ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska

Transkrypt

1 ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019

2 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N = {1, 2,, n} Macierzą prostokątną wymiaru m n o wyrazach rzeczywistych nazywamy funkcję przyporządkowującą uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie i M, j N, dokładnie jedną liczbę rzeczywistą a i,j a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = = [a ij] m n a m1 a m2 a m3 a mn poziome rzędy - wiersze, pionowe rzędy - kolumny a ij element macierzy w i tym wierszu i j tej kolumnie

3 3/17 Macierze Wymiarem macierzy nazywamy uporządkowaną parę liczb naturalnych m n, gdzie m oznacza liczbę wierszy, n oznacza liczbę kolumn Macierz wymiaru m n, w której wszystkie elementy są równe 0 nazywamy macierzą zerową wymiaru m n i oznaczamy przez 0 m n (lub 0, gdy znany jest jej wymiar) m n =

4 4/17 Rodzaje macierzy Macierz kwadratowa to macierz, której liczba wierszy jest równa liczbie kolumn m = n Liczbę wierszy (kolumn) nazywamy wtedy stopniem macierzy kwadratowej Elementy a ii, i = 1, 2, m, tworzą główną przekątną (diagonalą) a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a m1 a m2 a mm [ ] π

5 5/17 Macierz kolumnowa (m jednokolumnowa, wektor kolumnowy) to macierz o wymiarze m 1 a 11 a 21 a m1 Macierz wierszowa (m jednowierszowa, wektor wierszowy) to macierz o wymiarze 1 n [ a11 a 12 a 1n ]

6 6/17 Macierz trójkątna dolna to macierz kwadratowa stopnia n 2, w której wszystkie elementy stojące nad główną przekątną są równe 0 a a 21 a a 31 a 32 a 33 0 a m1 a m2 a m3 a mm Macierz trójkątna górna to macierz kwadratowa stopnia m 2, w której wszystkie elementy stojące pod główną przekątną są równe 0 a 11 a 12 a 13 a 1m 0 a 22 a 23 a 2m 0 0 a 33 a 3m a mm

7 7/17 Macierz diagonalna to macierz kwadratowa stopnia n 2, w której wszystkie elementy nie stojące na głównej przekątnej są równe 0 a a a 33 0 = diag(a 11, a 22,, a nn ) a nn Macierz skalarna to macierz kwadratowa stopnia n 2, w której wszystkie elementy stojące na głównej przekątnej są sobie równe a a a 0 I = I n = a mjednostkowa

8 8/17 Działania na macierzach Mówimy, że macierze A i B są równe, tj A = B, wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego wymiaru m n oraz a ij = b ij dla i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n Sumą macierzy A = [a ij ] m n i B = [b ij ] m n nazywamy macierz C = [c ij ] m n, której elementy określone są wzorem c ij = a ij + b ij dla i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n Piszemy wówczas C = A + B

9 9/17 Iloczynem macierzy A = [a ij ] m n przez liczbę λ R nazywamy macierz B = [B ij ] m n, której elementy określone są wzorem b ij = λa ij dla i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n Piszemy wówczas B = λa Macierz przeciwna do A to macierz 1 A = A Różnica macierzy A i B definiujemy A B = A + ( B)

10 10/17 Własności działań na macierzy Niech A, B, C dowolne macierz tego samego wymiaru oraz α, β R Wówczas 1 A + B = B + A 2 A + (B + C) = (A + B) + C 3 A + 0 = 0 + A = A 4 A + ( A) = 0 5 α(a + B) = αa + αb 6 (α + β)a = αa + βa 7 (αβ)a = α(βa) 8 1 A = A, gdzie 1 R

11 11/17 Iloczyn macierzy Niech macierz A = [a ij ] m n, a macierz B = [b ij ] n p Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C = [c ij ] m p, której elementy określone są wzorem c ij = n a ik b kj k=1 dla i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, p Piszemy wtedy C = AB Uwaga Elementy c ij iloczynu A i B otrzymujemy sumując iloczyny odpowiadających sobie elementów i tego wiersza macierzy A i j tej kolumny macierzy B

12 12/17 Własności iloczynu macierzy 1 Niech A m n oraz B n k, C n k Wówczas A(B + C) = AB + AC 2 Niech A m n, B m n oraz C n k Wówczas (A + B)C = AC + BC 3 Niech A m n i B n k oraz α R Wówczas A(αB) = (αa)b = α(ab) 4 Niech A m n, B n k C k l Wówczas (AB)C = A(BC) 5 Niech A m n Wówczas AI n = I m A = A

13 13/17 Macierz transponowana Niech A = [a ij ] m n Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz B = [B ij ] n m, której elementy są określone wzorem b ij = a ji dla i = 1, 2,, n, j = 1, 2,, m Oznaczamy ją przez A T Własności: 1 (A + B) T = A T + B T 2 (A T ) T = A oraz (αa) T = αa T, α R 3 (AB) T = B T A T 4 (A k ) T = (A T ) k, k N

14 14/17 Macierz symetryczna to macierz kwadratowa, dla której zachodzi A T = A Macierz antysymetryczna to macierz kwadratowa, dla której zachodzi A T = A Własności: 1 A kwadratowa, to A + A T jest symetryczna 2 A kwadratowa, to A A T jest antysymetryczna 3 A dowolna, to AA T i A T A są symetryczne 4 A kwadratowa, to A = 1 2 (A + AT ) (A AT )

15 15/17 Wyznaczniki macierzy Niech dana będzie macierz kwadratowa A = [a ij ] stopnia n Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcję, która każdej macierzy A = [a ij ] przypisuje liczbę rzeczywistą det A, w następujący sposób: 1 jeżeli A ma stopień n = 1, to det A = a 11, 2 jeżeli A ma stopień n 2, to det A = a 11 M 11 a 12 M 12 + a 13 M 13 + ( 1) n+1 a 1n M 1n, gdzie M ij oznacza wyznacznik macierzy stopnia n 1 (minor) otrzymanej z A przez skreślenie i tego wiersza i j tej kolumny

16 16/17 Oznaczenia i własności wyznaczników Wyznacznik macierzy A oznaczamy: det A lub A a 11 a 12 a 1m a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m det lub a 21 a 22 a 2m a m1 a m2 a mm a m1 a m2 a mm Własności: det(a T ) = det A det(ab) = det A det B det(a n ) = (deta) n

17 17/17 Schematy obliczania wyznacznika stopnia drugiego stopnia trzeciego - metoda Sarrusa rozwinięcie Laplace a metoda przekształceń algebraicznych: 1 wyznacznik zmieni znak na przeciwnym, jeśli zamienimy z sobą dwa wiersze lub dwie kolumny 2 wyznacznik nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnej kolumny (wiersza) dodamy odpowiadające im elementy innej kolumny (innego wiersza) pomnożone przez dowolną liczbę 3 jeśli wszystkie elementy pewnej kolumny (wiersza) macierzy zawierają wspólny czynnik, to czynnik ten można wyłączyć przed wyznacznik tej macierzy