Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,

Transkrypt

1 Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji Gaussa. 2x + 3y + z = 5 x + y + 2z = 9 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1 3x + 4y + z = 4 3x + 6y 5z = 0 Zadanie 3 Wyznacz wszystkie rozwiązania układu równań. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 Zadanie 4 Oblicz wyznaczniki macierzy stosując metodę Sarrusa [ ] , Zadanie 5 Stosując wzory Cramera rozwiąż układ równań: x + 3y + z = 5 x + 2y + z = 3 4x + y 3z = 3, 2x + 3y 3z = 2 x + 2y + z = 2 3x + y 4z = 0 Notacja ΠΣ. Zadanie 6 Za pomocą liczb, podstawowych działań arytmetycznych i potęgowania zapisz następujące wyrażenia: Σ 10 k=1 k, Σ 6 n=2n 2, Σ k n=1n, Π 10 k=1 k, Π 10 k=1 k3, Π n k=1 k2. Zadanie 7 Oblicz: 1

2 Σ 10 k=1 k, Σ 6 n=2n 2, Π 4 k=1 k, Π 5 k=3 k2. Zadanie 8 Zapisz następujące wyrażenia używając symboli Σ, Π zamiast wielokropków: n, n 3, k, (x + 1)(x + 2)...(x + n). Struktury algebraiczne. Zadanie 9 Przypomnij czym jest działanie na zbiorze. Czy dodawanie jest działaniem na liczbach naturalnych. Czy odejmowanie jest działaniem na liczbach naturalnych(całkowitych). Czy dzielenie jest działaniem na liczbach całkowitych (rzrczywistych). Zadanie 10 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {0}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?, wyznacz te elementy w powyższych grupach. Zadanie 11 Przypomnij czym jest grupa C n podaj przykład mnożenia w grupie C 4, czy działanie w tej grupie jest przemienne? podaj element neutralny w grupie S n zaproponuj metodę wyznaczania elementu przeciwnego. Zadanie 12 Przypomnij czym jest grupa permutacji S n podaj przykład mnożenia w grupie S 4, czy działanie w tej grupie jest przemienne? podaj element neutralny w grupie S n zaproponuj metodę wyznaczania elementu przeciwnego. Zadanie 13 Które z podanych struktur są ciałami: (N, +,, 0, 1), (Z, +,, 0, 1), (Q, +,, 0, 1), (R, +,, 0, 1) czy dodawanie i mnożenie w ciele muszą być przemienne? Zadanie 14 Przypomij podany na wykładzie przykład ciała skończonego Z p. 2

3 Zadanie 15 W ciele Z 7 wyznacz elementy przeciwne i odwrotne do elementów 1, 3, 5. Zadanie 16 W ciele Z 7 : rozwiąż równanie 5x + 2 = 1 rozwiąż układ równań { 2x + 3y = 1 x + 2y = 3 rozwiąż równanie 2x 2 + 3x = 6 Lizcby zespolone. Zadanie 17 Wykonaj działania na liczbach zespolonych. 1. (3 + 4i) + (7 5i), (2 + i) (3 + 2i) 2. (1 + i) (1 i), (a + bi) (c + di) i 3+4i, 2+i, 3+8i 2 i 2i, a+bi c+di Zadanie 18 Oblicz i 2, i 3, i 4 podaj szybki sposób wyliczania wartości funkcji f(n) = i n : N C znajdź liczbę zespoloną z taką, że z 2 = i (wsk. zapisz z = a + bi). Zadanie 19 Rozwiąż równanie (2 3i)x + (1 i) = ix + 4 rozwiąż układ równań { x + iy = 1 ix + y = 1 Zadanie 20 Rozwiąż równania 1. x 2 + 2x + 3 = 0 2. x 2 + ix + 1 = 0 Zadanie 21 Dla wybranej liczby zespolonej z wyznacz i przedstaw na płaszczyźnie zespolonej: z, z, Re(z), Im(z), arg(z). Zadanie 22 Zaznacz na płaszczyźnie zbiory 1. {z : Re(z) 4} 2. {z : z 3} 3. {z : 2 z 3} 4. {z : ( z 3)( z 3 3) = 0} Zadanie 23 Zaznacz na płaszczyźnie zbiory 1. {z : π arg(z) 3 2 π} 3

4 2. {z : 0 arg(z) π 2 z 3} 3. {z : arg(z) = z } 1 4. {z : arg(z) = z } 10 Zadanie 24 Porównaj moduły i zrgumenty liczb zespolonych z, z, z, z Zadanie 25 Udowodnij że, dla dowolnych liczb zespolonych z, z prawdziwe są równości 1. z = z 2. z = z 3. zz = z z 4. Re(z) = 1 (z + z) 2 Zadanie 26 Przedstaw w postaci trygonometryczne liczby zespolone 4, 2i, i + 1, i 1, 2 2 3i, 3 3 3i. Zadanie 27 Przypomnij czym są funkcje arcsin(x), arccos(x), podaj ich dziedzinę i przeciwdziedzinę. Zadanie 28 Posługując się funkcjami arcsin(x), arccos(x) przedstaw w postaci trygonometrycznej liczby zespolone: 3 + 4i, 3 + 5i, 2 3i. Zadanie 29 Oblicz (1 + i) 40, (1 3i) 30 Zadanie 30 Wyznacz wszystkie liczby zespolone z takie, że z 6 = 1, przedstaw rozwiązanie na płaszczyźnie zespolonej. Zadanie 31 Wyznacz wszystkie liczby zespolone z takie, że z 5 = 2 2 3i Zadanie 32 Zaproponuj geometryczny sposób potęgowania i wyciągania pierwiastków z liczb zespolonych. Zadanie 33 Udowodnij, że dla dowolnych liczb zespolonych z 1, z 2 zachodzi arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ). Zadanie 34 Przypomni wzór e ix =... oblicz e iπ, 4e i π 2, e 3+iπ, e 2+3i znajdź x, y takie, że: ye ix = 1 + i, ye ix = i Zadanie 35 Przedstaw w postaci wykładniczej liczby: 4, 2i, i + 1, i 1, 2 2 3i, 3 3 3i. Zadanie 36 Kożystając z postaci wykładniczej oblicz: (1 + i) 20, (2 2 3i) 60 Zadanie Przedstaw liczby zespolone i, 1 + i w postaci e a+bi 2. oblicz: i i, (i + 1) i 1 4

5 Zadanie 38 Wyprowadź wzory 1. sin(4x) 2. cos(nx) Zadanie 39 Niech n N. Pokaż, że zbiór {z C : z n = 1}, wraz z mnożeniem liczb zespolonych stanowi grupę. Wielomiany. Zadanie Wykonaj dzielenie wielomianu x 3 + 4x 2 + 6x + 1 przez wielomian 2x Bez wykonywania dzielenia sprawdź, że welomian x 5 x 4 + x 3 x 2 + x 1 jest podzielny przez x 1 Zadanie 41 Reszta z dzielenia wielomianu f(x) przez x 1 jest równa 3, a reszta z dzielenia f(x) przez x 4 jest równa 5. wyznacz resztę z dzielenia wielomianu f(x) przez (x 1)(x 4). Zadanie 42 Wyznacz krotność pierwiastka x 0 wielomianu f(x): 1. f(x) = (x 1)(x 2)(x 1)(x 2 1), x 0 = 1 2. f(x) = 3x 5 + 2x 4 + x 3 10x 8, x 0 = 1 Zadanie 43 Wyznacz wymierne pierwiastki wielomianu 15x 4 11x x 2 11x + 2 Zadanie 44 Wyznacz całkowite pierwiastki wielomianu 2x 4 + 4x 3 8x 2 20x 10 Zadanie Jaki jest najniższy stopień wielomianu o współczynnkiach zespolonych mającego podwójny pierwiastek 1 + i, oraz dwa pojedyncze pierwiastki i i 1? Podaj przykład takiego wielomianu. 2. Jaki jest najniższy stopień wielomianu o współczynnkiach rzeczywiswtych mającego podwójny pierwiastek 1 + i, oraz dwa pojedyncze pierwiastki i i 1? Podaj przykład takiego wielomianu. Zadanie 46 Wyprowadź wzory Viete a dla wielomianów stopni 3 i 4. Zadanie 47 Udowodnij, że suma pierwastków n-tego stopnia z 1 wynosi zero. Zadanie 48 Udowodnij, że każda liczba zespolona jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu o współczynnikach rzeczywistych. Zadanie 49 Znajdź niezerowy wielomian o współczynnikach całkowitych którego pierwiastkiem jest liczba Zadanie 50 Wyznacz wielomian f(x) taki, że f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 7. Zadanie 51 Przedstaw wielomian x jako iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia nie większego niż dwa. 5

6 Zadanie 52 Przedstaw wielomian x jako iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia nie większego niż dwa. Zadanie 53 Udowodnij, że dla dowolnych liczb zespolonych z 1, z 2 zachodzi z 1 + z 2 z 1 + z 2. Zadanie 54 Przypomnij definicję funkcji wymiernej, podaj przykłady, przedstaw funkcję f(x) = x5 +3x 3 +2x 2 +1 jako sumę wielomianu i funkcji wymiernej, której licznik x 2 +x+2 ma stopień mniejszy niż stopień mianownika. Przypomnij które funkcje wymierne nazywamy ułamkami prostymi, podaj przykła- Zadanie 55 dy, przedstaw funkcję f(x) = 2 x 2 4 jako sumę ułamków prostych. Zadanie 56 Przedstaw jako sumę ułamków prostych następujące funkcje wymierne:. x + 1 x 2 3x + 2, x x 2 + 2x + 1, 1 x 3 x 2 + x 1, 2 x 4 + 2x Geometria. Zadanie 57 Wyznacz współrzędne wektora którego początek i koniec leżą w punktach A = (3, 7), B = (1, 4). Podaj przykład innego wektora o tych samych współrzędnych, oblicz jego długość. Wykonaj działanie [1, 2, 7] + 3[3, 4, 1] 2[1, 2, 1]. Wyznacz początek wektora o współrzędnych [3, 7, 1] którego koniec leży w punkcie (1, 3, 2). Oblicz [1, 2, 3] [1, 3, 2], [2, 7] [14, 4] Jaki jest związek iloczynu skalarnego z prostopadłością wektorów. Zadanie 58 Wyznacz zbiór wszystkich wektorów o początku w punkcie (1, 2) prostopadłych do wektora [3, 4]. Zadanie 59 Wyznacz rzut wektora [2, 1, 4] na wektor [1, 1, 1]. Zadanie 60 Podaj wzór łączący kąt między wektorami z iloczynem skalarnym. Podaj kąt między wektorami [2, 3, 4], [2, 1, 1]. Zadanie 61 Niech A = (2, 4), B = (7, 8). Znajdź środek odcinka AB. Znajdź punkt dzielący odcinek AB w stosunku 3 : 4. Zadanie 62 Trzy wierzchołki pewnego równoległoboku leżą w punktach o współrzędnych: (1, 1, 2), (1, 6, 1), (3, 2, 5). Oblicz współrzędne czwartego wierzchołka. 6

7 Zadanie 63 Wytłumacz czym są postać normalna, parametryczna i kierunkowa prostej. Podaj przykłady. Zadanie 64 Wyznacz postać kierunkową i parametryczną prostej {(2t + 1, 3t + 2) : t R}. Zadanie 65 Wyznacz postać normalną i parametryczną prostej o równaniu y = 3x + 7. Zadanie 66 Znajdź współrzędne wektora prostopadłego do prostej o równaniu y = 2x + 4. Podaj odległość punktu (1, 2) od płaszczyzny o równaniu x + 2y + 2 = 0. Obliczenia. Zadanie 67 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 68 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji Gaussa. 2x + 3y + z = 5 x + y + 2z = 9 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1 3x + 4y + z = 4 3x + 6y 5z = 0 Zadanie 69 Wyznacz wszystkie rozwiązania układu równań. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 Zadanie 70 Oblicz wyznaczniki macierzy stosując metodę Sarrusa [ ] , Zadanie 71 Oblicz wyznaczniki macierzy stosując metodę Laplace a. [ ] , 5 5 3, Zadanie 72 Stosując wzory Cramera rozwiąż układ równań: x + 3y + z = 5 x + 2y + z = 3 4x + y 3z = 3, 2x + 3y 3z = 2 x + 2y + z = 2 3x + y 4z = 0 Zadanie 73 Co się stanie z wyznacznikiem macierzy jeśli: zamienimy miejscami dwa wiersze (dwie kolumny), pomnożymy kolumnę przez 5, dodamy do pewnego wiersza wielokrotość innego? 7

8 Zadanie 74 Wyjaśnij czym jest orientacja uporządkowanej pary wektorów na płaszczyźnie, wyjaśnij czym jest orientacja uporządkowanej trójki wektorów w przestrzeni, ustal orientacje trójki wektorów(1, 2, 3), (3, 4, 5), (2, 1, 1), porównaj orientacje trójek ((1, 2, 3), (3, 4, 5), (2, 1, 1)), ((1, 2, 3), (2, 1, 1), (3, 4, 5)), oraz (k(1, 2, 3), (3, 4, 5), (2, 1, 1 grzie k liczba rzeczywista. Zadanie 75 Przypomnij jak liczymy iloczyn wektorowy, podaj interpretację geometryczną iloczynu wektorowego, Wyznacz weko tr prostopadły do płaszczyzny wektorów: (1, 2, 3), (3, 3, 5). Zadanie 76 Udowodnij, że niezdegenerowany trójkąt którego wierzchołki leżą w punktach o całkowitych współrzędnych ma pole nie mniejsze niż 1 2. Macierze Zadanie 77 Oblicz: , [ ] , 4 1 [ ] [ ] Zadanie 78 Napisz przykład macierzy wymiaru [a ij ] wymiaru 4 5 nad liczbami rzeczywistymi. Podaj następujące jej elementy a 1,2, a 3,3, a 4,5 Niech A R n m, B R k l. Dla jakich m, n, k, l wykonalne są działania A + B, B + A, A B, AB, BA, ra, gdzie ostatnie działanie jest mnożeniem przez skalar? Zadanie 79 Czy dodawanie macierzy jest łączne i przemienne, czy mnożenie macierzy jest łączne i przemienne? Podaj odpowiednie przykłady. Zadanie 80 Udowodnij łączność mnożenia macierzy rozmiary 2 2. Zadanie 81 n. Podaj element neutralny na mnożenie w zbiorze macierzy kwadratowych rozmiaru Zdefiniuj czym jest macierz odwrotna. Wyznacz macierz odwrotną do macierzy [ ] Zadanie 82 Dla jakich rozmiarów macierzy A, B, C możliwe są obliczenia ABA+CAC, AB +BC + CA Zadanie 83 Przypomnij kiedy macierz nazywamy diagonalną, górnotrójkątną, trójkątną Wykonaj obliczenia i sformułuj odpowiednią hipotezę , ,

9 2 0 0 Zadanie 84 Oblicz , Zadanie 85 Niech A = Przestrzenie liniowe. [ ] [ ] [ ] Oblicz A Zadanie 86 Podaj definicję przestrzeni liniowej. Podaj kilka przykładów przestrzeni liniowych. Niech v, w elementy przestrzeni nad ciałem K, oraz k, l K. Które działania w wyrażeniu (k + kl)(kv + lw) są działaniami ciała. Niech v, w elementy przestrzeni nad ciałem K, oraz k, l K. Pozbądź się nawiasów w wyrażeniu (k + l)(v + w). Czy każdy wektor przestrzeni liniowej ma wektor przeciwny? Oblicz 0v,1v, ( 1)v. Czy grupa S 10 może być przestrzenią liniową nad pewnym ciałem? Zadanie 87 Udowodnij, że zbiór macierzy nad ciałem K ustalonego wymiaru ze standardowym dodawaniem, jest przestrzenią liniową nad K. Zadanie 88 Udowodnij, że zbiór wielomianów o wspłóczynnikach z ciałem K z działaniem dodawania wielomianów jest przestrzenią liniową nad K. Zadanie 89 Podaj definicje podprzestrzen liniowej. Opisz geometrycznie podprzestrzenie przestrzeni liniowej R 3. Pokaż, że zbiór {(x, y, 0) : x, y R} jest podprzestrzenią przestrzeni R 3. Pokaż, że zbiór {(x, y, z) : x + y + 2z = 0} jest podprzestrzenią przestrzeni R 3. Czy zbiór {(x, y, z) : x + y + 2z = 1} jest podprzestrzenią przestrzeni R 3. Czy zbiór {(x, y, z) : x, y, z > 0} jest podprzestrzenią przestrzeni R 3. Zadanie 90 Pokaż, że wielomiany o współczynnikach z R stopnia nie więkrzego niż n są podprzestrzenią liniową przestrzeni wielomianów R[X] Zadanie 91 Pokaż, że zbiór {(x, y, z, t) R 4 : x + 2y = 0, z t = 0} jest podprzestrzenią przestrzeni R 4 Zadanie 92 Podaj otoczkę liniową zbioru {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} w przestrzeni R 3. Opisz zbiór wektorów przestrzeni R 4. generowany przez wektory (1, 2, 3, 4), (2, 3, 4, 5). Zadanie 93 Wektory [3, 2, 5], [0, 1, 1] przestrzeni liniowej R 3 wektorów: przedstaw jako kombinacje liniowe 9

10 1. [1, 2, 3], [1, 0, 1], [0, 2 1] 2. [1, 2, 3], [1, 0, 1], [ 1, 2, 1] Zadanie 94 Podaj definicje podzbioru liniowo niezależnego. Czy wektory [1, 0, 0], [0, 0, 1] są liniowo niezależne? Uzasadnij, że wektory[1, 0], [01], [3, 4] są liniowo zależne. Kiedy podzbiór liniowo niezależny jest bazą? Zadanie 95 Zbadaj liniową niezależność następujących zbiorów; 1. [1, 2, 3], [1, 0, 1], [0, 2, 1] w R x 3 + x 2 + x + 1, x 3 + x 2 + x 1, x 3 + x 2 x 1, x 3 x 2 x 1 w R[X]. Zadanie 96 Znajdź liniowo niezależny podzbiór zbioru : {[1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 2], [2, 2, 2, 5], [1, 2, 1, 2]}. Zadanie 97 Pokaż, że wektory [1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1] stanowi bazę przestrzeni R 3. Zadanie 98 Znajdź bazę i wymiar następującej podprzestrzeni liniowej, {[x, y, z] : 4x y + 2z = 0}. Zadanie 99 Znajdź bazę i wymiar następującej podprzestrzeni liniowej, {f R[X] : f = 0}. Zadanie 100 Znajdź bazę i wymiar następującej podprzestrzeni liniowej rozpiętej na wektorach {[1, 0, 1, 0], [2, 1, 2, 1] Funkcje liniowe liniowe Zadanie 101 Podaj definicję funkcji liniowej. Podaj kilka przykładów funkcji liniowych. które z podanych funkcji są liniowe: f(x) = 2x, g(x) = 3x + 1, h(x) = x 2 opisz wykresy funkcji Lin(R, R) opisz wykresy funkcji Lin(R 2, R) Zadanie 102 Sprawdź, że podane funkcje są liniowe: 1. f(x, y, z, t) = x Lin(R 4, R) 2. f(x, y, z, t) = (x, y, z) Lin(R 4, R 3 ) 3. f(x, y, z, t) = (x + y + z + t) Lin(R 4, R) 4. f(x, y, z, t) = (2x + 3y + z, 4y + z t) Lin(R 4, R 2 ) Zadanie 103 Wyznacz macierze funkcji liniowych z poprzedniego zadania Zadanie 104 Wyraź wzorem funkcję liniową daną macierzą :

11 Zadanie 105 Dla pewnej funkcji liniowej g Lin(R 2, R) zachodzi g(0, 1) = 3, g(1, 0) = 5 podaj wzór funkcji g Dla pewnej funkcji liniowej f Lin(R 3, R 2 ) zachodzi f(1, 2, 0) = (1, 2), f(2, 3, 0) = (0, 1), f(1, 2, 3) = (2, 1). Podaj macierz funkcji f Zadanie 106 podaj definicję jądra i obrazu funkcji liniowej, wyznacz jądro i obraz funkcji liniowych z zadania 2, podaj zależność między wymiarem jądra i obrazu funkcji liniowej, sprawdź jej poprawność na przykładach z zadania 2. Zadanie 107 Wyznacz jądro i obraz funkcji f Lin(Z n 2, Z 2 ) danej wzorem f(x 1, x 2,..., x n ) = x 1 + x x n. Wyznach ich wymiary i moce. Zadanie 108 Oblicz Lin(Z k 7, Z l 7). Zadanie 109 Wyznacz liczbę izomorfizmów liniowych w zbiorze Lin(Z k 7, Z k 7). Wyznaczniki Zadanie 110 Oblicz wyznaczniki macierzy stosując metodę Sarrusa [ ] [ ] ,, 5 5 3, Zadanie 111 Przypomnij na przykładzie metodę Laplace a obliczania wyznacznika. Dla jakiego wymiaru macierzy można ją stosować? Zadanie 112 Oblicz wyznaczniki macierzy stosując metodę Laplace a , Zadanie 113 Oblicz wyznaczniki macierzy , , Zadanie 114 Oblicz wyznaczniki macierzy , Zadanie 115 Niech A = Oblicz det(a A T )

12 Zadanie 116 Oblicz wyznaczniki macierzy Zadanie 117 Niech A = , [ ] [ ] [ ] Oblicz det(a ) Zadanie 118 Oblicz wyznaczniki , Zadanie 119 Stosując operacje elementarne oblicz wyznaczniki macierzy: , 2 1 2, Zadanie 120 Uzadadnij, że jeśli macierz kwadratowa ma dwie jednakowe kolumny (wiersze), to jej wyznacznik jest równy zero. Odwracanie macierzy, układy równań Zadanie 121 Wyjaśnij czym są operacje elementarne na wierszach macierzy. Podaj przykłady. Zadanie 122 Za pomocą operacji elementarnych na wierszach przekształć macierze do postaci górnotrójkątnej , Zadanie 123 Oblicz macierz odwrotną do macierzy: [ ] [ ] , Zadanie 124 rozwiąż układ równań za pomocą macierzy odwrotnej. { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 125 Wyjaśnij związek między wyznacznikiem macierzy a istnieniem macierzy odwrotnej. Jak nazywamy macierz kwadratową o niezerowym wyznaczniku? Zadanie 126 Wyznacz macierze odwrotne rozwiązując odpowiedni układ równań. [ ] [ ] ,,

13 Zadanie 127 Wyznacz macierze odwrotne stosując metodę operacji elementarnych. [ ] [ ] ,, 5 5 3, Zadanie 128 Wyznacz macierze odwrotne stosując metodę dopełnień algebraicznych , Zadanie 129 Uzasadnij, że dla nieosobliwych macierzy kwadratowych A, B zachodzi (AB) 1 = B 1 A 1 Zadanie 130 Wyznacz macierz odwrotną , Zadanie 131 Uzadadnij, że jeśli macierz kwadratowa mająca dwie jednakowe kolumny (wiersze) jest nieodwracalna. Układy równań. Zadanie 132 Przypomnij metodę Cramera rozwiązywania układów równań. Podaj warunki na liczbę rozwiązań układu. Zadanie 133 Zbadaj rozwiązania układu równań w zależności od parametru a. ax + 3y + z = 5 x + y + 2z = 9 4x + 5y 3z = 9, 2x + ay 3z = 1 3x + 4y + z = 4 3x + 6y 5z = 0 Zadanie 134 Zapisz za pomocą macierzy rozszerzonej układy równań. 2x + 3y + 4z = 3 4x + 3y + 2z = 9 4x + 2y 7z = 9, x + 4y 3z = 12 3x + 6y + 5z = 11 5x + y 5z = 7 Zadanie 135 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 136 rozwiąż układ równań metodą eliminacji Gaussa. 2x + 3y + z = 5 x + y + 2z = 9 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1 3x + 4y + z = 4 3x + 6y 5z = 0 13

14 Zadanie 137 Wyznacz zbiór rozwiązań układu równań { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 Zadanie 138 rozwiąż układ równań. x + 3y + z = 5 4x + y 3z = 3 x + 2y + z = 2, x + 2y + z = 3 2x + 3y 3z = 2 3x + y 4z = 0 Zadanie 139 Zapisz macierzowo układ równań. { 7x + 2y = 15 2x 3y = 11 Zadanie 140 Jakiemu układowi równań odpowiada równanie macierzowe: [ ] [ ] [ ] 1 2 x 7 = 4 5 y 8 Krzysztof Majcher 14