Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Transkrypt

1 Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,, α n ), czyli każdy wektor V jest kombinacja wektorów α,, α n Przyk lad 9 Dla dowolnego cia la K wektory ε,, ε n K n tworza K n na mocy przyk ladów 82 i 84 Te K n nazywamy baza kanoniczna Przyk lad 92 Baza C R jest zbiór {, i} Twierdzenie 93 (Steinitza o wymianie) Jeżeli wektory α,, α n tworza liniowej V, a wektory β,, β k V sa liniowo niezależne, to k n oraz spośród wektorów α,, α n można wybrać n k wektorów, które l acznie z wektorami β,, β k tworza V Wniosek 94 Każde dwie skończone bazy liniowej maja tyle samo elementów 2 Wymiar liniowej Za lóżmy, że przestrzeń V posiada {α,, α n } Wówczas mówimy, że V jest a skończenie wymiarowa oraz liczbe n nazywamy wymiarem V Piszemy też wtedy, że dim(v ) = n Jeżeli V = {Θ}, to dim(v ) = 0 Przyk lad 95 Dla dowolnego cia la K wymiar K n jest równy n tzn dim(k n ) = n Przyk lad 96 Przestrzeń liniowa R Q nie jest skończenie wymiarowa, gdyż można wykazać, że dla dowolnych różnych liczb pierwszych p,, p k i dla dowolnego naturalnego k wektory log p,, log p k sa liniowo niezależne Twierdzenie 97 Niech V bedzie skończonego wymiaru i niech W bedzie jej poda Wówczas: (i) dim(w ) dim(v ), (ii) jeżeli dim(w ) = dim(v ), to W = V, (iii) jeżeli V i V 2 sa podami V, to zachodzi wzór: dim(v + V 2 ) = dim(v ) + dim(v 2 ) dim(v V 2 )

2 Twierdzenie 98 Niech V bedzie skończonego wymiaru n Wówczas dla wektorów α,, α n V równoważne sa warunki: (i) wektory α,, α n tworza V, (ii) wektory α,, α n generuja przestrzeń V, (iii) wektory α,, α n sa liniowo niezależne Niech α = [a, a 2,, a n ],, α k = [a k, a k2,, a kn ] () bed a wektorami liniowej K n dla ustalonego cia la K Wówczas macierz a a 2 a n a A = 2 a 22 a 2n a k a k2 a kn nazywamy macierza uk ladu wektorów α,, α k Zatem wektory α,, α k można uważać za wiersze macierzy A Twierdzenie 99 Niech wektory α,, α k bed a dane wzorami () i niech W = L(α,, α k ) oraz niech A bedzie macierza tego uk ladu wektorów Wówczas (i) dim(w ) = r(a); (ii) wektory α,, α k sa liniowo niezależne wtedy, i tylko wtedy, gdy r(a) = k (iii) jeżeli k = n, to wektory α,, α n tworza K n wtedy, i tylko wtedy, gdy det(a) 0 Przyk lad 90 Zbadamy dla jakich wartości parametru a wektory [a,, 0], [, a, 3], [a,, ] a 0 R 3 sa liniowo niezależne Macierz tego uk ladu wektorów ma postać A = a 3 Z a twierdzeń 98 i 99 wynika, że nasze wektory sa liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy a 0 det(a) 0 Ale det(a) w 3 w = a 3 = ( ) 3+3 a a = a2, wiec det(a) = wtedy, i tylko wtedy, gdy a = lub a = Zatem nasze wektory sa liniowo niezależne jedynie dla wszystkich liczb rzeczywistych a, Z twierdzenia 98 wynika, że dla takich a nasze wektory tworza R 3 Przyk lad 9 Znajdziemy wymiar pod W R 4 generowanej przez wektory [, 2, 3, ], [2,, 2, 3], [3, 3, 5, 4], [3, 0,, 5] Macierza tego uk ladu wektorów jest A = Obliczamy rz ad macierzy A wykonujac operacje w 2 w 2 i w 3 3 w 2 :

3 r(a) = r = + r Po wykonaniu operacji w + w 3 oraz w 2 + w 3 uzyskamy ostatecznie, że r(a) = + = 2 Zatem z twierdzenia 99, dim(w ) = 2 3 Operacje elementarne na uk ladzie wektorów Wyróżniamy nastepuj ace operacje elementarne na uk ladzie wektorów α,, α n V : (a) Pomnożenie i-tego wektora przez niezerowy skalar a Oznaczenie: a w i Operacja odwrotna: a w i (b) Zamiana miejscami wektora i-tego z wektorem j-tym (i < j) Oznaczenie: w i w j Operacja odwrotna: w i w j (c) Dodanie do j-tego wektora wektora i-tego (i j) pomnożonego przez dowolny skalar a Oznaczenie: w j + a w i Przy tej operacji zmienia sie tylko wektor w j Operacja odwrotna: w j + ( a) w i Twierdzenie 92 Niech wektory β,, β n powstaja z wektorów α,, α n przez kolejne zastosowanie skończonej liczby operacji elementarnych Wówczas L (i) L(β,, β n ) = L(α,, α n ) (zapis: ); (ii) wektory β,, β n sa lnz wektory α,, α n sa lnz (zapis: lnz ); (iii) wektory β,, β n tworza V wektory α,, α n tworza V (zapis: baza ) Twierdzenie 93 Niech a, a 22,, a nn bed a niezerowymi elementami cia la K i niech a ij K dla wszystkich i < j oraz niech macierz uk ladu wektorów α,, α n K n ma postać a a 2 a 3 a n 0 a 22 a 23 a 2n A = 0 0 a 33 a 3n (2) a nn Wówczas zbiór {α,, α n } jest baza V i każdy jego podzbiór jest zbiorem liniowo niezależnym Twierdzenia 92 i 93 daja nowy algorytm badania liniowej niezależności dowolnego skończonego uk ladu wektorów Umożliwiaja one także szybkie znalezienie bazy pod K n generowanej przez skończony uk lad wektorów Baza dowolnej niezerowej pod K n może być przedstawiona jako podzbiór uk ladu wektorów z twierdzenia 3

4 93 Algorytm znajdowania takiej bazy jest bardzo podobny do eliminacji Gaussa Wygodnie jest wykonywać operacje elementarne nie na uk ladzie wektorów, lecz na wierszach macierzy tego uk ladu (należy przy tym pamietać, aby nie ruszać kolumn tej macierzy!) W takich rachunkach możemy wykreślać wiersze z lożone z samych zer Twierdzenia te umożliwiaja nam też szybkie uzupe lnienie dowolnego uk ladu liniowo niezależnego K n do bazy tej przy pomocy wektorów wybranych z bazy kanonicznej Przyk lad 94 Znajdziemy pod W R 4 generowanej przez wektory: [, 4, 3, 2], [3, 7, 5, 3], [3, 2,, 0], [ 4,, 0, ] W tym celu stosujemy twierdzenie 92 Wygodnie jest wykonywać operacje elementarne na wierszach macierzy A - tego uk ladu wektorów Wszystkierównoważności dotycza pod generowanej: w 2 w 3 w 3 +3 w w 3 +2 w 2 [ ] W jest zbiór {[, 4, 3, 2], [0, 5, 4, 3]}, skad dim(w ) = w 4 4 w w 3 3 w 2 Zatem z twierdzenia 93 baza pod Przyk lad 95 Znajdziemy R 4 zawierajac a wektory: [2, 3, 4, 5], [3, 4, 8, 9] Najpierw [ stosujemy ] operacje [ elementarne ] na wierszach [ macierzy] A - tego uk ladu wektorów: w w w 2 2 w Zatem z twierdzeń 92 i 93 wektory nasze sa liniowo niezależne i z twierdzenia 93 można je uzupe lnić do bazy R 4 Na mocy twierdzenia 93 wektory [,, 4, 4], [0,, 4, 3], [0, 0,, 0], [0, 0, 0, ] tworza R 4, gdyż macierz tego uk ladu wektorów ma postać: Zatem wektory: [2, 3, 4, 5], [3, 4, 8, 9], [0, 0,, 0], [0, 0, 0, ] też tworza tej Twierdzenie 96 Za lóżmy, że wektory α,, α n liniowej V sa liniowo niezależne Wówczas wektor α V jest kombinacja tych wektorów wtedy, i tylko wtedy, gdy wektory α, α,, α n sa liniowo zależne Z twierdzenia 96 wynika, że aby sprawdzić, czy wektor α jest kombinacja wektorów 4

5 β,, β k należy najpierw znaleźć α,, α n pod L(β,, β k ), a nastepnie sprawdzić, czy wektory α, α,, α n sa liniowo zależne Możemy to zrobić stosujac operacje elementarne 4 Zadania do samodzielnego rozwiazania Zadanie 97 W R 4 zbadać niezależność wektorów: [, 4, 7, 0], [2, 5, 8, ], [2, 6, 9, 2] Odp Wektory te sa liniowo zależne Zadanie 98 Dla jakich a R wektory [,, ], [, a, 2], [2, 3, 4] tworza R 3? Odp a 3 2 Zadanie 99 Pokazać, że V = {[x, y, z] R 3 : x + y + z = 0} jest poda R 3 Wyznaczyć i wymiar V Odp Baza V jest {[, 0, ], [0,, ]} i dim V = 2 Zadanie 920 Znaleźć i wymiar pod V R 4 generowanej przez wektory: [, 3, 4, 2], [3, 5, 7, 3], [3,, 2, 0], [ 4, 0,, ] Odp Baza V jest {[, 3, 4, 2], [0, 4, 5, 3]} oraz dim(v ) = 2 Zadanie 92 Znajdź i wymiar pod V R 5 generowanej przez wektory: [ 3,, 5, 3, 2], [2, 3, 0,, 0], [, 2, 3, 2, ], [3, 5,, 3, ], [3, 0,, 0, 0] Uzupe lnij znaleziona pod V do bazy ca lej R 5 Odp Baza V jest {[, 3,,, 0], [0,, 6, 3, 2], [0, 0, 28, 2, 9]}, dim(v ) = 3 Szukana baza R 5 jest {[, 3,,, 0], [0,, 6, 3, 2], [0, 0, 28, 2, 9], [0, 0, 0,, 0], [0, 0, 0, 0, ]} Zadanie 922 W liniowej R 4 dane sa pode: V = L([,, 0, 0], [0,,, 0], [0, 0,, ]), W = L([, 0,, 0], [0, 2,, ], [, 2,, 2]) Wyznacz i wymiar pod: a) V, b) W, c) V + W, d) V W Odp a) Baza V jest {[,, 0, 0], [0,,, 0], [0, 0,, ]} oraz dim V = 3 b) Baza W jest {[, 0,, 0], [0,, 0, ], [0, 0,, ]} oraz dim W = 3 c) Baza V + W jest {[, 0, 0, 0], [0,, 0, 0], [0, 0,, 0], [0, 0, 0, ]}, dim(v +W ) = 4 i V +W = R 4 d) Baza V W jest {[, 0, 0, ], [0,,, 0]} oraz dim(v W ) = 2 5