1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
|
|
- Agata Cieślik
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek próbował opisać przestrzeń, w której żyjemy oraz poznać jej własności. Matematyzacja pojęcia przestrzeni fizycznej nie jest zagadnieniem prostym i jednoznacznym. Punktem wyjścia do poznania różnorodnych przestrzeni fizycznych jest pojęcie przestrzeni liniowej, zwanej również przestrzenią wektorową. Ruch punktów w przestrzeni wyznaczony jest przez funkcje opisujące ich przemieszczenie. Tego typu funkcje nazywamy przekształceniami przestrzeni. Ze względu na prawa zachowania ważną rolę odgrywają przekształcenia liniowe i dlatego ich opisowi należy poświęcić należną uwagę. Zbiór X z wyróżnionym elementem 0 nazywamy przestrzenia liniową (albo wektorową) nad zbiorem liczb rzeczywistych R lub zespolonych C oznaczanym dalej przez K, jeżeli określone zostały działania dodawania elementów zbioru X oraz działanie mnożenia elementów zbioru X przez elementy z K spełniające następujące warunki: (L) x + y = y + x, (L2) (x + y) + z = x + (y + z), (L3) 0 + x = x, (L4) dla każdego x istnieje y takie, że x + y = 0, (L5) α(βx) = (αβ)x, (L6) α(x + y) = αx + αy, (L7) (α + β)x = αx + βx, (L8) x = x, gdzie x, y, z X i α, β K. Elementy przestrzeni X nazywamy wektorami, a element 0 nazywamy wektorem zerowym. Elementy zbioru K nazywamy skalarami. Z warunków (L) (L4) wynika natychmiast, że dla każdego x X istnieje dokładnie jeden element przeciwny x, tj. spełniający warunek x + ( x) = 0. Wektory x,..., x k nazywamy liniowo niezależnymi, jeżeli z warunku α x α k x k = 0 dla pewnych skalarów α,..., α k wynika, że α = α 2 =... = α k = 0. W przeciwnym przypadku, a więc, gdy wcześniejsze równanie ma inne rozwiązania
2 niż α = α 2 =... = α k = 0, wektory x,..., x k nazywamy liniowo zależnymi. Sumę k i= α i x i nazywamy kombinacją liniową wektorów x,..., x k. Zbiór wektorów V X nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli wektory należące do dowolnego skończonego podzbioru V są liniowo niezależne. Zbiór wektorów V rozpina przestrzeń X, jeżeli dowolny wektor x X jest kombinacją liniową pewnych wektorów ze zbioru V. Jeżeli zbiór wektorów V jest liniowo niezależny i rozpina przestrzeń X, to mówimy, że zbiór V jest bazą przestrzeni X. W szczególności, wektory x,..., x k są bazą w przestrzeni X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wektora x X istnieje dokładnie jeden ciąg skalarów α,..., α k taki, że x = α x α k x k. Każda przestrzeń liniowa ma bazę i ilość wektorów w bazie nie zależy od jej wyboru. Jeżeli baza przestrzeni X składa się z k-wektorów, to k nazywamy wymiarem przestrzeni X i piszemy dim X = k (czytamy wymiar X jest równy k ). Mówimy wtedy, że X jest przestrzenią k-wymiarową. Wymiar przestrzeni X oznaczamy przez dim X. Podzbiór X 0 przestrzeni liniowej X nazywamy podprzestrzenią liniową, jeżeli jest zamknięty ze względu na działania w przestrzeni X, tj. x+y X 0 i αx X 0 dla dowolnych x, y X 0 oraz α K. 2 Przykłady przestrzeni liniowych. Przestrzeń R n nad zbiorem R z działaniami (x,..., x n ) + (y,..., y n ) = (x + y,..., x n + y n ), α(x,..., x n ) = (αx,..., αx n ) i wektorem zerowym 0 = (0,..., 0) jest przestrzenią liniową. Na przykład płaszczyznę można utożsamiać z przestrzenią R 2, zaś to co w języku potocznym nazywamy przestrzenią można utożsamić z R 3. Para wektorów e = (, 0) i e 2 = (0, ) w R 2 jest liniowo niezależna. Dowolny wektor x = (x, x 2 ) można przedstawić w postaci x = x e + x 2 e 2, 2
3 a więc zbiór {e, e 2 } jest bazą. Ogólnie, zbiór wektorów postaci e = (, 0,..., 0), e 2 = (0,,..., 0),..., e n = (0, 0,..., ) jest bazą w przestrzeni R n. Taką bazę nazywamy bazą kanoniczną w R n. Nie każda para wektorów w przestrzeni R 2 jest bazą. Na przykład wektory (, 0) i (2, 0) są liniowo zależne i nie tworzą bazy. 2. Przestrzeń C n nad zbiorem C lub nad zbiorem R z wprowadzonymi poprzednio działaniami dodawania i mnożenia przez skalar i wektorem zerowym 0 = (0,..., 0) jest przestrzenią liniową. W przypadku, gdy przestrzeń C n jest określona nad zbiorem C, to podobnie jak poprzednio zbiór {e, e 2,..., e n } jest bazą w tej przestrzeni, a więc jest to przestrzeń n-wymiarowa. Jeżeli przestrzeń C n jest określona nad zbiorem R, to zbiór {e, e 2,..., e n, ie, ie 2,..., ie n } jest bazą w tej przestrzeni, a więc jest to przestrzeń 2n-wymiarowa. 3. Niech E będzie dowolnym zbiorem i niech X będzie przestrzenią funkcji z E w R. Wtedy przestrzeń X z działaniami dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez liczbę rzeczywistą oraz z funkcją f 0 jako elementem zerowym jest przestrzenią liniową. Zauważmy, że jeżeli E = {, 2,..., n}, to X = R n, bo funkcję f: E R możemy utożsamić z ciągiem (f(), f(2),..., f(n)). Podobnie, jeżeli E jest zbiorem liczb naturalnych, to przestrzeń X jest przestrzenią ciągów nieskończonych. W przyszłości poznamy inne przestrzenie funkcji tworzące przestrzenie liniowe. Poza przypadkiem, gdy E jest zbiorem skończonym, nie można efektywnie wypisać bazy w przestrzeni X. 3 Przekształcenie liniowe Niech X będzie przestrzenią liniową nad zbiorem K i niech Y będzie przestrzenią liniową nad zbiorem K. Odwzorowanie S: X Y nazywamy odwzorowaniem liniowym, jeżeli S(αx + βy) = αs(x) + βs(y) dla dowolnych x, y X i α, β K. Jeżeli S jest odwzorowaniem liniowym, to często piszemy Sx zamiast S(x). 3
4 Przekształcenie liniowe można wyznaczyć wiedząc jak działa na wektorach z dowolnej bazy. Ograniczymy się do odwzorowania liniowego S: R n R m. Niech v,..., v n będzie bazą w przestrzeni R n i niech w,..., w m będzie bazą w przestrzeni R m. Dla dowolnego i n wektor Sv i jest elementem przestrzeni R m, a więc istnieje ciąg liczb rzeczywistych a i, a 2i,..., a mi taki, że Sv i = a i w + a 2i w a mi w m. Niech teraz x będzie dowolnym wektorem z R n. Wtedy istnieją stałe x,..., x n, zwane współrzędnymi wektora x w bazie v,..., v n takie, że x = x v x n v n. Z definicji odwzorowania liniowego otrzymujemy Sx = S(x v x n v n ), a stąd Sx = x Sv x n Sv n, a więc wyznaczyliśmy wektor Sx znając wartości odwzorowania S na wektorach bazowych. Korzystając z ostatniego wzoru oraz z przedstawienia wektorów Sv i w bazie w,..., w m możemy również wyznaczyć przedstawienie wektora Sx w bazie w,..., w m : ( m ) ( m Sx = x a i w i x n a in w i ). i= i= Zmieniając kolejność sumowania otrzymujemy n m m ( n Sx = a ij x j w i = a ij x j )w i. j= i= i= j= 4 Przykłady przekształceń liniowych Graficzną reprezentaję działania przekształcenia można w Sage otrzymać transformując krzywą daną parametrycznie i rysując obie krzywe za pomocą parametric_plot. Na przykład weźmy okrąg jednostkowy: 4
5 var( t ) x=( cos(t), sin(t) ) wykonując przekształcenie następującym poleceniem: y=(x[0]+x[],x[]+) otrzymujemy wektor y(t) dany przez: (sin (t) + cos (t), sin (t) + ). Wektory x(t) oraz y(t) można narysować używająć parametric_plot( x,(t,0,2*pi))+\ parametric_plot( y,(t,0,2*pi)) W dalszej części przykładów zostanie użyta funkcja: def show_transform(t,**reszta): var( t ) Identycznosc=lambda w:w k=vector((cos(t),sin(t)++0.)) k2=vector((.2*cos(t)+.4,.2*sin(t)+.4)) k3=vector((.2*cos(t)-.4,.2*sin(t)+.4) ) k4=vector((.5*cos(t),.2*sin(t)+.5) ) ks=[k,k2,k3,k4] colors=[ gray, red, blue, green ] pltlist=[] for T in [Identycznosc,T]: ks_transformed = map(t,ks) p=[ \ parametric_plot(k,(t,0,2*pi),\ figsize=3,fill=true,\ fillcolor=colors[i%len(colors)],\ color=colors[i%len(colors)],**reszta) \ for i,k in enumerate(ks_transformed)] pltlist.append(sum(p)) return pltlist 5
6 Rysunek : Przekształcenie liniowe: symetria osiową względem prostej x = Symetria osiowa Rozważmy odwzorowanie liniowe : S: R 2 R 2 określone na wektorach bazowych e, e 2 wzorami S(, 0) = (, 0), S(0, ) = (0, ). Wtedy S jest symetrią osiową względem prostej x = 0. Tlin=lambda (x,y):vector((-x,y)) pltlist=show_transform(tlin) 4.2 Symetria względem punktu (0, 0) Rozważmy odwzorowanie liniowe : S: R 2 R 2 określone wzorami S(, 0) = (, 0), S(0, ) = (0, ). Wtedy S jest symetrią względem punktu (0, 0). Tlin=lambda (x,y):vector((-x,-y)) pltlist=show_transform(tlin) 6
7 Rysunek 2: Symetria względem punktu (0, 0). 4.3 Obrót Niech α będzie ustalonym kątem. Wtedy odwzorowanie liniowe : S: R 2 R 2 określone wzorami S(, 0) = (cos α, sin α), S(0, ) = ( sin α, cos α) jest obrotem względem początku układu współrzędnych o kąt α przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. phi=pi/5 Tlin=lambda (x,y):vector((cos(phi)*x+sin(phi)*y,\ -sin(phi)*x+cos(phi)*y )) pltlist=show_transform(tlin) 7
8 Rysunek 3: Obrót o π/ Jednokładność Ustalmy k > 0. Wtedy odwzorowanie liniowe : S: R n R n określone wzorem Sx = kx jest jednokładnością w skali k względem początku układu współrzędnych. k= Tlin=lambda (x,y):vector((k*x,k*y)) pltlist=show_transform(tlin) pltlist[0].axes_range(-,,0,2.2) pltlist[].axes_range(-,,0,2.2) 8
9 Rysunek 4: Jednokładność dla k =. 4.5 Rzut Niech S: R 3 R 2 będzie odwzorowaniem danym wzorem S(x, x 2, x 3 ) = (x, x 2 ). Wtedy S jest rzutem prostopadłym z R 3 na R 2. Pokażmy to graficznie dla S: R 2 R Tlin=lambda (x,y):vector((x,0)) pltlist=show_transform(tlin,thickness=5) pltlist[0].axes_range(-.,.,0,2.2) pltlist[].axes_range(-.,.,0,2.2) 9
10 Rysunek 5: Rzut równoległy na oś x. 4.6 Przekształcenie nieliniowe Przekształcenie nieliniowe S: R 2 R 2 może zawierać dowolne funkcje wpólrzędnych punktów. Zobaczmy jak będzie wyglądać figura wyjściowa po działaniu przekształcenia S(x, x 2 ) = (x, sin(2x 2 )). W Sage funkcja defniujące wygląda następująco: Tnonlin=lambda (x,y):vector((x,sin(y*2))) pltlist=show_transform(tnonlin) Na rysunku 6 widzimy podstawowe różnice w działaniu powyższego przekształcenia a poprzednimi liniowymi: obrazy trzech nieprzecinających się okręgów mogą się przecinać a rozciąganie i przesuwanie figur zachodzi w niejednorodny sposób. 0
11 Rysunek 6: Przekształcenie nieliniowe S(x, x 2 ) = (x, sin(2x 2 )). 4.7 Iloczyn skalarny w R n Niech (a,..., a n ) będzie ustalonym wektorem w przestrzeni R n. Odwzorowanie S: R n R określone wzorem Sx = a x + a 2 x a n x n jest odwzorowaniem liniowym, zaś sumę a x + a 2 x a n x n nazywamy iloczynem skalarnym wektorów a i x. Iloczyn skalarny wektorów a, x oznaczamy a, x lub a x. W Sage możemy pokazać, że definiując: var( y y2 c x x2 a a2 ) x=vector([x,x2]) y=vector([y,y2]) a=vector([a,a2]) wlasnosci=[(x+y).dot_product(a)==x.dot_product(a)+y.dot_product(a)\, (c*x).dot_product(a)==c*x.dot_product(a)] zachodzą następujące własności: - (x 2 + y 2 )a 2 + (x + y )a = a x + a y + a 2 x 2 + a 2 y 2 ma wartość logiczną: bool(wlasnosci[0])= True
12 - a cx +a 2 cx 2 = (a x + a 2 x 2 )c ma wartość logiczną: bool(wlasnosci[])= True 4.8 Iloczyn skalarny w C n Niech (a,..., a n ) będzie ustalonym wektorem w przestrzeni C n. Określmy odwzorowanie S: C n C wzorem Sz = z ā + z 2 ā z n ā n, gdzie ā i jest liczbą sprzężoną do a i. Odwzorowanie S jest liniowe. Sumę z, a = z ā + z 2 ā z n ā n nazywamy iloczynem skalarnym wektorów z i a. Jeżeli zamiast odwzorowania S rozważymy odwzorowanie T z = a z + a 2 z a n z n, to T (z + z ) = T z + T z oraz T (αz) = ᾱ T z. Odwzorowanie spełniające powyższe dwa warunki nazywamy antyliniowym. 4.9 Przestrzenie funkcji Niech X będzie przestrzenią funkcji z E w R i niech ϕ będzie dowolną funkcją z E w E. Wtedy odwzorowanie S: X X określone wzorem Sf(x) = f(ϕ(x)) jest odwzorowaniem liniowym. 5 Jądro i obraz przekształcenia Niech S: X Y będzie przekształceniem liniowym. Wtedy zbiór Ker S = {x X: S(x) = 0} nazywamy jądrem odwzorowania S, a zbiór Im S = {S(x): x X} nazywamy obrazem odwzorowania S. Jądro i obraz przekształcenia liniowego są podprzestrzeniami liniowymi, odpowiednio, przestrzeni X i Y. 2
13 Jeżeli Ker S = {0}, to odwzorowanie S jest różnowartościowe, a więc z warunku S(x) = S(y) wynika, że x = y. Wymiar jądra i obrazu odwzorowania S spełniają warunek dim Ker S + dim Im S = n. 3
Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Analiza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Przestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Algebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Algebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Przestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest
Informacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Zadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Przestrzenie liniowe
ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Reprezentacje sygnału Jak reprezentujemy sygnał: wybieramy sygnały wzorcowe (bazę) rozwijamy sygnał w wybranej
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Przestrzenie liniowe
Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie
9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Geometria w R 3. Iloczyn skalarny wektorów
Geometria w R 3 Andrzej Musielak Str 1 Geometria w R 3 Działania na wektorach Wektory w R 3 możemy w naturalny sposób dodawać i odejmować, np.: [2, 3, 1] + [ 1, 2, 1] = [1, 5, 2] [2, 3, 1] [ 1, 2, 1] =
3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Przestrzeń liniowa. Algebra. Aleksander Denisiuk
Algebra Przestrzeń liniowa Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p.
φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Lista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Przekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Informatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a
Działania na zbiorach i ich własności Informatyka Stosowana 1. W dowolnym zbiorze X określamy działanie : a b = b. Pokazać, że jest to działanie łączne. 2. W zbiorze Z określamy działanie : a b = a 2 +
Endomorfizmy liniowe
Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy
4 Przekształcenia liniowe
MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ
Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.
Przekształcenia liniowe
ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przekształcenia liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się
Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X
Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X ILOCZYN SKALARNY Iloczyn skalarny operator na przestrzeni liniowej przypisujący
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
R n jako przestrzeń afiniczna
R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1
Wykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Liczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas
ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia
3 Przestrzenie liniowe
MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Geometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Algebra linowa w pigułce
Algebra Algebra linowa w pigułce Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1 Algebra
Funkcje analityczne. Wykład 2. Płaszczyzna zespolona. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 2. Płaszczyzna zespolona Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać będziemy różne reprezentacje płaszczyzny zespolonej
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ. 1. Ciała
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 1. Ciała Definicja 1. Układ { ; 0, 1; +, } złożony ze zbioru, dwóch wyróżnionych elementów 0, 1 oraz dwóch działań +:, : nazywamy ciałem
Układy równań liniowych, macierze, Google
Układ równań linowych { x+2y = 6, 3x y = 4 (0) Spotkania z Matematyka Układy równań liniowych, macierze, Google Aleksander Denisiuk denisjuk@matman.uwm.edu.pl Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie
Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) 1. Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone
Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając
FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Układy równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Rozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013
Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018
DB Algebra liniowa 1 semestr letni 2018 Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
1 Działania na zbiorach
Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =
Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii
Matematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Funkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) dla każdego s = (s.
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) 1 Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez
Praca domowa - seria 6
Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x
Zajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Zad (0p) Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej wszystkie z C, które spełniają równanie ( iz 3 z z ) Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Szukane z C spełniają: iz 3 = z z Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Zajmijmy się najpierw pierwszym
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Układy współrzędnych
Układy współrzędnych Układ współrzędnych matematycznie - funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni skończony ciąg (krotkę) liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu. Układ współrzędnych
Baza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).
B 2 Suma Zbadać, czy liniowo niezależne wektory u, v, w stanowią bazę przestrzeni liniowej lin { u + 2 v + w, u v + 2 w, 3 u + 5 w } 2 Współrzędne wektora (, 4, 5, 4 ) w pewnej bazie podprzestrzeni U R
Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe
opracował Maciej Grzesiak Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe W algebrze rozpatruje się zbiory abstrakcyjne Natura elementów zbioru się nie liczy Na elementach rozpatruje się działania spełniające
A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)
Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego
1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
1 Podstawowe oznaczenia
Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.
1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup
1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3 є G - (g 1
1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH
R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie
1 Rozwiązywanie układów równań. Wyznaczniki. 2 Wektory kilka faktów użytkowych
Rozwiązywanie układów równań. Wyznaczniki. 2 Wektory kilka faktów użytkowych 2. Wektory. 2.. Wektor jako n ka liczb W fizyce mamy do czynienia z pojęciami lub obiektami o różnym charakterze. Są np. wielkości,
http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych pojęć dotyczących
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Algebra z Geometrią Analityczną. { x + 2y = 5 x y = 9. 4x + 5y 3z = 9, 2x + 4y 3z = 1. { 2x + 3y + z = 5 4x + 5y 3z = 9 7 1,
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Układy równań. Zadanie 1 Wyjaśnij na czym polega metoda elininacji Gaussa rozwiązując układ równań: { x + 2y = 5 x y = 9 Zadanie 2 Rozwiąż układ równań metodą eliminacji
Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)