Uk lady modelowe II - oscylator

Transkrypt

1 Wyk lad 4 Uk lady modelowe II - oscylator

2 Model Prawo Hooke a F = m d 2 x = kx = dv dt2 dx Potencja l Równanie ruchu V = 1 2 kx2 d 2 x dt 2 + k m x = 0

3 Obraz klasyczny Rozwiazania k x = A sin t = A sin ωt m Gdzie szukać oscylatorów w mikroświecie? Ruch jader jest zaskakujaco dobrze opisany modelem kulek po l aczonych spreżynkami.

4 Opis kwantowy Ĥ(x) = ˆp x 2 2m kx2 Rozwiazywać równanie Schrödingera możemy: poszukujac rozwiazań w postaci szeregu potegowego stosujac formalizm drugiego kwantowania Pójdziemy druga ścieżka, ale najpierw uproścmy sobie życie przechodzac do wspó lrz ednych bezwymiarowych.

5 Wspó lrz edne bezwymiarowe Wspó lrz edne Q = ( ) 1 mk 4 x 2 P = (m ω) 1 2 px Operatory ˆQ = Q ˆP = d i dq Hamiltonian we wspo lrz ednych bezwymiarowych Ĥ = 1 (ˆP 2 ω 2 + ˆQ 2)

6 Operatory podwyższajace i obniżajace I Wprowadźmy dwa nowe operatory â = 1 ( ) ˆQ + i ˆP 2 â = 1 ( ) ˆQ i ˆP 2 Operatory â i â : nie sa hermitowskie [ nie komutuja: â, â ] = 1 Hamiltonian wyrażony w tych operatorach przyjmuje postać: ( Ĥ = ω â â + 1 ) ( = ω ââ 1 ) 2 2 Wniosek Wektory w lasne hamiltonianu sa jednocześnie wektorami w lasnymi operatorów â â i ââ.

7 Operatory podwyższajace i obniżajace II Wektor w lasny ψ λ operatora â â do wartości w lasnej λ jest wektorem w lasnym ( ) hamiltonianu odpowiadajacym wartości w lasnej (energii) ω λ ( Ĥ ψ λ = ω λ + 1 ) ψ λ 2 Twierdzenie Operatory â i â dzialaja na wektory w lasne hamiltonianu oscylatora nastepuj aco: â ψ λ = λ ψ λ 1 â ψ λ = λ + 1 ψ λ+1 Operator â jest operatorem obniżajacym zaś operator â operatorem podwyższajacym.

8 Operatory podwyższajace i obniżajace III Dowód. Weźmy unormowany wektor ψ λ : â â ψ λ = λ ψ λ. Iloczyn skalarny tego wektora z ψ λ daje ψ λ â â ψ λ = âψ λ âψ λ = λ ψ λ ψ λ = λ. Stad znajdujemy, że norma wektora âψ λ wynosi λ. ââ â ψ λ = λ âψ λ ( ) ââ â ψ λ = â â + 1 âψ λ. Wobec tego â â âψ λ = (λ 1) âψ λ

9 Widmo wartości w lasnych wartość w lasna λ jest jednocześnie kwadratem normy wektora âψ λ λ musi być nieujemne n-krotnie dzia lajac operatorem obniżajacym dojdziemy do λ n dla n > λ sprzeczności unikniemy tylko, jeśli λ jest liczba naturalna sekwencja urywa sie wtedy na λ = 0 â ψ 0 = 0 dopuszczalne ( wartości ) energii: E = ω λ + 1 2, λ = 0, 1,... równoodleg le poziomy energia drgań zerowych: 1 2 ω

10 Funkcje w lasne Zerowa funkcje w lasna otrzymamy rozwiazuj ac równanie â ψ 0 = 0 Wstawiajac jawna postać operatora otrzymamy ( 1 Q + d ) ψ 0 = 0 ψ 0 = Ne Q2 2 2 dq Normujac, ostatecznie: ψ 0 = π 1 4 e Q2 2 Wyższe funkcje w lasne wygenerujemy dzia lajac na funkcje zerowa odpowiednia ilość razy operatorem podwyższajacym. Czynniki przedeksponencjalne tworza szereg tak zwanych wielomianów Hermite a.

11 Symetria rozwiazań potencja l jest symetryczny wzgl edem zera: V ( Q) = V (Q) kwadrat modu lu funkcji falowej powinien wykazywać identyczna symetrie przy za lożeniu, że funkcje sa rzeczywiste, możliwe bed a tylko dwie sytuacje: ψ n ( Q) = ψ n (Q) lub ψ n ( Q) = ψ n (Q) funkcje parzyste dla parzystych n funkcje nieparzyste dla nieparzystych n

12 Kszta lt rozwiazań w stanie podstawowym maksimum gestości prawdopodobieństwa wypada dla x = 0 w granicy wysokich energii (duże n) opis kwantowy zgadza si e z opisem klasycznym

13 Niezależne oscylatory 2/3-D 2D: Ĥ(x, y) = ˆpx 2 3D: Ĥ(x, y) = ˆpx 2 2m + ˆpy 2 2m + ˆpy 2 2m + ˆpz 2 Hamiltoniany sa separowalne: funkcje iloczyny funkcji energie sumy energii 2m k xx k yy 2 2m k xx k yy k zz 2

14 Kszta lt rozwiazań

15 Drgania normalne w rzeczywistych uk ladach (np. czasteczkach chemicznych) oscylacje w rożnych kierunkach sa sprzeżone tensor sta lych si lowych k jest symetryczny, ale nie diagonalny można wykonać transformacj e do nowych wspo lrz ednych, w których tensor k jest diagonalny wspo lrz edne diagonalizuj ace k: wspó lrz edne normalne oscylacje wzd luż wspó lrz ednych normalnych: drgania normalne

16 Aplikacja modelu czasteczki dwuatomowe ( E = ω n + 1 ) k, ω = 2 µ czasteczki wieloatomowe: drgania normalne

17 Typy drgań normalnych

18 Metody doświadczalne spektroskopia w podczerwieni (IR) absorpcyjna regu la wyboru: n = 1 intensywność przejścia zależna od ψ ˆµ i ψ spektroskopia ramanowska (Raman) rozproszenie ze zmiana czestości regu la wyboru: n = ±1 intensywności zależne od elementów tensora polaryzowalności w typowych temperaturach obserowowalne tylko przejścia ze stanu podstawowego w przypadku czasteczek ze środkiem symetrii drganie jest aktywne tylko w Ramanie badź tylko w IR

19 Cz estości grupowe

20 Eksperyment

21 Efekt izotopowy Jak ma sie czestość drgań w czasteczce HD do czestości drgań w czasteczce H 2? k HD k H2 µ HD = µ H2 = m H m D m H + m D m H m H m H + m H µ HD 4 3 µ H 2 3 ω HD 4 ω H 2

22 Krzywe dysocjacji

23 Potencja l Morse a V (x) = De αx (e αx 2) Rozwiazania: E n = ( D + ω n + 1 ) ( ω n β 2 2) ( D 2 ω = 2α 2µ)1 ( ) β = α 8µD Dla energii wyższych od energii dysocjacji mamy do czynienia z widmem ciag lym.

24 Oscylator Morse a vs oscylator harmoniczny zag eszczenie poziomów rozluźnienie regu l wyboru: nadtony

25 Efekt izotopowy, os labienie wiazania

26 In the next episode Rotator sztywny Atom wodoru i jony wodoropodobne