Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
|
|
- Maciej Janik
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra macierzy Własności macierzy Macierze blokowe Przestrzenie liniowe wektora Wartości własne Przekształcenia przez podobieństwo Normy wektorów i macierzy 2 1
2 Pojęcia podstawowe Macierzą rzeczywistą A o wymiarach m n nazywamy prostokątną tablicę zawierającą elementy rzeczywiste, ustawione w m wierszach i n kolumnach. 3 Pojęcia podstawowe Macierze oznacza się zazwyczaj dużymi literami alfabetu: A, B, X, natomiast elementy macierzy małymi literami z indeksami oznaczającymi numer wiersza i kolumny: a i,j, b i,j, x i,j. Macierz A można także zapisać [a i,j ] m n lub [a i,j ]. Macierz A=[a i,j ] 1 n lub A=[a i,j ] m 1 nazywa się wektorem. Macierz o wymiarze n n określa się jako macierz kwadratowa. 4 2
3 Pojęcia podstawowe Macierz której wszystkie elementy są 0 nazywa się zerową. Macierz kwadratową której wszystkie elementy poza leżącymi na przekątnej są 0 określa się jako macierz diagonalną. Macierz diagonalna w której wszystkie elementy leżące na przekątnej są równe 1, nazywa się macierzą jednostkową n-tego stopnia i oznacza I n. 5 Pojęcia podstawowe Macierzą hermitowską określamy macierz kwadratową zawierającą elementy rzeczywiste lub zespolone która jest równa swojemu sprzężeniu. A=A T 6 3
4 Pojęcia podstawowe Własności macierzy hermitowskiej: 1. W głównej przekątnej są wyrazy rzeczywiste 2. Ma rzeczywiste wartości własne 3. Wyznacznik macierzy jest rzeczywisty 4. Macierz o elementach rzeczywistych jest symetryczna 7 Pojęcia podstawowe Macierz trójkątną dolną lub górną określa się macierz której wszystkie elementy leżące nad lub pod przekątną są równe
5 Własności macierzy Sumą macierzy A=[a i,j ] m n i B=[b i,j nazywa macierz C=[c i,j ] m n gdzie c i,j i,j ] m n i,j =a i,j +b i,j Iloczyn macierzy A=[a i,j ] m n przez liczbę αϵr nazywa macierz C=[c i,j ] m n gdzie c i,j =α a i,j 9 Własności macierzy Dla macierzy A, B i C tego samego wymiaru, oraz liczb rzeczywistych α i β zachodzą zależności: A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) A + 0 = 0 + A = A A + (-A) = 0 α (A + B) = α A + α B (α + β) A = α A + β A 1 A = A (α β) A= α (β A) 10 5
6 Własności macierzy Iloczynem macierzy A=[a i,j ] m n i B=[b i,j ] n k nazywa macierz C=[c i,j ] m k gdzie c i,j =a i,1 b 1,j +a i,2 b 2,j + +a i,n b n,j Przemienność mnożenia macierzy nie zawsze zachodzi AB BA 11 Własności macierzy Jeżeli macierze A, B i C są odpowiednich wymiarów, a α jest liczbą rzeczywistą to: A(B+C) = AB+AC (A+B)C = AC+BC A(αB) = (αa)b = α(ab) (AB)C = A(BC) AI n =I m A=A A n A m =A n+m 12 6
7 Własności macierzy Macierzą transponowaną do macierzy A=[a i,j ] m n nazywamy macierz B=[b i,j ] n m taką że: b i,j = a j,i Macierz transponowaną do macierzy A oznacza się A T Przy transponowaniu macierzy kolejne jej wiersze stają się kolumnami macierzy transponowanej. 13 Własności macierzy Dla macierzy A, B odpowiednich wymiarów, α liczby rzeczywistej oraz n liczby całkowitej: (A + B) T = A T + B T (A T ) T = A (α A) T = α A T (A B) T = B T A T (A n ) T = (A T ) n Macierz kwadratową A nazywamy symetryczną (antysymetryczną), gdy A T = A (A T = -A) 14 7
8 Wyznacznik macierzy Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A nazywa się funkcję A =det A przyporządkowująca liczbę rzeczywistą w sposób indukcyjny: 1. Jeżeli macierz A ma stopień n=1 to: 2. Jeżeli macierz A ma stopień n 2 to: 15 Wyznacznik macierzy Dla macierzy kwadratowej A o stopniu n 2, można określić dopełnienie algebraiczne elementu a i,j takie że: D i,j =(-1) i+j deta i,j Można więc dla macierzy kwadratowej A stopnia n 2, oraz i 1, j n opisać wyznacznik macierzy jako: deta=a i,1 i,1 D i,1 i,1 + +a i,n i,n D i,n =a 1,j D 1,j 1,j + +a n,j n,j D n,j 16 8
9 Wyznacznik macierzy Reguły te nie mają zastosowania do obliczania wyznaczników wyższych rzędów n>3 17 Wyznacznik macierzy Interpretacją geometryczną wyznacznika II stopnia jest pole równoległoboku opisanego wektorami v=( =(a,b) i u=( =(c,d) Interpretacją geometryczną wyznacznika III stopnia jest objętość równoległościanu opisanego wektorami v=( =(a,b,c), u=( =(d,e,f) i w=( =(g,h,i). 18 9
10 Wyznacznik macierzy Wyznacznik macierzy trójkątnej górnej lub dolnej, niezależnie od stopnia macierzy równy jest iloczynowi elementów znajdujących się na przekątnej macierzy. 19 Wyznacznik macierzy Wyznacznik macierzy: gdzie A1,,Ak są macierzami kwadratowymi (niekoniecznie tego samego stopnia, 0 oznaczają macierze zerowe, a B dowolne macierze to wyznacznik takiej macierzy liczymy jako iloczyn wyznaczników
11 Wyznacznik macierzy 21 Wyznacznik macierzy 1. Wyznacznik macierzy kwadratowej zawierającej kolumnę lub wiersz zerowy wynosi Zmiana miejscami dwóch wierszy lub dwóch kolumn spowoduje że zmieni się znak wyznacznika macierzy 3. Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie takie same kolumny lub wiersze wynosi 0 4. Jeżeli można z jednego wiersza lub kolumny wydzielić stały współczynnik to można wyłączyć go przed wyznacznik macierzy
12 Wyznacznik macierzy Wyznacznik macierzy w której w jedną kolumnę lub wiersz opisze się jako sumę liczb można policzyć jako sumę wyznaczników dwóch macierzy w której wskazany wiersz lub kolumna są zastąpione wskazanymi składnikami: 23 Wyznacznik macierz Wyznacznik macierzy nie zmieni się jeżeli do wartości dowolnego wiersza lub kolumny dodamy dowolną wielokrotność innego wiersza lub kolumny
13 Wyznacznik macierzy 1. Wyznacznik macierzy i wyznacznik macierzy do niej transponowanej są sobie równe: deta=deta T 2. Jeżeli macierze A i B są macierzami kwadratowymi tego samego stopnia to det(a B)= )=deta detb 3. Dla dowolnego n całkowitego: det(a n )=(deta) n 25 Wyznacznik macierzy Algorytm Gaussa obliczania wyznaczników, dla macierzy kwadratowych stopnia n 3 i a 1,
14 Wyznacznik macierzy 27 Wyznacznik macierzy 28 14
15 Wyznacznik macierzy 29 Macierz odwrotna Macierzą odwrotna do macierzy kwadratowej A stopnia n określa się macierz A - 1 spełniającą warunek: AA - 1 =A - 1 A=I n gdzie I n jest macierzą jednostkową n-tego stopnia. Macierz jest odwracalna tylko wtedy gdy jest nieosobliwa, a więc spełniony jest warunek: deta
16 Własności macierzy odwrotnej Dla macierzy A i B tego samego wymiaru, odwracalnych, αϵr\{0} i nϵn to A - 1, A T, AB, αa, A n są odwracalne det(a - 1 )=(deta) -1 (A - 1 ) - 1 =A (AB) - 1 =B - 1 A -1 (αa) - 1 =(1/α)(A - 1 ) (A n ) - 1 =(A n ) Macierz odwrotna Macierz odwrotną do A liczy się według zależności: gdzie D jest macierzą dopełnień algebraicznych macierzy A: D ij =(-1) i+j M ij Gdzie M ij jest wyznacznikiem macierzy powstałej przez usunięcie z macierzy A i-tego wiersza i j-kolumny 32 16
17 Przykład 1 Wyznaczyć macierz odwrotną do A. 33 Przykład 1 Należy wyznaczyć macierz dopełnień algebraicznych: 34 17
18 Przykład 1 Macierz D T : Macierz odwrotna do A wynosi: 35 Przykład 2 Wyznaczanie macierzy odwrotnej metodą Gaussa poprzez przekształcanie układu macierzy AI do układu IA-1 za pomocą elementarnych przekształceń: 1. Mnożenia macierzy przez stałe różne od zera 2. Dodawania do elementów wiersza odpowiadających ich elementów innego wiersza przemnożonych przez dowolną stałą 3. Przestawianie wierszy 36 18
19 Przykład 2 Za pomocą przekształceń elementarnych można z zalewności: AA - 1 =I Wyznaczyć macierz odwrotną A - 1 do macierzy A 37 Przykład
20 Przykład 2 39 Macierz blokowa (klatkowa) Jeżeli elementami macierzy A są inne macierze, to taką macierz określa się mianem macierzy blokowej (klatkową). Podział na bloki (klatki) może być prowadzony w sposób dowolny
21 Macierze blokowe Dodawanie i mnożenie macierzy blokowych realizowane jest analogicznie jak przy dodawaniu i mnożeniu macierzy, traktują bloki jak elementy macierzy. Bloki utworzone w macierzach muszą mieć wymiary umożliwiające wykonanie działań: Dodawanie macierze tego samego wymiaru Mnożenie zgodna liczba kolumn w pierwszej i wierszy w drugiej macierzy 41 Przykład
22 Macierze blokowe Macierz diagonalna-blokowa jest macierzą zawierającą na swojej przekątnej macierze, a pozostałe elementy są równe Macierze blokowe Wyznacznik macierzy blokowej diagonalnej równa się iloczynowi wyznaczników macierzy znajdujących się na przekątnej. Jeżeli kwadratowe to: deta=deta 1 deta 4 Jeżeli kwadratowe, nieosobliwe to: i macierze A 1 i A 4 są i macierze A 1 i A 4 są Jeżeli wymiarach m n to: i B jest dowolną macierzą o 44 22
23 Przestrzenie liniowe wektora Przestrzenią liniową nad nazywamy dowolny niepusty zbiór V,, na którym określone są binarne działanie dodawania wektorów i unarne (jednoargumentowe) działanie mnożenia wektorów przez liczby (tϵ ) spełniające zależności dla wszystkich u,v,wϵv i r,sϵ (1-7). Przestrzenie liniowe są analogicznie opisane dla zbiorów 2, 3, n, gdzie n 4. Elementy przestrzeni liniowej V nazywa się wektorami. Natomiast liczby rzeczywiste w kontekście przestrzeni liniowej określa się jako skalary. 45 Przestrzenie liniowe wektora 1. v+w=w+v przemienność 2. v+( +(w+u)=( )=(v+w)+v łączność 3. Istnieje element OϵV (wektor zerowy) taki, że dla wszystkich vϵv O+v=v+O=v 4. Dla każdego vϵv istnieje v ϵv taki, że v+v = =v +v=o 5. r(v+w)= )=rv+rwrw 6. (r+s)v=rv+sv 7. r(sv)= )=(rs)v 8. 1v=v 46 23
24 Wartości własne macierzy Dla dowolnej macierzy kwadratowej A można zapisać wielomian charakterystyczny w postaci: Równanie w postaci nazywa się równaniem charakterystycznym, a pierwiastki to wartości własne macierzy. 47 Wartości własne a) Suma wartości własnych (z krotnościami) jest równa śladowi macierzy tzn. sumie elementów jej przekątnej. b) Macierz jest osobliwa wtedy i tylko wtedy gdy zero jest jej wartością własną, c) Macierz jest pierwiastkiem własnego równania charakterystycznego, d) Macierz symetryczna ma tylko rzeczywiste wartości własne, e) Jeśli λ jest wartością własną macierzy A, to c λ jest wartością własną macierzy c A, f) Jeśli λ 0 jest wartością własną macierzy A, to 1/λ jest wartością własną macierzy A - 1, g) Jeśli λ jest wartością własną macierzy A, to λ m jest wartością własną macierzy A m, mϵn 48 24
25 Przykład 4 Wyznaczyć wartości i wektor własny macierzy A. 49 Przykład
26 Wektory wartości własnych Wektory x wartości własnych otrzymuje rozwiązując równanie, gdzie 0 jest wektorem zerowym dla każdego. Otrzymany układ będzie nieoznaczony, posiadający wiele rozwiązań. Zazwyczaj zapisuje się postać ogólną x1=x, a pozostałych elementów wektora zależnych od x, lub przyjmuje się że jeden z elementów jest równy Wektory wartości własnych 52 26
27 Wektory wartości własnych 53 Wektory wartości własnych 54 27
28 Podobieństwo macierzy Macierze A i B określa się jako podobne jeżeli istnieje taka macierz C, że spełniona jest poniższa zależność: C -1 A C=B 55 Przekształcenia przez podobieństwo Dla każdej macierzy hermitowskiej można zdefiniować przekształcenie przeprowadzające ją w macierz diagonalną. C -1 H C=D Przekształcając powyższe równanie: C i -1 H C i =d i H C i =d i C i Otrzymamy zależność na i-ty element macierzy diagonalnej
29 Przekształcenia przez podobieństwo H C i =d i C i Macierz H pomnożona przez wektor (i-tą kolumnę macierzy C) w wyniku daje ten sam wektor pomnożony przez liczbę di. Wówczas wektor C i jest wektorem własnym macierzy H z wartością własną d i. Wektory własne macierzy H są więc kolumnami macierzy C. Przekształcenie macierzy H macierzą C w macierz diagonalną D określa się diagonalizacją macierzy. 57 Diagonalizacja macierzy Dla macierzy symetrycznych (rzeczywistych) podstawowymi metodami diagonalizacji są: Metoda Jacobiego Metoda Householdera Metoda Davidsona Dla macierzy niesymetrycznych: Metoda QR Metoda Hirao i Nakatsujego 58 29
30 Norma macierz Normą macierzy kwadratowej A jest nieujemna liczba A (nie wyznacznik) która spełnia poniższe warunki: 1. A (0, ), A =0 <=> A=0 2. αa = A = α A, A, gdzie α jest liczbą a) A+B A + B b) A B A B 59 Norma wektora Dla macierzy jednokolumnowej (wektora) określane są następujące normy: 1. Suma modułów: 2. Norma euklidesowa: 3. Norma maksimum: 60 30
31 Normy macierzy Normy macierzy kwadratowy określa się następująco: 1. Suma kolumny: 2. Norma euklidesowa: 3. Norma spektralna: max (A) maksymalna wartość wartości własnych macierzy A 4. Sumy wierszy: 61 Przykład 5 Obliczyć normy wektora: 62 31
32 Przykład 6 Obliczyć normy macierzy kwadratowej: 63 Przykład
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoRACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
Bardziej szczegółowoDefinicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.
Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Bardziej szczegółowoMacierze Lekcja I: Wprowadzenie
Macierze Lekcja I: Wprowadzenie Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Definicja Niech dane będą dwie liczby naturalne dodatnie m i n. Układ m n liczb ułożonych w prostokątną tablicę złożoną z m
Bardziej szczegółowoMacierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowodet[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoD1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje
D1. Algebra macierzy W niniejszym dodatku podamy podstawowe operacje macierzowe oraz niektóre techniki algebry macierzowej nie dbając szczególnie o formalizm matematyczny. Zakres jest wystarczający dla
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowoMACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoWyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013
Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria
Algebra liniowa z geometria Materiały do ćwiczeń Zespół matematyków przy WEEiA Spis treści 1 Macierze i wyznaczniki 5 11 Macierze i ich rodzaje 5 12 Operacje na macierzach 6 13 Wyznacznik macierzy 8 14
Bardziej szczegółowo, A T = A + B = [a ij + b ij ].
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoWykład 7 Macierze i wyznaczniki
Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek sladek@ux2mathusedupl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7
Bardziej szczegółowoA A A A A A A A A n n
DODTEK NR GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy najważniejsze definicje rachunku macierzowego i omówimy niektóre funkcje i transformacje macierzy najbardziej przydatne w zastosowaniach numerycznych a w szczególności
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowo; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoWartości i wektory własne
Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoWykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25
Wykład 4 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 25 marca 2019 Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 1 / 25 Macierze Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 2 / 25 Macierza wymiaru m n
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania
Bardziej szczegółowo"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub
"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.
Bardziej szczegółowoPostać Jordana macierzy
Rozdział 8 Postać Jordana macierzy Niech F = R lub F = C Macierz J r λ) F r r postaci λ 1 0 0 0 λ 1 J r λ) = 0 λ 1 0 0 λ gdzie λ F nazywamy klatką Jordana stopnia r Oczywiście J 1 λ) = [λ Definicja 81
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1
Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1 Liczby zespolone Postać wykładnicza liczby zespolonej Niech e oznacza stałą Eulera Definicja Równość e i cos isin nazywamy wzorem Eulera. ALGEBRA 2 Liczby zespolone Każdą liczbę
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowojest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowo5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25
MIMUW 5 Wyznaczniki 25 5 Wyznaczniki Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją det : K m n K, (m = 1, 2, ) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa i geometria analityczna. Autorzy: Agnieszka Kowalik Michał Góra
Algebra liniowa i geometria analityczna Autorzy: Agnieszka Kowalik Michał Góra 9 Spis treści Liczby zespolone Postać algebraiczna liczby zespolonej Moduł i argument liczby zespolonej Postać trygonometryczna
Bardziej szczegółowoAlgebra. macierzy brzegowych z zastosowaniami. Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski
Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski
Bardziej szczegółowoWektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra
Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
Bardziej szczegółowoMetody i analiza danych
2015/2016 Metody i analiza danych Macierze Laboratorium komputerowe 2 Anna Kiełbus Zakres tematyczny 1. Funkcje wspomagające konstruowanie macierzy 2. Dostęp do elementów macierzy. 3. Działania na macierzach
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoKrótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników
Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoMacierze. Układy równań.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Macierze Układy równań 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoWEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa
Bardziej szczegółowoZestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne II. Układy równań liniowych
Metody numeryczne II. Układy równań liniowych Oleksandr Sokolov Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej UMK (2016/17) http://fizyka.umk.pl/~osokolov/mnii/ Układ równań liniowych Układem równań
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowo2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9
Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek
Bardziej szczegółowo4 Przekształcenia liniowe
MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień
Bardziej szczegółowoAlgebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Bardziej szczegółowoCo to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Bardziej szczegółowoDiagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad
Bardziej szczegółowo