Analiza funkcjonalna 1.
|
|
- Ewa Adamska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0
2 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. ( wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa [3] Filipczak F. M., Teoria miary i całki (skrypt). [4] Kołodziej W., Analiza matematyczna. PWN, Warszawa [5] Kołodziej W., Wybrane rozdziały analizy matematycznej. PWN, Warszawa [6] Musielak J., Wstęp do analizy funkcjonalnej. PWN, Warszawa [7] Prus S., Stachura A., Analiza funkcjonalna w zadaniach.. PWN, Warszawa [8] Rusinek J., Zadania z analizy funkcjonalnej z rozwiązaniami. Wyd. Uniwersytetu Kardynała Stefana Wyszyńskiego,
3 1 Przypomnienie wiadomości o przestrzeniach liniowych W dalszej części zakładać będziemy, że X jest dowolnym niepustym zbiorem (nazwiemy go przestrzenią), a K niech będzie niepustym zbiorem liczb rzeczywistych lub zespolonych. 1.1 Przestrzenie liniowe Definicja 1.1. Załóżmy, że są określone dwa działania: dodawanie +:X X X i mnożenie przez liczbę : K X X, spełniające następujące warunki (przy dowolnych x, y, z X, α, β K): 1. x + y = y + x (przemienność dodawania), 2. x +(y + z) =(x + y)+z (łączność dodawania), 3. istnieje takie element zerowy θ X, żedlakażdegox X, x + θ = x, 4. jeżeli θ spełnia poprzedni warunek, to dlakażdego x X istnieje element przeciwny x X taki, że x +( x) =θ, 5. α(x + y) =αx + αy (rozdzielność mnożenia względem dodawania elementów), 6. (α + β)x = αx + βx (rozdzielność mnożeniz względem dodawania liczb), 7. α(βx)=(αβ)x (łączność mnożenia), 8. 1 x = x. Wtedy zbiór X z działaniami + i nazywamy przestrzenia liniową (wektorową) rzeczywistą lub zespoloną (w zależności od tego, czy K jest zbiorem liczb rzeczywistych, czy zespolonych) i oznaczamy symbolem X, +,. Przykład 1. Przykłady przestrzeni liniowych (wektorowych): X = K n - zbiór wektorów (punktów) n-wymiarowych, tzn. elementów x =(t 1,t 2,t 3,...,t n ), gdzie t 1,t 2,...,t n K, z działaniami: x + y := (t 1 + s 1,t 2 + s 2,...,t n + s n ), αx := (αt 1,αt 2,...,αt n ) dla x =(t 1,t 2,t 3,...,t n ), y =(s 1,s 2,...,s n ) K n, α K. Elementem zerowym jest θ := (0, 0,...,0), a elementem przeciwnym do x jest x := ( t 1, t 2,..., t n ). X = K -zbiórciągówx =(t k ), gdziet k K, z działaniami: x + y := (t k + s k ), αx := (αt k) dla x =(t k ), y =(s k), α K. Elementem zerowym jest θ := (0) k+1, a elementem przeciwnym do x jest x := ( t k ). 4
4 X = K Ω - zbiór funkcji określonych w dowolnym zbiorze niepustym Ω o wartościach z K, tzn:f :Ω K, przy czym, jeśli f,g K Ω, α K, to określamy działania: (f + g)(t) :=f(t)+g(t), (αf)(t) :=αf(t) dla t Ω. Elementem zerowym jest funkcja tożsamościowo równa zero, a elementem przeciwnym do f jest f. X = M(m n, K) -zbiórmacierzyom wierszach i n kolumnach o wyrazach rzeczywistych lub zespolonych, z naturalnymi działaniami na macierzach, tzn. dla α K oraz dla x =[α ij ] i=1..m,j=1..n i y =[β ij ] i=1..m,j=1..n,gdzie α α 1n β β 1n [α ij ] i=1..m,j=1..n := i [β ij] i=1..m,j=1..n := α m1... α mn β m1... β mn określamy α 11 + β α 1n + β 1n x + y := [α ij ] i=1..m,j=1..n +[β ij ] i=1..m,j=1..n = α m1 + β m1... α mn + β mn αα αα 1n oraz αx := α[α ij ] i=1..m,j=1..m = αα m1... αα mn Elementem zerowym θ jest macierz, której elementami sa same zera, a elementem przeciwnym do x jest x := [ α ij ] i=1..m,j=1..n. Definicja 1.2. Jeśli X, +, jest przestrzenią liniową (wektorową), to niepusty podzbiór X 0 X nazywamy jej podprzestrzenią liniową, gdy X 0, +, jest przestrzenią liniową. Z definicji tej wynika natychmiast twierdzenie: Twierdzenie 1.1. Niech X, +, będzie przestrzenią linową (wektorową). Niepusty podzbiór X 0 X jest jej podprzestrzenią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy dla x, y X 0 i α K mamy x + y X 0 i αx X 0. Uwaga 1. Warunek: dla x, y X 0 i α K mamy x + y X 0 i αx X 0 można zastąpić następującym: dla x, y X 0 i α, β K mamy αx + βy X 0. Przykład 2. Przykłady podprzestrzeni liniowych (wektorowych) ciągowych: 5
5 X = K, X 0 = c 00 - przestrzeń ciągów skończonych, tzn. x c 00,jeślix =(t k ), gdziet k K, przy czym tylko skończona ilość t k jest niezerowa. X = K, X 0 = m - przestrzeń ciągów ograniczonych, tzn. x m, jeślix =(t k ),gdziet k K, przy czym sup.. t k <. X = K, X 0 = c - przestrzeń ciągów zbieżnych, tzn. x c, jeślix =(t k ),gdziet k K, przy czym lim k t k = t 0 dla pewnego t 0 K. X = K, X 0 = c 0 - przestrzeń ciągów zbieżnych do zera, tzn. x c 0,jeślix =(t k ),gdziet k K, przy czym lim k t k =0. X = K, X 0 = l - przestrzeń ciągów sumowalnych, tzn. x l, jeślix =(t k ),gdziet k K, przy czym t k <. Łatwo zauważyć następującą zależność: c 00 l c 0 c m K. Przykład 3. Przykłady podprzestrzeni liniowych (wektorowych) funkcyjnych: X = K Ω, gdzie Ω = [a, b] R, X 0 = B([a, b], K) - przestrzeń funkcji ograniczonych, tzn. x B([a, b], K), jeśli sup t [a,b] x(t) <. X = K Ω, gdzie Ω = [a, b] R, X 0 = C([a, b], K) - przestrzeń funkcji ciągłych na [a, b]. Łatwo zauważyć następującą zależność: C([a, b], K) B([a, b], K) K [a,b]. Definicja 1.3. Elementy x 1,x 2,...,x n przestrzeni wektorowej X, +, nazywamy liniowo zależnymi, jeśli istnieją takie liczby α 1,α 2,...,α n K nie wszystkie równe zero, że zachodzi równość α 1 x 1 + α 2 x 2 + α n x n = θ. (1) Jeśli przeciwnie, z (1) wynika, że α 1 = α 2 =... = α n =0,toelementyx 1,x 2,...x n nazywamy liniowo niezależnymi. Definicja 1.4. Największą liczbę całkowitą nieujemną n o tej własności, że istnieje n elementów liniowo niezależnych w X, +, nazywamy wymiarem przestrzeni X, +, i oznaczamy symbolem dimx. Jeśli taka liczba n istnieje, to przestrzeń nazywamy skończenie wymiarową, a jeśli nie istnieje, to przestrzeń 6
6 nazywamy nieskończenie wymiarową i piszemy dimx =. Jeśli dimx = n, to każdy zbiór n liniowo niezależnych elementów przestrzeni X nazywamy bazą przestrzeni liniowej X, +,. Twierdzenie 1.2. Jeśli niepusty zbiór B X jest bazą przestrzeni X, +,, to każdy wektor przestrzeni daje się w sposób jednoznaczny przedstawić w postaci kombinacji liniowej elementów zbioru B. Definicja 1.5. Jeśli bazę w przestrzeni skończenie wymiarowej tworzą elementy e 1,e 2,...,e n, to na podstawie poprzedniego twierdzenia każdy wektor x X można zapisać jako: x = t 1 e 1 + t 2 e t n e n. Układ (e 1,e 2,...,e n ) nazywamy bazą algebraiczną tej przestrzeni, a liczby t 1,t 2,...,t n nazywamy współrzędnymi elementu x względem tej bazy. Przykład 4. Dla każdego k =1,...,n niech e k K n oznacza wektor jednostkowy, tzn. e 1 =(1, 0, 0,...,0, 0), e 2 =(0, 1, 0,...,0, 0),...,e n =(0, 0, 0,...0, 1). Wektory te są oczywiście liniowo niezależne i tworzą bazę algebraiczną przestrzeni K n. Bazę tę nazywamy bazą kanoniczną. Wtedy każdy wektor x =(t 1,t 2,...,t n ) K n można zapisać jako n x = t 1 e 1 + t 2 e t n e n = t k e k w sposób jednoznaczny, przy czym liczby t 1,t 2,...,t n są współrzędnymi elementu x względem bazy kanonicznej. Przykład 5. Rozważmy przestrzeń liniową X, +, z X = K, którą tworzą ciągi nieskończone x =(t k ) liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Taka przestrzeń liniowa jest nieskończenie wymiarowa, bo elementy e 1 =(1, 0, 0,...), e 2 =(0, 1, 0,...),...,e 3 =(0, 0, 1,...).,... są liniowo niezależne, tzn. układ e 1,e 2,...,e m jest liniowo niezależny dla każdego naturalnego m. Wtedy każdy wektor (ciąg) x =(t k ) K można zapisać jako x = t 1 e 1 + t 2 e 2 + = t k e k w sposób jednoznaczny. 7
7 Definicja 1.6. Niech X 1,X 2 będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni liniowej X, +,. Jeżeli każdy element x X daje się jednoznacznie pzredstawić w postaci x = x 1 + x 2, gdzie x 1 X 1,x 2 X 2, (2) to mówimy, że X jest sumą prostą podprzestrzeni X 1 i X 2 i zapisujemy X = X 1 X 2. Twierdzenie 1.3. Jeżeli X = X 1 X 2, to podprzestrzenie X 1 i X 2 mają wspólny jedynie element zerowy. Na odwrót, jeśli każdy element x ma rozkład (2) i podprzestrzenie X 1 i X 2 nie mają elementów wspólnych, prócz zerowego, to X = X 1 X 2. Dowód. Dla dowodu pierwszej części przypuśćmy, że istnieje element x 0 θ należący do obu podprzestrzeni X 1 i X 2. Wtedy x o przedstawieniu (2) dałby się również zapisać w postaci x =(x 1 x 0 )+(x 0 + x 2 ) i x 1 x 0 X 1, x 0 + x 2 X 2, x 1 x 0 x 1, x 0 + x 2 x 2, co jest wbrew założonej jednoznaczności takiego przedstawienia. Dla dowodu drugiej części wystarczy sprawdzić jednoznaczność przedstawienia (2). Niech więc x = x 1 + x 2 = x 1 + x 2, gdzie x 1,x 1 X 1, x 2,x 2 X 2. Wtedy x 1 x 1 = x 2 x 2,alex 1 x 1 X 1 i x 2 x 2 X 2, więc x 1 x 1 = x 2 x 2 = θ (bo jedynym wspólnym elementem jest zero). Stąd x 1 = x 1 i x 2 = x 2. W dalszej części wykładu dla uproszczenia zapisu będziemy często pisać, że X jest przestrzenią liniową, zamiast X, +,. 1.2 Operatory liniowe Definicja 1.7. Niech X, Y będą przestrzeniami wektorowymi (liniowymi) nad ciałem K liczb rzeczywistych lub zespolonych. Odwzorowanie T : X Y nazywamy operatorem liniowym (odwzorowaniem liniowym), jeśli T (x 1 + x 2 )=T(x 1 )+T(x 2 ), T (αx) =αt (x) dla dowolnych x 1,x 2 X i α K. Jeżeli Y = K, to operator liniowy T : X K nazywamy funkcjonałem liniowym lub formą liniową. 8
8 Przy operatorach liniowych będziemy często pisali T x zamiast T (x). Uwaga 2. Warunki addytywności i jednorodności w definicji operatora liniowego można zastąpić jednym: dla dowolnych x 1,x 2 X i α, β K. T (αx 1 + βx 2 )=αt (x 1 )+βt(x 2 ) Podstawowe operatory analizy matematycznej, jak operator obliczania granicy ciągu, sumowania szeregu, różniczkowania i całkowania funkcji, to przykłady operatorów liniowych lub funkcjonałów liniowych. Przykład 6. Przykłady operatorów liniowych. Niech X = c będzie przestrzenią ciągów zbieżnych o wyrazach z ciała K, Y = K. Niech dalej T : c K będzie określone następująco: T (x) = lim k t k dla x =(t k ) c. Operator T jest funkcjonałem liniowym, co wynika z własności granicy ciągu. Niech X = l będzie przestrzenią ciągów sumowalnych o wyrazach z ciała K, Y = K. Niech dalej T : l K będzie określone następująco: T (x) = t k dla x =(t k ) l. Operator T jest funkcjonałem liniowym, co wynika z własności sum nieskończonych. Istotnie: T (x 1 + x 2 )= (t k + t k) = t k + t k = Tx 1 + tx 2 oraz T (αx) = αt k = α t k = αt x, dla x =(t k ), x 1 =(t k), x 2 =(t k), α K. Niech X będzie przestrzenią funkcji x :[a, b] R K różniczkowalnych w [a, b], a Y = K [a,b].wtedy Tx = x,gdziex jest pochodną funkcji x jest operatorem liniowym z X w Y (na podstawie własności różniczkowania). Niech X będzie przestrzenią funkcji x :[a, b] R R całkowalnych na [a, b], a Y = R. WtedyTx = [a,b] x(t) dt jest operatorem liniowym z X w Y na podstawie własności całki. 9
9 Twierdzenie 1.4. Każdy operator liniowy T : K n K m,gdziek jest ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, jest postaci Tx = y, gdzie y 1 = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n, y 2 = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n, , y m = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n, (3) przy czym x =(x 1,x 2,...,x n ), y =(y 1,y 2,...,y m ), a ik K. Na odwrót, każdy operator T : K n K m postaci (3) jest liniowy. Dowód. Niech e 1 =(1, 0,...,0), e 2 =(0, 1, 0,...,0),..., e n = (0, 0,...,1) będzie bazą w K n oraz niech e 1 = (1, 0,...,0), e 2 =(0, 1, 0,...,0),..., e m =(0, 0,...,1) będzie bazą w Km. Ponieważ Te k K m dla k = 1, 2,...,n, więc istnieją takie a ik K, żete k = m i=1 a ik e i (bo daje się przedstawić jako kombinacja liniowa elementów bazy K m. Weźmy x =(x 1,x 2,...,x n ) i przypuśćmy, że Tx = y =(y 1,y 2,...,y m ). Wtedy ( m n ) y i e i = y = Tx = T n n m m ( x k e k = x k Te k = x k a ik e i = n ) a ik x k e i. i=1 i=1 i=1 Stąd y i = n a ik x k dla i =1, 2,...,m, czyli zachodzi (3). Na odwrót, gdy Tx = y, gdziex i y są związane równościami (3), to jest widoczne, że T jest operatorem liniowym. Wniosek 1.1. Każdy funkcjonał liniowy T nad przestrzenią K n,gdziek jest ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, jest postaci Tx = a 1 x 1 + a 2 x a n x n, gdzie x =(x 1,x 2,...,x n ), a k K dla k =1, 2,...,n. Na odwrót, każdy funkcjonał wymienionej postaci jest liniowy. Twierdzenie 1.5. Jeżeli T : X Y,gdzieX, Y są przestrzeniami liniowymi, to Tθ X = θ Y przestrzeni Y jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Y. oraz obraz TX przestrzeni X w Dowód. Mamy Tθ X = T (θ x + θ X )=Tθ X + Tθ X =2Tθ X, więc Tθ X = θ Y. Niech teraz y, y 1,y 2 TX,aα K. Wtedy istnieją takie x, x 1,x 2 X, żey = Tx, y 1 = Tx 1, y 2 = Tx 2. Zatem y 1 + y 2 = Tx 1 + Tx 2 = T (x 1 + x 2 ) TX i αy = αt x = T (αx) TX,codowodzi,żeTX jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Y. 10
10 Twierdzenie 1.6. Jeżeli T : X Y,gdzieX, Y są przestrzeniami liniowymi, to T jest różnowartościowy wtedy i tylko wtedy, gdy Tx = θ implikuje x = θ (są to oczywiście elementy zerowe odpowiednich przestrzeni). Dowód. Przypomnijmy, że z definicji różnowartościowości mamy dla dowolnych x 1,x 2 X Tx 1 = Tx 2 implikuje x 1 = x 2, czyli Tx 1 Tx 2 = θ implikuje x 1 x 2 = θ, T (x 1 x 2 )=θ implikuje x 1 x 2 = θ. Jest to równoważne warunkowi twierdzenia. Przypomnijmy teraz, że jądrem odwzorowania liniowego T : X Y nazywamy przeciwobraz zera i oznaczamy symbolem kert, czyli kert = {x X : Tx = θ}. W świetle ostatniego twierdzenia można teraz powiedzieć, że operator T jest różnowartościowy, gdy jego jądro zawiera tylko wektor zerowy. Jeśli więc operator T ma jądro z elementem zerowym tylko i jest ponadto odwzorwaniem surjektywnym, to jest odwracalny. Można wykazać, że jeśli T jest liniowy, to operator odwrotny do niego T 1 też jest liniowy. W zbiorze wszystkich operatorów liniowych T : X Y można wprowadzić działania algebraiczne. Sumę T + S dwóch oepratorów T i S określamy równością (T + S)x := Tx+ Sx, a iloczyn αt operatora T przez liczbę α - równością: (αt )x := αt x. W wyniku tych działań otrzymujemy również operatory liniowe. Ponadto nietrudno sprawdzić, że spełnione są wszystkie aksjomaty przestrzeni liniowej, czyli rozważany zbiór jest przestrzenią wektorową, w której elementem zerowym jest operator tożsamościowo równy zero. Przestrzeń liniową operatorów liniowych T : X Y oznaczamy symbolem L(X, Y ). 11
Przestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe
2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe Rozważamy teraz przestrzenie unormowane X skończenie wymiarowe. Załóżmy, że dimx = m. Niech dalej e,e 2,...,e m będzie bazą algebraiczną tej przestrzeni
1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Przestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Informacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Przestrzenie liniowe
Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie
Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Algebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Baza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Układy równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Reprezentacje sygnału Jak reprezentujemy sygnał: wybieramy sygnały wzorcowe (bazę) rozwijamy sygnał w wybranej
Rozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
3 Przestrzenie liniowe
MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Układy równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Podstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Algebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Kombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8 1. Sprawdzić, czy następujące podzbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R n (dla odpowiednich n) (a) {[u, v, 2u, 4v] ; u, v R} R 4, (b) {[u, v,
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując
4 Przekształcenia liniowe
MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami
Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Analiza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Układy liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
1 Przestrzenie Hilberta
M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,
15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe
opracował Maciej Grzesiak Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe W algebrze rozpatruje się zbiory abstrakcyjne Natura elementów zbioru się nie liczy Na elementach rozpatruje się działania spełniające
Podstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
Zadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Przestrzeń liniowa. Algebra. Aleksander Denisiuk
Algebra Przestrzeń liniowa Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p.
Zbiory wypukłe i stożki
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy
Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.
DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:
Zastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej
1 Rząd macierzy Rozpatrzmy równanie jednorodne Ax = 0, gdzie A M(n, k). Wiemy, że posiada ono rozwiązanie. Jednakże wymiar macierzy A, a tym samym liczba równań w odpowiadającym jej układzie równań liniowych
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady
Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)
1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Pierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Wykład 1. Przestrzeń Hilberta
Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające
Przestrzenie liniowe
ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku
Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej