Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
|
|
- Wacława Filipiak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu na wszystkie dzia lania określone w pierścieniu P (zredukowane do A). Stwierdzenie 9.. A P jest podpierścieniem pierścienia P wtedy i tylko wtedy, gdy spe lnia nastepuj ace warunki: (I) A oraz (II) a,b A a b, a b A. Dowód. Za lóżmy, że A jest podpierścieniem pierścienia P. Wtedy 0, A (ze wzgledu na wykonalność dzia lań 0-argumentowych) oraz dla dowolnego a A, a A (ze wzgledu na wykonalność dzia lania -argumentowego) i ponadto dla a, b A, a b A oraz a b = a + ( b) A (ze wzgledu na wykonalność mnożenia i dodawania). Na odwrót, za lóżmy, że A oraz a b, a b A dla dowolnych a, b A. Wtedy 0 = A, skad dla b A, b = 0 b A, wiec dla a, b A, a+b = a ( b) A. Zatem w A jest wykonalne mnożenie i dodawanie. Ponieważ wszystkie aksjomaty pierścienia sa spe lnione nawet w P, wiec (A, +,, 0, ) jest pierścieniem. Stwierdzenie 9.3. W dowolnym pierścieniu P podzbiór = {k : k Z} jest najmniejszym (w sensie inkluzji) podpierścieniem P. Dowód. Ponieważ =, wiec. Weźmy dowolne a, b. Wtedy istnieja k, l Z takie, że a = k i b = l. Stad a b = (k l) oraz a b = (k ) (l ) = (kl). Zatem na mocy Stwierdzenia 9., jest podpierścieniem w P. Niech A bedzie dowolnym podpierścieniem pierścienia P. Wtedy A i A jest podgrupa grupy P +. Stad A, czyli jest najmniejszym w sensie inkluzji podpierścieniem w P. Twierdzenie 9.4. Cześć wspólna dowolnej niepustej rodziny podpierścieni pierścienia P jest podpierścieniem P. Dowód. Niech {A t } t T bedzie dowolna niepusta rodzina podpierścieni pierścienia P oraz niech A = t T A t. Ponieważ A t dla każdego t T, wiec A. Weźmy dowolne a, b A. Wtedy a, b A t dla każdego t T, wiec ze Stwierdzenia 9., a b, a b A t dla każdego t T. Zatem a b, a b A. Stad na mocy Stwierdzenia 9., A jest podpierścieniem pierścienia P.
2 Przyk lad 9.5. Niech P bedzie pierścieniem. Udowodnimy, że dla dowolnego podzbioru X P istnieje najmniejszy (w sensie inkluzji) podpierścień pierścienia P zawierajacy zbiór X. Nazywamy go podpierścieniem generowanym przez zbiór X i oznaczamy przez X. Zatem: X X i X jest podpierścieniem pierścienia P oraz () X A dla każdego podpierścienia A pierścienia P takiego, że X A. () Rzeczywiście, niech {A t } t T bedzie rodzina wszystkich podpierścieni pierścienia P zawierajacych zbiór X. Wtedy P {A t } t T, wiec z Twierdzenia 9.3 mamy, że A = t T A t jest podpierścieniem pierścienia P. Ale X A t dla każdego t T, wiec X A, skad A jest najmniejszym elementem w rodzinie {A t } t T, czyli A jest najmniejszym podpierścieniem pierścienia P zawierajacym zbiór X. Ze Stwierdzenia 9.3 wynika od razu, że = = {k : k Z}. Natomiast dla X mamy nastepuj ace Stwierdzenie 9.6. Niech X bedzie niepustym podzbiorem pierścienia P. Wówczas X sk lada sie ze wszystkich skończonych sum elementów postaci s oraz k x x... x n, gdzie s, k Z, x, x,..., x n X oraz n =,,.... Dowód. Oznaczmy przez S zbiór wszystkich skończonych sum elementów postaci s oraz k x x... x n, gdzie s, k Z, x, x,..., x n X oraz n =,,.... Ponieważ =, wiec S. Weźmy dowolne a, b S. Wtedy a jest skończona suma elementów postaci s oraz k x x... x n, dla pewnych s, k Z, x, x,..., x n X i pewnych n N oraz b jest skończona suma elementów postaci t oraz l y y... y m, dla pewnych t, l Z, y, y,..., y m X i pewnych m N. Z rozdzielności mnożenia wzgledem dodawania wynika zatem, że a b jest skończona suma elementów postaci (s ) (t ) = (st), (s ) (k x x... x n ) = (sk) x x... x n, (k x x... x n ) (t ) = (kt) x x... x n, (k x x... x n ) (l y y... y m ) = (kl) x x... x n y y... y m, wiec a b S. Ponadto, s t = (s t) i (l y y... y m ) = ( l) y y... y m, wiec a b S. Zatem na mocy Stwierdzenia 9., S jest podpierścieniem pierścienia P. Ponadto dla dowolnego x X mamy, że x = x, wiec x S. Zatem X S. Niech teraz A bedzie dowolnym podpierścieniem pierścienia P takim, że X A. Ponieważ A i A P +, wiec A, skad s A dla każdego s Z. Weźmy teraz dowolne k Z, dowolne n N i dowolne x,..., x n X. Wtedy x,..., x n A i A jest pierścieniem, wiec k x x... x n A. Ale A jest podgrupa grupy P +, wiec wszystkie skończone sumy elementów postaci s oraz k x x... x n, gdzie s, k Z, x, x,..., x n X oraz n =,,..., należa do A. Zatem S A. W ten sposób wykazaliśmy, że S spe lnia warunki () i (), czyli S = X. Jeśli X jest zbiorem skończonym oraz X = {a,..., a m }, to zamiast {a,..., a m } b edziemy pisali a,..., a m.
3 Uwaga 9.7. Ze Stwierdzenia 9.6 wynika od razu, że jeśli X = {a}, to podpierścień a sk lada si e ze wszystkich elementów postaci k 0 +k a+...+k m a m, gdzie k 0, k,..., k m Z oraz m = 0,,,.... Zatem: a = {k 0 + k a k n a n : k 0, k,..., k n Z, n = 0,,,...}. (3) Podstawiajac X = {a, b} uzyskamy, że podpierścień a, b sk lada sie ze wszystkich skończonych sum elementów postaci k a i b j, gdzie k Z oraz i, j N 0. Podstawiajac X = {a, a,..., a s } uzyskamy, że podpierścień a, a,..., a s sk lada sie ze wszystkich skończonych sum elementów postaci k a i a i... a is s, gdzie k Z oraz i, i,..., i s N 0. Stwierdzenie 9.8. Niech X i Y bed a podzbiorami pierścienia P. Wówczas: (i) X Y X Y, (ii) X = Y (X Y oraz Y X). Dowód. (i). Za lóżmy, że X Y. Ponieważ na mocy (), X X, wiec stad X Y. Na odwrót, za lóżmy, że X Y. Wtedy Y jest jakimś podpierścieniem, który zawiera podzbiór X, wiec na mocy (), X Y. (ii). Ponieważ X = Y (X Y oraz Y X), wiec teza wynika od razu z punktu (i). Przyk lady pierścieni i podpierścieni Przyk lad 9.9. Każde cia lo jest pierścieniem. Podpierścienie cia l sa pierścieniami. Przyk lad 9.0. Podpierścienie cia la C nazywamy pierścieniami liczbowymi. Oczywiście sa one pierścieniami. Niech P bedzie pierścieniem liczbowym i niech k Z, m N bed a liczbami wzglednie pierwszymi. Pokażemy, że wówczas: k m P m P. Rzeczywiście, za lóżmy, że P. Wtedy k = k P, wiec k m m m P. Na odwrót, m za lóżmy, że k P. Ponieważ liczby k i m s a m wzglednie pierwsze, wiec istnieja x, y Z takie, że kx + my =. Stad = x k + y P, bo P jest podpierścieniem cia la C m m oraz k P i P. m Przyk lady pierścieni liczbowych: a) Pierścień liczb ca lkowitych Z. b) Z Uwagi 9.7 wynika, że dla ustalonej liczby naturalnej a > { n } = a a : n, k Z, k 0 k 3
4 jest najmniejszym podpierścieniem w Q zawierajacym. Ponadto a = a pα p α... p αs s dla pewnych różnych liczb pierwszych p, p,..., p s i pewnych α, α,..., α s N. Zatem n = p α... ps αs N. Ponadto p... p s = n p α... pαs s a. Zatem ze Stwierdzenia 9.8, p... p s a. Niech α b edzie najwieksz a z liczb α,..., α s N. Wtedy α α i N 0 dla każdego i =,..., s, skad m = p α α... p α αs s N oraz = m a p α =... pαs s (p... p s). α Zatem na mocy Stwierdzenia 9.8, a p... p s i ostatecznie a = p... p s. Zauważmy jeszcze, że dodatkowo zachodzi wzór: =,,...,. (4) p... p s p p p s Rzeczywiście, p... p s = p p... p s p, p,..., p s, wiec ze Stwierdzenia 9.8, p... p s p, p,..., p s. Ponadto m i = p p...p s N dla każdego i =,,..., s oraz p i = m i p... p s p... p s, wiec na mocy Stwierdzenia 9.8, p, p,..., p s co kończy dowód wzoru (4). Z Uwagi 9.7 mamy ponadto wzór:,,..., p p p s { = n p i p k p k... p ks s p... p s, : n Z, k, k..., k s N 0 }. (5) c) Niech d bedzie liczba ca lkowita, która nie jest kwadratem liczby ca lkowitej. Wówczas z teorii liczb wiadomo, że d nie jest kwadratem liczby wymiernej. Określamy d jako zwyk ly pierwiastek arytmetyczny z liczby d dla d > 0, zaś dla d < 0 określamy d = d i. Zatem w obu przypadkach ( d) = d. Wówczas na mocy Uwagi 9.7 d = {a + b d : a, b Z} jest najmniejszym podpierścieniem cia la C zawierajacym d. Ten podpierścień b edziemy dalej oznaczali przez Z d. Zatem Z d = {a + b d : a, b Z}. Z niewymierności liczby d wynika, że dla dowolnych a, a, b, b Q: a + b d = a + b d (a = a oraz b = b ). d) Niech d bedzie liczba ca lkowita, która nie jest kwadratem liczby ca lkowitej taka, że ( + d (mod 4). Ponieważ ) d = + d + d, wiec 4 na mocy Uwagi 9.7, + d = {x + y + d : x, y Z} jest najmniejszym podpierścieniem cia la C zawieraj Ten podpierścień bedziemy dalej oznaczali przez Z. Zatem: Z + { d = x + y + d 4 + d : x, y Z }. acym + d.
5 Z niewymierności liczby + d wynika, że dla dowolnych a, a, b, b Q: a + b + d = a + b + d (a = a oraz b = b ). Przyk lad 9.. Niech m > bedzie liczba naturalna i niech Z m = {0,,..., m }. Dla a, b Z m określamy: a m b = reszta z dzielenia a + b przez m; a m b = reszta z dzielenia a b przez m. Wówczas na mocy Wyk ladu (Z m, m, m, 0, ) jest pierścieniem. Nazywamy go pierścieniem reszt modulo m i oznaczamy przez Z m. Przyk lad 9.. Zbiór wszystkich wielomianów o wspó lczynnikach zespolonych (rzeczywistych, wymiernych, ca lkowitych) z dodawaniem i mnożeniem funkcji tworzy pierścień. Oznaczamy go odpowienio przez Cx, Rx, Qx i Zx. Przyk lad 9.3. Niech P,..., P n bed a pierścieniami. określamy dodawanie i mnożenie nastepuj aco: W zbiorze P... P n (a,..., a n ) + (b,..., b n ) = (a + b,..., a n + b n ), (a,..., a n ) (b,..., b n ) = (a b,..., a n b n ), Ponadto określamy 0 = (0,..., 0) oraz = (,..., ). Można sprawdzić, że wtedy (P... P n, +,, 0, ) tworzy pierścień. Nazywamy go iloczynem kartezjańskim pierścieni P,..., P n. Przyk lad 9.4. Dowolny zbiór jednoelementowy P = {a} z dzia laniami + i takimi, że a + a = a i a a = a oraz z wyróżnionymi elementami 0 = = a tworzy pierścień. Nazywamy go pierścieniem zerowym. Zauważmy, że jeśli pierścień P jest niezerowy, to P >, wiec istnieje niezerowe a P. Wtedy a = a oraz a 0 = 0 a, skad wynika, że 0 w P. Na odwrót, jeśli 0 w pierścieniu P, to P >, wiec pierścień P nie jest zerowy. Przyk lad 9.5. Niech A i B bed a podpierścieniami pierścienia P. Oznaczmy przez AB zbiór wszystkich skończonych sum elementów postaci a b, gdzie a A, b B. Wtedy = AB. Ponadto z określenia AB oraz z tego, że (a b) = ( a) b wynika od razu, że jeśli x, y AB, to x y AB. Ponadto z rozdzielności mnożenia wzgledem dodawania i z tego, że dla a, a A, b, b B jest (a b ) (a b ) = (a a ) (b b ) AB wynika, że dla dowolnych x, y AB, x y AB. Zatem na mocy Stwierdzenia 9. mamy, że AB jest podpierścieniem pierścienia P. Zauważmy jeszcze, że dla a A i b B, a = a AB i b = b AB, a wiec A B AB. Jeśli S jest podpierścieniem pierścienia P takim, że A B S, to dla dowolnych a A i b B mamy a, b S, skad a b S, a zatem AB S. W takim razie AB = A B, czyli AB jest najmniejszym w sensie inkluzji podpierścieniem pierścienia P zawierajacym zbiór A B. 5
6 3 Elementy odwracalne Definicja 9.6. Powiemy, że a P jest elementem odwracalnym pierścienia P, jeżeli istnieje x P takie, że a x =. Zbiór wszystkich elementów odwracalnych pierścienia P oznaczamy przez P. Przyk lad 9.7. Niech d bedzie liczba naturalna, która nie jest kwadratem liczby naturalnej. Z elementarnej teorii liczb wiemy, że istnieje wówczas nieskończenie wiele par (x, y) N N takich, że x dy =. Stad w pierścieniu Z d: (x+y d)(x y d) =. Wobec tego x + y d (Z d) i pierścień Z d ma nieskończenie wiele elementów odwracalnych. Przyk lad 9.8. Niech p, p,..., p s bed a różnymi liczbami pierwszymi. Pokażemy, że,,..., = {±p k p k... p ks s : k, k,..., k s Z}. p p p s Ze wzoru (5) wynika, że ±p l p l... p ls s p, p,..., p s dla dowolnych l, l,..., l s Z. Weźmy dowolne k, k,..., k s Z. Wtedy (±p k p k... p ks s ) (±p k p k... p ks s ) =, skad ±p k p k... p ks. s p, p,..., p s Niech teraz a. p, p,..., p s Wówczas a b = dla pewnego b p, p,..., n p s. Ponadto ze wzoru (5), a = n i b = p k pk...pks s p l p l...p ls s dla pewnych n, n Z oraz dla pewnych k i, l i N 0 dla i =,,..., s. Zatem n n = p k +l p k +l... p ks+ls s. Wobec tego n = ±p t p t... p ts s dla pewnych t, t,..., t s N 0, skad a = ±p t k p t k... ps ts ks, co kończy nasz dowód. Twierdzenie 9.9. Dla dowolnego pierścienia P system algebraiczny (P,, ) jest grupa abelowa. Dowód. Ponieważ =, wiec P. Niech a P. Wtedy istnieje x P takie, że a x =, skad x a =, czyli x P. Dalej, dla a, b P istnieja x, y P takie, że a x = i b y =, wiec (a b) (x y) = (a x) (b y) = =, czyli a b P. Ponieważ mnożenie jest l aczne w P, wiec mnożenie jest l aczne w P. Zatem z tych rozważań mamy, że (P,, ) jest grupa. Natomiast z P5 wynika od razu, że grupa ta jest abelowa. Uwaga 9.0. Element odwrotny do elementu a P oznaczamy przez a. Z dowodu Twierdzenia wynika, że dla dowolnych a, b P mamy wzór: (a b) = a b. Stwierdzenie 9.. Niech m > bedzie liczba naturalna. Wówczas zachodzi wzór: W szczególności Z m = ϕ(m). Z m = {a {,,..., m} : (a, m) = }. 6
7 Dowód. Weźmy dowolne a Z m. Wtedy a {0,,..., m } oraz istnieje x Z m takie, że a m x =. Stad a x m =, a wiec a x (mod m). Zatem z elementarnej teorii liczb, (a, m), skad (a, m) =. Ale m >, wiec (m, 0) = m >, czyli a {,,..., m}. Na odwrót, niech a {,,..., m} i (a, m) =. Ponieważ m >, wiec (m, m) = m >, skad a {,,..., m }, czyli a Z m. Ponadto z elementarnej teorii liczb istnieje y Z takie, że a y (mod; m), skad x = y m Z m i a x (mod; m). Zatem a m x = a x m = m =, wiec a Z m. Stwierdzenie 9.. Niech P, P,..., P n bed a dowolnymi pierścieniami. Wówczas: (P P... P n ) = P P... P n. Dowód. Weźmy dowolne x (P P... P n ). Wtedy x P P... P n i istnieje y P P... P n takie, że x y = (,,..., ). Ale x = (x, x,..., x n ) i y = (y, y,..., y n ) dla pewnych x i, y i P i, i =,,..., n oraz x y = (x y, x y,..., x n y n ), wiec x i y i =, skad x i Pi dla i =,,..., n. Zatem x P P... Pn. Na odwrót, weźmy dowolne x P P... Pn. Wtedy istnieja x i Pi, i =,,..., n, takie, że x = (x, x,..., x n ). Stad dla każdego i =,,..., n istnieje y i P i takie, że x i y i =. Wobec tego y = (y, y,..., y n ) P P... P n i x y = (x y, x y,..., x n y n ) = (,,..., ). Zatem x (P P... P n ). 4 Dzielniki zera Definicja 9.3. Mówimy, że element a pierścienia P jest dzielnikiem zera, jeżeli istnieje niezerowy element b P taki, że a b = 0. Elementy pierścienia P, które nie sa dzielnikami zera nazywamy elementami regularnymi. Zbiór wszystkich dzielników zera pierścienia P bedziemy oznaczali przez D(P ), zaś zbiór wszystkich elementów regularnych pierścienia P bedziemy oznaczali symbolem R(P ). Uwaga 9.4. Zauważmy, że w dowolnym pierścieniu P : D(P ) = P \R(P ). W każdym pierścieniu niezerowym P mamy, że 0 oraz 0 = 0, wi ec 0 jest dzielnikiem zera w każdym pierścieniu niezerowym P. Dzielniki zera różne od 0 nazywamy w laściwymi dzielnikami zera. Przyk lad 9.5. Niech A i B bed a niezerowymi pierścieniami. Wówczas pierścień A B posiada w laściwe dzielniki zera, którymi sa (, 0) i (0, ), gdyż te elementy sa różne od (0, 0) i (, 0) (0, ) = ( 0, 0 ) = (0, 0). Przyk lad 9.6. Dla liczb z lożonych m pierścień Z m posiada w laściwe dzielniki zera, gdyż istnieja liczby naturalne a, b < m takie, że a b = m i wtedy a, b sa niezerowymi elementami pierścienia Z m oraz a m b = 0. 7
8 Stwierdzenie 9.7. Niech P, P,..., P n bed a dowolnymi pierścieniami. Wówczas: W szczególności: R(P P... P n ) = R(P ) R(P )... R(P n ). D(P P... P n ) = (P P... P n ) \ R(P ) R(P )... R(P n ). Dowód. Weźmy dowolne x R(P P... P n ). Wtedy x = (x, x,..., x n ) dla pewnych x i P i, i =,,..., n. Ustalmy i =,,..., n i weźmy dowolne a i P i takie, że x i a i = 0. Niech a j = 0 dla wszystkich j {,,..., n} \ {i} oraz a = (a, a,..., a n ). Wtedy x a = (0, 0,..., 0), wiec z regularności x, a = (0, 0,..., 0), skad a i = 0. Oznacza to, że x i R(P i ) dla każdego i =,,..., n. Zatem R(P P... P n ) R(P ) R(P )... R(P n ). Weźmy dowolne x R(P ) R(P )... R(P n ). Wtedy istnieja x i R(P i ), i =,,..., n, takie, że x = (x, x,..., x n ). Weźmy dowolne a P P... P n takie, że x a = (0, 0,..., 0). Wtedy a = (a, a,..., a n ), wiec (0, 0,..., 0) = (x a, x a,..., x n a n ), wiec dla każdego i =,,..., n: x i a i = 0, skad na mocy regularności elementu x i, a i = 0. Wobec tego a = (0, 0,..., 0) i element x jest regularny. Zatem R(P ) R(P )... R(P n ) R(P P... P n ). Twierdzenie 9.8. W dowolnym pierścieniu P : (i) iloczyn elementów regularnych jest elementem regularnym; (ii) jeśli a P jest regularny i a x = a y, to x = y; (iii) każdy element odwracalny jest elementem regularnym. Dowód. (i). Niech a, b P bed a elementami regularnymi. Weźmy dowolny x P taki, że (ab)x = 0. Wtedy a(bx) = 0, wiec z regularności a, bx = 0, skad x = 0, z regularności b. Zatem ab jest elementem regularnym. (ii). Niech a P bedzie elementem regularnym i niech x, y P bed a takie, że ax = ay. Wtedy a(x y) = 0, skad z regularności a mamy, że x y = 0, czyli x = y. (iii). Za lóżmy, że tak nie jest. Wtedy istnieje element odwracalny a P, który jest dzielnikiem zera. Zatem istnieje niezerowe b P takie, że a b = 0 oraz istnieje x P takie, że a x =. Wobec tego b = b = b (a x) = (b a) x = (a b) x = 0 x = 0 i mamy sprzeczność. Wniosek 9.9. Dowolne cia lo nie posiada w laściwych dzielników zera. Definicja Niezerowy pierścień P, który nie posiada w laściwych dzielników zera nazywamy dziedzina ca lkowitości. Wobec tego, dziedziny ca lkowitości sa to takie niezerowe pierścienie, w których każdy element niezerowy jest regularny. W szczególności na mocy Wniosku 9.9, każde cia lo 8
9 jest dziedzina ca lkowitości, a nawet każdy podpierścień cia la jest dziedzina ca lkowitości. Z Twierdzenia 9.8 mamy natychmiast nastepuj acy Wniosek 9.3. Jeżeli a jest niezerowym elementem dziedziny ca lkowitości P oraz x, y P sa takie, że ax = ay, to x = y. Zagadka. Udowodnij, że dla dowolnych pierścieni A i B: D(A B) = A D(B) D(A) R(B). Zagadka. Wyznacz (Q Z), D(Q Z) i R(Q Z). Zagadka 3. Czy suma dwóch dzielników zera pierścienia P może być elementem odwracalnym w P? Zagadka 4. Czy i należy do podpierścienia 3 4 i cia la C? Zagadka 5. Niech k i Z, m i N, m i > oraz NW D(k i, m i ) = dla każdego i =,,..., s. Udowodnij, że w ciele Q zachodzi wzór: k, k,..., k s =. m m m s m m... m s Zagadka 6. Niech A bedzie podpierścieniem pierścienia P i a A. Czy jest prawda, że (a) jeśli a P, to a A? (b) jeśli a A, to a P? (c) jeśli a jest dzielnikiem zera w P, to a jest dzielnikiem zera w A? (d) jeśli a jest dzielnikiem zera w A, to a jest dzielnikiem zera w P? Zagadka 7. Niech P b edzie pierścieniem skończonym. Udowodnij, że R(P ) = P. Uzasadnij też, że skończona dziedzina ca lkowitości jest cia lem. 9
Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoWyk lad 2 Podgrupa grupy
Wyk lad 2 Podgrupa grupy Definicja 2.1. Pod grupy (G,, e) nazywamy taki podzbiór H G, że e H, h 1 H dla każdego h H oraz h 1 h 2 H dla dowolnych h 1, h 2 H. Jeśli H jest grupy G, to bedziemy pisali H G.
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowoWYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoDziedziny Euklidesowe
Dziedziny Euklidesowe 1.1. Definicja. Dziedzina Euklidesowa nazywamy pare (R, v), gdzie R jest dziedzina ca lkowitości a v : R \ {0} N {0} funkcja zwana waluacja, która spe lnia naste ce warunki: 1. dla
Bardziej szczegółowoCia la i wielomiany Javier de Lucas
Cia la i wielomiany Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Za lóż, że (F, +,, 1, 0) jest cia lem i α, β F. w laściwości s a prawd a? Które z nastȩpuj acych 1. 0 α = 0. 2. ( 1) α = α. 3. Każdy element zbioru F ma
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Formy kwadratowe I
Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Bardziej szczegółowoGrupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas
Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność Javier de Lucas Ćwiczenie 1. W literaturze można znaleźć pojȩcia przestrzeni liniowej i przestrzeni wektorowej. Obie rzeczy maj a tak a sam a znaczenie. Nastȩpuj
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne
Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoSkończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Bardziej szczegółowo(α + β) a = α a + β a α (a + b) = α a + α b (α β) a = α (β a). Definicja 4.1 Zbiór X z dzia laniami o wyżej wymienionych w lasnościach
Rozdzia l 4 Przestrzenie liniowe 4.1 Przestrzenie i podprzestrzenie 4.1.1 Definicja i podstawowe w lasności Niech X z dzia laniem dodawania + b edzie grupa przemienna (abelowa). Oznaczmy przez 0 element
Bardziej szczegółowo1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoWyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego
Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni
Bardziej szczegółowoLiteratura: Oznaczenia:
Literatura: 1. R.R.Andruszkiewicz,,,Wyk lady z algebry ogólnej I, Wydawnictwo UwB, Bia lystok 2005. 2. Cz. Bagiński,,,Wst ep do teorii grup, Wydawnictwo Script, Warszawa 2002. 3. M. Bryński i J. Jurkiewicz,,,Zbiór
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar liniowej Baza liniowej Niech V bedzie nad cia lem K Powiemy, że zbiór wektorów {α,, α n } jest baza V, jeżeli wektory α,, α n sa liniowo niezależne oraz generuja V tzn V = L(α,,
Bardziej szczegółowoUniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny
Uniwersytet w Białymstoku Wydział Matematyczno-Fizyczny Instytut Matematyki dr hab. Ryszard Andruszkiewicz Wykład monograficzny Wykład monograficzny prowadzony dla studentów V roku matematyki przez dr
Bardziej szczegółowoGrupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych
Grupa, cia lo Zadanie 1. Jakie w lasności w zbiorze liczb naturalnych, ca lkowitych, wymiernych, rzeczywistych maj dzia lania a b = a b, a b = a 2 + b 2, a b = a+b, a b = b. 2 Zadanie 2. Pokazać, że (R
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze
Wyk lad 11 Przekszta lcenia liniowe a macierze 1 Izomorfizm przestrzeni L(V ; W ) i M m n (R) Twierdzenie 111 Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi o bazach uporzadkowanych (α 1,, α n ) i (β 1,, β
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowoWersja testu D 14 września 2011 r. 1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1?
1. Czy prawda jest, że a) x Z y Z y 2 = 2 ; b) x Z y Z x 2 = 1 ; c) x Z y Z x 2 = 2 ; d) x Z y Z y 2 = 1? 2. Czy prawda jest, że a) 5 8 1 jest podzielne przez 4 ; b) 5 7 1 jest podzielne przez 4 ; c) 3
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoPojęcie pierścienia.
Pojęcie pierścienia. Definicja: Niech R będzie zbiorem niepustym. 1. Algebrę pr, `, q nazywamy pierścieniem, gdy pr, `q jest grupą abelową, działanie jest łaczne oraz rozdzielne względem działania `, to
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoIndeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoTeoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej
Teoria miary WPPT IIr. semestr zimowy 2009 Wyk lady 6 i 7. Mierzalność w sensie Carathéodory ego Miara Lebesgue a na prostej 27-28/10/09 ZBIORY MIERZALNE WZGLȨDEM MIARY ZEWNȨTRZNEJ Niech µ bȩdzie miar
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Grupy cykliczne
Wyk la 3 Grupy cykliczne Definicja 3.1. Niech a bezie elementem grupy (G,, e). Jeżeli istnieje liczba naturalna k taka, że a k = e, to najmniejsza taka liczbe naturalna k nazywamy rzeem elementu a. W przeciwnym
Bardziej szczegółowoALGEBRA 1 Skrypt do wyk ladu A. Roman Wencel
ALGEBRA 1 Skrypt do wyk ladu A Roman Wencel Wroc law, wrzesień 2008 Spis treści Wst ep 2 Rozdzia l 0. Liczby naturalne, ca lkowite i wymierne 3 Rozdzia l 1. Dzia lania i systemy algebraiczne. Pojecie pó
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoAlgebra abstrakcyjna
Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowoDr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki
liczbowe Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki liczbowe Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.maciej.grzesiak.pracownik.put.poznan.pl podręcznik: i algebra liniowa
Bardziej szczegółowo0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wyznaczniki
1 Określenie wyznacznika Wyk lad 3 Wyznaczniki Niech A bedzie macierza kwadratowa stopnia n > 1 i niech i, j bed a liczbami naturalnymi n Symbolem A ij oznaczać bedziemy macierz kwadratowa stopnia n 1
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoRozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice
Rozdzia l 2. Najważniejsze typy algebr stosowane w logice 1. Algebry Boole a Definicja. Kratȩ dystrybutywn a z zerem i jedynk a, w której dla każdego elementu istnieje jego uzupe lnienie nazywamy algebr
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią. wykład I
Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych
Bardziej szczegółowo1 Pierścienie, algebry
Podstawowe Własności Pierścieni Literatura Pomocnicza: 1. S.Balcerzyk,T.Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN 2. A.Białynicki-Birula, Algebra, PWN 3. J.Browkin, Teoria ciał, PWN 4. D.Cox, J.Little, D.O
Bardziej szczegółowoChcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.
DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:
Bardziej szczegółowo1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoKongruencje pierwsze kroki
Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu
Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoWyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe
1 Izomorfizmy kanoniczne Wyk lad 13 Funkcjona ly dwuliniowe Definicja 13.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Funkcje ξ : V W R nazywamy funkcjona lem dwuliniowym, jeżeli i a,b R α,β V γ W ξa α
Bardziej szczegółowoLiczby naturalne i ca lkowite
Chapter 1 Liczby naturalne i ca lkowite Koncepcja liczb naturalnych i proste operacje arytmetyczne by ly znane już od oko lo 50000 tysiȩcy lat temu. To wiemy na podstawie archeologicznych i historycznych
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowoKONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności.
KONGRUENCJE Dla a, b, m Z mówimy, że liczba a przystaje do liczby b modulo m a b (mod m) m (a b) (a b (mod m) można też zapisać jako: a = km + b, k Z). Liczbę m nazywamy modułem kongruencji. Własności:
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE
1 SZKO LA PODSTAWOWA HELIANTUS 0-89 WARSZAWA ul. BAŻANCIA 16 3 1 0 1 3 Oś liczbowa. Liczby ca lkowite x MATEMATYKA W SZKOLE HELIANTUS LICZBY NATURALNE I CA LKOWITE Prof. dr. Tadeusz STYŠ WARSZAWA 018 1
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz
Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, cz eść druga Anna Romanowska 22 października 2015 Pierścienie i cia la.1 Idea ly i pierścienie ilorazowe Definicja.11. Pierścień, w którym wszystkie idea ly
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera
Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Przyk lady homomorfizmów
Wyk lad 6 Przyk lady hooorfizów Przyk lad 6.1. Dla dowolnych grup (G 1, 1, e 1 ), (G 2, 2, e 2 ) przekszta lcenie f: G 1 G 2 dane wzore f(x) = e 2 dla x G 1 jest hooorfize grup, bo f(a) 2 f(b) = e 2 2
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoi=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian
9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2012/2013 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Ciało ułamków
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoLOGIKA ALGORYTMICZNA
LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2016/2017 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 2 13 Ciało ułamków
Bardziej szczegółowoWielomiany. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1
XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #2 1 / 1 Definicja Definicja Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 gdzie
Bardziej szczegółowoWyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych
Wyk lad 10 Przestrzeń przekszta lceń liniowych 1 Określenie przestrzeni przekszta lceń liniowych Niech V i W bed a przestrzeniami liniowymi Oznaczmy przez L(V ; W ) zbór wszystkich przekszta lceń liniowych
Bardziej szczegółowoDZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut
XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoElementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE
Elementy analizy funkcjonalnej PRZESTRZENIE LINIOWE Niech K = R lub K = C oraz X - dowolny zbiór. Określmy dwa dzia lania: dodawanie + : X X X i mnożenie przez liczbȩ : K X X, spe lniaj ace nastȩpuj ace
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoKongruencje. Sławomir Cynk. 24 września Nowy Sącz. Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego
Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 24 września 2008 Nowy Sącz Przykłady W. Sierpiński, 250 zadań z elementarnej teorii liczb, Biblioteczka Matematyczna 17. Zadanie 3. Pokazać, że jeżeli 7
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoPojęcia wstępne. Piotr P. Karwasz. Kraków, 22 kwietnia 2017 r. Uniwersytet Gdański
Piotr P. Karwasz Uniwersytet Gdański Kraków, 22 kwietnia 2017 r. Redukcja Niech p Z będzie liczbą pierwszą oraz π p kanonicznym homomorfizmem: π p : Z F p. Twierdzenie (wersja dla studentów) Niechaj w(x)
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoAlgebra i jej zastosowania - konspekt wykładu
Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu Agata Pilitowska MiNI - rok akademicki 2018/2019 Spis treści 1 Pierścienie i ciała 1 11 Definicja i przykłady 1 12 Pierścienie całkowite 3 13 Pierścienie Euklidesa
Bardziej szczegółowog liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek
. Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;
Bardziej szczegółowoAlgorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),
Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowo