DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018"

Transkrypt

1 DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa J Rutkowski, Algebra liniowa w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2008

2 Spis treści 1 ELEMENTARNA TEORIA PRZESTRZENI LINIOWYCH 3 11 Teoria Metoda eliminacji Gaussa Przestrzeń, podprzestrzeń Kombinacje liniowe wektorów, liniowa zależność wektorów Baza i wymiar przestrzeni liniowej Suma algebraiczna i suma prosta podprzestrzeni 7 12 Zadania 8 2 TEORIA MACIERZY Teoria Operacje na macierzach Rząd macierzy Zadania 14 3 WYZNACZNIK MACIERZY opracowanie dra Piotra Rzonsowskiego Teoria Definicja i podstawowe własności wyznacznika, tw Laplace a, tw Cauchy ego Wzór na macierz odwrotną Wzory Cramera Zadania 19 4 ODWZOROWANIA LINIOWE Teoria Przekształcenie liniowe Jądro i obraz przekształcenia liniowego Macierz przekształcenia liniowego Zmiana bazy Zadania 23 2

3 1 ELEMENTARNA TEORIA PRZESTRZENI LINIOWYCH Przestrzeń, podprzestrzeń, liniowa zależność wektorów, wymiar, baza, suma prosta przestrzeni 11 Teoria 111 Metoda eliminacji Gaussa Niech m, n N i niech K będzie dowolnym ciałem Układ równań postaci: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, (11) gdzie a ij, b i K dla dowolnych i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n nazywamy układem m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,, x n Następujące przekształcenia nie zmieniają zbioru rozwiązań układu: 1 zamiana miejscami dwóch dowolnych równań układu, 2 pomnożenie dowolnego równania układu przez niezerowy element ciała K, 3 dodanie do dowolnego równania układu innego równania tego układu pomnożonego przez dowolny element ciała K METODA ELIMINACJI GAUSSA: 1 W układzie (11) wyszukujemy równanie, w którym przy niewiadomej x 1, współczynnik a i1 jest różny od 0 i wstawiamy to równanie na pierwsze miejsce 2 Mnożymy równanie pierwsze przez a 1 i1 Otrzymujemy równanie, w którym współczynnik przy x 1 jest równy 1 3 Dodajemy do równania drugiego, trzeciego,, m-tego, równanie pierwsze pomnożone odpowiednio przez a 21, a 31,, a m1 Otrzymamy układ równań, w którym w pierwszym równaniu przy x 1 jest współczynnik równy 1, a w równaniach drugim, trzeci,, m-tym współczynnik przy x 1 jest równy 0: x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 22x a 2nx n = b 2 a m2x a mnx n = b m, 4 Czynności 1 3 powtarzamy dla równań od drugiego do m-tego, otrzymanego układu równań (12), itd (12) 3

4 DB Algebra liniowa 1 semestr letni Przestrzeń, podprzestrzeń Definicja 111 (Ciało) Ciałem nazywamy niepusty zbiór K (posiadający co najmniej dwa elementy) wraz z działaniami + : K K K oraz : K K K takimi, że: C1 (K, +, ) jest pierścieniem przemiennym z jedynką C2 Zbiór K = K \ {0} z mnożeniem jest grupą Definicja 112 (Charakterystyka ciała) Niech K będzie ciałem Jeśli istnieje liczba naturalna n taka, że n 1 = 0, to charakterystyką ciała K nazywamy najmniejszą liczbę naturalną o tej własności i oznaczamy char K Jeśli dla każdego n N, mamy n 1 0, to mówimy, że charakterystyka ciała K jest równa 0 Przykład 111 char Q = char R = char C = 0, char Z/p = p, gdzie p jest liczbą pierwszą Definicja 113 (Przestrzeń liniowa) Niech K będzie dowolnym ciałem θ = θ V V oraz z dwoma działaniami: Zbiór V z wyróżnionym elementem + : V V V dodawania elementów V, : K V V mnożenia elementów V przez elementy K, nazywamy przestrzenią liniową nad ciałem K (lub przestrzenią wektorową nad ciałem K), jeśli spełnione są następujące warunki: 1 (V, +, θ) jest grupą abelową z elementem neutralnym θ, 2 α (v + w) = α v + α w, 3 (α + β) v = α v + β v, 4 α (β v) = (αβ) v, 5 1 v = v, gdzie 1 oznacza element neutralny dla mnożenia w ciele K, tzn jedynkę ciała K Równości z podpunktów 2 5 zachodzą dla wszystkich v, w V oraz α, β K Elementy przestrzeni liniowej nazywamy wektorami Elementy ciała K nazywamy skalarami Przykład 112 Przykłady przestrzeni liniowych: 1 K n := {(a 1, a 2,, a n ) : a i K dla każdego i = 1, 2,, n}, 2 K[x] przestrzeń wielomianów jednej zmiennej nad ciałem K, 3 K n [x] = {f K[x] : deg n}, 4 C [a,b] przestrzeń funkcji ciągłych określonych na przedziale [a, b] o wartościach rzeczywistych nad R Działania są zdefiniowane następująco: (αf)(x) = αf(x), (f + g)(x) = f(x) + g(x) Definicja 114 (Podprzestrzeń) Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Niepusty podzbiór W V nazywamy podprzestrzenią przestrzeni V, jeśli spełnione są następujące dwa warunki: 1 dla dowolnych w 1, w 2 W zachodzi w 1 + w 2 W, 2 dla dowolnych α K oraz w W zachodzi α w W Powyższe dwa warunki możemy zastąpić w definicji podprzestrzeni równoważnie jednym następującym warunkiem: Piszemy W < V α, β K w 1, w 2 W : α w 1 + β w 2 W

5 DB Algebra liniowa 1 semestr letni Kombinacje liniowe wektorów, liniowa zależność wektorów Definicja Układem wektorów przestrzeni liniowej V o wskaźnikach ze zbioru T nazywamy każdą funkcję v : T V Wartość funkcji v na elemencie t T oznaczamy v t Układ wektorów będziemy zapisywać w postaci (v t ) t T 2 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Niech będzie dany układ wektorów S = (v 1, v 2,, v m ) z V oraz układ skalarów (α 1, α 2,, α m ) z K Wektor: v = α 1 v 1 + α 2 v α m v m = m α i v i nazywamy kombinacją liniową wektorów układu S Skalary α i nazywamy współczynnikami tej kombinacji Liniową kombinację wektorów można zdefiniować dla dowolnego układu wektorów S = (v t ) t T, gdzie T jest pewnym niekoniecznie skończonym zbiorem wskaźników Należy jednak pamiętać, że po to, aby wyrażenie: α t v t miało sens, trzeba założyć, że α t = 0 dla prawie wszystkich t T t T 3 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Niech S = (v t ) t T będzie pewnym układem wektorów z V Weźmy układ skalarów (α t ) t T t T K, taki że α t = 0 dla prawie wszystkich t T Wektor: i=1 v = t T α t v t nazywamy kombinacją liniową wektorów układu S Skalary α t nazywamy współczynnikami tej kombinacji 4 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Mówimy, że wektory układu S = (v 1, v 2,, v m ) z V rozpinają przestrzeń V, jeśli każdy wektor v V jest kombinacją liniową wektorów v i, dla i = 1, 2,, m Oznacza to, że każdy wektor v V można zapisać w postaci: dla pewnych skalarów α 1, α 2,, α m K v = α 1 v 1 + α 2 v α m v m 5 Niech będzie dany układ wektorów (v 1, v 2,, v m ) z przestrzeni V Wtedy zbiór wszystkich kombinacji liniowych: L(v 1, v 2,, v m ) = {α 1 v 1 + α 2 v α m v m : α 1, α 2,, α m K} wektorów v 1, v 2,, v m nazywa się powłoką liniową układu wektorów (v 1, v 2,, v m ) 6 Niech dany będzie skończony układ wektorów (v 1, v 2,, v m ) przestrzeni liniowej V nad ciałem K Mówimy, że układ ten jest liniowo zależny, gdy istnieją skalary α 1, α 2, ldots, α m K takie, że α k 0 dla pewnego k {1, 2,, m} oraz zachodzi równość: α 1 v 1 + α 2 v α m v m = θ V Nieskończony układ wektorów (v t ) t T przestrzeni V nad ciałem K jest liniowo zależny, gdy pewien jego skończony podukład jest liniowo zależny Dowolny układ wektorów (v t ) t T przestrzeni V nad ciałem K nazywamy liniowo niezależnym, jeśli nie jest on układem liniowo zależnym

6 DB Algebra liniowa 1 semestr letni Twierdzenie 111 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Niech S = (v 1, v 2,, v m ) będzie pewnym układem wektorów z V Niech będzie dany układ wektorów S 0 = (v i1, v i2,, v ik ), gdzie v ij dla 1 j k są pewnymi wektorami układu S oraz liczby i 1, i 2,, i k są parami różne Wówczas: 1 Jeśli wektory z S są liniowo zależne, to jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych 2 Jeśli θ V jest jednym z wektorów układu S, to układ S jest liniowo zależny 3 Jeśli wektory układu S są liniowo niezależne, to wektory układu S 0 są liniowo niezależne 4 Jeśli wektory układu S 0 są liniowo zależne, to wektory układu S są liniowo zależne 114 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Definicja 116 Układ wektorów S = (v t ) t T przestrzeni V nazywamy bazą przestrzeni V, jeśli są spełnione następujące warunki: 1 Układ S jest liniowo niezależny 2 Układ S rozpina przestrzeń V, tzn V = L(S) W szczególności, jeśli skończony układ wektorów S = (v 1, v 2,, v n ) jest bazą przestrzeni V, to mówimy, że V ma bazę skończoną Definicja 117 Niech dane będą dwa układy wektorów S 1 = (v t ) t T1 oraz S 2 = (w t ) t T2 przestrzeni V Mówimy, że układ S 1 zawiera układ S 2, gdy T 2 T 1 oraz w t = v t dla każdego t T 2 Zawieranie układów zapisujemy S 2 S 1 Twierdzenie 112 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K i niech S = (v t ) t T będzie danym układem wektorów w V Wtedy następujące warunki są równoważne: 1 Układ S jest bazą przestrzeni V 2 Każdy wektor v V da się jednoznacznie zapisać w postaci kombinacji liniowej wektorów: v = t T α t v t, gdzie v t S i α t są prawie wszystkie równe 0 3 S jest maksymalnym układem liniowo niezależnym w V ze względu na relację zawierania układów 4 S jest minimalnym układem ze względu na relację zawierania układów, które rozpinają przestrzeń V Definicja 118 Niech S = (v t ) t T będzie bazą przestrzeni liniowej V oraz niech v V 1 Układ skalarów (α t ) t T taki, że α t = 0 dla prawie wszystkich t T oraz taki, że: v = α t v t, t T nazywamy współrzędnymi wektora v względem bazy S i oznaczamy symbolem v S 2 W szczególności, jeśli V ma bazę skończoną S = (v 1, v 2,, v n ) oraz: v = α 1 v 1 + α 2 v α n v n, to współrzędne wektora v V względem bazy S zapisujemy jako wektor z K n w następujący sposób: α 1 α 2 v S = α n

7 DB Algebra liniowa 1 semestr letni Twierdzenie 113 Niech S = (v 1, v 2,, v n ) oraz S 2 = (w t ) t T baza S 2 też jest skończona i składa się z n wektorów będą bazami przestrzeni liniowej V Wówczas Definicja 119 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K 1 Jeśli V ma skończoną bazę S, to mówimy, że V jest przestrzenią skończenie wymiarową 2 Liczbę elementów bazy S przestrzeni skończenie wymiarowej V nazywamy wymiarem przestrzeni V i oznaczamy symbolem dim K V 3 Jeśli przestrzeń V nie ma skończonej bazy, to mówimy, że jest nieskończenie wymiarowa Wniosek 1131 Niech dim K V = n 1 Jeśli S = (v 1, v 2,, v m ) jest liniowo niezależnym układem wektorów w V, to m n 2 Jeśli S = (v 1, v 2,, v n ) jest liniowo niezależnym układem wektorów w V, to S jest bazą przestrzeni V 115 Suma algebraiczna i suma prosta podprzestrzeni Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Definicja 1110 Sumą algebraiczną podprzestrzeni W 1, W 2,, W n przestrzeni V nazywamy zbiór: W 1 + W W n = {w 1 + w w n : w i W i, dla i = 1, 2,, n} Jest to najmniejsza podprzestrzeń przestrzeni V zawierająca n i=1 W i Definicja 1111 Sumę algebraiczną W 1 +W 2 + +W n nazywamy sumą prostą podprzestrzeni W 1, W 2,, W n, gdy przedstawienie każdego wektora w W 1 + W W n w postaci: w = w 1 + w w n, gdzie w i W i, dla każdego i = 1, 2,, n jest jednoznaczne, tzn gdy w = w 1 + w w n, gdzie w i W i, dla każdego i = 1, 2,, n jest drugim takim przedstawieniem, to w i = w i, dla każdego i = 1, 2,, n Jeśli W = W 1 + W W n oraz suma algebraiczna jest sumą prostą to piszemy W = W 1 W 2 W n lub W = n W i Twierdzenie 114 Suma algebraiczna W 1 + W W n jest sumą prostą podprzestrzeni W 1, W 2,, W n przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi następujący warunek: i {1, 2,, n} : W i (W 1 + W W i 1 + W i W n ) = {θ V } Twierdzenie 115 Jeśli podprzestrzenie W 1, W 2 przestrzeni V mają wymiar skończony, to podprzestrzenie W 1 + W 2 oraz W 1 W 2 mają również wymiar skończony i zachodzi: i=1 dim K (W 1 + W 2 ) = dim K W 1 + dim K W 2 dim K W 1 W 2

8 DB Algebra liniowa 1 semestr letni Zadania Zadanie 121 Rozwiązać (metodą Gaussa) następujące układy równań w ciele liczb rzeczywistych: (a) (b) (c) x 1 + 3x 2 + 5x 3 = 2 2x 1 + 7x 2 + 9x 3 = 1 3x 1 + 8x 2 + 7x 3 = 7 2x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 1 5x 1 + 9x 2 + 7x 3 = 3 x 1 8x 2 + 7x 3 = 1 x 1 + 2x 2 x 3 = 4 3x 1 + 5x 2 2x 3 = 9 4x 1 + 5x 2 x 3 = 7 (d) (e) (f) x 1 + 3x 2 + x 3 + 4x 4 = 0 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 1 5x 1 + x 2 + 2x 3 + 8x 4 = 4 7x 1 + 3x 3 + 5x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 2 x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 6 3x 1 + 4x 2 + 4x 3 = 8 5x 1 6x 2 3x 3 = 8 x 1 + 4x 2 + 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 5 x 1 + 3x 2 + x 3 + 2x 4 + 5x 5 = 2 x 1 + 7x 2 + 5x 3 2x 4 3x 5 = 14 Zadanie 122 (zd) Czy zbiór Q( 2) := {a + b 2 : a, b Q} ze zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia jest ciałem? Zadanie 123 (zd) Udowodnić, że charakterystyka ciała jest liczbą pierwszą lub jest równa 0 Zadanie 124 (zd) Wyznaczyć charakterystykę ciała K, gdzie = 0 Zadanie 125 Obliczyć: (a) (b) w Z/5, w Z/7 Zadanie 126 (zd) Wykazać, że jeśli char K = p > 0, to (a + b) p = a p + b p, dla dowolnych a, b K Zadanie 127 Czy struktura V,, jest przestrzenią liniową nad ciałem R, gdzie: V = R >0 oraz : V V V, : R V V zdefiniowane są wzorami: v w := vw, α v := v α, dla dowolnych v, w V oraz α R Zadanie 128 Rozpatrując iloczyn (1 + 1) (v + w), gdzie v, w V uzasadnić, że w aksjomatach przestrzeni liniowej słowo abelowa można opuścić Zadanie 129 Czy struktura V, +, jest przestrzenią liniową nad ciałem R, gdzie: V := R 2 oraz + : V V V, : R V V zdefiniowane są wzorami: dla dowolnych (x 1, x 2 ), (y 1, y 2 ) V oraz α R Zadanie 1210 Sprawdzić, czy W < V, gdzie: (a) V = R 3, W = {(x, y, z) R 3 : x = 0}, (b) V = R 3, W = {(x, y, z) R 3 : x + y = 0}, (c) (d) (e) (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) := (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ), α (x 1, x 2 ) := (αx 1, x 2 ), V = Map(R, R) := {f : R R : f jest funkcją}, W = {f Map(R, R) : f jest ograniczona}, V = Map(R, R) := {f : R R : f jest funkcją}, W = {f Map(R, R) : f(x) Q, dla każdego x R}, V = C [0,1] := {f : [0, 1] R : f jest funkcją ciągłą}, W = {f C [0,1] : 2f(0) = f(1)}, (f) V = C [0,1] := {f : [0, 1] R : f jest ciągła}, W = {f C [0,1] : x [0, 1](f(x) = 0)}, (g) V = R[x], W = {f R[x] : f(0)f(1) = 0},

9 DB Algebra liniowa 1 semestr letni (h) V = R n, W = {(x 1, x 2,, x n ) R n : x 1 + x x n = 0}, (i) V = C n, W = {(x 1, x 2,, x n ) C n : x 1 = x n }, (j) V = C n, W = {(x 1, x 2,, x n ) C n : x 1 = x 2 = = x n } Zadanie 1211 Obliczyć w przestrzeni (Z/5) 3 : 2 (1, 4, 3) + 4 (3, 1, 2) (4, 2, 3) Zadanie 1212 Znaleźć wektor v (Z/7) 3 spełniający następującą równość w tej przestrzeni: 3 v + (1, 2, 5) = (3, 4, 6) Zadanie 1213 Z ilu różnych wektorów składa się przestrzeń (Z/p) n, gdzie p jest liczbą pierwszą? Zadanie 1214 Czy wektor (2, 4, 8) jest kombinacją liniową wektorów (1, 2, 3), (3, 7, 5), (5, 12, 8) w R 3 Jeśli jest, podać współczynniki tej kombinacji Zadanie 1215 Sprawdzić, czy prawdziwa jest przynależność: (a) (8, 9, 11) L((3, 1, 4), (2, 7, 3)) w R 3, (b) ( 2, 0, 1, 0) L(( 1, 1, 1, 2), (0, 1, 1, 2), (2, 1, 1, 1), (1, 3, 0, 2)) w R 4, (c) (1, 5, 1, 1) L((1, 3, 4, 5), (1, 4, 6, 3)) w (Z/7) 4, (d) (x, y, z, t) L((1, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (i, 1, i, 1)), gdzie x + y + z + t = 0 oraz t = 1 w C 4, (e) (7, 6, 4) L((3, 4, 2), (5, 5, 3)) w R 3 Zadanie 1216 Sprawdzić, czy zachodzi równość w R 3 : (a) L((4, 5, 3), (5, 7, 5)) = L((6, 9, 7), (7, 11, 9)), (b) L((1, 6, 5), (4, 1, 2)) = L((1, 2, 2), (5, 2, 4)), (c) L((1, 1, 3), (2, 5, 0)) = L((1, 2, 1), (1, 0, 5), (2, 1, 8)) Zadanie 1217 Pokazać, że jeśli v 1 + v 2 + v 3 = θ, to L(v 1, v 2 ) = L(v 2, v 3 ) Zadanie 1218 (zd) Sprawdzić czy dane wektory, generują przestrzeń R n : (a) (2, 2), ( 1, 3), dla n = 2, (b) (1, 3, 5), (1, 4, 7), (3, 8, 17), dla n = 3, (c) (1, 2, 4), (7, 6, 4), (9, 7, 3), dla n = 3, (d) (1, 2, 4), (3, 5, 9), dla n = 3 Zadanie 1219 Sprawdzić, czy dane wektory przestrzeni V są liniowo zależne: (a) V = R 3 nad ciałem R, wektory: (3, 1, 2), ( 9, 3, 6); (b) V = R 3 nad ciałem R, wektory: (4, 4, 1), (1, 4, 4); (c) V = R 3 nad ciałem R, wektory: (1, 0, 4), (5, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 8); (d) V = (Z/5) 3 nad ciałem Z/5, wektory: (1, 1, 0), (4, 3, 1), (1, 4, 2); (e) V = C R nad ciałem R, wektory: 1, sin x, cos x; (f) V = C R nad ciałem R, wektory: 1, 2 x, 3 x, 6 x ; (g) V = C (0, ) nad ciałem R, wektory: log x, log 2x, log 3x; Zadanie 1220 Czy wektory w 1 = x 5, w 2 = x 2 + 2x + 3, w 3 = x 2 + x + 1 tworzą bazę przestrzeni R 2 [x]? Zadanie 1221 Udowodnić, że wektory 1, x, x 2,, x n stanowią bazę przestrzeni R n [x] Zadanie 1222 Wykazać, że dane wektory w przestrzeni C R są liniowo niezależne: (a) 1, cos x, cos 2x, cos 3x,, (b) 1, sin x, sin 2 x, sin 3 x,

10 DB Algebra liniowa 1 semestr letni Zadanie 1223 (zad 62, JR) Sprawdzić, czy każdy wektor przestrzeni R 3 przedstawia się jednoznacznie w postaci kombinacji liniowej następującego układu wektorów: (a) (1, 0, 1), (1, 1, 3), (4, 1, 1), (b) (3, 3, 5), (1, 8, 4), (2, 7, 5), (c) (1, 3, 4), (2, 7, 9), (d) (1, 1, 1), (1, 2, 3), (4, 7, 11), (3, 4, 7) Zadanie 1224 Wyznacz współrzędne wektora: v = (1, 2, 0) R 3 w bazie ((1, 0, 1), ( 2, 1, 2), (0, 1, 1)) Zadanie 1225 (zad 68, JR) Zbadać, czy następujące wektory tworzą bazę przestrzeni R 3 (wykorzystać fakt, że gdy dim K V = n, to n wektorów przestrzeni V tworzy jej bazę wektory te są liniowo niezależne): (a) (1, 1, 1), (1, 1, 1), ( 1, 1, 1), (b) (1, 0, 1), (5, 1, 6), (8, 5, 3) Zadanie 1226 (zad 69, JR) Wyznacz jedną z baz podprzestrzeni W przestrzeni R 4, gdzie: (a) W = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : 2x 1 + 3x 2 + 4x 4 = 0, 4x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 }, (b) W = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 4x 2 9x 3 + 8x 4 = 0 }, (c) W = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : 2x 1 + 4x 2 + x 3 + 2x 4 = 0, x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 0, 4x 1 + 4x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 0 }, (d) W = { (x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 + 3x 2 + 9x 3 6x 4 = 0, x 1 + 7x 2 + x 3 2x 4 = 0, 2x 1 + x 2 + 7x 3 5x 4 = 0 } Zadanie 1227 (zad 76, JR) Wskazać taką bazę podprzestrzeni W przestrzeni R 4, która jest podukładem danego układu wektorów rozpinających podprzestrzeń W Określić wymiar podprzestrzeni W (a) W = L((1, 3, 3, 2), (3, 5, 6, 5), (8, 4, 9, 11), (5, 3, 6, 7)), (b) W = L((1, 1, 3, 7), (3, 4, 9, 17), (1, 2, 5, 9), (4, 5, 9, 27)), (c) W = L((1, 2, 0, 1), (4, 5, 1, 3), (5, 1, 3, 2), (1, 1, 1, 8)) Zadanie 1228 (zad 79, JR) Dla podanych podprzestrzeni W 1, W 2 < R 4 znaleźć bazę przestrzeni W 1 W 2 : (a) W 1 = L((1, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (1, 1, 0, 0)), W 2 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 2 x 4 = 0}, (b) W 1 = L((1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0)), W 2 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 x 2 = x 3 + x 4 = 0}, (c) W 1 = L((1, 7, 7, 8), (2, 6, 5, 7)), W 2 = L((5, 7, 1, 8), (5, 8, 1, 9)), (d) W 1 = L((1, 1, 4, 1), (3, 4, 9, 3)), W 2 = L((3, 4, 7, 6), (5, 7, 9, 9)) Zadanie 1229 (zad 87, JR) Wiadomo, że R 4 = W 1 W 2 Przedstawić dany wektor v R 4 w postaci odpowiedniej sumy: (a) W 1 = L((0, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 1)), W 2 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 = x 2 5x 4 = 0}, v = (7, 2, 15, 8), (b) W 1 = L((4, 0, 1, 0)), W 2 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 3 7x 4 = 0}, v = (5, 6, 9, 1) Zadanie 1230 (zad R 4 = W 1 W 2 : 88, JR) Zbadać, czy dla danych podprzestrzeni W 1, W 2 < R 4 prawdziwy jest związek (a) W 1 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 x 3 = x 2 + x 3 = 0}, W 2 = L((1, 1, 4, 1), (0, 1, 3, 0)), (b) W 1 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 + 2x 2 x 3 2x 4 = x 2 x 3 = 0}, W 2 = L((4, 1, 0, 3), (5, 1, 1, 4)) Zadanie 1231 (zad 89, JR) Podprzestrzenie W, W 1 i W 2 przestrzeni R 4 określone są następująco: W = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 + x 2 = x 3 + x 4 = 0}, W 1 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 = x 2 = x 3 = x 4 }, W 2 = L((1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)) Zbadać, czy W = W 1 + W 2 i czy suma algebraiczna W 1 + W 2 jest sumą prostą Zadanie 1232 (zad 97, JR) Określone są podprzestrzenie W 1, W 2 < R 4 Obliczyć wymiary podprzestrzeni W 1, W 2, W 1 + W 2, W 1 W 2, gdzie: (a) W 1 = L((2, 5, 0, 2)), W 2 = L((1, 7, 3, 4), (3, 0, 5, 2)), (b) W 1 = L((1, 1, 1, 1)), W 2 = L((1, 0, 3, 1), (3, 5, 4, 2), (3, 4, 5, 1)), (c) W 1 = L((1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1)), W 2 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 + 3x 2 x 3 + x 4 = 3x 1 + 8x 2 4x 3 + 3x 4 = 0}, (d) W 1 = L((1, 1, 2, 1), (6, 1, 1, 3)), W 2 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 +5x 2 +2x 3 +7x 4 = 3x 1 4x 2 +7x 3 +5x 4 = 0}, (e) W 1 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 x 2 + x 4 = x 1 + 2x 3 x 4 = 0}, W 2 = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 + x 2 + x 3 = x 1 + 3x 2 + x 3 x 4 = 0}

11 DB Algebra liniowa 1 semestr letni Zadanie 1233 (zad 61, JR) Dane są wektory v 1, v 2, w 1, w 2, w 3, w 4 R 4 Wektory v 1, v 2 są liniowo niezależne (dim R L(v 1, v 2 ) = 2), a L(w 1, w 2, w 3, w 4 ) = R 4 Które z wektorów w 1, w 2, w 3, w 4 można dołączyć do wektorów v 1, v 2, by otrzymać bazę przestrzeni R 4 (a) v 1 = (1, 4, 2, 1), v 2 = (0, 1, 1, 1) w 1 = (1, 1, 0, 0), w 2 = (2, 4, 1, 0), w 3 = (1, 0, 0, 2), w 4 = (2, 5, 3, 4), (b) v 1 = (1, 1, 1, 1), v 2 = (5, 2, 4, 1) w 1 = (1, 0, 1, 1), w 2 = (2, 1, 1, 0), w 3 = (4, 1, 1, 2), w 4 = (3, 4, 3, 4) Zadanie 1234 Niech W = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 : x 1 x 2 = x 4 x 2 + 2x 3 = 0} < R 4 Uzupełnić jedną z baz podprzestrzeni W do bazy przestrzeni R 4 Zadanie 1235 (zad 71, JR) Zbadać, dla jakich liczb x R dana trójka wektorów tworzy bazę przestrzeni liniowej R 3 : (a) (1, 3, 4), (2, 1, 5), (1, 8, x), (b) (1, 2, 3), (3, 4, 9), (1, x, 3), (c) (x, 4, 1), (x, 1, 2), (5, x, 2) Zadanie 1236 (zad 40, 41, JR) Znaleźć układ równań liniowych określający daną podprzestrzeń przestrzeni R n : (a) L((1, 0, 0), (0, 1, 0)), dla n = 3, (b) L((4, 1, 3), (0, 3, 1)), dla n = 3, (c) L((1, 1, 1)), dla n = 3, (d) L((4, 1, 3, 5)), dla n = 4, (e) L((1, 1, 1, 1), (3, 4, 5, 8)), dla n = 4, (f) L((0, 1, 2, 1), (1, 3, 4, 1), (4, 7, 6, 1)), dla n = 4 Zadanie 1237 Oblicz: A = A + 3I 3, 3A, D + D, ( B + D T ) T, D + B T, AA T, ( AA ) T T, A T A, C T C, CC T, BDD T, CC T A, αb, ADBE, C T AE, gdzie: , B = , C = 1, D = , E = 2 1, α R

12 2 TEORIA MACIERZY 21 Teoria 211 Operacje na macierzach Definicja 211 Macierzą o elementach z ciała K o m wierszach i n kolumnach nazywamy każdą funkcję T : {1,, m} {1,, n} K Zbiór wszystkich macierzy o elementach z ciała K o m wierszach i n kolumnach oznaczamy symbolem M m n (K) Dla prostoty zapisu przyjmujemy, że T ((i, j)) = a ij i wówczas zapisujemy: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn lub skrótowo A = [a ij ] M m n (K) Fakt 211 M m n (K) z dodawaniem macierzy i mnożeniem przez skalar z ciała K jest przestrzenią liniową nad ciałem K Definicje działań: [a ij ] + [b ij ] = [c ij ], gdzie c ij = a ij + b ij dla i = 1,, m, j = 1,, n, α [a ij ] = [c ij ], gdzie c ij = αa ij dla i = 1,, m, j = 1,, n Definicja 212 Niech m, n, l N oraz A = [a ij ] M m n (K), B = [b ij ] M n l (K) Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz [c i j] M m l (K) zdefiniowaną następująco: c ij = Iloczyn macierzy A i B oznaczamy AB n a ik b kj, dla i = 1,, m, j = 1,, l k=1 Definicja 213 Niech A = [a ij ] M m n (K) Macierzą transponowaną macierzy A, jest macierz A T = [a T ij ] M n m (K), zdefiniowana następująco: a T ij = a ji, dla i = 1,, m, j = 1,, l Fakt 212 W zbiorze macierzy kwadratowych M n (K) mnożenie macierzy jest działaniem wewnętrznym Elementem neutralnym dla mnożenia jest macierz jednostkowa I = [a ij ], gdzie { 1, gdy i = j a ij = 0, gdy i j 12

13 DB Algebra liniowa 1 semestr letni Zbiór M n (K) wraz z dodawaniem macierzy, mnożeniem macierzy przez skalar oraz mnożeniem macierzy tworzy algebrę (nieprzemienną) z jedynką nad ciałem K Definicja 214 Niech A = [a ij ] M n (K) Śladem macierzy A nazywamy sumę elementów na głównej przekątnej i oznaczamy symbolem tr A, tzn n tr A = a ii 212 Rząd macierzy Definicja 215 Mówimy, że macierz A jest w postaci zredukowanej, gdy spełnione są następujące warunki: i=1 1 (Jeśli występują w macierzy A wiersze zerowe) Począwszy od pewnego wiersza wszystkie następne wiersze macierzy składają się z samych zer Powyżej tego wiersza nie ma wierszy złożonych z samych zer 2 W każdym niezerowym wierszu pierwszy od lewej niezerowy wyraz jest równy 1 Ten niezerowy wyraz będziemy nazywać jedynką wiodącą wiersza 3 Jeśli dwa sąsiednie wiersze nie są złożone z samych zer, to wiodąca jedynka wyższego wiersza znajduje się na lewo od wiodącej jedynki niższego wiersza 4 Jeśli ponadto, każda kolumna zawierająca wiodącą jedynkę ma pozostałe wyrazy równe 0, to mówimy, że macierz A jest w postaci całkowicie zredukowanej Definicja 216 Następujące operacje wykonywane na wierszach macierzy, nazywać będziemy operacjami elementarnymi: OE1 Zamiana miejscami dwóch wierszy OE2 Pomnożenie wiersza przez niezerowy element ciała K OE3 Dodanie do danego wiersza wielokrotności innego wiersza Definicja 217 Rzędem macierzy A nazywamy liczbę wiodących jedynek w dowolnej postaci zredukowanej macierzy A Fakt 213 Operacje elementarne nie zmieniają rzędu danej macierzy Fakt 214 Dla dowolnej macierzy A M m n (K), mamy: rz A = rz A T Twierdzenie 211 Jeśli A M n (K), to następujące warunki są równoważne: 1 A jest macierzą odwracalną, 2 postać całkowicie zredukowana macierzy A jest macierzą identycznościową I n, 3 rz A = n, 4 det A 0, 5 dla każdego b K n układ równań liniowych AX = b ma dokładnie jedno rozwiązanie, 6 jednorodny układ równań liniowych AX = θ n ma tylko jedno rozwiązanie: x 1 = x 2 = = x n = 0, 7 kolumny (wiersze) macierzy A są wektorami liniowo niezależnymi w przestrzeni K n

14 DB Algebra liniowa 1 semestr letni Zadania Zadanie 221 Wykonać następujące działania na macierzach: [ ] 1 5 (a) 4, 2 8 [ ] [ ] (b) 3 +, [ ] [ ] (c) Zadanie 222 (zad 112, JR) Niech: A = 2 1 0, B = 1 1, C = Wykonać następujące iloczyny: AB, AC, A 2, BB T, B T B, AA T, B T A, B T C, C T B Zadanie 223 (zad 113, 115, 116, JR) Obliczyć iloczyny: (a) , (b) , (c) , [ ] 1 2 [ ] (d) Zadanie 224 (zad 117, JR) Podać przykład macierzy A, B M 2 (R) takich, że A 0, B 0 i AB = 0 Zadanie 225 (zad 120, JR) Niech n N Obliczyć: [ ] n 1 1 (a), 0 1 [ ] n a 1 (b), 0 a [ ] n cos α sin α (c) sin α cos α Zadanie 226 (zad 125, JR) Obliczyć ślad macierzy Zadanie 227 (zad 126, 109, 129, JR) Udowodnić, że dla dowolnych macierzy A, B M m n (K), C M n l (K), D, F M n (K) zachodzi: (a) tr(d + F ) = tr D + tr F, (b) tr(df ) = tr(f D),

15 DB Algebra liniowa 1 semestr letni (c) tr(ad) = a tr D, (d) (A + B) T = A T + B T, (e) (A T ) T = A, (f) (aa) T = aa T, (g) (AC) T = C T A T Zadanie 228 (zad 127, JR) Pokazać, że nie istnieją macierze A, B M n (K), takie że AB BA = I Zadanie 229 (zad 130, JR) Wykazać, że dla każdej macierzy A M m n (K), iloczyn AA T jest macierzą symetryczną Zadanie 2210 Znajdź postacie zredukowane i rzędy następujących macierzy: (a) A = , (c) C = , (b) B = 0 1, 5 3 4, , (d) D = Zadanie 2211 Znajdź postacie całkowicie zredukowane i rzędy następujących macierzy: (a) A = , (b) B = Zadanie 2212 W zależności od parametru m R oblicz rząd poniższych macierzy: (a) [ ] 3m + 7 m + 2 A = 6m 5 2m 2 1 2m + 5 m 2 + m (b) B = 2 5m m 2 + 3m (c) 3 6m m 2 + 2m [ ] 2m C = + 9m 5 m 2 + 6m + 5 2m 2 + 8m 10 m 2 + 5m m + 1 m m m (d) D = m m + 1 m m m 2 m m 2 m 5m m 5m m Zadanie 2213 Znajdź macierze odwrotne (o ile istnieją) dla poniższych macierzy: A = 2 5 7, B = , C = 3 1 1, D =

16 3 WYZNACZNIK MACIERZY opracowanie dra Piotra Rzonsowskiego 31 Teoria 311 Definicja i podstawowe własności wyznacznika, tw Laplace a, tw Cauchy ego Definicja 311 Wyznacznik macierzy kwadratowej zdefiniujemy za pomocą indukcji matematycznej 1 Jeżeli A = [a] M 1,1 (K), to det A = a 2 Załóżmy, że został zdefiniowany wyznacznik macierzy kwadratowej o n 1 wierszach Niech A M n,n (K) oraz niech M i,j M n 1,n 1 (K) będzie macierzą, którą otrzymujemy po wykreśleniu z A i-tego wiersza i j-tej kolumny Ponadto niech A ij = ( 1) i+j det M ij Element A ij ciała K nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy A Przy tych oznaczeniach wyznacznik macierzy A definiujemy za pomocą wyrażenia det A = a 11 A 11 + a 12 A a 1n A 1n Twierdzenie 311 (Laplace a) Jeżeli A M n,n (K), to zachodzą następujące wzory: 1 det A = a i1 A i1 + a i2 A i2 + + a in A in dla każdego 1 i n, 2 det A = a 1j A 1j + a 2j A 2j + + a nj A nj dla każdego 1 j n Definicja 312 Niech A M n,n (K) będzie macierzą o współrzędnych a ij K Wówczas mówimy, że A jest macierzą: 1 dolną trójkątną/dolnotrójkątną, gdy ma zera nad przekątną, czyli a ij = 0 dla i < j, 2 górną trójkątną/górnotrójkątną, gdy ma zera pod przekątną, czyli a ij = 0 dla i > j, 3 przekątniową (diagonalną), jeżeli a ij = 0 dla i j Własności 311 (Wyznacznika) Niech a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = M n,n(k) a n1 a n2 a nn 16

17 DB Algebra liniowa 1 semestr letni Jeżeli macierz A ma wiersz lub kolumnę złożoną z samych zer, to det A = 0 2 Dla każdego c K i dla każdego 1 j n mamy a 11 ca 1j a 1n a 21 ca 2j a 2n det = c det A a n1 ca n2 a nn Taka sama własność zachodzi przy mnożeniu dowolnego wiersza macierzy przez skalar 3 Jeżeli macierze B, C M n,n (K) różnią się od macierzy A tylko j-tą kolumną i mają postać a 11 b 1j a 1n a 21 b 2j a 2n B = a n1 b n2 a nn a 11 a 1j + b 1j a 1n a 21 a 2j + b 2j a 2n C = a n1 a nj + b n2 a nn to det C = det A + det B Taka sama własność zachodzi dla wierszy macierzy 4 Jeżeli macierz A ma dwie identyczne kolumny (odpowiednio wiersze), to det A = 0 5 Zamiana miejscami dwóch kolumn (wierszy) macierzy powoduje, że znak wyznacznika zmienia się na przeciwny 6 Jeżeli jedna kolumna (wiersz) macierzy A jest wielokrotnością innej kolumny (odpowiednio - wiersza), to det A = 0 7 Jeżeli do jednej kolumny (wiersza) macierzy A dodamy wielokrotność innej kolumny (odpowiednio wiersza), to wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie 8 Jeżeli A, B M n,n (K) to zachodzą następujące równości: det(ab) = det A det B = σ S n (sgn σ)b σ(1)1 b σ(2)2 b σ(n)n σ S n (sgn σ)b σ(1)1 b σ(2)2 b σ(n)n gdzie S n jest grupą permutacji zbioru n-elementowego, a sgn σ jest znakiem permutacji σ S n Twierdzenie 312 (Cauchy ego) Jeżeli A, B M n,n (K), to 312 Wzór na macierz odwrotną det(ab) = det A det B Definicja 313 Dla macierzy kwadratowej A M n,n (K) definiujemy jej macierz dołączoną A 11 A 21 A n1 A D A 12 A 22 A n2 = A 1n A 2n A nn tzn A D jest macierzą kwadratową, która na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny ma dopełnienie algebraiczne A ji

18 DB Algebra liniowa 1 semestr letni Twierdzenie 313 Jeżeli A Gl n (K), to zachodzi następujący wzór: 313 Wzory Cramera Mamy następujący układ równań: A 1 = 1 det A AD a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m (31) Twierdzenie 314 Jeżeli det A 0, to układ równań (31) ma dokładnie jedno rozwiązanie, które jest dane za pomocą wzorów x i = det A x i det A, dla 1 i n, gdzie A xi otrzymuje się przez zastąpienie i-tej kolumny macierzy A kolumną wyrazów wolnych układu (31)

19 DB Algebra liniowa 1 semestr letni Zadania Zadanie 321 Obliczyć następujące wyznaczniki: (a) , (b) , (c) Zadanie 322 Wykazać, że wyznacznik macierzy dolnotrójkątnej/górnotrójkątnj jest równy iloczynowi elementów na przekątnej Zadanie 323 Wykaż, że jeśli liczba zer w macierzy stopnia n jest większa od n 2 n, to jej wyznacznik równy jest 0 Zadanie 324 Wyprowadzić wzór na wyznaczniki macierzy 1 1, 2 2, 3 3 z własności 8 wyznacznika Zadanie 325 Niech c R, A M n (R) i det A = a Oblicz det ca Zadanie 326 Niech a, b, c, d, t R Stosując twierdzenie Cauchy ego do macierzy [ ] [ ] a b c d A =, B = udowodnić tożsamość (a 2 + b 2 t)(c 2 + d 2 t) = (ac bdt) 2 + (ad + bc) 2 t bt a dt c Zadanie 327 Oblicz wyznaczniki: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) Zadanie 328 Za pomocą wzorów Cramera rozwiąż następujący układ równań nad ciałem R: (a) { 4x1 7x 2 = 3 5x 1 6x 2 = 4 (b) x 1 x 2 + x 3 = 1 3x 1 4x 2 + 5x 3 = 5 4x 1 5x 2 + 9x 3 = 8 (c) x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 1 2x 1 + 4x 2 + 7x 3 = 2 4x 1 + 9x x 3 = 5 Zadanie 329 (zad 157, JR) Nie obliczając danego wyznacznika, wykazać, że dzieli się on przez 10: (a) , (b) , (c) Zadanie 3210 Oblicz macierze odwrotne do następujących macierzy (jeśli istnieją): (a) [ ] 7 9 A = (b) B = (c) C = (d) D = cos α 0 sin α (e) E = sin α 0 cos α

20 DB Algebra liniowa 1 semestr letni Zadanie 3211 (zad 159, JR) Dowieść, że nie można tak dobrać elementów macierzy A M 3 (R), aby wszystkie składniki, których sumą jest wyznacznik macierzy A (wzór Sarrusa), były dodatnie Zadanie 3212 (zad 160, JR) Obliczyć wyznacznik: (a) n (c) x a a a a x a a a a x a a a a x (b) (d) 1 a 1 a 2 a n 1 a 1 + b 1 a 2 a n 1 a 1 a 2 + b 2 a n 1 a 1 a 2 a n + b n a 1 a a 2 a a a n a n Zadanie 3213 (zad 162, JR) Obliczyć wyznacznik Vandermonde a: 1 x 1 x 2 1 x n x 2 x 2 2 x n x n x 2 n x n 1 Zadanie 3214 (zad 172, JR) Niech A M m (K), B M m n (K), D M n (K) Wykazać, że: [ ] A B det = det A det D 0 D Zadanie 3215 (zad 173, JR) Niech A M m (K), C M n m (K), D M n (K) Wykazać, że: [ ] A 0 det = det A det D C D Zadanie 3216 (zad 174, JR) Niech A M m n (K), B M m (K), C M n (K) Wykazać, że: [ ] A B det = ( 1) mn det B det C C 0 n Zadanie 3217 Rozwiąż równania: (a) (b) [ ] [ ] [ ] 2 5 x11 x = 1 3 x 21 x [ ] [ ] [ ] 3 8 x1 2 = x 2 (c) x 11 x 12 x x 21 x 22 x = x 31 x 32 x

21 4 ODWZOROWANIA LINIOWE 41 Teoria 411 Przekształcenie liniowe Definicja 411 Niech V, W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K Mówimy, że funkcja ϕ : V W jest przekształceniem liniowym, gdy spełnia następujące warunki: 1 ϕ(v 1 + v 2 ) = ϕ(v 1 ) + ϕ(v 2 ) dla każdego v 1, v 2 V, 2 ϕ(αv) = αϕ(v) dla każdego skalara α K i każdego wektora v V Powyższe warunki są równoważne warunkowi: α, β K v 1, v 2 V : ϕ(αv 1 + βv 2 ) = αϕ(v 1 ) + βϕ(v 2 ) Jeśli V = W, to przekształcenie liniowe ϕ nazywamy operatorem liniowym przestrzeni V lub endomorfizmem liniowym przestrzeni V Definicja 412 Przekształcenie liniowe ϕ : V W nazywamy: 1 monomorfizmem przestrzeni liniowych, gdy ϕ jest iniekcją (różnowartościowe); 2 epimorfizmem przestrzeni liniowych, gdy ϕ jest suriekcją ( na ); 3 izomorfizmem przestrzeni liniowych, gdy ϕ jest bijekcją; 4 automorfizmem przestrzeni liniowej, gdy V = W oraz ϕ jest bijekcją Zbiór wszystkich przekształceń liniowych z V do W oznaczmy Hom(V, W ) lub L(V ; W ) Natomiast zbiór wszystkich endomorfizmów przestrzeni V oznaczmy End(V ), a automorfizmów V : Aut(V ) Twierdzenie 411 Niech V, W będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K Niech n N oraz niech v 1,, v n V i w 1,, w n W Wówczas następujące warunki są równoważne: 1 istnieje przekształcenie liniowe ϕ : V W takie, że ϕ(v i ) = w i dla każdego i = 1,, n; 2 α 1, α n K : α 1 v α n v n = θ V = α 1 w α n w n = θ W 412 Jądro i obraz przekształcenia liniowego Definicja 413 Jądrem przekształcenia liniowego ϕ : V W nazywamy zbiór: ker ϕ := {v V : ϕ(v) = θ W } Definicja 414 Obrazem przekształcenia liniowego ϕ : V W nazywamy zbiór: im ϕ := ϕ(v ) = {ϕ(v) : v V } 21

22 DB Algebra liniowa 1 semestr letni Twierdzenie 412 Jeśli funkcja ϕ : V W jest przekształceniem liniowym oraz dim V <, to: dim V = dim ker ϕ + dim im ϕ 413 Macierz przekształcenia liniowego Definicja 415 Niech będą dane przestrzenie liniowe V i W nad ciałem K, których wymiarami są odpowiednio n i m Niech ϕ : V W będzie przekształceniem liniowym W przestrzeni V wybieramy bazę: B V = (v 1, v 2,, v n ), a w przestrzeni W ustalamy bazę: B W = (w 1, w 2,, w m ) Obrazy wektorów bazy B V przy przekształceniu ϕ zapisujemy w postaci kombinacji liniowych wektorów bazy B W ze współczynnikami a ij K: ϕ(v 1 ) = a 11 w 1 + a 21 w a m1 w m ϕ(v 2 ) = a 12 w 1 + a 22 w a m2 w m (41) ϕ(v n ) = a 1n w 1 + a 2n w a mn w m Macierz M BV B W (ϕ) M m,n (K): a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn której kolumnami są współrzędne wektorów ϕ(v i ) w bazie B W, uzyskane z równań (41), nazywa się macierzą przekształcenia ϕ w bazach B V i B W UWAGA 1 Jeśli M BV B W (ϕ) jest macierzą przekształcenia liniowego ϕ : V W w bazach B V, B W oraz M BW B Z (ψ) jest macierzą przekształcenia liniowego ψ : W Z w bazach B W, B Z, to: M BV B Z (ψ ϕ) = M BW B Z (ψ) M BV B W (ϕ) jest macierzą przekształcenia liniowego ψ ϕ w bazach B V, B Z Twierdzenie 413 Niech ϕ : V W będzie przekształceniem liniowym Niech B V = (v 1, v 2,, v n ), B W = (w 1, w 2,, w m ) będą bazami przestrzeni V i W odpowiednio Niech M BV B W (ϕ) będzie macierzą przekształcenia ϕ w bazach B V, B W Niech v V będzie dowolnym wektorem Wówczas zachodzi następujący wzór na współrzędne wektora ϕ(v) w bazie B W : ϕ(v) BW = M BV B W (ϕ) v BV (42) 414 Zmiana bazy Definicja 416 Niech V/K będzie przestrzenią n- wymiarową (tzn każda baza tej przestrzeni składa się z n wektorów), niech B 1, B 2 będą dwoma bazami tej przestrzeni B 1 = (w 1,, w n ), B 2 = (v 1,, v n ) Zapisujemy wektory bazy B 2 za pomocą wektorów bazy B 1, jako kombinacje liniowe: v 1 = a 11 w 1 + a 21 w a n1 w n v 2 = a 12 w 1 + a 22 w a n2 w n v n = a 1n w 1 + a 2n w a nn w n i zapisujemy współrzędne wektora v i w bazie B 2, w i-tej kolumnie macierzy A dla i = {1, 2,, n}: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn Powyższa macierz nazywa się macierzą przejścia od bazy B 1 do bazy B 2 Fakt Jeśli A jest macierzą przejścia z bazy B 1 do bazy B 2, to macierz A jest odwracalna oraz A 1 jest macierzą przejścia z bazy B 2 do B 1 2 Jeśli A 1 jest macierzą przejścia z bazy B 1 do bazy B 2, A 2 jest macierzą przejścia z bazy B 2 do B 3, to A 1 A 2 jest macierzą przejścia z bazy B 1 do B 3 UWAGA 2 Niech V/K będzie dowolną przestrzenią liniową skończenie wymiarową oraz B, B będą dwoma bazami tej przestrzeni Niech v V będzie dowolnym wektorem Niech ponadto A będzie macierzą przejścia z bazy B do B Współrzędne wektora v względem bazy B i współrzędne względem bazy B spełniają równanie: v B = A v B (43) Twierdzenie 414 Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K Niech B = (v 1, v 2,, v n ) i B = (w 1, w 2,, w n ) będą bazami przestrzeni V Wtedy macierz przejścia A od bazy B do bazy B jest równa macierzy przekształcenia identycznościowego id V : V V w bazach B i B

23 DB Algebra liniowa 1 semestr letni Zadania Zadanie 421 (zad 222, JR) Sprawdzić, czy dana funkcja jest przekształceniem liniowym: (a) ϕ : R 2 R 3, ϕ((x 1, x 2 )) = (x 1 + x 2 + 1, 55x 2, x 1 x 2 ), (b) ϕ : R 2 R 2, ϕ((x 1, x 2 )) = (3x 1 + 4x 2, 5x 1 x 2 ), (c) ϕ : R[x] R[x], ϕ(f) = f, (d) ϕ : R R 2, ϕ((a i ) i=1 ) = (a 1, a 2 ), (e) ϕ : C (, ) C (, ), (ϕ(f))(x) = f(x 1) Zadanie 422 (zad 225, 226, JR) Przekształcenie liniowe ϕ : R n R 3 dane jest przez poniższe przyporządkowania Obliczyć ϕ((x 1, x 2 )) (a) n = 2, (3, 4) (3, 5, 7), (4, 5) (4, 7, 9), (b) n = 2, (3, 1) (2, 5, 5), (5, 2) (3, 0, 9), (c) n = 3, (1, 1, 1) (1, 4, 6), (4, 5, 1) (0, 3, 7), (4, 7, 4) (1, 4, 9) Zadanie 423 (zad 227, JR) Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech a K Wykazać, że funkcja ϕ a : V V określona dla każdego v V wzorem ϕ a (v) = av jest endomorfizmem przestrzeni V (funkcję tę nazywamy homotetią o współczynniku a) Zbadać dla jakich a funkcja ϕ a jest automorfizmem przestrzeni V Zadanie 424 (zad 228, JR) Niech V będzie przestrzenią liniową, a W 1, W 2 takimi jej podprzestrzeniami, że V = W 1 W 2 Funkcję π 1 : V W 1 określoną dla dowolnych w 1 W 1, w 2 W 2 wzorem π 1 (w 1 + w 2 ) = w 1 nazywamy rzutowaniem przestrzeni V na podprzestrzeń W 1 wzdłuż przestrzeni W 2 Sprawdzić, że funkcja ta jest przekształceniem liniowym Zadanie 425 (zad 230, JR) Poniższe podprzestrzenie W 1 i W 2 przestrzeni wektorowej R 3 spełniają warunek R 3 = W 1 W 2 Wyrazić analitycznie rzutowanie przestrzeni R 3 na podprzestrzeń W 1 wzdłuż podprzestrzeni W 2 : (a) W 1 = L((1, 0, 0), (0, 1, 0)), W 2 = L((1, 1, 1)), (b) W 1 = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 1 + 2x 2 3x 3 = 0}, W 2 = L((5, 2, 0)), (c) W 1 = L((4, 3, 5)), W 2 = {(x 1, x 2, x 3 ) R 3 : x 1 5x 2 + 2x 3 = 0} Zadanie 426 (zad 236, 237, JR) Zbadać, czy istnieje przekształcenie liniowe ϕ : R 3 R n, spełniające dane warunki: (a) n = 2, (2, 4, 3) (1, 3), (1, 5, 4) (0, 3), (9, 3, 1) (7, 6), (b) n = 2, (2, 4, 5) (3, 5), (1, 5, 8) (3, 8), (7, 5, 1) (6, 1), (10, 8, 3) (9, 4), (c) n = 3, (1, 0, 3) (4, 5, 6), (4, 3, 1) (3, 8, 7), (d) n = 3, (2, 4, 0) (7, 3, 4), (1, 1, 1) (3, 1, 1), (1, 7, 5) (6, 4, 7), (e) n = 3, (4, 1, 2) (1, 2, 1), (5, 3, 4) (3, 5, 1), (6, 5, 6) (5, 8, 1), (7, 7, 8) (7, 9, 1) Zadanie 427 (zad 245, JR) Sprawdzić, że jądro przekształcenia liniowego ϕ : przestrzeni V V W jest podprzestrzenią Zadanie 428 (zad 247, JR) Sprawdzić, że obraz przekształcenia liniowego ϕ : V W jest podprzestrzenią przestrzeni W Zadanie 429 (zad 246, JR) Wykazać, że przekształcenie liniowe ϕ : i tylko wtedy, gdy ker ϕ = {θ V } V W jest monomorfizmem wtedy Zadanie 4210 (zad 248, JR) Sprawdzić, że jeśli funkcja ϕ : V W jest przekształceniem liniowym i V = L(v 1,, v n ), to im ϕ = L(ϕ(v 1 ),, ϕ(v n )) Zadanie 4211 (zad 252, JR) Znaleźć po jednej bazie jądra i obrazu przekształcenia liniowego ϕ : R 3 R 4, którego wartość w dowolnym punkcie (x 1, x 2, x 3 ) R 3 jest równa: (a) (x 1 3x 2 5x 3, x 1 3x 2 5x 3, x 1 3x 2 5x 3, x 1 3x 2 5x 3 ), (b) (x 1 + 2x 2 + 4x 3, 3x 1 + x 2 + 7x 3, 2x 1 + 5x 2 + 9x 3, 6x 2 + 6x 3 ), (c) (x 1 x 2 + x 3, 2x 1 x 2 + 2x 3, 3x 1 x 2 + 4x 3, 4x 1 2x 2 )

24 DB Algebra liniowa 1 semestr letni Zadanie 4212 Wyznaczyć współrzędne wektora: (a) v = (1, 2, 0), (b) v = (0, 1, 2) w bazie B 2 = ((1, 3, 4), (0, 1, 2), (0, 0, 1)) Zadanie 4213 Niech ϕ : R 3 R 2, ψ : R 2 R 3 będą przekształceniami liniowymi danymi wzorami: ϕ ((x 1, x 2, x 3 )) = (4x 1 + 3x 2 + x 3, 5x 1 + 4x 2 + 2x 3 ), ψ ((x 1, x 2 )) = (3x 1 x 2, 5x 1 3x 2, 7x 1 5x 2 ) Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego ϕ, ψ, ϕ ψ, ψ ϕ Zadanie 4214 (zad 262, 263, JR) Niech ϕ będzie przekształceniem liniowym Wyznaczyć macierz M BC (ϕ), gdzie: (a) ϕ : R 2 R 2, ϕ((x 1, x 2 )) = (4x 1 x 2, 7x 1 3x 2 ), B = ((2, 1), (4, 7)), C = ((1, 1), (0, 1)), (b) ϕ : R 3 R 2, ϕ((x 1, x 2, x 3 )) = (x 1 + x 2, x 1 + 2x 2 x 3 ), B = ((1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)), C = ((1, 4), (1, 5)), (c) ϕ : R 3 R 3, ϕ((x 1, x 2, x 3 )) = (x 1 x 2 + x 3, x 1 + x 2 x 3, x 1 + x 2 + x 3 ), B = ((1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)), C = ((0, 1, 0), (1, 2, 0), (0, 0, 2)) Zadanie 4215 (zad 264, 265, JR) Niech ϕ będzie przekształceniem liniowym danym przez macierz M BC (ϕ) Znaleźć wzór: [ ] 1 3 (a) ϕ((x 1, x 2 )), gdzie ϕ : R 2 R 2, M BC (ϕ) =, B = C = ((1, 0), (0, 1)), 8 5 [ ] 7 8 (b) ϕ((x 1, x 2 )), gdzie ϕ : R 2 R 2, M BC (ϕ) =, B = ((5, 1), (11, 2)), C = ((1, 1), (4, 3)), 3 5 [ ] (c) ϕ((x 1, x 2, x 3 )), gdzie ϕ : R 3 R 2, M BC (ϕ) =, B = ((5, 4, 2), (1, 1, 0), (2, 2, 1)), C = ((3, 1), (2, 1)) Zadanie 4216 (zad 268, 269, JR) Niech ϕ : R 2 R 2 będzie przekształceniem liniowym Znaleźć bazę: [ ] 9 1 (a) C, gdy mamy dane: wzór przekształcenia ϕ((x 1, x 2 )) = (3x 1 + x 2, x 1 + 3x 2 ), macierz M BC (ϕ) = oraz 2 2 bazę B = ((5, 4), (3, 2)), [ ] 4 3 (b) B, gdy mamy dane: wzór przekształcenia ϕ((x 1, x 2 )) = (x 1 x 2, 4x 1 + x 2 ), macierz M BC (ϕ) = 1 1 oraz bazę C = (( 1, 6), (0, 5)) Zadanie 4217 (zad 281, JR) Na podstawie definicji znaleźć macierz przejścia od bazy B do bazy C przestrzeni wektorowej V, gdzie: (a) V = R 2, B = ((1, 1), (3, 2)), C = ((3, 4), (9, 8)), (b) V = R 2, B = ((7, 3), (9, 4)), C = ((1, 0), (16, 7)), (c) V = R 3, B = ((1, 0, 1), ( 2, 1, 2), (0, 1, 1)), C = ((1, 2, 0), (0, 1, 1), ( 1, 2, 1)) Zadanie 4218 (zad 282, 283, JR) Korzystając z Faktu 411, znaleźć macierz przejścia od bazy B do bazy C przestrzeni wektorowej V, gdzie: (a) V = R 2, B = ((4, 5), (7, 8)), C = ((7, 11), (1, 5)), (b) V = R 3, B = ((1, 2, 3), (1, 3, 4), (1, 5, 7)), C = ((2, 3, 4), (4, 4, 5), (6, 3, 4)), (c) V = R 3, B = ((5, 2, 4), (3, 1, 1), (5, 1, 2)), C = ((6, 5, 7), (9, 9, 8), (9, 8, 9)) Zadanie 4219 [ (zad ] 292, JR) Przekształcenie liniowe ϕ : R 3 R 2 dane jest przez macierz M BC (ϕ) = Znaleźć macierz M B C (ϕ), gdy: B = ((4, 5, 1), (1, 1, 1), (3, 0, 5)), C = ((4, 4), ( 4, 5)), B = ((6, 4, 5), (4, 1, 6), (5, 2, 7)), C = ((0, 1), (4, 3)) Zadanie 4220 (zad 296, JR) Wyznaczyć macierz M BC (ϕ) przekształcenia liniowego ϕ : R 3 R 2, gdzie: ϕ((x 1, x 2, x 3 )) = (4x 1 + x 2 3x 3, 7x 1 + 2x 2 5x 3 ), B = (( 2, 9, 0), (4, 0, 5), (0, 7, 2)), C = ((1, 4), (2, 7))

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9

2 Rachunek macierzowy, metoda eliminacji Gaussa-Jordana Wprowadzenie teoretyczne Zadania... 9 Spis treści 1 Podstawowe struktury algebraiczne 2 11 Grupa, pierścień, ciało 2 12 Grupy permutacji 4 13 Pierścień wielomianów, algorytm Euklidesa, największy wspólny dzielnik 6 14 Zadania 7 2 Rachunek

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. 1. Macierze.

Algebra liniowa. 1. Macierze. Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j = 11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Zadania egzaminacyjne

Zadania egzaminacyjne Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

14. Przestrzenie liniowe

14. Przestrzenie liniowe 14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest

Bardziej szczegółowo

4 Przekształcenia liniowe

4 Przekształcenia liniowe MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami

Bardziej szczegółowo

3 Przestrzenie liniowe

3 Przestrzenie liniowe MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009

Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także

Bardziej szczegółowo

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B

3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B 1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =

Bardziej szczegółowo

, A T = A + B = [a ij + b ij ].

, A T = A + B = [a ij + b ij ]. 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m

Bardziej szczegółowo

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę

Bardziej szczegółowo

Własności wyznacznika

Własności wyznacznika Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna 1.

Analiza funkcjonalna 1. Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) = Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,

Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1, Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Wykład 14. Elementy algebry macierzy Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą

Bardziej szczegółowo

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska

ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25

5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25 MIMUW 5 Wyznaczniki 25 5 Wyznaczniki Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją det : K m n K, (m = 1, 2, ) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno

Bardziej szczegółowo

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. 5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.

1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór. 20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,

Bardziej szczegółowo

Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.

Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1

Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1 Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm

Bardziej szczegółowo

2. Układy równań liniowych

2. Układy równań liniowych 2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe

Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe opracował Maciej Grzesiak Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe W algebrze rozpatruje się zbiory abstrakcyjne Natura elementów zbioru się nie liczy Na elementach rozpatruje się działania spełniające

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,... Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i

Bardziej szczegółowo

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler

1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach. WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Bardziej szczegółowo

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy

Bardziej szczegółowo

2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I

2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3

Wyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3 3 Wyznaczniki 31 Wyznaczniki stopni 2 i 3 Wyznacznik macierzy 2 2 Dana jest macierz [ ] a b A Mat c d 2 2 (R) Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę mamy a A c b ad bc d Wyznacznik macierzy A oznaczamy

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2

Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2 Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011 1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Tematyka LITERATURA

ALGEBRA Tematyka LITERATURA ALGEBRA Tematyka Podstawowe pojęcia algebry: działania, własności działań. Struktury algebraiczne: grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe. Ciała liczbowe: ciało liczb wymiernych, ciało liczb rzeczywistych,

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas

ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia

Bardziej szczegółowo