantny zbiór formu l X jȩzyka modalnego L = (L,,,,, ) nazywamy logik a modaln a zbazowan a na logice klasycznej

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy

Bardziej szczegółowo

R k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0

R k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0 Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0}

Bardziej szczegółowo

1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej

1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej 1 Rząd macierzy Rozpatrzmy równanie jednorodne Ax = 0, gdzie A M(n, k). Wiemy, że posiada ono rozwiązanie. Jednakże wymiar macierzy A, a tym samym liczba równań w odpowiadającym jej układzie równań liniowych

Bardziej szczegółowo

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).

Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,

Bardziej szczegółowo

4 Przekształcenia liniowe

4 Przekształcenia liniowe MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

020 Liczby rzeczywiste

020 Liczby rzeczywiste 020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie

Bardziej szczegółowo

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka

Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach

Bardziej szczegółowo

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania

Sterowalność liniowych uk ladów sterowania Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE

Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace

Bardziej szczegółowo

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas

Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,

Bardziej szczegółowo

R n jako przestrzeń afiniczna

R n jako przestrzeń afiniczna R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

13. Cia la. Rozszerzenia cia l. 59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

Praca domowa - seria 6

Praca domowa - seria 6 Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.

1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta. Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej X nad cia lem K ma nastepuj ace w lasności: (i) x, y + z = x, y + x, z, (ii) x, λy = λ x, y, (iii)

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/

Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO

PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. 1. Macierze.

Algebra liniowa. 1. Macierze. Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy

Bardziej szczegółowo