1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.

Transkrypt

1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej X nad cia lem K ma nastepuj ace w lasności: (i) x, y + z = x, y + x, z, (ii) x, λy = λ x, y, (iii) x, θ = θ, x =0 dla wszystkich x, y X, λ K.. Podać postaćnierówności Schwarza w konkretnych przestrzeniach unitarnych (np. w przestrzeniach omawianych na ćwiczeniach). 3. Sprawdzić, że w przyk ladach z ćwiczeń iloczyn skalarny, jest zgodny z norma, jeśli x = x, x. 4. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni unitarnej X jest odwzorowaniem ciag lym, tzn. jeśli x n x i y n y, to x n,y n x, y. 5. Wykazać prawdziwość tożsamości równoleg loboku i tożsamości polaryzacyjnych. 6. Wykazać, że w przestrzeni C ([0, ]) z norma supremum nie jest spe lniona tożsamośćrównoleg loboku, wiec nie jest to przestrzń unitarna. 7. Wykazać, że w przestrzeniach l i L (0, ) nie jest spe lniona tożsamość równoleg loboku, wiec nie sa to przestrzenie unitarne. 8. Wykazać, że w przestrzeni unitarnej X dla wektorów x,x,...,x n parami ortogonalnych, zachodzi x + x x n = x + x x n. 9. Wykazać, że w nierówności Schwarza zachodzi równość wtedy i tylko wtedy, gdy wektory x, y sa liniowo zależne. 0. W przestrzeni unitarnej L (0, ) obliczyć iloczyn skalarny funkcji f(t) =e t i g(t) =e t +.. W przestrzeni unitarnej L (0,π) obliczyć odleg lość pomiedzy funkcjami f(t) = sint i g(t) =sintcost. Arkusz 0

2 . W przestrzeni unitarnej L (0, ) obliczyć d lugości boków trójkata o wierzcho lkach w punktach f,g,h, gdzief(t),g(t) =t, h(t) =t. 3. Dla macierzy A, B M(n n, R) niech A, B =tr(ab T ), gdzie B T jest macierza transwersalna dob, atrc oznacza ślad macierzy C. Wykazać, że powyższy wzór określa iloczyn skalarny w przestrzeni M(n n, R). 4. W przestrzeni unitarnej kat miedzy wektorami określamy jako (x, y) taki,że cos (x, y) = x, y x y. Obliczyć katy w trójkacie o wierzcho lkach x (t) 0, x (t), x 3 (t) = t w przestrzeni L (, ). 5. Pokazać, że jeśli x, y = x(t)y(t) dt, to przestrzń C ([0, ]) jest przestrzeni a 0 unitarna, ale nie jest przestrzenia Hilberta. (Wsk. Rozważyć ciag { n 4, dla 0 t n x n (t) =, t 4, dla <t, n aby wykazać, że nie jest zupe lna.) 6. Wyprowadzić postać funkcjona lu liniowego ograniczonego w konkretnych przestrzeniach Hilberta: l p,l p (Ω,µ)dla<p< (ewentualnie dla L (Ω,µ)). 7. Niech H bedzie przestrzenia Hilberta i H = M N, gdzie M = N i N = M. Niech P M : H M, P N : H N bed a odpowiednimi rzutami ortogonalnymi. Sprawdzić, że ker P M = N ikerp N = M. 8. Niech X = c 0,M= { (x k ) c 0; x k =0 }. k (i) Sprawdzić, że M jest podprzestrzenia liniowadomkni et a przestrzeni X. (ii) Wykazać, że jeśli x X \ M, to x y >d(x, M) dlakażdego y M. (Wsk. Wykazać, że d(x, M) = x k.) k 9. Pokazać, { że M jest podprzestrzenia liniowadomkni et aorazznaleźć M irozk lad, jeśli: (i) M = x L (0, ) : } x(t) dt =0 R, 0 { } (ii) M = x L (, ) : x(t) dt =0= tx(t) dt, (iii) M = {x L (, ) : x(t) =x( t) prawiewszedzie na (, )}. 0. Wykazać, że wektory jednostkowe e i =(0,...,0,, 0,...,0), i {,...,n} tworzauk lad ortonormalny w przestrzeni unitarnej ln. Arkusz

3 . Wykazać, że wektory jednostkowe e i =(0,...,0,, 0,...), i N tworzauk lad ortonormalny w przestrzeni unitarnej l.. Wykazać, że w przestrzeni unitarnej L (0, π) funkcje tworzauk lad ortogonalny, a funkcje, cost, sint, cost, sint,...,cosnt, sinnt,... π, cost π, sint π,..., cosnt π, sinnt π,... uk lad ortonormalny. 3. Wykazać, że w zespolonej przestrzeni unitarnej L (0, π) funkcje e int,n=0, ±, ±,... tworzauk lad ortogonalny, a funkcje e int,n=0, ±, ±,... π uk lad ortonormalny. 4. W przestrzeni L (, ) zortogonalizować i zortonormalizować uk lad funkcji,e x,e x, Udowodnić, że wielomiany Legendre a P n (x) = n n! dn ((x ) n ),n=0,,,... dx n tworzauk lad ortogonalny w przestrzeni L (, ) oraz, że P n =,n=0,,,... n + 6. Wykazać, że wzory T n (x) = ( x + x ) n + ( x x ) n n, T n (x) = n cos (n arccos x) Arkusz

4 określajatesameci agi wielomianów stopnia n zmiennej x. 7. Sprawdzić, że oraz, że T m (x)t n (x) dx =0,n m x [T n (x)] x dx = gdzie T m (x) jestokreślone w zadaniu powyżej. π,n=0,,,..., n 8. Wykazać, że uk lad Rademachera (r n ) n=0 jest ortonormalny w przestrzeni L (0, ). 9. Niech {x j },j =,,...,n bedzie skończonym ciagiem liniowo niezależnych wektorów w przestrzeni unitarnej X. Niech x,x... x,x k x x k,x... x k,x k x k x k+,x... x k+,x k x k+ y k+ =, G(x,x,...,x k ) gdzie k =,,..., n, a wyrażenie w liczniku należy traktować jako wyznacznik roz lożony wzgledem elementów ostatniej kolumny, otrzymujac kombinacje liniowa wektorów x,...,x k+, i G(x,...,x k ) oznacza wyznacznik Gramma wektorów x,...,x k. Wykazać, że (i) G(y,...,y k )=G(x,...,x k )dlakażdego k =,...,n, G(x,...,x (ii) y k+ = k,x k+ ) G(x,...,x k = d (x ) k+,m k )dlakażdego k =,...,n, (iii) uk lad {y k } n jest ortogonalny. 30. Wykazać, że uk lad wielomianów Hermite a ( H n (t) =( ) n dn t e e t),n=,,... dt n jest ortogonalny z waga p(t) =e t w przedziale I =(, ) w przestrzeni L (I). 3. Podać przyk lady baz ortogonalnych w przestrzeniach l n,l,l (0, π), odpowiednio. 3. Niech (e k ) b edzie uk ladem ortonormalnym zupe lnym w nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta X. Przyjmijmy Ax = (x, e k )e k+. Sprawdzić, że A jest dobrze określonym operatorem liniowym ograniczonym w przestrzeni X. Arkusz 3

5 33. Niech (e k ) b edzie uk ladem ortonormalnym zupe lnym w nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta X. Przyjmijmy Ax = (x, e k+ )e k. Sprawdzić, że A jest dobrze określonym operatorem liniowym ograniczonym w przestrzeni X. 34. Niech H bedzie przestrzenia Hilberta, (e n ) n N uk ladem ortonormalnym zupe lnym w H, a(λ n ) n N -ciagiem liczbowym ograniczonym. Sprawdzić, że wzór Ax = n N λ n (x, e n )e n definiuje operator liniowy ograniczony i A =sup n N λ n. 35. Pokazać, że uk lad e 0 (t) =,e n (t) = cosnt, n =,,... π π jest ortonormalny zupe lny w przestrzeni L (0,π). 36. Pokazać, że uk lad e n (t) = sinnt, n =,,... π jest ortonormalny zupe lny w przestrzeni L (0,π). 37. Wypisać nierówność Bessela dla uk ladu trygonometrycznego w przestrzeni L ( π, π). 38. Zbadać, które z podanych uk ladów tworzabaz e ortogonalnawl,aktóre nie: (i) (,, 0,...), (0, 0,,, 0,...), (0, 0, 0, 0,,, 0,...),..., (ii) (,, 0, 0,...), (,, 0, 0,...), (0, 0,,, 0, 0,...), (0, 0,,, 0, 0,...) Rozważyć odwzorowanie T : ln X określone wzorem: ( n ) n T α k e k = α k x k, gdzie α,...,α n K, {e k } n jest uk ladem ortonormalnym z lożonym z wektorów jednostkowych w ln,a{x k} n jest uk ladem ortonormalnym, który jest baz a algebraicznawx. Wykazać, że T jest izomorfizmem liniowym. 40. Wykazać zupe lność nastepuj acych uk ladów: (i) {sinnx} n= w przestrzeni L (0,π), (ii) {sin(n )x} n= w przestrzeni L (0, π ), Arkusz 4

6 (iii) {,t 3,t 6,...} w przestrzeni L (0, ), (iv) {,t,t 4,t 6...} w przestrzeni L (0, ). Czy ostatni z tych uk ladów jest zupe lny w L (, )? 4. Wykazać, że jeśli szereg trygonometryczny funkcji f ma postać: a 0 + (a n cosnx + b n sinnx), n= gdzie to a n = π b n = π π π π π f(x)cosnx dx n =0,,,..., f(x)sinnx dx n =,,..., c 0 = a 0,c m = (a m ib m ),c m = (a m + ib m ), gdzie m =,,... i c 0,c m,c m sawyrażone wzorami Eulera-Fouriera. 4. Podać postaćtożsamości Parsevala w przypadku rzeczywistym i zespolonym dla funkcji f L (π, π) i jej szeregu Fouriera określonego wzgledem trygonometrycznego uk ladu ortonormalnego. 43. Wyznaczyć wspó lczynniki Fouriera i zadać zbieżność szeregu Fouriera dla funkcji określonych w przedziale < π, π) wzorami: (i) f(t) =t, (ii) f(t) = t, (iii) f(t) =sgnt, (iv) f(t) =e t. 44. Podać postaćtożsamości Parsevala dla trzech pierwszych funkcji z poprzedniego zadania w przypadku rzeczywistym i zespolonym. Wykonać bezpośredni rachunek. 45. W przestrzeni L ( π, π) obliczyć wspó lczynniki Fouriera i rozwinać w szereg trygonometryczny funkcje f(t) =t(π t) określona na przedziale < 0,π >. Rozważyć dwa przypadki: (i) przed lużenie parzyste funkcji, (ii) przed lużenie nieparzyste funkcji. Zbadaćzbieżność otrzymanego szeregu. 46. Wykazać, że jeśli funkcja f : R R jest nieparzysta i π-okresowa, to jej szereg Fouriera zależy tylko of funkcji sinus, a jeśli jest parzysta, to od funkcji cosinus. Arkusz 5

7 47. Niech g : R R bedzie π-okresowa i g(x) = ( ) π x dla x < 0, π). Znaleźć jejszreg Fouriera i zbadać jegozbieżność. 48. Niech f : R R dana bedzie wzorem f(x) =sin3x. Znaleźć jej szereg Fouriera i zbadać jego zbieżność. 49. Funkcje f :< 0,π > R danawzoremf(x) =e x przedstawić w postaci sumy szeregu n= b nsinnx. 50. Funkcj e g(x) = sinx przedstawić w postaci sumy szeregu a 0 + n= a ncosnx na przedziale (0,π). 5. W przestrzeni L (0, π) wyznaczyć rzut ortogonalny funkcji f(t) =t na podprzestrzeń liniowarozpi et anafunkcjach, cost, sint, cost, sint,... i obliczyć norm e tego rzutu. 5. W przestrzeni L (, ) wyznaczyć rzut ortogonalny funkcji f(t) =e t na podprzestrzeń liniowarozpi et anafunkcjach, t,t,... i obliczyć norm e tego rzutu. 53. W przestrzeni L (0, ) wyznaczyć rzut ortogonalny funkcji f(t) = t na podprzestrzeń liniowarozpi et anafunkcjachuk ladu Rademachera i obliczyć norme tego rzutu. 54. Wykazać, że k=0 ( ) k k + = π 4. (Wsk. Rozwinać w szereg trygonometryczny Fouriera funkcje f(x) =x określona na przedziale ( π, π), zbadać jej zbieżność i policzyć wartość dlax = π.) 55. Użyć równości Parsevala, aby wykazać, że (i) n= = π, n 6 (ii) n= = π4. n 4 90 (Wsk. Skorzystać z odpowiedniej postaci równości Parsevala dla szeregu trygonometrycznego i rozwinać w szereg funkcje f(t) =t i f(t) =t na < π, π > dla i) iii) odpowiednio.) 56. Niech f L ( π, π). Znaleźć rzut ortogonalny f na podprzestrzeń M = lin {e int,...,e int }, Arkusz 6

8 n N iznaleźć odleg lość f od { M. (Wsk. Wykazać, że wektory e int π } n k= n sa ortonormalne.) Arkusz 7