Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego

Transkrypt

1 Wyk lad 8 Rzad macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego 1 Określenie rz edu macierzy Niech A bedzie m n - macierza Wówczas wiersze macierzy A możemy w naturalny sposób traktować jako wektory przestrzeni R n, zaś kolumny macierzy A możemy traktować jako wektory przestrzeni R m Rzedem wierszowym macierzy A nazywamy maksymalna ilość jej liniowo niezależnych wierszy Natomiast rzedem kolumnowym macierzy A nazywamy maksymalna ilość jej liniowo niezależnych kolumn Rzad wierszowy i rzad kolumnowy macierzy A oznaczamy odpowiednio symbolami: r w (A) i r k (A) Z tego określenia wynika od razu, że dla dowolnej macierzy A: r w (A) = r k (A T ) oraz r k (A) = r w (A T ) (1) Ponadto z określenia rz edu macierzy mamy natychmiast, że r w (0 m n ) = r k (0 m n ) = 0 (2) Z twierdzenia 78 wynika od razu, że rzad wierszowy macierzy A jest równy wymiarowi podprzestrzeni generowanej przez jej wektory wierszowe, zaś rzad kolumnowy macierzy A jest równy wymiarowi podprzestrzeni generowanej przez wektory kolumnowe macierzy A Ponadto z w lasności operacji elementarnych rzad wierszowy macierzy A nie zmienia sie przy stosowaniu operacji elementarnych na wierszach tej macierzy oraz rzad kolumnowy macierzy A nie zmienia sie przy stosowaniu operacji elementarnych na kolumnach tej macierzy Lemat 81 Jeżeli do pewnego wiersza macierzy dodamy inny jej wiersz pomnożony przez dowolny skalar, to rzad kolumnowy tej macierzy nie ulegnie zmianie Dowód Niech A = [a ij ] bedzie m n-macierza Dla uproszczenia znakowania za lożymy, że do pierwszego wiersza macierzy A dodano drugi jej wiersz pomnożony przez skalar a i oznaczmy przez B = [b ij ] macierz uzyskana w wyniku tej operacji Niech r = r k (A) Oznacza to, że pewne r-kolumn macierzy A sa liniowo niezależne Dla uproszczenia znakowania za lóżmy, że pierwsze r-kolumny macierzy A sa liniowo niezależne Udowodnimy, że wówczas pierwsze r-kolumny macierzy B też sa liniowo niezależne Niech A j oraz B j oznaczaja j-ta kolumne macierzy A i B odpowiednio Weźmy dowolne x 1,, x r R takie, że x 1 B x r B r = θ Wtedy a 11 + aa 21 a 21 x 1 a m1 + + x r 1 a 1r + aa 2r a 2r a mr = 0 m 1,

2 wi ec (a 11 + aa 12 )x (a 1r + aa 2r )x r = 0 a 21 x a 2r x r = 0 a m1 x a mr x r = 0, skad po odjeciu od pierwszej równości równości drugiej pomnożonej przez a uzyskamy, że x 1 A x r A r = θ Zatem z liniowej niezależności kolumn A 1,, A r wynika, że x 1 = = x r = 0 i kolumny B 1,, B r sa liniowo niezależne Zatem r k (B) r k (A) Ale macierz A powstaje z macierzy B przez dodanie do pierwszego wiersza drugiego wiersza pomnożonego przez skalar ( a), wiec z pierwszej cześci dowodu r k (A) r k (B) i ostatecznie r k (A) = r k (B) Z (1) i z lematu 81 wynika od razu, że prawdziwy jest też nastepuj acy Lemat 82 Jeżeli do pewnej kolumny macierzy dodamy inna jej kolumne pomnożona przez dowolny skalar, to rzad wierszowy tej macierzy nie ulegnie zmianie Lemat 83 Niech m, n 2 i niech A = [a ij ] bedzie m n-macierza taka, że dla pewnych s, t jest a st 0 oraz a it = 0 dla wszystkich i s i a sj = 0 dla wszystkich j t Wówczas r k (A) = 1 + r k (A st ) oraz r w (A) = 1 + r w (A st ) Dowód Niech r = r k (A st ) Istnieja wówczas kolumny B 1,, B r macierzy A st, które sa liniowo niezależne i takie, że każda kolumna macierzy A st jest ich kombinacja liniowa Oznaczmy przez A j kolumne macierzy A powstajac a przez dopisanie 0 w s-tym wierszu macierzy B j dla j = 1,, r Niech A r+1 oznacza t-ta kolumne macierzy A Weźmy dowolne x 1,, x r+1 R takie, że x 1 A 1 + +x r+1 A r+1 = θ Wtedy x r+1 a st = 0, skad x r+1 = 0 oraz x 1 B 1 + +x r B r = θ Zatem z liniowej niezależności B 1,, B r jest x 1 = = x r = 0 Stad kolumny A 1,, A r+1 sa liniowo niezależne Niech X bedzie dowolna kolumna macierzy A o numerze różnym od t Niech Y bedzie kolumna macierzy A st powstajac a z X przez wykreślenie s-tego wiersza (który sk lada sie z jednego zera!) Wtedy istnieja a 1,, a r R takie, że Y = a 1 B a r B r, skad X = a 1 A 1 + +a r A r Wynika stad, że wszystkie kolumny macierzy A sa kombinacjami liniowymi kolumn A 1,, A r, A r+1 Oznacza to, że r k (A) = r + 1 = 1 + r k (A st ) Dowód drugiej cześci lematu wynika natychmiast z (1) i z pierwszej jego cześci Twierdzenie 84 Rzad kolumnowy dowolnej macierzy równy jest jej rzedowi wierszowemu Dowód Indukcja wzgledem liczby m wierszy macierzy Jeżeli m = 1, to A = [a 1 a 2 a n ] dla pewnych skalarów a 1,, a n Jeżeli a 1 = = a n = 0, to r w (A) = 0 = r k (A) Jeżeli zaś a j 0 dla pewnego j = 1,, n, to r w (A) = 1 = r k (A) Zatem teza zachodzi dla m = 1 Niech teraz m bedzie liczba naturalna wieksz a od 1 i taka, że teza zachodzi dla wszystkich macierzy, które maja mniej niż m wierszy Weźmy dowolna m n-macierz A = [a ij ] Jeśli A = 0 m n, to r w (A) = 0 = r k (A) Niech zatem A 0 m n Wtedy istnieja k, l takie, że 0 Jeśli n = 1, to r w (A) = r k (A T ), wiec z za lożenia indukcyjnego r k (A T ) = r w (A T ) = r k (A), czyli r w (A) = r k (A) Niech dalej n > 1 Niech B = [b ij ] bedzie macierza powstajac a z macierzy A przez wykonanie operacji elementarnych: w i a il w k dla wszystkich i k 2

3 Wtedy r w (B) = r w (A) oraz z lematu 81, r k (B) = r k (A) Niech dalej C bedzie macierza powstajac a z macierzy B przez wykonanie operacji elementarnych: k j b kj k l dla wszystkich j l Wtedy r k (C) = r k (B) oraz z lematu 82, r w (C) = r w (B) Ale z lematu 83 mamy, że r w (C) = 1 + r w (C kl ) oraz r k (C) = 1 + r k (C kl ) Z za lożenia indukcyjnego r w (C kl ) = r k (C kl ) Zatem r w (A) = 1 + r k (C kl ) = r k (A) 2 Metody obliczania rz edu macierzy Wspólna wartość rzedu kolumnowego i wierszowego macierzy A nazywamy rzedem macierzy A i oznaczamy przez r(a) Z twierdzenia 84 oraz z poczatkowej cześci tego rozdzia lu mamy od razu nastepuj ace Twierdzenie 85 Operacje elementarne wykonywane na wierszach lub kolumnach macierzy nie zmieniaja jej rzedu Z twierdzenia 84 oraz ze wzoru (1) wynika od razu nastepuj ace Twierdzenie 86 Dla dowolnej macierzy A: r(a) = r(a T ) Twierdzenie 87 Niech A = [a ij ] bedzie taka m n-macierza, że 0 dla pewnych k, l oraz a il = 0 dla wszystkich i k Wtedy r(a) = 1 + r(a kl ) Dowód Oznaczmy przez B macierz powstajac a z macierzy A przez wykonanie operacji elementarnych: k j a kj k l dla wszystkich j l Wtedy B kl = A kl oraz na mocy twierdzenia 85, r(a) = r(b) Ponadto z twierdzenia 84 i z lematu 83, r(b) = 1 + r(b kl ) Zatem r(a) = 1 + r(a kl ) Twierdzenie 88 Niech A = [a ij ] bedzie macierza kwadratowa stopnia n Wówczas równoważne sa warunki: (i) r(a) = n, (ii) det(a) 0 Dowód (i) (ii) Ponieważ wszystkie kolumny A 1,, A n macierzy A sa liniowo niezależne i jest ich n, wiec tworza one baze przestrzeni R n Wynika stad, że dla każdego i = 1,, n istnieja skalary x i1,, x in K takie, że x i1 A x in A n = ε i Niech X = [x ij ] i,j=1,,n Wtedy A X = I n, skad z twierdzenia Cauchy ego det(a) 0 (ii) (i) Ponieważ det(a) 0, wiec istnieje macierz X = [x ij ] M n (R) taka, że A X = I n Wtedy dla każdego i = 1,, n mamy, że ε i = x i1 A x in A n, wiec kolumny macierzy A generuja przestrzeń R n Stad na mocy twierdzenia 78 te kolumny sa liniowo niezależne, czyli r(a) = n Definicja 89 Niech A bedzie m n-macierza oraz niech k bedzie liczba naturalna taka, że k min{m, n} Minorem stopnia k macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia k, która powstaje z macierzy A przez wykreślenie m k wierszy oraz n k kolumn 3

4 Twierdzenie 810 Rzad niezerowej macierzy jest równy maksymalnemu stopniowi jej niezerowego minora Dowód Niech A bedzie niezerowa m n-macierza Oznaczmy przez k maksymalny stopień niezerowego minora macierzy A oraz przez r rzad tej macierzy Wtedy pewne r wierszy macierzy A jest liniowo niezależnych Wykreślajac pozosta le wiersze uzyskamy k n-macierz B o rzedzie r Zatem z twierdzenia 86 pewne r kolumn macierzy B sa liniowo niezależne Wykreślajac w macierzy B pozosta le kolumny uzyskamy macierz kwadratowa C stopnia r o rzedzie r Zatem z twierdzenia 88, det(c) 0 Ale det(c) jest minorem stopnia r macierzy A, wiec r k Niech teraz D bedzie macierza kwadratowa stopnia k powstajac a z macierzy A przez wykreślenie pewnych m k wierszy i n k kolumn taka, że det(d) 0 Wtedy z twierdzenia 88 mamy, że r(d) = k Niech X bedzie macierza powstajac a z macierzy A przez wykreślenie tych samych wierszy, co dla macierzy D Wtedy r(x) k oraz wszystkie kolumny macierzy D sa liniowo niezależne, wiec r(x) k i ostatecznie r(x) = k Stad z definicji rzedu wierszowego macierzy k r i ostatecznie r = k 3 Twierdzenie Kroneckera-Capellego Niech dany bedzie teraz dowolny uk lad m-równań liniowych z n-niewiadomymi x 1,, x n : a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, (3) a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Przypomnijmy, że macierza wspó lczynników uk ladu (3) nazywamy macierz: a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n, (4) a m1 a m2 a mn zaś macierza uzupe lniona uk ladu (3) nazywamy macierz: a 11 a 12 a 1n b 1 a A u = 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b m (5) Twierdzenie 811 (Kroneckera-Capellego) Uk lad (3) ma rozwiazanie wtedy i tylko wtedy, gdy r(a) = r(a u ) Ponadto uk lad (3) ma dok ladnie jedno rozwiazanie wtedy i tylko wtedy, gdy r(a) = r(a u ) = n Dowód Oznaczmy przez α j j-ta kolumne macierzy A i niech β = [b 1,, b m ] Uk lad (3) można wtedy zapisać jako równanie wektorowe: x 1 α x n α n = β (6) 4

5 Jeżeli (a 1,, a n ) jest rozwiazaniem uk ladu (3), to a 1 α a n α n = β, skad na mocy twierdzenia 68 i twierdzenia 611 mamy, że lin(α 1,, α n, β) = lin(α 1,, α n ), czyli r(a u ) = r(a) Na odwrót, za lóżmy, że r(a u ) = r(a) Wtedy dim lin(α 1,, α n ) = dim lin(α 1,, α n, β), wiec z twierdzenia 722 mamy, że lin(α 1,, α n, β) = lin(α 1,, α n ), skad β lin(α 1,, α n ), czyli istnieja a 1,, a n R takie, że β = a 1 α a n α n i wówczas (a 1,, a n ) jest rozwiazaniem uk ladu (3) Pozostaje udowodnić druga cześć twierdzenia Za lóżmy najpierw, że r(a u ) = r(a) = n Wówczas kolumny α 1,, α n sa liniowo niezależne, wiec tworza baze podprzestrzeni lin(α 1,, α n ) Ale wtedy dim lin(α 1,, α n ) = dim lin(α 1,, α n, β), skad lin(α 1,, α n ) = lin(α 1,, α n, β), czyli β lin(α 1,, α n ) Zatem z twierdzenia 79 istnieje dok ladnie jeden ciag (a 1,, a n ) R n taki, że β = a 1 α a n α n, wiec uk lad (3) ma dok ladnie jedno rozwiazanie Na odwrót, za lóżmy, że uk lad (3) posiada dok ladnie jedno rozwiazanie (a 1,, a n ) Wówczas z pierwszej cześci dowodu r(a u ) = r(a) Wystarczy zatem wykazać, że wektory α 1,, α n sa liniowo niezależne Ale jeżeli b 1,, b n R sa takie, że b 1 α b n α n = θ, to (a 1 +b 1 ) α 1 + +(a n +b n ) α n = a 1 α 1 + +a n α n +Θ = β, wiec (a 1 +b 1,, a n +b n ) jest rozwiazaniem uk ladu (3), skad a i + b i = a i, czyli b i = 0 dla i = 1,, n, a wiec wektory α 1,, α n sa liniowo niezależne Z rezultatów uzyskanych dotychczas wynika, że można stosować nastepuj acy schemat poste- powania dla znalezienia wszystkich rozwiazań uk ladu (3) Najpierw obliczamy r(a) i r(a u ) Jeżeli r(a) r(a u ), to uk lad (3) nie ma rozwiazania Jeśli zaś r = r(a) = r(a u ), to uk lad posiada rozwiazanie Wyznaczamy wówczas r liniowo niezależnych wierszy w macierzy A u i wykreślamy wszystkie pozosta le jej wiersze W otrzymanej macierzy znajdujemy r liniowo niezależnych kolumn Nastepnie w przekszta lconym uk ladzie równań przenosimy na prawa strone wszystkie niewiadome o numerach pozosta lych n k kolumn i stosujemy wzory Cramera dla obliczenia pozosta lych niewiadomych (natomiast niewiadome przenoszone na drugie strony a dowolnymi liczbami) s 5