Własności wyznacznika

Transkrypt

1 Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny. Rozwinięcie Laplace a względem j-tej kolumny: det(a T ) = det(a) det(ab) = det(a) det(b) n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A). i=1 Jeśli do dowolnego wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnę) przemnożony(-ą) przez dowolną liczbę, wyznacznik macierzy nie zmieni się. Przestawienie dwóch wierszy (kolumn) zmienia znak wyznacznika na przeciwny. Wspólny czynnik wiersza (kolumny) możemy wyłączyć przed wyznacznik: αa 11 αa 12 αa 1n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a = α 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn Wyznacznik macierzy mającej wiersz (kolumnę) złożony(-ą) z samych zer jest równy zero. Wyznacznik macierzy mającej dwa wiersze (dwie kolumny) do siebie proporcjonalne jest równy zero, np.: = 2 = 2 = Wyznacznik macierzy trójkątnej (mającej pod lub nad diagonalą same zera) równy jest iloczynowi elementów diagonalnych: a 11 a 12 a 13 a 1n a 22 a 23 a 2n a 33 a 3n = a 11 a 22 a nn a nn W szczególności wyznacznik macierzy jednostkowej równy jest 1: det(i) = =

2 Macierz odwrotna Niech A M n n. Jeśli istnieje macierz A 1 M n n taka, że: A 1 A = I oraz A A 1 = I, (1) to nazywamy ją macierzą odwrotną do macierzy A. Macierz, która posiada macierz odwrotną, nazywamy macierzą nieosobliwą. Symbol I oznacza macierz { jednostkową n n: (I) ij = δ ij. 0, i j Symbol Kroneckera: δ ij :=, ułatwia zwięzły zapis wielu wzorów. 1, i = j Choć mnożenie macierzy nie jest przemienne, dowodzi się, że dwa warunki w równaniu (1) są równoważne. Wystarczy zatem sprawdzić jeden z nich. Twierdzenie 1 Macierz kwadratowa A jest nieosobliwa det A 0. Konstrukcja macierzy odwrotnej (1) Obliczamy W = det A. Jeśli W = 0, nie istnieje macierz A 1. (2) Obliczamy macierz dopełnień algebraicznych: (A D ) ij = ( 1) i+j M ij (A), gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty wyznacznik macierzy otrzymanej przez wykreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny z macierzy A. (3) Macierz odwrotna wyraża się następująco: A 1 = 1 W (AD ) T. Zawsze warto sprawdzić wynik, obliczając iloczyn A 1 A (albo AA 1 ); powinien być równy macierzy jednostkowej. 2

3 Układy równań liniowych Układ m równań liniowych z n niewiadomymi (x 1, x 2,, x n ): a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 (2) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m W ogólnym przypadku liczba równań (m) może być inna niż liczba niewiadomych (n), choć często będziemy rozwiązywać układy dla których m = n. Układ równań w zapisie macierzowym: czyli: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn A x = b, x 1 x 2 x n = gdzie A = (a ij ) M m n to macierz główna (macierz współczynników), b = [b i ] M m 1 to kolumna wyrazów wolnych, zaś x = (x i ) M n 1 to kolumna niewiadomych. Macierz uzupełniona reprezentująca układ równań (2): (A b) = a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b m b 1 b 2 b m, Mm (n+1) Rząd macierzy A M m n, oznaczenie: rz A, to liczba naturalna równa: liczbie liniowo niezależnych wierszy w macierzy A liczbie liniowo niezależnych kolumn w macierzy A największemy możliwemu wymiarowi nieznikającego (niezerowego) minora, jaki można wyjąć z macierzy A (dowodzi się, że powyższe 3 wielkości są sobie równe). Przyjmujemy, że macierz zerowa ma rząd równy zero. Jeśli A ma choć jeden niezerowy element to na pewno: 1 rz A min(m, n). Rząd macierzy nie zmieni się gdy: zamienimy miejscami 2 wiersze (kolumny) do danego wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnę) tej samej macierzy przemnożony przez dowolną liczbę usuniemy lub dołączymy wiersz (kolumnę) złożony(-ą) z samych zer lub będący(-ą) kombinacją liniową pozostałych wierszy (kolumn) 3

4 Kombinacją liniową wektorów nazywamy wyrażenie postaci: s λ i v i = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ s v s, i=1 gdzie v 1, v 2,, v s to wektory, zaś λ 1, λ 2,, λ s to liczby. Mówimy, że wektory v 1, v 2,, v k są liniowo niezależne jeśli α 1 v 1 + α 2 v α k v k = 0 α 1 = α 2 = = α k = 0. W przeciwnym wypadku mówimy, że wektory v 1, v 2,, v k są liniowo zależne. Wektory są liniowo zależne któryś z nich jest kombinacją liniową pozostałych. Uwaga: jako wektory mogę rozpatrywać w szczególności wiersze (kolumny) macierzy. Mogę też mówić o liniowej niezależności (zależności) równań liniowych, mając na myśli niezależność (zależność) reprezentujących je wierszy macierzy uzupełnionej. Twierdzenie 2 (Cramera) Niech m = n (tyle równań co niewiadomych). Niech W = det(a) (tzw. wyznacznik główny), zaś W i to wyznacznik macierzy otrzymanej z A przez zastąpienie i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych (i = 1,, n). Wówczas: Jeśli W 0, to układ równań (2) posiada dokładnie jedno rozwiązanie (mówimy, że układ jest oznaczony lub kramerowski) i mamy: x i = W i W. Jeśli W = 0 = W 1 = W 2 = = W n, to układ równań (2) posiada nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony). Jeśli W = 0, ale W k 0 dla choćby jednego k {1,, n}, to układ równań (2) nie posiada rozwiązania (jest sprzeczny). Twierdzenie 3 (Kroneckera-Cappelliego) Układ równań (2) posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rz A = rz(a b). Jeśli powyższy warunek jest spełniony, wspólny rząd obu macierzy (r) mówi ile jest liniowo niezależnych równań w układzie. Od tego zależy liczba rozwiązań układu: gdy r = n, układ jest oznaczony ma dokładnie jedno rozwiązanie; gdy r < n, układ jest nieoznaczony ma nieskończenie wiele rozwiązań, które zależą od (n r) dowolnych parametrów. Innymi słowy: możemy rozwiązać układ ze względu na r niewiadomych, traktując pozostałe (n r) niewiadomych jako parametry (które mogą przyjmować dowolne wartości rzeczywiste / zespolone). 4

5 Zagadnienie własne Niech A M n n, v M n 1 0, λ R (lub C). Jeśli Av = λv, (3) to v nazywam wektorem własnym macierzy A do wartości własnej λ. Twierdzenie 4 Jeśli v jest wektorem własnym dla danej wartości własnej λ, a s 0 jest skalarem, to wektor sv również jest wektorem własnym do tej samej wartości własnej. Jeśli v (1), v (2),, v (g) są wektorami własnymi do wspólnej wartości własnej, to jest nim również ich dowolna niezerowa kombinacja liniowa, tzn. wyrażenie postaci g i=1 s i v (i), gdzie g i=1 s i 2 0. Jak znaleźć wartości i wektory własne? Zagadnienie własne w równaniu (3) można przekształcić do postaci czyli rozpisując szczegółowo: (A λi)v = 0, a 11 λ a 12 a 1n v 1 0 a 21 a 22 λ a 2n v 2. = 0.. (4) a n1 a n2 a nn λ v n 0 Widać stąd, że wektory własne to rozwiązania układu równań (4). Zauważmy, że ten układ ma po prawej stronie same zera (tzw. układ jednorodny). Taki układ równań nigdy nie jest sprzeczny, bo wektor zerowy zawsze będzie jego rozwiązaniem. Jeśli układ (4) jest oznaczony, czyli jeśli det(a λi) 0, to takie zerowe rozwiązanie jest jedyne. Aby istniały inne rozwiązania, czyli właśnie wektory własne, potrzeba i wystarcza aby układ równań (4) był nieoznaczony, czyli det(a λi) = 0. Wynika stąd, że wartości własne znajdujemy z warunku: a 11 λ a 12 a 1n a det(a λi) = 21 a 22 λ a 2n = 0. (5) a n1 a n2 a nn λ Wyrażenie po lewej stronie (5) jest wielomianem stopnia n zmiennej λ (tzw. wielomian charakterystyczny), a samo równanie (5) nosi nazwę równania charakterystycznego (sekularnego, wiekowego) macierzy A. Ostatecznie, z tych rozważań wynika następująca procedura: Znajdujemy wartości własne macierzy z równania charakterystycznego (5) Dla każdej spośród znalezionych wartości własnych rozwiązujemy układ równań (4). Będzie on układem nieoznaczonym, którego rozwiązania będą wyrażone poprzez g parametrów. Liczba naturalna g, zależna od rzędu macierzy głównej w układzie (4), to tzw. krotność geometryczna lub degeneracja danej wartości własnej. 5