Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH

Transkrypt

1 Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018

2 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające warunki: a) (x x) 0 ((x x) = 0 x = 0), x R n b) (αx + βy z) = α (x z) + β (y z), c) α,β Rx,y,z V x,y R n (x y) = (y x). Z definicji iloczyn skalarny w przestrzeni R n jest symetrycznym funkcjonałem dwuliniowym generującym dodatnio określony funkcjonał kwadratowy.

3 y iloczynu skalarnego Odwzorowanie ( ) : R n R n R określone wzorem (x y) = x T y jest iloczynem skalarnym w przestrzeni R n. Iloczyn ten nazywać będziemy dalej kanonicznym iloczynem skalarnym w przestrzeni R n. Niech Q będzie macierzą kwadratową, symetryczną i dodatnio określoną. Odwzorowanie ( ) Q : R n R n R, gdzie (x y) Q = x T Qy dla x, y R n, jest również iloczynem skalarnym w przestrzeni R n. W szczególnym przypadku, gdy Q = I, otrzymujemy iloczyn skalarny z przykładu 3.

4 Norma i metryka indukowana przez iloczyn skalarny Definicja Normą indukowaną przez iloczyn skalarny w przestrzeni unitarnej R n nazywamy odwzorowanie : R n R określone wzorem x = (x x). Liczbę x nazywamy normą wektora x. Twierdzenie Jeśli funkcja : R n R jest normą, to funkcja d : R n R n R jest metryką

5 y norm w przestrzeni R n Dla x, y R n i (x y) = x T y mamy x = n x T x = xj 2, j=1 a więc w tym przypadku pojęcie normy wektora pokrywa się z pojęciem długości wektora wprowadzonym w szkole średniej. Dla x, y R n i (x y) Q = x T Qy, gdzie Q = [q ij ], mamy x = n n x T Qx = q ij x i x j, i=1j=1

6 y metryk w przestrzeni R n Dla x, y R n i (x y) = x T y mamy n d (x, y) = (x j y j ) 2. j=1 Dla x, y R n i (x y) Q = x T Qy, gdzie Q = [q ij ] mamy n n d (x, y) = q ij (x i y i ) (x j y j ). i=1j=1

7 Nierówność Schwarza Twierdzenie Dla dowolnych wektorów x, y R n zachodzi nierówność (x y) x y. Ponadto (x y) = x y wtedy i tylko wtedy, gdy wektory x i y są liniowo zależne.

8 Kąt między wektorami Z nierówności Schwarza wynika, że dla dowolnych niezerowych wektorów x, y V zachodzi nierówność 1 (x y) 1. x y Ponieważ dla dowolnej liczby a 1, 1 istnieje dokładnie jedna taka liczba ϕ 0, π, że cos ϕ = a, więc możemy (korzystając z iloczynu skalarnego) określić kąt między wektorami x i y.

9 Kąt między wektorami Definicja Kątem między niezerowymi wektorami x, y V nazywamy taką liczbę ϕ 0, π, że cos ϕ = (x y) x y. Zauważmy, że wynika stąd równość (x y) = x y cos ϕ, a więc wprowadzona definicja jest uogólnieniem pojęcia kąta między wektorami w przestrzeni dwuwymiarowej R 2.

10 y Iloczyn skalarny Niech w przestrzeni R 2 iloczyn skalarny będzie określony wzorem (x y) = x T y. Obliczymy kąt między wektorami x = [ ] 1, y = 2 [ ] 1. 1 Niech w przestrzeni R 3 iloczyn skalarny będzie określony wzorem (x y) = x T y. Obliczymy kąt między wektorami 1 6 x = 2, y =

11 Wektory ortogonalne Jeśli (x y) = 0 dla niezerowych wektorów x, y R n, to kąt między tymi wektorami jest prosty. Uzasadnia to przyjęcie następującej definicji. Definicja Mówimy, że wektory x, y V są ortogonalne (lub prostopadłe) wtedy i tylko wtedy, gdy (x y) = 0. Piszemy wówczas x y. Uwaga W tej definicji nie zakładamy, że wektory są niezerowe, zatem co najmniej jeden z wektorów może być zerowy.

12 Baza ortogonalna i baza ortonormalna Definicja Bazę B = {v 1, v 2,..., v n } przestrzeni R n nazywamy bazą ortogonalną wtedy i tylko wtedy, gdy (v i v j ) = 0 dla i j, j = 1, 2,..., n. Jeśli ponadto v i = 1 dla i = 1, 2,..., n, to bazę B nazywamy bazą ortonormalną. Wektory bazy ortonormalnej B = {v 1, v 2,..., v n } spełniają warunek (v i v j ) = { 1 dla i = j, 0 dla i j. Zbiór {e 1, e 2,..., e n } jest bazą ortonormalną przestrzeni R n z kanonicznym iloczynem skalarnym.

13 Iloczyn skalarny Definicja Przekształcenie liniowe f : R n R n nazywamy izometrią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy f (x) = x dla każdego wektora x V. Twierdzenie Przekształcenie liniowe f : R n R n jest izometrią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy f (x) f (y) = x y dla dowolnych wektorów x, y V.

14 cd Twierdzenie Niech A = [a 1, a 2,..., a n ] będzie macierzą kwadratową. Następujące warunki są równoważne: a) Przekształcenie f : R n R n określone wzorem f (x) = Ax jest izometrią liniową. b) (Ax Ay) = { (x y) dla dowolnych wektorów x, y R n. 1 dla i = j, c) (a i a j ) = 0 dla i j.

15 Macierz ortogonalna Definicja Macierz kwadratową A stopnia n o wyrazach rzeczywistych nazywamy macierzą ortogonalną wtedy i tylko wtedy, gdy A T A = I. Wniosek Jeśli A jest macierzą ortogonalną, to A jest nieosobliwa, A T = A 1 oraz AA T = I. Twierdzenie Przekształcenie f : R n R n określone wzorem f (x) = Ax jest izometrią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A jest ortogonalna.

16 Uzupełnienie ortogonalne Definicja Niech W będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni unitarnej R n. Wektor x R n nazywamy ortogonalnym do podprzestrzeni W wtedy i tylko wtedy, gdy (x y) = 0 dla każdego y W. Zbiór wektorów ortogonalnych do W nazywamy uzupełnieniem ortogonalnym podprzestrzeni W i oznaczamy symbolem W.

17 y Iloczyn skalarny Wyznaczymy zbiór wszystkich wektorów ([ ]) ortogonalnych do 2 podprzestrzeni liniowej W = L. 1 Wyznaczymy uzupełnienie ortogonalne podprzestrzeni { } W = x R 3 : x 1 + x 2 x 3 = 0.

18 Ortogonalizacja Grama -Schmidta Twierdzenie Jeśli wektory v 1, v 2,..., v n są liniowo niezależne, to wektory w 1 = v 1, w 2 = v 2 (v 2 w 1 ) w 1 2 w 1, w 3 = v 3 (v 3 w 1 ) w 1 2 w 1 (v 3 w 2 ) w 2 2 w 2,. w n = v n n 1 j=1 (v n w j ) w j 2 w j są wzajemnie ortogonalne oraz L(v 1, v 2,..., v n ) = L(w 1, w 2,..., w n ).

19 y Iloczyn skalarny Wyznaczymy bazę ortogonalną przestrzeni L 2, 1, Wyznaczymy bazę ortogonalną przestrzeni L 1,

20 y Iloczyn skalarny Wyznaczymy bazę ortogonalną przestrzeni { } W = x R 4 : x 1 x 2 + x 3 + x 4 = 0. Wyznaczymy bazę ortogonalną przestrzeni { } W = x R 4 : 2x 1 x 2 + x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + x 3 x 4 = 0.

21 Twierdzenie o rozkładzie Twierdzenie Jeśli W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni unitarnej R n, to: a) W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R n, b) istnieje taka baza ortogonalna B = {v 1, v 2,..., v n } przestrzeni R n, że W = L (v 1,..., v k ), W = L (v k+1,..., v k ). c) każdy wektor x R n ma jednoznaczne przedstawienie x = x 1 + x 2, gdzie x 1 W, x 2 W.

22 Definicja rzutu ortogonalnego Uwaga Jeśli W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R n, to dowolny wektor x R n ma jednoznaczne przedstawienie w postaci x = x + z, gdzie x W, z W. Ten rozkład możemy zapisać również w postaci x = x + (x x), gdzie x W, x x W. Definicja Niech W będzie podprzestrzenią przestrzeni R n. Odwzorowanie P : R n R n takie, że dla każdego x R n spełnione są warunki P(x) W, x P(x) W nazywamy rzutem ortogonalnym (lub projekcją) przestrzeni R n na podprzestrzeń liniową W.

23 Własności rzutu ortogonalnego Twierdzenie Jeśli P : R n R n jest rzutem ortogonalnym przestrzeni R n na podprzestrzeń W, to: a) P jest przekształceniem liniowym, b) P(x) = x dla x W, c) P(x) = 0 dla x W, d) P P = P, e) P(x) x, f) x P(x) = min { x y : y W }.

24 Własności rzutu ortogonalnego cd Warunek f) powyższego twierdzenia oznacza, że P(x) jest tym wektorem (punktem) z podprzestrzeni W, który jest położony najbliżej wektora (punktu) x. Liczba x P(x) jest zatem równa odległości x od podprzestrzeni W. x W P(x) Rysunek

25 y Iloczyn skalarny Wyznaczymy rzut ortogonalny P przestrzeni R n na podprzestrzeń W = L(a), gdzie a 0. Wyznaczymy rzut ortogonalny P przestrzeni R n na podprzestrzeń W = L(a, b), gdzie a i b są liniowo niezależne.

26 Własności rzutu ortogonalnego cd Twierdzenie Niech ( ) będzie kanonicznym iloczynem skalarnym w przestrzeni R n. Jeśli wektory a 1, a 2,..., a k są liniowo niezależne, to rzutem ortogonalnym wektora x na podprzestrzeń W = L(a 1, a 2,..., a k ) jest wektor x = A(A T A) 1 A T x, gdzie A = [a 1, a 2,..., a k ].

27 Iloczyn skalarny 1 1 Wyznaczymy rzut ortogonalny wektora x = na podprzestrzeń 1 1 W = { } x R 4 : x 1 + 2x 2 x 3 + x 4 = 0 x 1 + x 2 + 2x 3 + 2x 4 = Obliczymy odległość wektora x = od podprzestrzeni W. 1 1