Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Transkrypt

1 Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F = R, zespoloną w drugim przypadku) Macierze zapisujemy w postaci prostokątnych tablic: A = a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm ; (51) będziemy też stosować uproszczoną notację A = [a ij n m Macierz (51) to macierz wymiaru n m ma ona n wierszy (poziome) i m kolumn (pionowe) Zbiór macierzy wymiaru n m o elementach z ciała F będziemy oznaczać F n m Jeżeli m = n to macierz nazywamy macierzą kwadratową stopnia n Macierz zerowa to macierz złożona z samych zer: 0 = [0 n m Macierz kwadratowa, której wszystkie elementy za wyjątkiem być może tych stojących na przekątnej są równe zero nazywamy macierzą diagonalną: a diag(a 11,,a nn ) = a nn Macierz diagonalną z jedynkami na przekątnej nazywamy macierzą jednostkową (ozn I): I = Jeżeli wszystkie elementy macierzy kwadratowej stojące pod (nad) przekątną są równe zero to macierz tę nazywamy macierzą trójkątną górną (trójkątną dolną) Macierze diagonalne są jednocześnie trójkątne górne i trójkątne dolne 26

2 51 Działania na macierzach 51 Działania na macierzach 511 Dodawanie macierzy oraz mnożenie macierzy przez skalar W zbiorze macierzy F n m wprowadza się naturalne działania dodawania macierzy oraz mnożenia macierzy przez skalar: jeżeli A = [a ij n m, B = [b ij n m to A+B = [a ij +b ij n m ; dla α F: αa = [αa ij n m Przykład 51 Mamy [ [ = [ oraz [ = [ Zbiór macierzy prostokątnych ustalonego wymiaru (możemy dodawać tylko te macierze, które mają ten sam wymiar) z działaniami zdefiniowanymi powyżej jest przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych 512 Mnożenie macierzy Niech A = [a ij F n k, B = [b ij F k m Możemy wówczas zdefiniować macierz C = [c ij F n m : c ij = m a ik b kj, (i = 1,,n; j = 1,,m) (52) k=1 będącą iloczynem macierzy A i B; ozn C = AB Uwaga Aby można było wyznaczyć macierz AB, liczba kolumn macierzy A musi być równa liczbie wierszy macierzy B Przykład 52 Mamy: [ = = [ ( 1) 2 ( 2) ( 1) 1 ( 2)+( 2) [

3 52 Wyznacznik macierzy Własności iloczynu macierzy: Zakładamy, że wymiary macierzy A, B,C występujących w poniższych warunkach są takie, że wszystkie wyrażenia mają sens (i) Działanie określone wzorem (52) jest: łączne: A(BC) = (AB)C; rozdzielne względem dodawania: A(B +C) = AB +AC; posiada element neutralny jest nim macierz jednostkowa; (ii) Na ogół: AB BA; (iii) AB = 0 A = 0 lub B = 0; (iv) AB = AC,A 0 B = C Ćwiczenie Do punktów (ii) (iv) podać stosowne przykłady 513 Macierz transponowana Niech A = [a ij F n m będzie dowolną macierzą Macierz A T F m n, gdzie A T = [a ij T df = [aji, nazywamy macierzą transponowaną Kolumny (wiersze) macierzy A są więc wierszami (kolumnami) macierzy A T Własności operacji transponowania macierzy: (A+B) T = A T +B T ; (αa) T = αa T, dla α F; (AB) T = B T A T, gdzie A,B F n n 514 Macierz sprzężona Niech A = [a ij C n m będzie dowolną macierzą Macierz A C m n określoną wzorem A = [a ij df = [aji, nazywamy macierzą sprzężoną Własności operacji sprzężenia macierzy: (A+B) = A +B ; (αa) = αa, dla α C; (AB) = B A, gdzie A,B F n n 52 Wyznacznik macierzy 521 Definicja aksjomatyczna Niech F n n oznacza zbiór macierzy kwadratowych stopnia n o elementach z ciała F = R lub F = C 28

4 52 Wyznacznik macierzy Definicja 51 Funkcję det : F n n F spełniającą warunki: (i) dla macierzy kwadratowej A = [a ij = [A 1,,A n, gdzie A i oznacza i tą kolumnę A, przekształcenie A i det[a 1,,A n (i = 1,,n) jest liniowe, tzn dla α,β F: det[a 1,,αA i +βb i,,a n = αdet[a 1,,A i,,a n +βdet[a 1,,B i,,a n ; (ii) det jest funkcją alternującą, tzn dla A i = A j (dla wszystkich i j): (iii) det(i) = 1 nazywamy wyznacznikiem det[a 1,,A i,,a j,,a n = 0, Z powyższej definicji wynika natychmiast następujący wniosek Wniosek 51 Jeżeli w macierzy kwadratowej zamienimy miejscami dwie kolumny (wiersze), to jej wyznacznik zmieni znak na przeciwny Dowód: Rozważmy macierz powstałą z macierzy A przez dodanie do jej i tej oraz j tej kolumny odpowiednio kolumny j tej oraz i tej: Z warunku (ii) powyższej definicji wynika Dodatkowo, z warunków (i) oraz (ii): skąd ostatecznie wynika [,A i +A j,,a i +A j, det[,a i +A j,,a i +A j, = 0 0 =det[,a i +A j,,a i +A j, =det[,a i,,a i +A j,+det[,a j,,a i +A j, =det[,a i,,a i,+det[,a i,,a j,+ +det[,a j,,a i,+det[,a j,,a j, =det[,a i,,a j,+det[,a j,,a i,, det[,a i,,a j, = det[,a j,,a i, Przykład 53 Rozważmy macierz A R 3 3 postaci A =

5 52 Wyznacznik macierzy Na podstawie definicji 51 mamy = = = = = = 2 Kolumny macierzy A F n n są elementami przestrzeni F n ; możemy więc wyrazić je jako kombinacje liniowe wektorów bazy kononicznej e 1,,e n : A i = n a ki e k, dla i = 1,,n k=1 30

6 52 Wyznacznik macierzy Stąd deta = det (ii) (iii) = [ n a k1 1e k1,, k 1 =1 n (i) a knne kn = n k n=1 σ S n sgn(σ)a σ(1)1 a σ(n)n, k 1 =1 n a k1 1a knndet[e k1,,e kn gdzie S n to zbiór wszystkich permutacji zbioru {1,,n}; sgn(σ) to znak permutacji σ ( 1 ) Twierdzenie 52 Istnieje dokładnie jedna funkcja spełniająca warunki (i) (iii) definicji 51; funkcja ta określona jest wzorem deta = k n=1 σ S n sgn(σ)a σ(1)1 a σ(n)n (53) Zauważmy, że jeżeli dla pewnego i {1,,n} : σ(i) < i, to dla pewnego j {1,,n} : σ(j) > j Stąd oraz ze wzoru (53) wynika następujący Wniosek 53 Wyznacznik macierzy trójkątnej równy jest iloczynowi wyrazów z przekątnej Własności wyznacznika macierzy (A,B F n n, α F): deta = deta T ; det(ab) = deta detb; det(αa) = α n deta; jeżeli do któregoś wiersza (kolumny) dodamy kombinację liniową pozostałych wierszy (kolumn) to wyznacznik się nie zmieni; zamiana kolejności dwóch wierszy (kolumn) zmienia znak wyznacznika na przeciwny 522 Metoda Laplace a Niech A = [a ij będzie dowolną macierzą kwadratową stopnia n Definicja 52 Minorem elementu a ij macierzy A = [a ij nazywamy wyznacznik M ij macierzy kwadratowej stopnia n 1 utworzonej z macierzy A przez usunięcie z niej i tego wiersza oraz j tej kolumny Definicja 53 Liczbę ( 1) i+j M ij, gdzie M ij jest minorem elementu a ij, nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a ij Twierdzenie 54 (Laplace) Dla dowolnej macierzy kwadratowej A = [a ij stopnia n 2: deta = n ( 1) i+j a ij M ij dla każdego j = 1,,n oraz i=1 deta = n ( 1) i+j a ij M ij dla każdego i = 1,,n j=1 1 sgn(σ) = ( 1) s, gdzie s to liczba transpozycji (transpozycja to zamiana kolejności dwóch elementów) tworzących permutację σ 31

7 52 Wyznacznik macierzy Przykład 54 Dla macierzy A F 2 2, ze wzoru (53) otrzymujemy: [ a11 a det 12 = a a 21 a 11 a 22 a 21 a Przykład 55 Dla macierzy A F 3 3 zastosujemy metodę Laplace a (do pierwszej kolumny) Mamy a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 +( 1) 3+1 a 31 a 12 a 13 a 22 a 23 = ( 1)1+1 a 11 a 22 a 23 a a 32 a 33 +( 1)2+1 a 12 a a 32 a 33 = a 11a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 a 21 a 12 a 33 +a 21 a 13 a 32 +a 31 a 12 a 23 a 31 a 13 a 22 Ten sam wynik uzyskamy stosując tzw schemat Sarrusa: + + a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a 12 Ciekawostka Stosując do macierzy kwadratowej stopnia n metodę Laplace a obliczania wyznacznika, musimy obliczyć n wyznaczników macierzy stopnia n 1; każdy z tych wyznaczników wymaga z kolei obliczenia n 1 wyznaczników stopnia n 2, itd Obliczenie wyznacznika macierzy kwadratowej stopnia n wymaga więc obliczenia 1 2n! wyznaczników macierzy kwadratowych stopnia 2; dla macierzy stopnia n = 20 daje to ponad wyznaczników 2 2 Najszybszy obecnie komputer w Polsce, wykonujący prawie operacji na sekundę, potrzebowałby na obliczenie tego wyznacznika ponad 126 dni! Dla dużych n metoda Laplace a jest więc wysoce niepraktyczna 523 Metoda przekształceń elementarnych Metoda przekształceń elementarnych obliczania wyznacznika polega na przekształceniu danej macierzy do postaci trójkątnej W przekształceniu tym wykorzystujemy jedynie tzw operacje elementarne na wierszach macierzy: Przykład 56 Mamy: w 1 w w 2 w w w 3 w 3 w w 1 w 1 w 2 w 2 w 3 w 3 +10w = 35 Metoda przekształceń elementarnych jest jedną z najbardziej efektywnych metod obliczania wyznaczników macierzy Jej numerycznie akceptowalna wersja wymaga wykonania tylko O(n 3 ) operacji arytmetycznych! 32

8 53 Macierz odwrotna 53 Macierz odwrotna Definicja 54 Macierz A F n n taką że deta 0 nazywamy macierzą nieosobliwą; w przeciwnym przypadku mówimy, że A jest macierzą osobliwą Przypomnijmy, że iloczyn macierzy jest działaniem wewnętrznym w zbiorze macierzy kwadratowych stopnia n Łatwo sprawdzić, że jest to również działanie łączne, którego elementem neutralnym jest macierz jednostkowa I n stopnia n (dowód przez bezpośredni rachunek) Nasuwa się więc następujące pytanie: Czy każda macierz kwadratowa posiada element odwrotny (względem mnożenia)? Przykład 57 Niech A = [ [ a11 a oraz B = 12 a 21 a 22 Wówczas AB = [ [ a11 a 12 a 21 a 22 = [ a11 +a 21 a 12 +a [ Oznacza to, że nie dla każdej macierzy istnieje element odwrotny Definicja 55 Jeżeli dla macierzy A F n n istnieje macierz X F n n taka że: AX = XA = I n, gdzie I n oznacza macierz jednostkową stopnia n, to macierz tę nazywamy macierzą odwrotną do macierzy A i oznaczamy A 1 Twierdzenie 55 Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby macierz A F n n posiadała macierz odwrotną jest warunek deta 0 Własności operacji odwracania macierzy (A,B F n n ): det ( A 1) = 1 ( deta ; A 1 ) 1 = A; (AB) 1 = B 1 A 1 ; ( A 1 ) T ( = A T ) 1 ( oraz A 1 ) = (A ) Algorytmy wyznaczania macierzy odwrotnej Niech A = [a ij F n n Metoda macierzy dopełnień algebraicznych Poniżej przedstawimy algorytm wyznaczania macierzy A 1 oparty na macierzy dopełnień algebraicznych Krok 1 Obliczamy deta Jeżeli deta = 0 to macierz A 1 nie istnieje; jeżeli deta 0, przechodzimy do kroku drugiego Krok 2 Wyznaczamy macierz minorów A 1 = [M ij ; Krok 3 Wyznaczamy macierz dopełnień algebraicznych A 2 = [( 1) i+j M ij ; Krok 4 Wyznaczamy macierz A 3 = A T 2 ; Krok 5 Wyznaczamy macierz A 1 = 1 deta A 3 33

9 54 Rząd macierzy Przykład 58 Wyznaczymy macierz odwrotną do macierzy A = Ponieważ det A = 5 zatem macierz odwrotna istnieje Mamy więc: A = M ij ( 1)i+j T T Metoda Gaussa deta 2/5 1/5 0 1/5 3/5 1 2/5 1/5 1 = A 1 Metoda Gaussa wyznaczania macierzy odwrotnej polega na tym, aby z danej macierzy uzyskać macierz jednostkową Te same operacje, które wykonujemy na macierzy A przeprowadzamy jednocześnie na macierzy jednostkowej W momencie gdy wyjściowa macierz przyjmuje postać macierzy jednostkowej, macierz jednostkowa staje się macierzą A 1 Przykład 59 Rozważmy ponownie macierz z poprzedniego przykładu Mamy: w 1 w 1 [A I = w 2 w w 1 w 3 w 3 w w 1 w 1 0 5/2 5/2 1/2 1 0 w 2 w w 3 w w w 3 w 3 0 5/2 5/2 1/2 1 0 w 2 w w 3 2/5 1/5 1 w 1 w 1 +w /5 1/5 1 w 3 w 3 0 5/2 0 1/2 3/2 5/2 w w 2 2/5 1/5 1 w 1 w w /5 2/5 0 w w 1 1/5 3/5 1 w 2 w 2 2/5 1/5 1 w 3 w 3 2/5 1/5 0 1/5 3/5 1 = [ I A 1 2/5 1/ Rząd macierzy Niech A F n m Można pokazać, że liczba liniowo niezależnych kolumn macierzy jest taka sama jak liczba jej liniowo niezależnych wierszy Liczbę tę, dla macierz A, oznaczamy rank(a) i nazywamy rzędem macierzy A Własności rzędu macierzy: dla dowolnej macierzy A F n m : rank(a) = rank ( A T) ; dodanie do dowolnej kolumny (wiersza) macierzy kombinacji liniowej pozostałych kolumn (wierszy) nie zmienia jej rzędu; 34

10 dowolna zmiana kolejności kolumn (wierszy) macierzy nie zmienia jej rzędu Przykład 510 Wyznaczymy rząd macierzy A = Stosując metodę sprowadzania macierzy do postaci trójkątnej (zob rozdział 523, str 32) mamy: w 1 w 1 w 2 w w 1 w 3 w 3 w 1 w 1 w 2 w 2 w 3 w w Ponieważ tylko dwa pierwsze wiersze ostatniej macierzy są liniowo niezależne, zatem rank(a) = 2 Twierdzenie 56 Rząd macierzy A równy jest największemu stopniowi (wymiarowi) niezerowego minora macierzy A Przykład 511 Rozważmy ponownie macierz A = Ponieważ A R 3 4 zatem rank(a) 3 Ponieważ = 0, = 0, = 0, = 0 zatem rank(a) 2 Ponieważ zatem rank(a) = = 12 0