Analiza funkcjonalna 1.
|
|
- Ewa Adamska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0
2 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. ( wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa [3] Filipczak F. M., Teoria miary i całki (skrypt). [4] Kołodziej W., Analiza matematyczna. PWN, Warszawa [5] Kołodziej W., Wybrane rozdziały analizy matematycznej. PWN, Warszawa [6] Musielak J., Wstęp do analizy funkcjonalnej. PWN, Warszawa [7] Prus S., Stachura A., Analiza funkcjonalna w zadaniach.. PWN, Warszawa [8] Rusinek J., Zadania z analizy funkcjonalnej z rozwiązaniami. Wyd. Uniwersytetu Kardynała Stefana Wyszyńskiego,
3 1 Przypomnienie wiadomości o przestrzeniach liniowych W dalszej części zakładać będziemy, że X jest dowolnym niepustym zbiorem (nazwiemy go przestrzenią), a K niech będzie niepustym zbiorem liczb rzeczywistych lub zespolonych. 1.1 Przestrzenie liniowe Definicja 1.1. Załóżmy, że są określone dwa działania: dodawanie +:X X X i mnożenie przez liczbę : K X X, spełniające następujące warunki (przy dowolnych x, y, z X, α, β K): 1. x + y = y + x (przemienność dodawania), 2. x +(y + z) =(x + y)+z (łączność dodawania), 3. istnieje takie element zerowy θ X, żedlakażdegox X, x + θ = x, 4. jeżeli θ spełnia poprzedni warunek, to dlakażdego x X istnieje element przeciwny x X taki, że x +( x) =θ, 5. α(x + y) =αx + αy (rozdzielność mnożenia względem dodawania elementów), 6. (α + β)x = αx + βx (rozdzielność mnożeniz względem dodawania liczb), 7. α(βx)=(αβ)x (łączność mnożenia), 8. 1 x = x. Wtedy zbiór X z działaniami + i nazywamy przestrzenia liniową (wektorową) rzeczywistą lub zespoloną (w zależności od tego, czy K jest zbiorem liczb rzeczywistych, czy zespolonych) i oznaczamy symbolem X, +,. Przykład 1. Przykłady przestrzeni liniowych (wektorowych): X = K n - zbiór wektorów (punktów) n-wymiarowych, tzn. elementów x =(t 1,t 2,t 3,...,t n ), gdzie t 1,t 2,...,t n K, z działaniami: x + y := (t 1 + s 1,t 2 + s 2,...,t n + s n ), αx := (αt 1,αt 2,...,αt n ) dla x =(t 1,t 2,t 3,...,t n ), y =(s 1,s 2,...,s n ) K n, α K. Elementem zerowym jest θ := (0, 0,...,0), a elementem przeciwnym do x jest x := ( t 1, t 2,..., t n ). X = K -zbiórciągówx =(t k ), gdziet k K, z działaniami: x + y := (t k + s k ), αx := (αt k) dla x =(t k ), y =(s k), α K. Elementem zerowym jest θ := (0) k+1, a elementem przeciwnym do x jest x := ( t k ). 4
4 X = K Ω - zbiór funkcji określonych w dowolnym zbiorze niepustym Ω o wartościach z K, tzn:f :Ω K, przy czym, jeśli f,g K Ω, α K, to określamy działania: (f + g)(t) :=f(t)+g(t), (αf)(t) :=αf(t) dla t Ω. Elementem zerowym jest funkcja tożsamościowo równa zero, a elementem przeciwnym do f jest f. X = M(m n, K) -zbiórmacierzyom wierszach i n kolumnach o wyrazach rzeczywistych lub zespolonych, z naturalnymi działaniami na macierzach, tzn. dla α K oraz dla x =[α ij ] i=1..m,j=1..n i y =[β ij ] i=1..m,j=1..n,gdzie α α 1n β β 1n [α ij ] i=1..m,j=1..n := i [β ij] i=1..m,j=1..n := α m1... α mn β m1... β mn określamy α 11 + β α 1n + β 1n x + y := [α ij ] i=1..m,j=1..n +[β ij ] i=1..m,j=1..n = α m1 + β m1... α mn + β mn αα αα 1n oraz αx := α[α ij ] i=1..m,j=1..m = αα m1... αα mn Elementem zerowym θ jest macierz, której elementami sa same zera, a elementem przeciwnym do x jest x := [ α ij ] i=1..m,j=1..n. Definicja 1.2. Jeśli X, +, jest przestrzenią liniową (wektorową), to niepusty podzbiór X 0 X nazywamy jej podprzestrzenią liniową, gdy X 0, +, jest przestrzenią liniową. Z definicji tej wynika natychmiast twierdzenie: Twierdzenie 1.1. Niech X, +, będzie przestrzenią linową (wektorową). Niepusty podzbiór X 0 X jest jej podprzestrzenią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy dla x, y X 0 i α K mamy x + y X 0 i αx X 0. Uwaga 1. Warunek: dla x, y X 0 i α K mamy x + y X 0 i αx X 0 można zastąpić następującym: dla x, y X 0 i α, β K mamy αx + βy X 0. Przykład 2. Przykłady podprzestrzeni liniowych (wektorowych) ciągowych: 5
5 X = K, X 0 = c 00 - przestrzeń ciągów skończonych, tzn. x c 00,jeślix =(t k ), gdziet k K, przy czym tylko skończona ilość t k jest niezerowa. X = K, X 0 = m - przestrzeń ciągów ograniczonych, tzn. x m, jeślix =(t k ),gdziet k K, przy czym sup.. t k <. X = K, X 0 = c - przestrzeń ciągów zbieżnych, tzn. x c, jeślix =(t k ),gdziet k K, przy czym lim k t k = t 0 dla pewnego t 0 K. X = K, X 0 = c 0 - przestrzeń ciągów zbieżnych do zera, tzn. x c 0,jeślix =(t k ),gdziet k K, przy czym lim k t k =0. X = K, X 0 = l - przestrzeń ciągów sumowalnych, tzn. x l, jeślix =(t k ),gdziet k K, przy czym t k <. Łatwo zauważyć następującą zależność: c 00 l c 0 c m K. Przykład 3. Przykłady podprzestrzeni liniowych (wektorowych) funkcyjnych: X = K Ω, gdzie Ω = [a, b] R, X 0 = B([a, b], K) - przestrzeń funkcji ograniczonych, tzn. x B([a, b], K), jeśli sup t [a,b] x(t) <. X = K Ω, gdzie Ω = [a, b] R, X 0 = C([a, b], K) - przestrzeń funkcji ciągłych na [a, b]. Łatwo zauważyć następującą zależność: C([a, b], K) B([a, b], K) K [a,b]. Definicja 1.3. Elementy x 1,x 2,...,x n przestrzeni wektorowej X, +, nazywamy liniowo zależnymi, jeśli istnieją takie liczby α 1,α 2,...,α n K nie wszystkie równe zero, że zachodzi równość α 1 x 1 + α 2 x 2 + α n x n = θ. (1) Jeśli przeciwnie, z (1) wynika, że α 1 = α 2 =... = α n =0,toelementyx 1,x 2,...x n nazywamy liniowo niezależnymi. Definicja 1.4. Największą liczbę całkowitą nieujemną n o tej własności, że istnieje n elementów liniowo niezależnych w X, +, nazywamy wymiarem przestrzeni X, +, i oznaczamy symbolem dimx. Jeśli taka liczba n istnieje, to przestrzeń nazywamy skończenie wymiarową, a jeśli nie istnieje, to przestrzeń 6
6 nazywamy nieskończenie wymiarową i piszemy dimx =. Jeśli dimx = n, to każdy zbiór n liniowo niezależnych elementów przestrzeni X nazywamy bazą przestrzeni liniowej X, +,. Twierdzenie 1.2. Jeśli niepusty zbiór B X jest bazą przestrzeni X, +,, to każdy wektor przestrzeni daje się w sposób jednoznaczny przedstawić w postaci kombinacji liniowej elementów zbioru B. Definicja 1.5. Jeśli bazę w przestrzeni skończenie wymiarowej tworzą elementy e 1,e 2,...,e n, to na podstawie poprzedniego twierdzenia każdy wektor x X można zapisać jako: x = t 1 e 1 + t 2 e t n e n. Układ (e 1,e 2,...,e n ) nazywamy bazą algebraiczną tej przestrzeni, a liczby t 1,t 2,...,t n nazywamy współrzędnymi elementu x względem tej bazy. Przykład 4. Dla każdego k =1,...,n niech e k K n oznacza wektor jednostkowy, tzn. e 1 =(1, 0, 0,...,0, 0), e 2 =(0, 1, 0,...,0, 0),...,e n =(0, 0, 0,...0, 1). Wektory te są oczywiście liniowo niezależne i tworzą bazę algebraiczną przestrzeni K n. Bazę tę nazywamy bazą kanoniczną. Wtedy każdy wektor x =(t 1,t 2,...,t n ) K n można zapisać jako n x = t 1 e 1 + t 2 e t n e n = t k e k w sposób jednoznaczny, przy czym liczby t 1,t 2,...,t n są współrzędnymi elementu x względem bazy kanonicznej. Przykład 5. Rozważmy przestrzeń liniową X, +, z X = K, którą tworzą ciągi nieskończone x =(t k ) liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Taka przestrzeń liniowa jest nieskończenie wymiarowa, bo elementy e 1 =(1, 0, 0,...), e 2 =(0, 1, 0,...),...,e 3 =(0, 0, 1,...).,... są liniowo niezależne, tzn. układ e 1,e 2,...,e m jest liniowo niezależny dla każdego naturalnego m. Wtedy każdy wektor (ciąg) x =(t k ) K można zapisać jako x = t 1 e 1 + t 2 e 2 + = t k e k w sposób jednoznaczny. 7
7 Definicja 1.6. Niech X 1,X 2 będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni liniowej X, +,. Jeżeli każdy element x X daje się jednoznacznie pzredstawić w postaci x = x 1 + x 2, gdzie x 1 X 1,x 2 X 2, (2) to mówimy, że X jest sumą prostą podprzestrzeni X 1 i X 2 i zapisujemy X = X 1 X 2. Twierdzenie 1.3. Jeżeli X = X 1 X 2, to podprzestrzenie X 1 i X 2 mają wspólny jedynie element zerowy. Na odwrót, jeśli każdy element x ma rozkład (2) i podprzestrzenie X 1 i X 2 nie mają elementów wspólnych, prócz zerowego, to X = X 1 X 2. Dowód. Dla dowodu pierwszej części przypuśćmy, że istnieje element x 0 θ należący do obu podprzestrzeni X 1 i X 2. Wtedy x o przedstawieniu (2) dałby się również zapisać w postaci x =(x 1 x 0 )+(x 0 + x 2 ) i x 1 x 0 X 1, x 0 + x 2 X 2, x 1 x 0 x 1, x 0 + x 2 x 2, co jest wbrew założonej jednoznaczności takiego przedstawienia. Dla dowodu drugiej części wystarczy sprawdzić jednoznaczność przedstawienia (2). Niech więc x = x 1 + x 2 = x 1 + x 2, gdzie x 1,x 1 X 1, x 2,x 2 X 2. Wtedy x 1 x 1 = x 2 x 2,alex 1 x 1 X 1 i x 2 x 2 X 2, więc x 1 x 1 = x 2 x 2 = θ (bo jedynym wspólnym elementem jest zero). Stąd x 1 = x 1 i x 2 = x 2. W dalszej części wykładu dla uproszczenia zapisu będziemy często pisać, że X jest przestrzenią liniową, zamiast X, +,. 1.2 Operatory liniowe Definicja 1.7. Niech X, Y będą przestrzeniami wektorowymi (liniowymi) nad ciałem K liczb rzeczywistych lub zespolonych. Odwzorowanie T : X Y nazywamy operatorem liniowym (odwzorowaniem liniowym), jeśli T (x 1 + x 2 )=T(x 1 )+T(x 2 ), T (αx) =αt (x) dla dowolnych x 1,x 2 X i α K. Jeżeli Y = K, to operator liniowy T : X K nazywamy funkcjonałem liniowym lub formą liniową. 8
8 Przy operatorach liniowych będziemy często pisali T x zamiast T (x). Uwaga 2. Warunki addytywności i jednorodności w definicji operatora liniowego można zastąpić jednym: dla dowolnych x 1,x 2 X i α, β K. T (αx 1 + βx 2 )=αt (x 1 )+βt(x 2 ) Podstawowe operatory analizy matematycznej, jak operator obliczania granicy ciągu, sumowania szeregu, różniczkowania i całkowania funkcji, to przykłady operatorów liniowych lub funkcjonałów liniowych. Przykład 6. Przykłady operatorów liniowych. Niech X = c będzie przestrzenią ciągów zbieżnych o wyrazach z ciała K, Y = K. Niech dalej T : c K będzie określone następująco: T (x) = lim k t k dla x =(t k ) c. Operator T jest funkcjonałem liniowym, co wynika z własności granicy ciągu. Niech X = l będzie przestrzenią ciągów sumowalnych o wyrazach z ciała K, Y = K. Niech dalej T : l K będzie określone następująco: T (x) = t k dla x =(t k ) l. Operator T jest funkcjonałem liniowym, co wynika z własności sum nieskończonych. Istotnie: T (x 1 + x 2 )= (t k + t k) = t k + t k = Tx 1 + tx 2 oraz T (αx) = αt k = α t k = αt x, dla x =(t k ), x 1 =(t k), x 2 =(t k), α K. Niech X będzie przestrzenią funkcji x :[a, b] R K różniczkowalnych w [a, b], a Y = K [a,b].wtedy Tx = x,gdziex jest pochodną funkcji x jest operatorem liniowym z X w Y (na podstawie własności różniczkowania). Niech X będzie przestrzenią funkcji x :[a, b] R R całkowalnych na [a, b], a Y = R. WtedyTx = [a,b] x(t) dt jest operatorem liniowym z X w Y na podstawie własności całki. 9
9 Twierdzenie 1.4. Każdy operator liniowy T : K n K m,gdziek jest ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, jest postaci Tx = y, gdzie y 1 = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n, y 2 = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n, , y m = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n, (3) przy czym x =(x 1,x 2,...,x n ), y =(y 1,y 2,...,y m ), a ik K. Na odwrót, każdy operator T : K n K m postaci (3) jest liniowy. Dowód. Niech e 1 =(1, 0,...,0), e 2 =(0, 1, 0,...,0),..., e n = (0, 0,...,1) będzie bazą w K n oraz niech e 1 = (1, 0,...,0), e 2 =(0, 1, 0,...,0),..., e m =(0, 0,...,1) będzie bazą w Km. Ponieważ Te k K m dla k = 1, 2,...,n, więc istnieją takie a ik K, żete k = m i=1 a ik e i (bo daje się przedstawić jako kombinacja liniowa elementów bazy K m. Weźmy x =(x 1,x 2,...,x n ) i przypuśćmy, że Tx = y =(y 1,y 2,...,y m ). Wtedy ( m n ) y i e i = y = Tx = T n n m m ( x k e k = x k Te k = x k a ik e i = n ) a ik x k e i. i=1 i=1 i=1 Stąd y i = n a ik x k dla i =1, 2,...,m, czyli zachodzi (3). Na odwrót, gdy Tx = y, gdziex i y są związane równościami (3), to jest widoczne, że T jest operatorem liniowym. Wniosek 1.1. Każdy funkcjonał liniowy T nad przestrzenią K n,gdziek jest ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, jest postaci Tx = a 1 x 1 + a 2 x a n x n, gdzie x =(x 1,x 2,...,x n ), a k K dla k =1, 2,...,n. Na odwrót, każdy funkcjonał wymienionej postaci jest liniowy. Twierdzenie 1.5. Jeżeli T : X Y,gdzieX, Y są przestrzeniami liniowymi, to Tθ X = θ Y przestrzeni Y jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Y. oraz obraz TX przestrzeni X w Dowód. Mamy Tθ X = T (θ x + θ X )=Tθ X + Tθ X =2Tθ X, więc Tθ X = θ Y. Niech teraz y, y 1,y 2 TX,aα K. Wtedy istnieją takie x, x 1,x 2 X, żey = Tx, y 1 = Tx 1, y 2 = Tx 2. Zatem y 1 + y 2 = Tx 1 + Tx 2 = T (x 1 + x 2 ) TX i αy = αt x = T (αx) TX,codowodzi,żeTX jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Y. 10
10 Twierdzenie 1.6. Jeżeli T : X Y,gdzieX, Y są przestrzeniami liniowymi, to T jest różnowartościowy wtedy i tylko wtedy, gdy Tx = θ implikuje x = θ (są to oczywiście elementy zerowe odpowiednich przestrzeni). Dowód. Przypomnijmy, że z definicji różnowartościowości mamy dla dowolnych x 1,x 2 X Tx 1 = Tx 2 implikuje x 1 = x 2, czyli Tx 1 Tx 2 = θ implikuje x 1 x 2 = θ, T (x 1 x 2 )=θ implikuje x 1 x 2 = θ. Jest to równoważne warunkowi twierdzenia. Przypomnijmy teraz, że jądrem odwzorowania liniowego T : X Y nazywamy przeciwobraz zera i oznaczamy symbolem kert, czyli kert = {x X : Tx = θ}. W świetle ostatniego twierdzenia można teraz powiedzieć, że operator T jest różnowartościowy, gdy jego jądro zawiera tylko wektor zerowy. Jeśli więc operator T ma jądro z elementem zerowym tylko i jest ponadto odwzorwaniem surjektywnym, to jest odwracalny. Można wykazać, że jeśli T jest liniowy, to operator odwrotny do niego T 1 też jest liniowy. W zbiorze wszystkich operatorów liniowych T : X Y można wprowadzić działania algebraiczne. Sumę T + S dwóch oepratorów T i S określamy równością (T + S)x := Tx+ Sx, a iloczyn αt operatora T przez liczbę α - równością: (αt )x := αt x. W wyniku tych działań otrzymujemy również operatory liniowe. Ponadto nietrudno sprawdzić, że spełnione są wszystkie aksjomaty przestrzeni liniowej, czyli rozważany zbiór jest przestrzenią wektorową, w której elementem zerowym jest operator tożsamościowo równy zero. Przestrzeń liniową operatorów liniowych T : X Y oznaczamy symbolem L(X, Y ). 11
Przestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowo14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowo1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
Bardziej szczegółowo2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe
2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe Rozważamy teraz przestrzenie unormowane X skończenie wymiarowe. Załóżmy, że dimx = m. Niech dalej e,e 2,...,e m będzie bazą algebraiczną tej przestrzeni
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowoWykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowo9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowocx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoWektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoAkwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Reprezentacje sygnału Jak reprezentujemy sygnał: wybieramy sygnały wzorcowe (bazę) rozwijamy sygnał w wybranej
Bardziej szczegółowoRozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
Bardziej szczegółowo3 Przestrzenie liniowe
MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowo020 Liczby rzeczywiste
020 Liczby rzeczywiste N = {1,2,3,...} Z = { 0,1, 1,2, 2,...} m Q = { : m, n Z, n 0} n Operacje liczbowe Zbiór Dodawanie Odejmowanie Mnożenie Dzielenie N Z Q Pytanie Dlaczego zbiór liczb wymiernych nie
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoRównania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowoJak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoKombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8 1. Sprawdzić, czy następujące podzbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R n (dla odpowiednich n) (a) {[u, v, 2u, 4v] ; u, v R} R 4, (b) {[u, v,
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009
Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując
Bardziej szczegółowo4 Przekształcenia liniowe
MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Bardziej szczegółowoUkłady liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie Hilberta
M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe
opracował Maciej Grzesiak Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe W algebrze rozpatruje się zbiory abstrakcyjne Natura elementów zbioru się nie liczy Na elementach rozpatruje się działania spełniające
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoMacierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń liniowa. Algebra. Aleksander Denisiuk
Algebra Przestrzeń liniowa Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p.
Bardziej szczegółowoZbiory wypukłe i stożki
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R
Bardziej szczegółowoUzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowo1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość
Bardziej szczegółowo5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoChcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.
DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowo1 Rząd macierzy. 2 Liniowa niezależność. Algebra liniowa. V. Rząd macierzy. Baza podprzestrzeni wektorowej
1 Rząd macierzy Rozpatrzmy równanie jednorodne Ax = 0, gdzie A M(n, k). Wiemy, że posiada ono rozwiązanie. Jednakże wymiar macierzy A, a tym samym liczba równań w odpowiadającym jej układzie równań liniowych
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowowszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoKryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoDefinicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady
Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowoWykład 1. Przestrzeń Hilberta
Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej
Bardziej szczegółowo