Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Transkrypt

1 Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011

2 Reprezentacje sygnału Jak reprezentujemy sygnał: wybieramy sygnały wzorcowe (bazę) rozwijamy sygnał w wybranej bazie (sygnał kombinacja liniowa wektorów wzorcowych reprezentacja sygnału (w danej bazie) - podanie współczynników rozkładu (w tej bazie) wybór wzorców niejednoznaczny prowadzi do różnej jakości reprezentacji co to znaczy dobra jakość reprezentacji? taka, w której kilka współczynników wystarcza w której energia skupiona jest w kilku tylko składowych można zapisać tylko te znaczace skladowe, resztę zaniedbać łatwość kompresji Przykład - sygnał - wektor w R 2 ; naturalna baza to wektory e 0, e 1 : e 0 = ( ) 1, e 1 = 0 ( ) ( ) 0, a A = = ae 0 + be 1 1 b

3 Reprezentacje sygnału - c.d. Gdy sygnał wolno zmienny (skorelowany) - czyli a b (n.p. a = 52, b = 50 - obie składowe równie ważne, podobny wkład do energii gdy inny wybór bazy: f 0 = 1 ( ) 1, f 1 = 1 ( ) ( ) 1, 52 A = energia - tu nie zależy od wyboru bazy, sposób jej koncentracji - tak = f f 1 podobnie - dla obrazów dwuwymiarowych. Przykład - obrazy 2x2: wybór bazy: gdy v i - baza sygnału jednowymiarowego w R 2, to â ij = v i vj T - baza w przestrzeni obrazów 2x2

4 Reprezentacje sygnału - 2-D wektory e 0, e 1 generuja bazę obrazów â ij : [ aˆ 00 = e 0 e0 T 1 0 = 0 0 [ aˆ 10 = e 1 e0 T 0 0 = 1 0 ] ] ( aˆ 01 = e 0 e1 T 0 1 = 0 0 [ aˆ 11 = e 1 e1 T 0 0 = 0 1 gdy weźmiemy wektory f 0, f 1 - dostaniemy zupełnie inne macierze bazowe: ˆbij = T f i fj w przestrzeni obrazów: [ ] [ ] bˆ 1/2 1/2 00 = bˆ 1/2 1/2 1/2 1/2 01 = 1/2 1/2 ) ] [ bˆ 1/2 1/2 10 = 1/2 1/2 ] [ bˆ 1/2 1/2 11 = 1/2 1/2 ]

5 Reprezentacje sygnału - 2-D wnioski reprezentacja wolno zmienego obrazu znacznie prostsza w bazie ˆb niż â; na przykład gdy dane to to reprezentacje maja postać: baza â: [ ], baza ˆb: [ ] w drugim przypadku - koncentracja energi znakomita; możliwość kompresji danych zastosowanie liniowej transformacji podstawowy element kodowania transformacyjnego (np. JPEG) jak można uzyskać nowa reprezentację sygnału x na podstawie starej y? zawsze -jako wynik rozwiazania problem liniowego: Ax = y, czyli : x = A 1 y gdzie A - macierz zmiany bazy gdy bazy ortonormalne i mamy określony iloczyn skalarny - gwarancja zachowania energii i ułatwienie w odczytaniu składowych

6 Reprezentacje sygnału - baza DCT Realny przykład - baza DCT przestrzeń 8-mio wymiarowa (x 0,..., x 7 ) losowo wybrany obszar 8 x 8 zapis w bazie standardowej współrzędne w bazie DCT

7 Reprezentacje sygnału - baza DCT 64

8 Reprezentacje sygnału - baza DCT 10

9 Reprezentacje sygnału - baza DCT 6

10 Przestrzenie sygnałów Potrzeba określenia własności matematycznych sygnałów Czego nam potrzeba? możliwosć pomiaru sygnału, określenia jego długości, odległości od innego, pomiar kata pomiędzy sygnałami własności metryczne możliwość manipulowania sygnałami: mnożenie sygnału przez liczbę, dodawania sygnałów, określenia sygnałów bazowych własności algebraiczne zupełność zbioru sygnałów (czy ciagi Couchy ego elementów zbioru sygnałów maja granice w tym zbiorze) Minimum własności metrycznych wyposażenie zbioru sygnałów w metrykę czyli funkcjonał, który każdej parze sygnałów x, y przypisze nieujemna liczbę rzeczywista (x, y) 0 o własnościach: (x, y) = 0 x = y (identyczność nierozróżnialnych) (x, y) = (y, x) symetria (x, z) (x, y) + (y, z) nierówność trójkata

11 Własności algebraiczne Przestrzeń sygnałów jest przestrzenia liniowa (wektorowa) gdy określimy dla niej dwie operacje: dodawanie sygnałów (opreacja "+") oraz mnożenia przez liczbę (operacja "*") o własnościach: przemienność dodawania: x + y = y + x łaczność dodawania: ((x + y) + z) = (x + (y + z)) łaczność mnożenia: (α(βx)) = ((αβ)x) rozdzielność mnożenia względem dodawania: (α(x + y)) = (αx + αy) oraz (α + β)x = (αx + βx) Przykłady przestrzeni liniowych sygnałów: Zbiór sygnałów o ograniczonej energii, z dołaczonym sygnałem zerowym. Jest to tzw. przestrzeń sygnałów (funkcji) całkowalnych z kwadratem i oznaczana L 2 Zbiór sygnałów okresowych o okresie T i ograniczonej energii z dołaczonym sygnałem zerowym oznaczenie: L 2 T zbiór sygnałów dyskretnych o ograniczonej energii z dołaczonym sygnałem zerowym. Jest to przestrzeń ciagów sumowalnych z kwadratem oznaczana przez l 2.

12 Liniowa niezależność, baza przestrzeni Niech X N = {x k (t) : k = 1, 2,..., N} zbiór N sygnałów z przestrzeni liniowej X. Wtedy każdy sygnał postaci: x(t) = N α k x k (t) - liniowa kombinacja sygnałów x k (t). k=1 Mówimy, że sygnały - elementy zbioru X N sa liniowo niezależne gdy znikanie kombinacji liniowej pociaga za soba zerowanie się wszyskich współczynników α k tej kombinacji Baza przestrzeni X nazywamy podzbiór B wektorów tej przestrzeni o własnościach: wektory w B sa liniowo niezależne zbiór B generuje cała przestrzeń (każdy wektor X da się zapisać jako liniowa kombinacja wektorów z B) przedstawienie każdego wektora jako kombinacji liniowej elementów bazy jest jednoznaczne

13 Norma, iloczyn skalarny Liniowa przestrzeń unormowana - przestrzeń liniowa wyposażona w normę odwzorowanie które każdemu sygnałowi x przypisuje nieujemną liczbę rzeczywista x normę tego sygnału o własnościach: x = 0 x = 0 αx = α x x + y x + y Możemy mieć metrykę wyznaczona (indukowaną) przez mormę: (x, y) = x y Iloczyn skalarny - odwozorowanie przypisujace uporzadkowanej parze sygnałów {x, y} liczbę < x, y > tak, że spełnione sa warunki: < x, y >=< y, x > < αx + βy, z >= α < x, z > +β < y, z > x 0 < x, x >> 0 x = 0 < x, x >= 0

14 Przestrzeń Hilberta sygnałów Przestrzeń unitarna - przestrzeń liniowa z iloczynem skalarnym, unormowanana przez normę zadana przez iloczyn skalarny: x = < x, x > Kat pomiędzy wektorami x i y: cos(ϕ xy ) = Re<x,y> x y dla przestrzeni rzeczywistych cos(ϕ xy ) = <x,y> x y dla przestrzeni zespolonych Przestrzeń Hilberta sygnałów - przestrzeń unitarna, zupełna metrycznie w sensie metryki określonej przez iloczyn skalarny Przykłady przestrzeni Hilberta sygnałów: L 2, L 2 T, l2 i iloczynami skalarnymi: < x, y > L 2= x(t)y (t)dt < x, y > L 2 T = 1 T T x(t)y (t)dt < x, y > l 2= x(n)y (n) 0

15 Bazy w przestrzeniach Hilberta sygnałów Niech X N = {x k (t) : k = 1, 2,..., N} - baza N-wymiarowej przestrzeni Hilberta sygnałów X (dopuszczamy N nieskończone). Taka bazę nazywamy: ortogonalna, gdy każde dwa różne elementy z X N sa ortogonalne (prostopadłe) oraz gdy w X nie istnieje niezerowy sygnał prostopadły do wszystkich x k (t) z X N ortonormalna, gdy jest ortogonalna i normy wszystkich wektorów bazowych sa równe 1 Nie w każdej przestrzeni Hilberta istnieje baza ortogonalna. Przestrzeń, która na to pozwala nazywamy ośrodkowa (przeliczalnie gęsta) Majac zbiór liniowo niezależnych wektorów - bazę w ośrodkowej przestrzeni Hilberta możemy uzyskać bazę ortonormalna przy pomocy iteracyjnej procedury Gramma-Schmidta