Zadania o liczbach zespolonych
|
|
- Stanisława Kaźmierczak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i +i 1, e) a i + b 4 i 1 i 1 + i, f) a i i + b+i i 0. Rozwiazanie. a) Przedstawiamy lewa strone równości w postaci algebraicznej: a(+i)+b(4 i) (a+4b)+(a b) Ponieważ a, b R, wiec z warunku równości liczb zespolonych { a + 4b 6 mamy uk lad równań: a b. Rozwi azujemy go metoda wyznaczników: , b b Zatem nasz uk lad ma dok ladnie jedno rozwiazanie a a 1 oraz b b 1. Odp. a b 1. b) Przedstawmy lewa strone równości w postaci algebraicznej: a( +i)+b( +i) ( a+ b)+(a+b)i, wiec z warunku równości liczb zespolonych mamy { { a + b 0 a + b 0 uk lad równań:, który jest równoważny uk ladowi a + b 8 a + b 8. Z pierwszego równania a b, wiec po podstawieniu do drugiego równania b + b 8, skad b 1 i a b. Odp. a i b 1. c) Obliczamy (4 i) 16 4i + 9i 16 4i 9 7 4i, (1 + i) 1 + i + i 1 + i 1 Teraz zapisujemy lewa strone równości w postaci algebraicznej: a(4 i) +b() a(7 4i)+b i 7a + ( 4a + b) Zatem z warunku równości liczb zespolonych mamy, że 7a 7 i 4a + b 1. Stad a 1 oraz 4 + b 1, czyli b 1 i b 6. Odp. a 1 i b 6. 1 d) Obliczamy i +i ( i)(+i) +i + +i 1, 1 +i i (+i)( i) i + i 1, wi ec nasze równanie możemy zapisać w postaci: a( + i) + b( i) 1, czyli (a + b) + (a b)i 1, skad a+b 1 i a b 0. Zatem b a oraz a+ 9 a 1, sk ad 1 a 1, wiec a oraz b. Odp. a i b. e) Obliczamy: +i i (+i)(+i) ( i)(+i) 6+i+i+i +1 +i 10, 4 i 1 i (4 i)() (1 i)() 4+1i i i i 10 ( ), 4 i wiec 1 i (7+11i) i+11i i i. Zatem nasze równanie przybiera postać: a + b 18+6i 1 + Ale 18+6i ( 18+6i)(1 i) ()(1 i) 18+18i+6i 6i i 9 + 7i, wiec nasze równanie przybiera postać: 1 a + b 9+7i 1. Zatem a + b(9 + 7i) 0, czyli (a + 18b) + 4bi 0. Ale a, b R, wiec stad a + 18b 0 i 4b 0, czyli b 0 i a. Odp. a i b 0. f) Obliczamy: a i (a i)(+i) ( i)(+i) i 9b+1bi+6i+10i + (9b 10)+(1b+6)i 10a+6ai 1i 9i + (10a+9)+(6a 1)i b+i 4, i (b+i)(+i) ( i)(+i) 4. Zatem nasze równanie przybiera postać: [(10a + 9) + (6a 1)i] + [(9b 10) + (1b + 6)i] 0. Zatem (10a + 9b 1) + (6a + 1b 9)i 0, skad z tego, że a, b R, { a + b 10a + 9b 1 0 i 6a + 1b 9 0. Mamy zatem uk lad równań: 10a + 9b 1. Po odj eciu od drugiego równania, równania pierwszego pomnożonego przez uzyskamy, że 16b 14, skad b 7 8. Zatem a + 7 8, sk ad a Odp. a i b 7 8. Zadanie. Przedstaw w postaci algebraicznej nastepuj ace liczby zespolone: a) ( + i) (4 i) + (1 + i) ( + 4i), b) (+i) (7 6i) +i, c) (1 + i) i + +i ()(8 i) 1 4i, d) (+i). Rozwiazanie. a) ( + i) (4 i) + (1 + i) ( + 4i) 8 i + 4i i + + 4i + 6i + 1i 1 1
2 b) (+i) (7 6i) +i 7 6 c) Mamy, że (1 + i) i i + i + i, +i 1 4i (+i)(1 4i) (1 4i)(1+4i) +8i+i+1i d) Mamy, że (+i) 1 +4i 10+11i i 17 Zatem (1 + i) i + 1 4i + i i 44 (1 + i)(8 i) 8 i + 4i i 11 + i, ( + i) 4 + 4i + i + 4 Zatem ()(8 i) (1)( 4i) (+4i)( 4i) 44i+69i 9i +4 1+i + Zadanie. Przedstawić w postaci algebraicznej rozwiazania nastepuj acych równań liniowych z jedna niewiadoma z: a) (a bi)z a + bi, b) (a + bi) (1 z) + (a bi) (1 + z) 0, c) (a + bi)z (a + b) + (b a)i, d) (1 i)z (a b) (a + b) Rozwiazanie. a) z a+bi a bi (a+bi) (a bi)(a+bi) a +abi+b i a +b a b a +b + ab a +b b) Mamy, że (a + bi) a +abi+b i a b +abi, (a bi) a abi+b i a b ab Zatem nasze równanie przybiera postać: a b +abi (a b +abi)z +a b abi+(a b abi)z 0, czyli a b +4abiz 0, skad z a b 4abi (a b )( i) 4abi( i) b a 4ab c) Zauważmy, że (a + b) + (b a)i (a + bi) + (b ai) (a + bi) i(a + bi), skad z d) Zauważmy, że (a b) (a + b)i a(1 i) bi(1 i), wiec z a b Zadanie 4. Przedstawić w postaci algebraicznej rozwiazania nastepuj acych uk ladów dwóch równań z dwiema { niewiadomymi: { ( + i)z i( + i)w + 4i (4 i)z + ( + i)w (1 + i) a) ( i)z + ( + i)w (1 + i), b) ( i)z ( + i)w (1 + i), { { ( + i)z + ( i)w 6b a + (a b)i z w i + c) (a, b R), d) z w (1 i)z + ( + i)w a + 9b + (a + b)i ( i) + (), { (1 + i)z + (1 i)w 1 + i e) (1 i)z + (1 + i)w 1 + i. Rozwi azanie. a) Stosujemy metode wyznaczników. 4 + i i i 4 + i (4 + i) ( i) ( i) i + 4i (6 9i i + i ) i 4 (6 11i ) i + 11i z + 4i i + 6i 4 + i (+4i) (4+i) ( i) (+6i) 0+10i+16i+8i (4+1i 6i 18i ) 0 + 6i 8 (4 + 6i + 18) 1 + 6i 6i w 4 + i + 4i i + 6i (4+i) (+6i) (+4i) ( i) 8+4i+4i+1i (1 i+1i 4i ) 8 + 8i 1 (1 + 7i + 4) 4 + 8i 19 7i + 1 Zatem z z 10+0i 9+7i ( ) (1 i) 1 9 ( +1i) (1 i) () (1 i) () (1 i) i 6i i i i oraz w w i+1i 6i i i i i Odp. z i oraz w b) Obliczamy wyznacznik g lówny naszego uk ladu: 4 i + i i i (4 i) ( i) ( i) ( + i) 8 1i + 6i + 9 ( 1) [ ( 1)] 17 6i 6 Zatem 6i 0 i z twierdzenia Cramera uk lad nasz posiada dok ladnie jedno rozwi azanie. z + i + i 1 i i ( + i) ( i) ( + i) ( 1 i) 10 1i 10i 1 ( 1) + + i + i + ( 1) 6 Zatem ze wzorów Cramera: z z 6 i 6i i ( 6i) 6i i, czyli z w 4 i + i i 1 i (4 i) ( 1 i) ( + i) ( i) 4 4i + i + ( 1) 10 + i 10i + ( 1) 6 Zatem ze wzorów Cramera: w w 6i 6i 1, czyli w 1.
3 Odp. Uk lad posiada dok ladnie jedno rozwiazanie: z i, w 1. c) Stosujemy metode wyznaczników. + i i 1 i + i ( + i) ( + i) (1 i) ( i) 6 + i + i + i ( i i + i ) 6 + i 1 ( i 1) + i 1 + i z 6b a + (a b)i i a + 9b + (a + b)i + i k1 bk a + ai i a + ai + i ( a+ai) (+i) (a+ai) ( i) a ai+6ai+ai (a ai+ai ai ) a+ai a (a+ai+a) a+ai a ai 8a+4a w + i 6b a + (a b)i 1 i a + 9b + (a + b)i k aik1 + i 6b bi 1 i 9b + bi (+i) (9b+bi) (1 i) (6b bi) 18b+6bi+9bi+bi (6b bi 6bi+bi ) 18b+1bi b (6b 9bi b) 1b+1bi b+9bi 1b+4b Zatem z z 8a+4ai 8ai +4ai ai() ai, w w 1b+4bi b() b. Odp. z ai oraz w b. d) Mamy, że 1 i +i ( i)(+i) +i +1 +i + 1 i, 1 1 i ( i) i i ( i)(+i) ( i) +i i Zatem nasz uk lad ma postać: { ( ()(1 i) 1 i i 1 1 i, (+i) ( i)(+i) 4+4i+i i i, () +i 1 i + 1 i)z + ( 1 1 i)w ( + 4. i)z iw Rozwiażemy go metoda wyznaczników: + 1 i 1 1 i + 4 i i i 1 i ( + 4 i)( 1 1 i) i i i 4 10 i i 1 1 i, z 1 1 i i i + i 1 i, w + 1 i + 4 i ( + 1 i) ( + 4 i) 6 + i 6 8 i i 4 10 i + 4 i Zatem z z 10 i + 1 i 1 1 i i ( i)(1 i) ()(1 i) i i+i i 1 i oraz w w i i 1 1 i i(1 i) ()(1 i) +i 1 + Odp. z 1 i oraz w 1 + e) Stosujemy metode wyznaczników: 1 + i 1 i 1 i 1 + i (1 + i) (1 i) 1 + i + i (1 i + i ) 4i, z 1 + i 1 i 1 + i 1 + i () ()(1 i) +i (1 i+i i ) 1 (+) 4, w 1 + i 1 + i 1 i 1 + i ()() ()(1 i) ()( i+i) () 4i 4i+4i 4+4 Zatem z z 4 4i 4i 4i i oraz w w 4+4i 4i 4i +4i 4i i Odp. z i oraz w 1 + Zadanie. Udowodnij tożsamości: a) z 1 + z + z 1 z ( z 1 + z ), b) 1 + z 1 z + z 1 z (1 + z 1 ) (1 + z ), ( 1+z + z z 1 z ) c) z 1 + z z 1 + re(z 1 z ) + z, d) 1 z z z. 1+ z Rozwiazanie. Bedziemy korzystali z tego, że z z z dla dowolnej liczby zespolonej z. a) z 1 + z (z 1 + z )z 1 + z (z 1 + z )(z 1 + z ) z 1 z 1 + z 1 z + z z 1 + z z, z 1 z (z 1 z )z 1 z (z 1 z )(z 1 z ) z 1 z 1 z 1 z z z 1 + z z. Zatem z 1 + z + z 1 z (z 1 z 1 + z z ) ( z 1 + z ), cnd.
4 b) 1 + z 1 z (1 + z 1 z )1 + z 1 z (1 + z 1 z )(1 + z 1 z) (1 + z 1 z )(1 + z 1 z ) 1 + z 1 z + z 1 z + z 1 z z z 1 + z 1 z + z 1 z + z 1 z, z 1 z (z 1 z )z 1 z (z 1 z )(z 1 z ) z 1 z 1 z 1 z z z 1 +z z. Zatem 1+z 1 z + z 1 z 1+ z 1 + z + z 1 z (1+ z 1 )(1+ z ), cnd. c) Dla dowolnej liczby zespolonej z mamy, że z + z re(z). Ponadto z 1 + z (z 1 + z )z 1 + z (z 1 + z )(z 1 + z ) z 1 z 1 + z 1 z + z z 1 + z z z 1 + z + z 1 z + z 1 z oraz z 1 z z 1 z, wiec z 1 + z z 1 + re(z 1 z ) + z, cnd. d) Mamy, że 1 z (1 z )(1 z ) (1 z )(1 z ) 1 z z + (zz) 1 z z + z 4 oraz z z (z z)(z z) (z z)(z z) zz z z + zz z z z. Zatem 1 z z z 1 z z + z 4 z + z + z 1 z + z 4 (1 z ). Ponadto 1 + z (1 + z )(1 + z ) (1 + z )(1 + z ) 1 + z + z + (zz) 1 + z + z + z 4, wiec 1 + z + z z 1 + z + z + z 4 + z z z 1 + z + z 4 (1 + z ). Stad 1 z z z 1+z + z z (1 z ) (1+ z ) ( 1 z ), 1+ z cnd. Zadanie 6. Rozwiaż równania: a) z z 1 + i, b) z + z + i, c) zz + (z z) + i, d) i(z + z) + i(z z) i, e) z z, f) z + iz Rozwiazanie. a) Mamy, że z x + yi dla pewnych x, y R. tedy z x + y, wiec nasze równanie przybiera postać: ( x + y x) yi 1 + Stad x + y x 1 oraz y. Zatem y oraz x + 4 x + 1, czyli x + 4 x + x + 1, skad x. Odp. x oraz y. b) Mamy, że z x + yi dla pewnych x, y R. tedy z x + y, wiec nasze równanie przybiera postać: ( x + y + x) + yi + Stad x + y + x oraz y 1. Zatem x + 1 x, czyli x x + x, skad x 4. Odp. x 4 oraz y 1. c) Mamy, że z x + yi dla pewnych x, y R. tedy zz x + y, z z x + yi (x yi) yi, wie c nasze równanie przybiera postać: (x + y ) + xyi + Zatem x + y oraz xy. Zatem x + xy + y, czyli (x + y), skad x + y lub x + y. Ale xy 1, wiec y x lub y x oraz x( x) 1 lub x( x) 1. Zatem x x+1 0 lub x + x+1 0. Z pierwszego równania otrzymujemy, że x 1 1, x +1 oraz y 1 +1, y 1. Natomiast z drugiego równania otrzymujemy, że x +1, x 4 1, czyli y +1, y 4 1. Odp. z i lub z i lub z i lub z d) Mamy, że i(z + z) + i(z z) i(z + z + z z) i z. Zatem nasze równanie przybiera postać: i z + i, czyli z +i i Odp. z 1 + ( +i)( i) i( i) i i 1 +i 1 + e) Mamy, że z x+yi dla pewnych x, y R. Zatem z (x+yi) x +xyi+y i x y +xyi oraz z x yi, czyli nasze równanie przybiera postać: (x y ) + xyi x yi, skad x y x oraz xy y. Z drugiego równania (x + 1)y 0, czyli x lub y 0. Jeśli y 0, to z pierwszego równania x x, czyli x 0 lub x 1, skad z 0 lub z 1. Jeśli zaś x + 1 0, to x 1 i z pierwszego równania y x x , czyli y lub y, wi ec z 1 + i lub z 1 Odp. z 0 lub z 1 lub z 1 + i lub z 1 f) Mamy, że z x+yi dla pewnych x, y R. Zatem z x + y oraz iz i(x+yi) y+x Zatem nasze równanie przybiera postać: ( x + y y) + xi i, skad x + y y 11 oraz x 8. Zatem x 4 oraz 16 + y y 11. Stad 16 + y 11+y, czyli 16+y 11+44y +4y, wiec y + 44y Stad y lub y. Odp. z 4 i lub z 4 4
5 Zadanie 7. Niech z 1, z, z bed a liczbami zespolonymi takimi, że z 1 z z. Udowodnij, że wtedy z 1 z + z 1 z + z z z 1 + z + z. Rozwiazanie. dowodzie wykorzystamy, że z zz dla dowolnej liczby zespolonej z. Ponieważ z 1 z z, wiec z 1 z 1 z z z z 4. Stad mamy, że z 1 z + z 1 z + z z (z 1 z + z 1 z + z z )(z 1 z + z 1 z + z z ) (z 1 z + z 1 z + z z )(z 1 z + z 1 z + z z ) (z 1 z 1 )(z z ) + (z 1 z 1 )z z + z 1 (z z )z + (z 1 z 1 )z z + (z 1 z 1 )(z z ) + z 1 z (z z ) + (z z )z z 1 + z z 1 (z z ) + (z z )(z z ) (z z + z 1 z + z z + z 1 z + z z 1 + z z 1 ). Ponadto 4 z 1 + z + z 4(z 1 + z + z )(z 1 + z + z ) (z 1 + z + z )(z 1 + z + z ) 4(z 1 z 1 + z 1 z + z 1 z + z z 1 + z z + z z + z z 1 + z z + z z ) (z z + z 1 z + z z + z 1 z + z z 1 + z z 1 ). Zatem z 1 z + z 1 z + z z ( z 1 + z + z ), skad z 1 z + z 1 z + z z z 1 + z + z. Zadanie 8. Przedstawić w postaci algebraicznej pierwiastki kwadratowe z nastepuj acych liczb zespolonych: a) i, b) i, c) 8 + 6i, d) 8 6i, e) 8 + 6i, f) 8 6i, g) + 4i, h) i, i) 1 8i, j) 1 i, k) + Rozwiazanie. a) Szukamy x, y R takich, że (x + yi) Ale (x + yi) (x y ) + xyi, wiec x y 0 oraz xy 1. Z drugiego równania uzyskujemy, że x i y maja ten sam znak, wiec po uwzglednieniu równania pierwszego y x oraz x 1. Zatem x 1, czyli x lub x. Odp. + i oraz b) Szukamy x, y R takich, że (x + yi) Ale (x + yi) (x y ) + xyi, wiec x y 0 oraz xy 1. Z drugiego równania uzyskujemy, że x i y maja różne znaki, wiec po uwzglednieniu równania pierwszego y x oraz x 1. Zatem x 1, czyli x lub x. Odp. i oraz + c) Szukamy x, y R takich, że (x + yi) Ale (x + yi) (x y ) + xyi, wiec x y 8 oraz xy 6. Zatem xy oraz x y 8. Szukajac rozwiazań tego uk ladu w liczbach ca lkowitych znajdujemy bez trudu, że x i y 1 lub x i y 1. Odp. + i oraz d) Szukamy x, y R takich, że (x+yi) 8 6 Ale (x+yi) (x y )+xyi, wiec x y 8 oraz xy 6. Zatem xy oraz x y 8. Szukajac rozwiazań tego uk ladu w liczbach ca lkowitych znajdujemy bez trudu, że x i y 1 lub x i y 1. Odp. i oraz + e) Szukamy x, y R takich, że (x+yi) 8+6 Ale (x+yi) (x y )+xyi, wiec x y 8 oraz xy 6. Zatem xy oraz x y 8. Szukajac rozwiazań tego uk ladu w liczbach ca lkowitych znajdujemy bez trudu, że x 1 i y lub x 1 i y. Odp. 1 + i oraz 1 f) Szukamy x, y R takich, że (x + yi) 8 6 Ale (x + yi) (x y ) + xyi, wiec x y 8 oraz xy 6. Zatem xy oraz x y 8. Szukajac rozwiazań tego uk ladu w liczbach ca lkowitych znajdujemy bez trudu, że x 1 i y lub x 1 i y. Odp. 1 i oraz 1 + g) Szukamy x, y R takich, że (x + yi) + 4 Ale (x + yi) (x y ) + xyi, wiec x y oraz xy 4. Zatem xy oraz x y. Szukajac rozwiazań tego uk ladu w liczbach ca lkowitych znajdujemy bez trudu, że x i y 1 lub x i y 1. Odp. + i oraz h) Szukamy x, y R takich, że (x + yi) Ale (x + yi) (x y ) + xyi, wiec x y 11 oraz xy 60. Zatem xy 0 oraz x y 11. Szukajac rozwiazań tego uk ladu w liczbach ca lkowitych znajdujemy bez trudu, że x i y 6 lub x i y 6.
6 Odp. + 6i oraz 6 i) Szukamy x, y R takich, że (x + yi) 1 8 Ale (x + yi) (x y ) + xyi, wiec x y 1 oraz xy 8. Zatem xy 4 oraz x y 1. Szukajac rozwiazań tego uk ladu w liczbach ca lkowitych znajdujemy bez trudu, że x 1 i y 4 lub x 1 i y 4. Odp. 1 4i oraz Zadanie 9. ykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b wszystkie pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej z a + bi dane sa wzorami: Przy czym a jeśli b 0 i a 0 ω + a i jeśli b 0 i a < 0 a a +b +a + sgn(b) +b a i jeśli b 0 1 jeśli b > 0 sgn(b) 0 jeśli b 0 1 jeśli b < 0. (1) () Rozwiazanie. Dla a 0 i b 0 mamy, że ( a) a a + b Dla a < 0 i b 0 jest a > 0 oraz ( a i) ( a) ( 1) a a + b Dla b 0 mamy, że a + b + a > 0. Oznaczmy a +b +a a +b a x, y sgn(b). tedy x y a +b +a a oraz xy a sgn(b) +b +a a +b a sgn(b) b sgn(b) b b. Zatem (x + yi) (x y ) + xyi a + b Kończy to dowód pierwszej cześci twierdzenia. Zauważmy, że ( ω) ω a + b Jeśli zaś z C jest takie, że z a + bi, to z ω, skad 0 z ω (z ω) (z + ω), wiec z ω lub z ω. Zatem wzór jest udowodniony. Zadanie 10. Przedstawić w postaci algebraicznej pierwiastki kwadratowe z nastepuj acych liczb zespolonych: a) 1 i, b) + i, c) 9, d) 16 Rozwiazanie. Stosujemy wzór (1). a) b < 0, wiec sgn(b) 1. Ponadto a 1, wiec a + b 1 + 4, skad a b 4. Zatem 1 i 6 sqrt Odp. 6 sqrt i oraz 6 + sqrt a +b a a +b +a + sgn(b) b) b > 0, wiec sgn(b) 1. Ponadto a, wiec a + b Zatem a b a i Odp. + i oraz c) b 0 oraz a 9 < 0, wiec ze wzoru (1) mamy od razu nastepuj ac a Odp. i oraz a +b a i a +b +a + sgn(b) d) a 0 oraz b 16 < 0, wiec sgn(b) 1, a + b 16, czyli a + b 16. Zatem a a +b +a +b + sgn(b) a i 8 8i Odp. i oraz + Zadanie 11. Rozwiazać równania kwadratowe: a) z z + + i 0, b) z + (1 + 4i)z ( + i) 0, c) (4 i)z ( + 11i)z ( + i) 0, d) z + (1 + i)z + i 0, e) z z i 0, f) z z i 1. 6
7 Rozwiazanie. a) ( ) 4 1 ( + i) 9 1 4i 4 Szukamy x, y R takich, że (x + yi) 4i, czyli (x y ) + xyi 4 Stad x y oraz xy 4. Zatem xy oraz x y. Poszukujac rozwiazań tego uk ladu równań w liczbach ca lkowitych bez trudu znajdujemy, że np. x 1, y. Zatem jednym z pierwiastków kwadratowych z liczby 4i jest 1 Stad z 1 (1 i) i oraz z +(1 i) 1 b) (1 + 4i) + 4( + i) 1 + 8i i + 1 Szukamy x, y R takich, że (x + yi) + 1i, czyli (x y ) + xyi + 1 Stad x y oraz xy 1. Zatem xy 6 oraz x y. Poszukujac rozwiazań tego uk ladu równań w liczbach ca lkowitych bez trudu znajdujemy, że np. x, y. Zatem jednym z pierwiastków kwadratowych z liczby + 1i jest + Stad z 1 1 4i (+i) 1 i oraz z 1 4i+(+i) 1 1 c) ( + 11i) + 4(4 i)( + i) i i 60i + 1. Zatem jednym z pierwiastków kwadratowych z liczby jest Stad z 1 +11i i (4 i) +6i (4 i) 4 i ()(4+i) (4 i)(4+i) 4+i+1i i 1 + i oraz z +11i+i (4 i) +16i (4 i) 1+8i 4 i (1+8i)(4+i) (4 i)(4+i) 4+i+i i d) 4(1 i) 4 i 4(1 + i 1) 8i 0. Zatem z 1 z () 1 1 e) ( ) 4(4+10i) 16 40i 9 40 Szukamy x, y R takich, że (x+yi) 9 40i, czyli (x y )+xyi 9 40 Stad x y 9 oraz xy 40. Zatem xy 0 oraz x y 9. Szukajac rozwiazań tego uk ladu równań w liczbach ca lkowitych bez trudu znajdujemy, że np. x i y 4. Zatem jednym z pierwiastków kwadratowych z liczby 9 40i jest 4 Stad z 1 ( 4i) 1 i oraz z +( 4i) 1 f) Nasze równanie możemy zapisać w postaci (z 1) Ale i (1 + i), wiec z i oraz z 1 1 Stad z 1 + i oraz z Zadanie 1. Przedstawić w postaci trygonometrycznej (bez pomocy tablic) nastepuj ace liczby zespolone: a) 1, 1, i, i, b) 1 + i, 1 i, 1 + i, 1 i, c) 1 + i, 1 i, 1 + i, 1 i, d) + i, i, + i, Rozwiazanie. a) 1 1 (cos 0 + i sin 0), 1 1 (cos π + i sin π), i 1 (cos π + i sin π ), i 1 (cos π + i sin π ). b) 1 + i 1 + 1, 1 + i ( 1 + i 1 ), wiec 1 + i (cos π 4 + i sin π 4 ). 1 i (cos π 4 i sin π 4 ), wiec 1 i (cos( π 4 ) + i sin( π 4 )) (cos π + i sin π ). ( 1) (1 i) (cos π +i sin π)(cos( π 4 )+i sin( π 4 )) cos(π π 4 )+i sin(π π 4 ), zatem 1 (cos π 4 + i sin π 4 ). 1 i ( 1) (1 + i) (cos π + i sin π)(cos π 4 + i sin π 4 ) cos(π + π 4 ) + i sin(π + π 4 ), czyli 1 i 1 (cos π 4 + i sin π 4 ). c) 1 + i 1 + ( ) 4, 1 + i ( 1 + i ), wiec cos φ 1 oraz sin φ, skad można wziać φ π, wiec 1 + i (cos π + i sin π ). St ad 1 i (cos π i sin π ) (cos( π )+i sin( π )), wiec 1 i (cos(π π )+i sin(π π )), wiec 1 i (cos π +i sin π ). Dalej, ( 1) (1 i ) (cos π+i sin π)(cos( π )+i sin( π )) cos(π π )+i sin(π π ), czyli (cos π +i sin π ). Ponadto 1 i ( 1) ( ) (cos π+i sin π)(cos π +i sin π ) cos(π + π ) + i sin(π + π ), czyli 1 i (cos 4π + i sin 4π ). d) + i ( ) + 1 4, + i ( sqrt + i 1 ), wiec cos φ oraz sin φ 1, wiec można wziać φ π 6. Zatem +i (cos π 6 +i sin π 6 ). St ad i (cos π 6 i sin π 6 ) (cos( π 6 )+ i sin( π 6 )), czyli i (cos(π π 6 )+i sin(π π 6 )), sk ad ostatecznie i (cos 11π 11π 6 +i sin 6 ). Dalej, +i ( 1) ( i) (cos π +i sin π)(cos( π 6 )+i sin( π 6 )) cos(π π 6 )+i sin(π π 6 )), czyli + i (cos π 6 + i sin π 6 ). końcu i ( 1) ( + i) (cos π + i sin π)(cos π 6 + i sin π 6 ) cos(π + π 6 ) + i sin(π + π 6 )), czyli i (cos 7π 6 + i sin 7π 6 ). 7
8 ykonać dzia lania, stosujac przedstawienie liczb zespolonych w postaci trygonome- Zadanie 1. trycznej: a) (1 + i) 10, b) (1 + i ( ) 1, c) ) 1996, d) ( ) 1 (1 i) 0 + ( 1 i ) 1 (). 0 Rozwiazanie. a) Na mocy zadania 1 b) mamy, że 1 + i (cos π 4 + i sin π 4 ). Zatem ze wzoru de Moivre a () 10 ( 10π 10π ) 10 (cos 4 +i sin 4 ) (cos(π+ π )+i sin(π+ π )) (cos π +i sin π ) b) Na mocy zadania 1 c) mamy, że 1 + i (cos π + i sin π ). St ad ze wzoru de Moivre a (1 + i ) 1 1 (cos 1π + i sin 1π) 1 (cos π + i sin π) ( ) 1996 c) Mamy, że () 1996 (. Ale (cos π ) i sin π 4 ) oraz (cos π +i sin π ), wiec ze wzoru de Moivre a (1 + i) 1996 ( ) 1996 (cos 499π + i sin 499π) 998 (cos π + i sin π) 998 oraz (1 + i ) (cos 1996π + i sin 1996π ) 1996 (cos(664π + 4π 4 ) + i sin(664π + 4π )) 1996 (cos 4π + i sin 4π ) 1996 (cos π + i sin π)(cos π + i sin π ) 1996 ( 1) ( 1 + i ). Zatem ( ) (cos π +i sin π ) 1 (cos( π 988 ) + i sin( π 1 )) ( i ) ) 1 d) Oznaczmy z ( ) 1 (1 i) + ( 1 i 0 () oraz z 0 1 ( (1 i), z 0 ( 1 i (). tedy z w lasności 0 sprzegania liczb zespolonych z 1 z. Zatem z z 1 + z 1 re(z 1 ). Ponadto (1 i) 1 i 1 i, wiec (1 i) 4 ( i) 4i 4 oraz (1 i) 0 ( 4) 10. Z zadania 1 c) mamy, że (cos π +i sin π ), wiec ze wzoru de Moivre a ( ) 1 1 (cos 10π+i sin 10π) 1. Zatem z 1 1. Stad 10 z 64. Zadanie 14. Obliczyć bez pomocy tablic pierwiastki -go stopnia z nastepuj acych liczb zespolonych: a) 1, b) 1, c) i, d) Rozwiazanie. a) Należy wyznaczyć wszystkie liczby zespolone z takie, że z 1, czyli takie, że 0 z 1 (z 1)(z + z + 1). Stad z 1 lub z + z , i, z 1 1 i, z 1+ i. Odp. 1, 1 + i, 1 i. b) Należy wyznaczyć wszystkie liczby zespolone z takie, że z 1, czyli takie, że 0 z + 1 (z + 1)(z z + 1). Stad z 1 lub z z , Zatem z 1 1 i z 1+ i. Odp. 1, 1 i, 1 + i. c) Ponieważ i cos π + i sin π, wi ec ze wzorów na pierwiastki n-tego stopnia z liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej uzyskujemy, że szukane liczby to z k cos π +kπ + i sin π +kπ, k 0, 1,. Zatem z 0 cos π 6 +i sin π i, z 1 cos π 6 +i sin π i, z cos π +i sin π ) 1 ) 1 Odp. + 1 i, + 1 i, d) Dla z C mamy, że z i wtedy i tylko wtedy, gdy ( z) Zatem z c) mamy Odp. 1 i, 1 i,, 8
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoWykłady z matematyki Liczby zespolone
Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:
Bardziej szczegółowoPraca domowa - seria 2
Praca domowa - seria 0 listopada 01 Zadanie 1. Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb spełniających nierówność: A = {z C : i z < Im(z)}. Rozwiązanie 1 Niech z = a + ib, gdzie a, b R. Wtedy z =
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoGAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2016/17
41. Niech z = 5 + 4i. Dla podanych liczb m, n podać taką liczbę całkowitą k, aby 5 zachodziła równość z m z n =z k. Uwaga na sprzężenie w drugim czynniku po lewej stronie. a) m = 1, n = 1, k = 9 ; b) m
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoLICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1
LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoGrupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna, lato 016/17 Kolokwium nr 10: wtorek 6.06.017, godz. 1:15-1:45, materiał zad. 1 40. Liczby zespolone i ich zastosowanie do wyprowadzania tożsamości trygonometrycznych.
Bardziej szczegółowoKolorowa płaszczyzna zespolona
Kolorowa płaszczyzna zespolona Marta Szumańska MIMUW/IX LO w Warszawie Sielpia, 27 października 2018 p. 1 of 64 Liczby zespolone Przez i oznaczamy jednostkę urojoną. Jest to obiekt spełniający warunek
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc
Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas Ćwiczenie. Dowieść, że jeśli µ := c d d c, to homografia h(x) = (ax+b)/(cx+d), a, b, c, d C, ad bc, odwzorowuje oś rzeczywist a R C na okr ag
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowodr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE
dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1,y 1 +x,y := x 1 +x,y 1 +y, 1 x 1,y 1 x,y := x 1 x y 1 y,x 1 y +x y 1 jest ciałem zob przykład 16, str 7; jest to tzw
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowohttp://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych pojęć dotyczących
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia całkowe. Wykład 1
Przekształcenia całkowe Wykład 1 Przekształcenia całkowe Tematyka wykładów: 1. Liczby zespolone -wprowadzenie, - funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej, - funkcja zespolona zmiennej zespolonej. 2. Przekształcenie
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 W lasności cia la liczb zespolonych
Wyk lad W lasości cia la liczb zespoloych 1 Modu l, sprz eżeie, cz eść rzeczywista i cz eść urojoa Niech a, b bed a liczbami rzeczywistymi i iech z = a bi. (1) Przypomijmy, że liczba sprzeżo a do z jest
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoMarek Zakrzewski Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska. Lekarstwo na kłopoty z Cardanem: Róbta co Vieta.
Marek Zakrzewski Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska Lekarstwo na kłopoty z Cardanem: Róbta co Vieta. Rozwiązywanie równań sześciennych - wzory Cardana Każde równanie sześcienne można sprowadzić
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoKURS LICZB ZESPOLONYCH
KURS LICZB ZESPOLONYCH Lekcja 2 Równania zespolone. Pierwiastki drugiego stopnia liczone w postaci kartezjańskiej. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko
Bardziej szczegółowoPytania i polecenia podstawowe
Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona
Definicja 9.1 (liczb zespolonych) Liczby zespolone Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy, że i 2 = 1 zaś a i b sa liczbami rzeczywistymi. Suma
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wyznaczniki
1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1
Bardziej szczegółowoZajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Zad (0p) Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej wszystkie z C, które spełniają równanie ( iz 3 z z ) Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Szukane z C spełniają: iz 3 = z z Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Zajmijmy się najpierw pierwszym
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowo7 zaokr aglamy do liczby 3,6. Bład względny tego przybliżenia jest równy A) 0,8% B) 0,008% C) 8% D) 100
ZADANIE 1 (1 PKT) Dane sa zbiory A = ( 6 7, 6) i B = N liczb naturalnych dodatnich. Wówczas iloczyn zbiorów A B jest równy A) {1, 2,, 4, 5} B) (, 5 C) {1, 2,, 4, 5, 6} D) (, 6) ZADANIE 2 (1 PKT) Jeśli
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoXVI Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl grudniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne
XVI Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl grudniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne Zadanie. 4 Rozwiąż równanie 07 sin( ). Wiadomo, że: wyrażenie 4 przyjmuje wartości nieujemne dla każdego
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) 27 lutego 2007
Liczby zespolone P. F. Góra (w zastępstwie prof. K. Rościszewskiego) http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 27 lutego 2007 Definicja C zbiór par liczb rzeczywistych w którym określono następujace działania:
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności trygonometryczne
Równania i nierówności trygonometryczne Piotr Rzonsowski Zadanie 1. Obliczyć równania: Zadania obowiązkowe a) cos x = 1, b) tg x =, c) cos( x + π ) =, d) sin x = 1. Wskazówka: (a) Oblicz cos y = 1 a następnie
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowo(4) W zbiorze R R definiujemy działania i wzorami. (a, b) (c, d) =(a + c, b + d),
Zestaw zadań 2: Ciało liczb zespolonych Układy równań liniowych () Ile działań można określić na zbiorze n-elementowym? Ile z nich to działania przemienne? (2) Zbadaj własności działania różnicy symetrycznej
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium 26 kwietnia 2017 r., godz. 18:05 20:00. i = = i. +i sin ) = 1024(cos 5π+i sin 5π) =
Matematyka A kolokwium 6 kwietnia 7 r., godz. 8:5 : Starałem się nie popełniać błędów, ale jeśli są, będę wdzięczny za wieści o nich Mam też nadzieję, że niektórzy studenci zechcą zrozumieć poniższy tekst,
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień
Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodników i inżynierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki, A. Lenda, B. Spisak,
Bardziej szczegółowoPierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 2013 r. J. de Lucas
Pierwsze kolokwium z Matematyki I 4. listopada 03 r. J. de Lucas Uwagi organizacyjne: Każde zadanie rozwi azujemy na osobnej kartce, opatrzonej imieniem i nazwiskiem w lasnym oraz osoby prowadz acej ćwiczenia,
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz
Bardziej szczegółowoRównania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1
Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/). Rozwiąż układ równań: (( + ( + 2 = 3 = 4. http://www.zadania.info/d38/2287 2. Rozwiąż układ równań: ( + 2 (
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Bardziej szczegółowoWYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym
Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel
Bardziej szczegółowoPierwiastki arytmetyczne n a
Chapter 1 Pierwiastki arytmetyczne n a Operacja wyci aganie pierwiastka stopnia n z liczby a jest odwrotn a operacj a do potȩgowania, jeżeli operacja odwrotna jest wykonalna w liczbach rzeczywistych. Zacznijmy
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki I
Matematyczne Metody Fizyki I Dr hab. inż.. Mariusz Przybycień Matematyka dla przyrodników i inżynierów, D.A. McQuarrie, PWN, Warszawa 005. Wybrane rozdziały matematycznych metod fizyki, A. Lenda, B. Spisak,
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeń, suma prosta, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeń suma prosta przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1 W zależności od wartości parametru p podaj wymiar przestrzeni W = v 1 v v 3 gdzie p 0 v 1 = 1 + p 3 v = 5 3
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy,
Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy, że i = 1 zaś a i b sa liczbami rzeczywistymi. Suma liczb
Bardziej szczegółowoSuma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas
Suma i przeciȩcie podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Dowieść, że jeśli U i V s a podprzestrzeniami n-wymiarowej przestrzeni wektorowej oraz dim U = r i dim V = s, to max(0,
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt
Bardziej szczegółowoBlok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.
Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y
Bardziej szczegółowoProponowane rozwiazania Matura 2013 MATEMATYKA Poziom podstawowy
POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ MATEMATYKI I NAUK INFORMACYJNYCH Proponowane rozwiazania Matura 013 MATEMATYKA Poziom podstawowy Autorzy: Tomasz Kostrzewa Agnieszka Piliszek Wojciech Ożański Michał Zwierzyński
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa i geometria analityczna. Autorzy: Agnieszka Kowalik Michał Góra
Algebra liniowa i geometria analityczna Autorzy: Agnieszka Kowalik Michał Góra 9 Spis treści Liczby zespolone Postać algebraiczna liczby zespolonej Moduł i argument liczby zespolonej Postać trygonometryczna
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna
Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja
Bardziej szczegółowoEgzamin z algebry liniowej 2003 r.
Egzamin z algebry linioej 003 r. Cześć I na ocene dostateczna Zadanie. Wyznacz szystkie liczby zespolone z takie, że a) z = 8 + 6i, b) ( + 3i) z = i. Zadanie. Wykonaj podane dzia lania macierzoe: [ 3 0
Bardziej szczegółowoZestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoTrigonometria. Funkcje trygonometryczne
1 Trigonometria. Funkcje trygonometryczne Trigonometria to wiedza o zwi azkach miarowych pomiedzy bokami i k atami trójk atów. Takie znaczenie s lowa Trigonometria by lo używane w czasach starożytnych
Bardziej szczegółowoMatematyka A kolokwium, 27 maja 2015, godz. 18:15 20:10
Matematyka A kolokwium, 7 maja, godz 8: : Poprawiłem: godz :, 4 września r 3 p Rozwiazać x t x t xt = x t x t xt = 6 + t cos3t + 36te 3t 7e 3t Pierwiastkami równania charakterystycznego = λ λ = λ + 3λ
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 155364 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Dla jakiej wartości
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowoFunkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoMatematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE
WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru
Bardziej szczegółowo