Wykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

Transkrypt

1 Wykład 4 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 25 marca 2019 Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

2 Macierze Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

3 Macierza wymiaru m n (czyt. "m na n" ) nazywamy tablicę liczb o m wierszach i n kolumnach. Macierze oznaczamy wielkimi literami, A M m n m - oznacza liczbę wierszy, a n - liczbę kolumn poszczególne elementy macierzy oznaczamy małymi literami przez a ij rozumiemy element macierzy A leżacy w i-tym wierszu i j-tej kolumnie Przykład a ij, i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n. A = [1, 2, 3] A M 1 3 a 11 = 1, a 12 = 2, a 13 = 3 Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

4 Szczegółne przypadki macierzy: macierz kwadratowa - macierz o tej samej liczbie wierszy i kolumn, czyli wymiaru n n. Przykład 1 1, 2 2, 3 3,... macierz jednostkowa- macierz kwadratowa z jedynkami na przekatnej (ozn. 1 n albo I n ) [ ] { 1 0 I 1 = 1, I 2 =, I = , i = j, (I n ) ij = 0, i j macierz zerowa - macierz dowolnego wymiaru z samymi zerami, tzn. (0 m n ) ij = 0 np = [ 0 0 ] [ ] 0 0 0, = Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

5 macierz symetryczna - macierz kwadratowa, której elementy spełniaja warunek: a ij = a ji, dla dowolnych 1 i, j n. Stad np. dla macierzy symetrycznych mamy np.: A = a 12 = a 21, a 23 = a 32,... [ ], B = "symetria" względem przekatnej macierz jednostkowa jest macierza symetryczna Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

6 Działania na macierzach: dodawanie / odejmowanie transponowanie macierzy mnożenie przez stała (skalowanie) mnożenie macierzy Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

7 Dodawanie/odejmowanie macierzy Jeżeli A i B - macierze M m n to A ± B = C, gdzie C jest macierza takiego samego wymiaru, czyli C M m n c ij = a ij ± b ij Zatem dodać/odjać można tylko macierze tych samych wymiarów (bo każda liczba z jednej macierzy musi mieć swojego odpowiednika w drugiej). Przykład [0, 1, 2] + [3, 4, 2] = [0 + 3, 1 + 4, 2 + 2] = [3, 5, 4] [0, 1, 2] [3, 4, 2] = [0 3, 1 4, 2 2] = [ 3, 3, 0] Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

8 Mnożenie przez stała Jeżeli to gdzie A macierz M m n, λ stała, λa = C C jest macierza takiego samego wymiaru jak A, czyli C M m n c ij = λ a ij. Przykład 2 [0, 1, 2] = [2 0, 2 1, 2 2] = [0, 2, 4] 0.5 [0, 1, 2] = [ 0.5 0, 0.5 1, 0.5 2] = [0, 0.5, 1] Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

9 Transponowanie macierzy Jeżeli macierz A ma m wierszy i n kolumn, (A M m n )to transponowanie macierzy A oznaczamy A T albo A t A T ma n wierszy i m kolumn (A T M n m ) A T powstaje z A przez "przewrócenie jej na bok" według zasady: kolejne wiersze staja się kolejnymi kolumnami Przykład [ Własności : ] T = , T = [ ], [2] T = 2 (I n ) T = I n Dla macierzy symetrycznej A zachodzi: A T = A Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

10 Mnożenie macierzy Jeżeli A - macierz m k B - macierz k n to istnieje iloczyn A B = C gdzie C M m n, czyli C ma tyle wierszy ile pierwsza macierz i tyle kolumn ile druga macierz iloczyn macierzy istnieje, jeśli liczba kolumn pierwszej macierzy jest równa liczbie wierszy drugiej macierzy c ij - iloczyn skalarny i tego wiersza pierwszej macierzy (tutaj A) przez j- ta kolumnę drugiej macierzy (tutaj B). Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

11 Uwaga 1 Może istnieć A B, ale nie istnieć B A. Przykład. to A - macierz 2 3, B - macierz 3 1, istnieje A B i jest macierza 2 1, nie istnieje B A, bo 1 2. Uwaga 2 Jeśli A, B M n n, to istnieja iloczyny A B i B A. Zatem każde dwie macierze kwadratowe tego samego wymiaru można pomnożyć. Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

12 Uwaga 3 Jeżeli istnieja iloczyny A B i B A, to (zwykle) A B B A, czyli mnożenie macierzy nie jest przemienne. Sa takie przypadki macierzy A i B, gdy ten iloczyn jest przemienny, ale o tym później :) Iloczyn skalarny Jeżeli a = (a 1, a 2,..., a k ) oraz b = (b 1, b 2,..., b k ) T to iloczyn skalarny wektorów a i b a b = a 1 b 1 + a 2 b a k b k. Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

13 Przykład A = [ ], B = A M 2 3, B M 3 2, zatem A B istnieje i jest M 2 2 A B = [ ] [ c11 c = 12 c 21 c 22 ], B M 3 2, A M 2 3, zatem B A istnieje i jest M 3 3 B A = [ ] = c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33 Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25,

14 [ A B = ] [ ] c11 c = 12 c 21 c 22 c ij - iloczyn skalarny i tego wiersza pierwszej macierzy przez j- ta kolumnę drugiej macierzy. Zatem A B = [ c 11 = = 7 c 12 = ( 1) = 0 c 21 = = 16 c 22 = ( 1) = 3 ] = [ ] Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

15 B A = [ ] = c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33 c ij - iloczyn skalarny i tego wiersza pierwszej macierzy przez j- ta kolumnę drugiej macierzy. c 11 = = 9, c 12 = = 12, c 13 = = 15 c 21 = 0 1+( 1) 4 = 4, c 12 = 0 2+( 1) 5 = 5, c 13 = 0 3+( 1) 6 c 31 = = 2, c 12 = = 4, c 13 = = 6 Zatem B A = [ ] = , Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

16 Własności działań na macierzach. Dla dowolnych macierzy A, B, C oraz stałych k, w zachodza wzory: A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) (A + B) T = A T + B T k (A + B) = k A + k B k (w A) = (k w) A (k + w) A = k A + w A A I = I A = A, gdzie I oznacza macierz jednostkowa odpowiedniego rozmiaru (A B) C = A (B C) A (B + C) = A B + A C k (A B) = (k A) B = A (k B) (A B) T = B T A T Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

17 Wyznaczniki Wyznacznikiem macierzy nazywamy funkcję det : M n n R, zatem każdej macierzy kwadratowej wymiaru n n w jednoznaczny sposób przyporzadkowujemy pewna liczbę, zwana wyznacznikiem. Wyznaczniki oznaczamy det A albo A, gdzie A - macierz n n. Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

18 Indukcyjna procedura liczenia wyznacznika: det[a] = a Jeżeli A jest macierza wymiaru n n, to stosujac rozwinięcie względem i-tego wiersza określamy det A = n ( 1) i+j a ij det A ij, j=1 gdzie A ij jest wyznacznikiem macierzy powstałej po skreśleniu wiersza i kolumny zawierajacych element a ij. Powyższa definicję można przepisać stosujac rozwinięcie względem j- tej kolumny, tzn. det A = n ( 1) i+j a ij det A ij. i=1 Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

19 Procedura: 1 wybrać wiersz/kolumnę i ponumerować jego/jej pozycje 2 dla każdej kolejnej liczby (czyli a ij ) w wybranym wierszu/kolumnie wyliczyć liczba ( 1) suma pozycji wyznacznik z tego co zostanie, gdy wytniemy wiersz i kolumnę zawierajac a dana liczbę 3 zsumować uzyskane wyniki. Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

20 Stosujac rozwinięcie Laplace a względem wiersza/kolumny otrzymujemy następujace wzory: 1 1 A = [a] det A = a Przykłady: det[2] = 2, det[ 5] = 5 [ ] a b 2 2 A = c d det A = a d b c Przykłady: = 3 8 = 5, = 0 ( 2) = 2, = 6 0 = 6 Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

21 3 3 A = a b c d e f g h i Rozwijajac względem pierwszego wiersza otrzymujemy: det A = a ( 1) 2 e f h i +b ( 1)3 d f g i +c ( 1)4 d e g h = a e f h i b d f g i + c d e g h = a (e i f h) b (d i f g) + c (d h e g). Jak widać, ten wzór w postaci ogólnej nie jest "przejrzysty":( Przykład: Obliczyć det A gdy macierz A ma postać A = Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

22 Przykład: Stosujac rozwinięcie względem pierwszego wiersza mamy: det A = = 1 ( 1) ( 1) ( 1) = 1 (0 2) 2 (0 2) + 3 (4 0) = = 14. Obliczyć ten wyznacznik stosujac rozwinięcie względem drugiej kolumny, tzn. : det A = Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

23 Wyznaczniki z macierzy 3 3 można również liczyć tzw. metoda Sarrusa. Inny sposób liczenia wyznaczników z macierzy 3 3 ( tzw. metoda Sarrusa) : przepisujemy po prawej stronie (kolejno) 2 pierwsze kolumny tworzymy przekatne z lewego górnego rogu (3 sztuki) (z +) tworzymy przekatne z prawego górnego rogu (3 sztuki) (z ) wymnażamy liczby wzdłuż każdej przekatnej i dodajemy (gdy przekatna z +) albo odejmujemy (gdy przekatna z ) Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

24 Przykład Obliczyć wyznaczniki macierzy [ ] A =, B = (na 2 sposoby ) Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25

25 Dziękuję za uwagę! Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25