WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3

Transkrypt

1 WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń R 3 interpretujemy jako zbiór punktów P (x, y, z). Definicja 2 Wektorem zaczepionym o poczatku w punkcie P 1 i końcu P 2 (symb. P 1 P 2 ) nazywamy uporzadkowan a pare punktów (P 1, P 2 ). Każdy wektor posiada cztery cechy: d lugość, kierunek, zwrot i punkt zaczepienia. D lugość wektora wyraźa sie wzorem: P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 Przez wektor swobodny u rozumiemy zbiór wszystkich wektorów (zaczepionych w różnych punktach) które maja ten sam kierunek, zwrot oraz d lugość co wektor u. Dzia lania na wektorach Niech u = (x, y, z); u 1 = (x 1, y 1, z 1 ); u 2 = (x 2, y 2, z 2 ); α R Wtedy u1 + u 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 ); u1 u 2 = (x 1 x 2, y 1 y 2, z 1 z 2 ); α u = (αx, αy, αz) 1

2 Rysunek Definicja 3 Rzutem wektora a na oś s nazywamy wektor a s o poczatku i końcu bed acymi rzutami na te oś odpowiednio poczatku i końca wektora a. 2

3 W lasności dzia lań: 1. przemienność u + v = v + u 2. l aczność u + ( v + w ) = ( u + v ) + w 3. istnienie elementu neutralnego dodawania u + o = u 4. istnienie elementu przeciwnego wzgl edem dodawania u + ( u) = o 5. 1 u = u 6. (αβ) u = α(β u ) 7. (α + β) u = α u + β u 8. α( u + v ) = α u + α v Definicja 4 Kombinacja liniowa wektorów u i, i = 1, 2,..., n nazywamy wektor: n λ i ui = λ 1 u1 + λ 2 u λ n un i=1 Definicja 5 Wektory u i, i = 1, 2,..., n nazywamy liniowo niezależnymi, jeżeli nie istnieje ich nietrywialna kombinacja liniowa równa zeru, czyli n λ i ui = o i=1,...,n λ i = 0 i=1 Wektory, które nie sa liniowa niezależne, nazywamy liniowo zależnymi. Definicja 6 Baza przestrzeni wektorowej nazywamy każdy maksymalny zbiór wektorów liniowo niezależnych. Uwaga. Każdy wektor z danej przestrzeni wektorowej można przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów bazowych. Przyk lady: 3

4 Definicja 7 Dwa wektory a i b sa wspó lliniowe (równoleg le, liniowo zależne), gdy istnieje prosta w której sa zawarte. Definicja 8 Trzy wektory a, b i c sa wspó lp laszczyznowe (liniowo zależne), gdy istnieje p laszczyzna w której sa zawarte. 4

5 Iloczyn skalarny Definicja 9 a b = a b cos ( a, b ) Jeżeli a o i b o i a b = 0, to a b. Inne w lasności: 1. przemienność a b = b a 2. rozdz. dodawania wzg. iloczynu skalarnego: a ( b + c ) = a b + a c 3. l aczność (λ a ) b = λ( a b ) 4. a a = a 2 Iloczyn skalarny wektorów a = [a x, a y, a z ], nastepuj aco: b = [bx, b y, b z ] obliczamy a b = ax b x + a y b y + a z b z Zadania. 5

6 Iloczyn wektorowy Definicja 10 Iloczynem wektorowym a b wektorów a i b nazywamy wektor o nastepuj acych w lasnościach: ( a b ) a, ( a b ) b a b = a b sin ( a, b ) i o zwrocie zgodnym z orientacja przestrzeni. W lasności: 1. nieprzemienność b a = ( a b ) 2. rozdz. dodawania wzg. iloczynu wektorowego a ( b + c ) = a b + a c 3. l aczność (λ a ) b = λ( a b ) 4. a b = o a b dla a, b o 6

7 Iloczyn wektorowy wektorów a = [a x, a y, a z ], b = [b x, b y, b z ] obliczamy nastepuj aco: i j k a b = a x a y a z b x b y b z Dowód: 7

8 Iloczyn mieszany Definicja 11 a b c = ( a b ) c Niech: a = [ax, a y, a z ], b = [bx, b y, b z ], c = [cx, c y, c z ]. Wtedy iloczyn mieszany obliczamy ze wzoru: a b c = a x a y a z b x b y b z c x c y c z Interpretacja geometryczna: 8

9 PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Równanie p laszczyzny I. Równanie normalne p laszczyzny: Dane: punkt: P 0 (x 0, y 0, z 0 ) oraz wektor normalny n = [A, B, C] prostopad ly do szukanej p laszczyzny. Niech P (x, y, z) dowolny punkt leżacy na szukanej p laszczyźnie. Wtedy wektory P 0 P = [x x 0, y y 0, z z 0 ] oraz n musza być prostopad le. Stad: [A, B, C] [x x 0, y y 0, z z 0 ] = 0. Po rozpisaniu otrzymamy równanie normalne p laszczyzny: A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. Przyk lad. 9

10 II.Równanieogólnep laszczyzny : Równanie postaci Ax+By +Cz +D = 0 ( A + B + C > 0) to równanie ogólne p laszczyzny o wektorze normalnym n = [A, B, C] oraz przecinajacej oś Oz w punkcie z = D, (C 0). C II. Równanie ogólne p laszczyzny wyznaczonej przez dwa nierównoleg le wektory i przechodzacej przez punkt P 0 (x 0, y 0, z 0 ): Niech a = [a x, a y, a z ], b = [bx, b y, b z ], - ustalone dwa nierównoleg le wektory (swobodne), P 0 (x 0, y 0, z 0 ) -dowolny punkt. Rysunek Równanie ogólne Ax + By + Cz + D = 0 p laszczyzny π wyznaczymy z warunku: x x 0 y y 0 z z 0 a x a y a z = 0 b x b y b z 10

11 III. Równanie parametryczne p laszczyzny wyznaczonej przez dwa nierównoleg le wektory i przechodzacej przez punkt P 0 (x 0, y 0, z 0 ): Niech a = [a x, a y, a z ], b = [b x, b y, b z ], - ustalone dwa nierównoleg le wektory (swobodne), P 0 (x 0, y 0, z 0 ) -dowolny punkt. Rysunek Wtedy wektor P 0 P = [x x 0, y y 0, z z 0 ] jest kombinacja liniowa wektorów a i b. Stad istnieja takie s, t R, że: P 0 P = s a + t b. Po rozpisaniu otrzymamy: x = x 0 + sa x + tb x y = y 0 + sa y + tb y z = z 0 + sa z + tb z s, t R 11

12 IV. Równanie odcinkowe p laszczyzny Równanie p laszczyzny odcinajacej na osiach Ox, Oy, Oz uk ladu wspó lrzednych odpowiednio odcinki a, b, c 0: x a + y b + z c = 1. Równanie prostej w przestrzeni I. Równanie parametryczne prostej Niech v = [v x, v y, v z ]- dowolny wektor (swobodny) w przestrzeni i P 0 (x 0, y 0, z 0 ) - dowolny punkt. 12

13 Równanie parametryczne prostej l przechodzacej przez punkt P 0 i równoleg lej do wektora v : l : x = v x t + x 0 y = v y t + y 0 z = v z t + z 0 t R II. Równanie kierunkowe prostej Równanie kierunkowe prostej l przechodzacej przez punkt P 0 i równoleg lej do wektora v : x x 0 l : = y y 0 = z z 0. v x v y v z 13

14 III. Równanie krawedziowe prostej Równanie prostej l, która jest wspólna cześci a dwóch nierównoleg lych p laszczyzn π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 oraz π 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ma postać: l : { A1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 14

15 Wzajemne po lożenie punktów, prostych i p laszczyzn Definicja 12 a) Rzutem prostokatnym punktu P na p laszczyzne π nazywamy punkt P tej p laszczyzny spe lniajacy warunek: P P π, b)rzutem prostokatnym punktu P na prosta l nazywamy punkt P tej prostej spe lniajacy warunek: P P l. 15

16 Theorem 13 [odleg lość punktu od p laszczyzny] Odleg lość punktu P 0 (x 0, y 0, z 0 ) od p laszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si e wzorem: Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2, Theorem 14 [odleg lość pomi edzy dwoma p laszczyznami równoleg lymi] Odleg lość pomi edzy dwoma p laszczyznami równoleg lymi π 1 : Ax + By + Cz + D 1 = 0 oraz π 2 : Ax + By + Cz + D 2 = 0 wyraża si e wzorem: D 1 D 2 A2 + B 2 + C 2, 16

17 Theorem 15 [odleg lość dwóch prostych skośnych] Jeżeli proste skośne dane sa równaniami: l 1 : x x 1 a 1 = y y 1 b 1 = z z 1 c 1 l 2 : x x 2 a 2 = y y 2 b 2 = z z 2 c 2. to ich odleg lość wyraża si e wzorem: P 1 P 2 N N gdzie N = [a 1, b 1, c 1 ] [a 2, b 2, c 2 ], P 1 (x 1, y 1, z 1 ), P 2 (x 2, y 2, z 2 )., 17

18 Dowód. 18

19 Definicja 16 [kat nachylenia prostej do p laszczyzny] Katem nachylenia prostej l do p laszczyzny π nazywamy kat ostry α miedzy prosta l, a jej rzutem l na p laszczyzne π. 19

20 Definicja 17 [kat miedzy prostymi przecinajacymi sie] Katem miedzy przecinajacymi sie prostymi l 1 i l 2 nazywamy jeden z katów ostrych ϕ utworzonych przez te proste. Definicja 18 [kat miedzy prostymi skośnymi] Katem miedzy prostymi skośnymi l 1 i l 2 nazywamy jeden z katów ostrych ϕ utworzonych przez proste l 1 i l 2 równoleg le do prostych l 1 i l 2 oraz przechodzace przez poczatek uk ladu wspó lrzednych. WZÓR NA K AT MIEDZY PROSTYMI: ϕ = arccos k 1 k 2 k 1 k 2 gdzie k 1 i k 2 to odpowiednio wektory kierunkowe prostych l 1 i l 2. 20

21 Definicja 19 [kat miedzy p laszczyznami] Katem miedzy przecinajacyni sie p laszczyznami π 1 i π 2 nazywamy kat ostry ϕ miedzy prostymi zawartymi w tych p laszczyznach i prostopad lymi do ich wspólnej krawedzi. WZÓR NA K AT MIEDZY P LASZCZYZNAMI: ϕ = arccos n 1 n 2 n 1 n 2 gdzie n 1 i n 2 to odpowiednio wektory normalne p laszczyzn π 1 i π 2. 21