Algebra liniowa i geometria analityczna. Autorzy: Agnieszka Kowalik Michał Góra

Transkrypt

1 Algebra liniowa i geometria analityczna Autorzy: Agnieszka Kowalik Michał Góra 9

2 Spis treści Liczby zespolone Postać algebraiczna liczby zespolonej Moduł i argument liczby zespolonej Postać trygonometryczna liczby zespolonej Postać wykładnicza liczby zespolonej Pierwiastki z liczby zespolonej Równania w zbiorze liczb zespolonych Zbiory liczb zespolonych - interpretacja geometryczna Działania na macierzach Szczególne typy macierzy Wyznacznik macierzy - definicja i własności Wyznaczniki macierzy stopni i Metoda Laplace'a obliczania wyznaczników Macierz odwrotna Rząd macierzy Wartości i wektory własne definicje i metoda wyznaczania Wartości i wektory własne własności Wartości własne macierzy trójkątnych Wartości własne macierzy rzeczywistych Wartości własne macierzy hermitowskich Układy równań liniowych Metoda eliminacji Gaussa Wektory w trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej Iloczyn skalarny wektorów Iloczyn wektorowy Iloczyn mieszany Proste w trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej Płaszczyzny w trójwymiarowej przestrzeni rzeczywistej Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn

3 Liczby zespolone DEFINICJA Definicja : Zbiór liczb zespolonych Zbiór C = {(x, y) : x, y R} z działaniami + i określonymi jako ( x, y ) + ( x, y ) = ( x + x, y + y ), ( x, y ) ( x, y ) = ( x x y y, x y + x y ). nazywamy zbiorem liczb zespolonych, a jego elementy liczbami zespolonymi. TWIERDZENIE Twierdzenie : Własności dodawania i mnożenia liczb zespolonych Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych mają następujące własności: Dodawanie jest przemienne, tj. dla dowolnych liczb z, z C zachodzi z + z = z + z. Dodawanie jest łączne, tj. dla dowolnych liczb z, z, z C zachodzi ( z + z ) + z = z + ( z + z ). Liczba = (, ) jest elementem neutralnym dodawania, tj. dla dowolnej liczby zespolonej z zachodzi z + = + z = z. Dla dowolnej liczby zespolonej z = (x, y) liczba z = ( x, y) jest przeciwna do liczby z, tj. z + ( z) =. Mnożenie jest przemienne, tj. dla dowolnych liczb z, z C zachodzi z z = z z. Mnożenie jest łączne, tj. dla dowolnych liczb z, z, z C zachodzi ( z z ) z = z ( z z ). Liczba = (, ) jest elementem neutralnym mnożenia, tj. dla dowolnej liczby zespolonej z zachodzi z = z = z. Dla dowolnej, różnej od liczby zespolonej z = (x, y) liczba z = ( x y, ) jest odwrotnością liczby z, tj. x + y x + y z z =. Mnożenie jest rozdzielne względem dodawania, tj. dla dowolnych liczb z, z, z C zachodzi ( z + z ) z = z z + z z Geometrycznie liczbę zespoloną z = (x, y) interpretujemy jako wektor zaczepiony w punkcie (, ) o końcu w punkcie (x, y). Rysunek : Interpretacja geometryczna liczby zespolonej. W tej interpretacji w naturalny sposób zobrazujemy dodawanie liczb zespolonych jako dodawanie wektorów:

4 Rysunek : Interpretacja geometryczna dodawania liczb zespolonych. Zbiór liczb zespolonych możemy również interpretować jako zbiór punktów na płaszczyźnie. Rysunek : Interpretacja geometryczna liczby zespolonej W tej interpretacji naturalnym staje się określenie równości liczb zespolonych. Otóż dwie liczby zespolone z = ( x, y ) oraz z = ( x, y )) są równe, jeżeli x = x oraz y = y. Zbiór wszystkich liczb zespolonych na płaszczyźnie (wektorów lub punktów) nazywamy płaszczyzną zespoloną (lub płaszczyzną Gaussa). W zbiorze liczb zespolonych rozważmy podzbiór {(x, ) : x R} składający się z liczb zespolonych leżących na osi odciętych OX. Zauważmy, że liczby tej postaci mają następujące własności: ( x, ) + ( x, ) = ( x + x, ) ( x, ) ( x, ) = ( x x, x + x ) = ( x x, ). Dzięki temu możemy utożsamić zbiór liczb zespolonych postaci {(x, ) : x R} ze zbiorem liczb rzeczywistych i parę {OPENAGHMATHJAX ()}(x,){openaghmathjax} zapisywać po prostu jako x. Oś OX będziemy wówczas nazywać osią rzeczywistą. Wyróżnijmy teraz jednostkę na osi OY, tj. liczbę zespoloną postaci (, ). DEFINICJA Definicja : Liczbę i = (, ) nazywamy jednostką urojoną. Zauważmy, że i = (, ) (, ) = (, + ) = (, ) =. Powyższy fakt, niemożliwy dla liczb rzeczywistych, tłumaczy nazwę "jednostka urojona". Oś OY, której wersorem jest jednostka urojona, będziemy nazywać osią urojoną. Niech z = (x, y) będzie liczbą zespoloną. Współrzędna x liczby z jest określona względem osi rzeczywistej OX, dlatego mówimy, że jest to część rzeczywista liczby z. z Z kolei współrzędna y liczby z jest określona względem osi urojonej OY i dlatego nosi nazwę części urojonej liczby z. z Dla liczby zespolonej z = (x, y) wprowadzamy oznaczenia Rez = x od łacińskiego słowa realis( z) oznaczającego część rzeczywistą liczby z oraz Imz = y

5 od łacińskiego imaginarius( z) oznaczającego część urojoną liczby z. Rysunek : Interpretacja geometryczna liczby zespolonej Postać algebraiczna liczby zespolonej DEFINICJA Definicja : Postać algebraiczna liczby zespolonej Niech z = (x, y), gdzie x, y R będzie dowolną liczbą zespoloną. Zauważmy, że liczbę z możemy zapisać następująco: z = (x, y) = (x, ) + (, y) = (x, ) + (y, ) (, ). Wówczas oznaczając x = (x, ), y = (y, ) oraz i = (, ) otrzymujemy postać algebraiczną (Hamiltona, kanoniczną) liczby zespolonej z z = x + iy. Rysunek : Interpretacja geometryczna liczby zespolonej w postaci algebraicznej Niech z = x + iy będzie liczbą zespoloną w postaci algebraicznej. Przypomnijmy, że liczbę x nazywamy częścią rzeczywistą liczby z i oznaczamy sybolem Rez, zaś liczbę y nazywamy częścią urojoną liczby z i oznaczamy symbolem Imz. Przykład : Dla liczby zespolonej z = i częścią rzeczywistą jest liczba Rez =, a częścią urojoną liczba Imz =. Niech z = ( x, y ) oraz z = ( x, y ) będą liczbami zespolonymi. Liczby z i z, jako uporządkowane pary punktów, są równe wtedy i tylko wtedy, gdy x = x oraz y = y. Stąd, zapisując liczby z i z w postaci algebraicznej jako z = x + iy oraz z = x + iy otrzymujemy, że z = z wtedy i tylko wtedy, gdy Re z = Rez oraz Im z = Imz.

6 Postać kanoniczna liczby zespolonej umożliwia dodawanie i mnożenie liczb zespolonych tak samo jak wielomianów, tzn. podobny do podobnego (dla dodawania) i każdy z każdym (dla mnożenia), w przypadku mnożenia pamiętając o warunku i =. Przy dzieleniu przez liczbę zespoloną z = x + iy mnożymy dzielną i dzielnik przez x iy, otrzymując w mianowniku liczbę rzeczywistą. Przykład : Niech z = i, w = + i. Mamy: z + w = i + i = ( ) + ( i + i) = + ( i) = i. z w = i ( + i) = ( ( )) + ( i i) = i. z w = ( i) ( + i) = + i + i (i ) = + i ( ) = + + i = + i. z i ( i)( i) i + i + i = = = + i = = + i. w + i ( + i)( i) + i i i DEFINICJA Definicja : Sprzężenie liczby zespolonej Niech z = x + iy, gdzie x, y R. Sprzężeniem liczby z nazywamy liczbę z daną wzorem z = x iy. Rysunek 6: Sprzężenie liczby zespolonej TWIERDZENIE Twierdzenie : Własności sprzężenia liczb zespolonych Niech z, z, z C. Prawdziwe są następujące własności: a) z + z = z + z ; c) z z = z z ; e) ( z ) = z; g) z z = iimz. b) z z = z z ; z d) ( z ) =, dla z ; z z f) z + z = Rez;

7 Moduł i argument liczby zespolonej DEFINICJA Definicja : Moduł liczby zespolonej Niech z = x + iy, gdzie x, y R, będzie dowolną liczbą zespoloną. Modułem liczby z nazywamy liczbę rzeczywistą z daną wzorem z = x + y. Innym, powszechnie stosowanym oznaczeniem modułu liczby zespolonej z jest symbol r = z. Przykład : Obliczymy moduł liczby z = i. Część rzeczywista liczby z wynosi x =, zaś część urojona y =, zatem z = ( ) + ( ) = + = 6. Geometrycznie moduł liczby zespolonej z to odległość tej liczby od początku układu współrzędnych. Rysunek 7: Interpretacja geometryczna modułu liczby zespolonej Powyższą interpretację możemy rozszerzyć na dwie dowolne liczby zespolone. Niech mianowicie z = x + iy oraz z = x + iy będą dwiema liczbami zespolonymi. Wówczas z z = (x x ) + i(y y ) oraz Rez = x x, Imz = y y. Mamy z z = (x x ) + (y y ). Zauważmy, że wyrażenie po prawej stronie równości jest zwykłą odległością euklidesową punktu (x, y) od punktu ( x, y ). Zatem dla dowolych liczb zespolonych z, z C moduł ich różnicy z z oznacza odległość z od z na płaszczyźnie zespolonej. Rysunek 8: Interpretacja geometryczna modułu różnicy dwóch liczb zespolonych

8 TWIERDZENIE Twierdzenie : Własności modułu liczby zespolonej Niech z, z, z C. Prawdziwe są następujące własności: z, przy czym z = wtedy i tylko wtedy, gdy z = ; z + z z + z ; z z z z ; z z = z ; z z = z z ; z z =, jeżeli. z z = z / DEFINICJA Definicja 6: Argument liczby zespolonej Niech z = x + iy, gdzie x, y R, będzie liczbą zespoloną różną od zera. Argumentem liczby z nazywamy każdą liczbę rzeczywistą φ, spełniającą warunki: x cos φ =, z { y. sin φ =. z Argumentem głównym liczby z nazywamy ten argument, który należy do przedziału [, π). () Przyjmujemy, że argumentem liczby zespolonej z = jest dowolna liczba rzeczywista φ R, zaś argumentem głównym dla z = jest φ =. Argument liczby z oznaczamy symbolem argz, zaś argument główny symbolem Argz. Mamy zatem argz = Argz + kπ, gdzie k Z. Geometrycznie argument liczby zespolonej z to kąt skierowany, jaki tworzy wektor z z dodatnią półosią osi rzeczywistej Rez. Rysunek 9: Interpretacja geometryczna argumentu liczby zespolonej

9 Przykład : Obliczymy argument główny liczby z = + i. Mamy: z = + =. Układ równań ( ) ma postać:, cos φ = {. sin φ =. Kątem z przedziału [, π spełniającym powyższy układ równań jest φ = π. Zatem Argz = π. 8 Zauważmy przy tym, że rozważany układ równań jest spełniony także dla φ = π czy dla φ. Zarówno jak i = π φ φ są zatem argumentami liczby z = +, przy czym φ = φ π, a φ = φ + π. Korzystając z zależności argz = Argz + kπ, gdzie k Z możemy wyliczyć inne argumenty liczby z. DEFINICJA Definicja 7: Biegunowy układ współrzędnych Dla ustalenia położenia punktu na płaszczyźnie można wprowadzić biegunowy układ odniesienia. W biegunowym układzie odniesienia wyróżniamy pewien punkt płaszczyzny, nazywany biegunem płaszczyzny oraz pewną wyróżnioną półprostą poprowadzoną z bieguna, nazywaną półosią biegunową. Wówczas położenie dowolnego punktu płaszczyzny określamy poprzez podanie odległości r tego punktu od bieguna oraz określenie kąta skierowanego φ pomiędzy półosią biegunową a półprostą o początku w biegunie i przechodzącą przez dany punkt (tzw. promieniem wodzącym tego punktu). Rysunek : Biegunowy układ współrzędnych na płaszczyźnie Łatwo zauważyć, że dla liczby zespolonej z = x + iy, podanie jej modułu r = z i argumentu φ = Argz jest opisem położenia liczby z względem bieguna w punkcie oraz półosi dodatniej jako półosi biegunowej. Rysunek : Biegunowy (polarny) opis położenia liczby zespolonej na płaszczyźnie zespolonej

10 DEFINICJA Definicja 8: Moduł liczby zespolonej Niech z = x + iy, gdzie x, y R, będzie dowolną liczbą zespoloną. Modułem liczby z nazywamy liczbę rzeczywistą z daną wzorem z = x + y. Innym, powszechnie stosowanym oznaczeniem modułu liczby zespolonej zjest symbol r = z. Przykład : Obliczymy moduł liczby z = i. Część rzeczywista liczby z wynosi x =, zaś część urojona y =, zatem z = ( ) + ( ) = + = 6. Geometrycznie moduł liczby zespolonej z to odległość tej liczby od początku układu współrzędnych. Rysunek : Interpretacja geometryczna modułu liczby zespolonej Powyższą interpretację możemy rozszerzyć na dwie dowolne liczby zespolone. Niech mianowicie z = x + iy oraz z = x + iy będą dwiema liczbami zespolonymi. Wówczas z z = (x x ) + i(y y ) oraz Rez = x x, Imz = y y. Mamy z z = (x x ) + (y y ). Zauważmy, że wyrażenie po prawej stronie równości jest zwykłą odległością euklidesową punktu (x, y) od punktu ( x, y ). Zatem dla dowolych liczb zespolonych z, z C moduł ich różnicy z z oznacza odległość z od z na płaszczyźnie zespolonej. Rysunek : Interpretacja geometryczna modułu różnicy dwóch liczb zespolonych

11 TWIERDZENIE Twierdzenie : Własności modułu liczby zespolonej Niech z, z, z C. Prawdziwe są następujące własności: z, przy czym z = wtedy i tylko wtedy, gdy z = ; z + z z + z ; z z z z ; z z = z ; z z = z z ; z z =, jeżeli. z z = z / DEFINICJA Definicja 9: Argument liczby zespolonej Niech z = x + iy, gdzie x, y R, będzie liczbą zespoloną różną od zera. Argumentem liczby z nazywamy każdą liczbę rzeczywistą φ, spełniającą warunki: x cos φ =, z { y sin φ =. z Argumentem głównym liczby z nazywamy ten argument, który należy do przedziału [, π) () Przyjmujemy, że argumentem liczby zespolonej z = jest dowolna liczba rzeczywista φ R, zaś argumentem głównym dla z = jest φ =. Argument liczby z oznaczamy symbolem argz, zaś argument główny symbolem Argz. Mamy zatem argz = Argz + kπ, gdzie k Z. Geometrycznie argument liczby zespolonej z to kąt skierowany, jaki tworzy wektor z z dodatnią półosią osi rzeczywistej Rez. Rysunek : Interpretacja geometryczna argumentu liczby zespolonej

12 Przykład 6: Obliczymy argument główny liczby z = + i. Mamy: z = + =. Układ równań ( ) ma postać: { cos φ =, sin φ =. Kątem z przedziału [, π) spełniającym powyższy układ równań jest φ = π. Zatem Argz = π. 8 Zauważmy przy tym, że rozważany układ równań jest spełniony także dla φ = π czy dla φ, Zarówno jak i = π φ φ są zatem argumentami liczby z = +, przy czym φ = φ π, a φ = φ + π. Korzystając z zależności argz = Argz + kπ, gdzie k Z możemy wyliczyć inne argumenty liczby z. DEFINICJA Definicja : Biegunowy układ współrzędnych Dla ustalenia położenia punktu na płaszczyźnie można wprowadzić biegunowy układ odniesienia. W biegunowym układzie odniesienia wyróżniamy pewien punkt płaszczyzny, nazywany biegunem płaszczyzny oraz pewną wyróżnioną półprostą poprowadzoną z bieguna, nazywaną półosią biegunową. Wówczas położenie dowolnego punktu płaszczyzny określamy poprzez podanie odległości r tego punktu od bieguna oraz określenie kąta skierowanego φ pomiędzy półosią biegunową a półprostą o początku w biegunie i przechodzącą przez dany punkt (tzw. promieniem wodzącym tego punktu). Rysunek : Biegunowy układ współrzędnych na płaszczyźnie Łatwo zauważyć, że dla liczby zespolonej z = x + iy, podanie jej modułu r = z i argumentu φ = Argz jest opisem położenia liczby z względem bieguna w punkcie oraz półosi dodatniej jako półosi biegunowej. Rysunek 6: Biegunowy (polarny) opis położenia liczby zespolonej na płaszczyźnie zespolonej Postać trygonometryczna liczby zespolonej Niech z = x + iy będzie dowolną, różną od liczbą zespoloną. Zauważmy, że liczbę z możemy zapisać w postaci z = x + iy = x + y x y ( + i ). x + y x + y y

13 Łatwo również zauważyć, że liczba x + y x y określa moduł r = z, zaś wielkości i stanowią odpowiednio x + y x + y cos φ i sin φ, gdzie φ = argz. Rysunek 7: Interpretacja geometryczna liczby zespolonej Zatem dowolną liczbę zespoloną z (również z = ) można zapisać w postaci z = r(cos φ + i sin φ). DEFINICJA Definicja : Powyższe przedstawienie liczby z nazywamy jej postacią trygonometryczną. Rysunek 8: Interpretacja geometryczna postaci trygonometrycznej liczby zespolonej Z określenia postaci trygonometrycznej liczby zespolonej łatwo wynika, że aby tę postać uzyskać wystarczy obliczyć moduł oraz jeden z argumentów danej liczby zespolonej. Przykład 7: Przedstawimy liczbę z = i w postaci trygonometrycznej. Wówczas Rez =, Imz =, skąd obliczamy z = + =. Rozwiązując układ równań cos φ = = sin φ = =, () otrzymujemy zbiór argumentów z, w szczególności argument główny φ = π. Zatem z = (cos π + i sin π).

14 Warto podkreślić, że przedstawienie liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej nie jest jednoznaczne. Wynika to z faktu, że dla danej liczby zespolonej, zbiór jej argumentów jest nieskończony. W szczególności w powyższym przykładzie moglibyśmy napisać z = (cos( π) + i sin( π)) gdyż, jak łatwo sprawdzić, również kąt ( π) spełnia układ ( ). TWIERDZENIE Twierdzenie : Równość liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej Załóżmy, że z, z C {}. Jeżeli z = r (cos φ + i sin φ ) oraz z = r (cos φ + i sin φ ), to wówczas z = z wtedy i tylko wtedy, gdy r = r oraz φ = φ + kπ dla pewnej liczby całkowitej k. TWIERDZENIE Twierdzenie 6: Iloczyn liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej Niech z = r (cos φ + i sin φ ) oraz z = r (cos φ + i sin φ ) będą dwiema liczbami zespolonymi w postaci trygonometrycznej. Wtedy ich iloczyn jest równy z z = r r (cos( φ + φ ) + i sin( φ + φ )). A zatem, przy mnożeniu liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej ich moduły się mnoży, a argumenty dodaje. TWIERDZENIE Twierdzenie 7: Iloraz liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej Niech z = r (cos φ + i sin φ ) oraz z = r (cos φ + i sin φ ) będą dwiema liczbami zespolonymi w postaci trygonometrycznej, przy czym z. Wtedy ich iloraz jest równy z r = (cos( φ ) + i sin( )). z r φ φ φ Zatem przy dzieleniu liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej ich moduły się dzieli, a argumenty odejmuje. TWIERDZENIE Twierdzenie 8: Potęga liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej Niech z = r(cos φ + i sin φ). Wtedy dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi. z n = r n (cos(nφ) + i sin(nφ)) (wzór de Moivre'a),. z n =. z n

15 Przykład 8: Przedstawimy liczbę ( i) w postaci algebraicznej. Niech z = i. Wówczas z = + =. Mamy zatem cos φ sin φ skąd otrzymujemy argument główny liczby z równy 7 π. Stąd = = = =, Aby obliczyć z korzystamy ze wzoru de Moivre'a: Korzystając z okresowości funkcji sinus i cosinus otrzymujemy z = (cos π + i sin π). z = ( (cos π + i sin π)) = Wstawiając wartości cos( π) i sin( π) otrzymujemy ostatecznie ( ) (cos 7 π + i sin π) = (cos( )π + i sin( )π) = 7 (cos(8π π) + i sin(8π π)) z = ( (cos π + i sin π)) = ( ) (cos 7 π + i sin π) = (cos( )π + i sin( )π) = 7 (cos(8π π) + i sin(8π π)) = (cos( π) + i sin( π)). z 7 = ( i) = i. Przykład 9: Przedstawimy liczbę ( i) 6 w postaci algebraicznej. Niech z = i. Wówczas mamy z = 8 =, cos φ =, sin φ =. Stąd φ = π, zatem postać trygonometryczna liczby z to z = (cos π + i sin π). Korzystając ze wzoru de Moivre'a otrzymujemy z 6 = ( ) 6 (cos π + i sin π) = 6 (cos(6π π) + i sin(6π + π)) = 8 (cos π + i sin π) = 8i.

16 Przykład : Wyliczymy wartość wyrażenia ( +i) ( i) 6. Oznaczmy z = + i oraz w = i. Mamy wówczas z = oraz w =. Niech teraz φ oznacza argument główny liczby z, zaś ψ argument główny liczby w. Mamy: cos φ sin φ = = cos ψ = oraz {, sin ψ = skąd φ = π, zaś ψ = π. Korzystając ze wzoru de Moivre'a obliczymy teraz z oraz w 6. Mamy: z = ( ) (cos π + i sin π) = (cos π + i sin π), w 6 = 6 (cos 8 8 π + i sin π) = 6 (cos π + i sin π). Stosując twierdzenie Iloraz liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej obliczamy z w 6 6 = (cos( π π) + i sin( π π)) = 6 6 (cos π + i sin π) = ( + i ) = i. Postać wykładnicza liczby zespolonej DEFINICJA Definicja : Symbol e iφ Niech φ R. Symbolem e iφ oznaczamy liczbę zespoloną cos φ + i sin φ. Mamy zatem e iφ = cos φ + i sin φ. Wprost z definicji wynika, że e iφ = oraz arg( e iφ ) = φ + kπ dla k Z.

17 TWIERDZENIE Twierdzenie 9: Własności symbolu e iφ Niech φ, φ, φ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi i niech k będzie dowolną liczbą całkowitą. Wówczas e i( + ) e i( ) φ φ = e iφ e iφ ; φ φ e = ; e iφ ( e iφ ) k = e ikφ ; e i(φ+kπ) = e iφ ; e iφ ; e iφ = e iφ φ = φ + kπ. DEFINICJA Definicja : Postać wykładnicza liczby zespolonej Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci z = r e iφ, gdzie r oznacza moduł, zaś φ R jest argumentem liczby z. Postać z = re iφ nazywamy postacią wykładniczą liczby zespolonej. Przykład : Zapiszemy liczbę z = i w postaci wykładniczej. Aby tego dokonać rozpoczynamy od obliczenia modułu i argumentu liczby z. Mamy: z = + =. Następnie: { cos φ = = sin φ = =. Argumentem głównym z jest φ = π, zatem z =. e i π Warto zapamiętać, że podobnie jak w przypadku postaci trygonometrycznej, zapis liczby zespolonej w postaci wykładniczej nie jest jednoznaczny. Wynika to z faktu, że dowolna liczba zespolona ma nieskończenie wiele argumentów.

18 TWIERDZENIE Twierdzenie : Równość liczb zespolonych w postaci wykładniczej Niech z = r e iφ oraz z = r e iφ będą dwiema liczbami zespolonymi w postaci wykładniczej. Wówczas z = z wtedy i tylko wtedy, gdy r = r oraz φ = φ + kπ, dla pewnej liczby całkowitej k. TWIERDZENIE Twierdzenie : Działania na liczbach zespolonych w postaci wykładniczej Niech z = r e iφ, z = r e iφ oraz z = r e iφ będą liczbami zespolonymi w postaci wykładniczej oraz niech k będzie liczbą całkowitą. Wówczas. z = r e iφ ;. z z = r r e i( φ + φ ) ; z. r = e i( φ φ ) dla z z r C {};. = dla z r e iφ z C {};. z k = r k e ikφ. Przy pomocy liczby e iφ = cos φ + i sin φ wyrażamy cosinus i sinus kąta φ. Mamy mianowicie TWIERDZENIE Twierdzenie : Wzory Eulera e iφ + e iφ e iφ e iφ i cos φ =, sin φ =. Warto wspomnieć w tym miejscu o jeszcze jednym wzorze, również nazywanym wzorem Eulera lub tożsamością Eulera. Przedstawiając mianowicie liczbę w postaci wykładniczej, tj. jako = e iπ, otrzymujemy wzór łączący pięć najważniejszych stałych matematycznych: e iπ + =. Przez wielu, wzór ten uważany jest za najpiękniejszy wzór matematyczny. Pierwiastki z liczby zespolonej

19 DEFINICJA Definicja : Pierwiastek z liczby zespolonej Niech n będzie liczbą naturalną. Pierwiastkiem stopnia n z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną w spełniającą warunek w n = z Symbolem n z oznaczamy zbiór pierwiastków n-tego stopnia z liczby zespolonej z. Przykład : Przyjrzyjmy się równaniu w =. Rozważając to równanie w dziedzinie rzeczywistej otrzymamy jedno jedyne rozwiązanie w =, bo = oraz jest liczbą nieujemną. Traktując natomiast liczbę jako liczbę zespoloną i obliczając z niej pierwiastek zespolony drugiego stopnia otrzymamy w = { ponieważ kwadraty obydwu tych liczb są równe.

20 Przykład : Obliczmy i. Zgodnie z definicją poszukujemy wszystkich liczb zespolonych w spełniających równanie = i. Niech w = x + iy, gdzie x, y R. Mamy w = i (x + iy ) = i x y + ixy = i. Porównując części rzeczywiste i urojone obu stron równania otrzymujemy układ równań Wyliczając z równania () y = (zauważmy, że dla x = równanie () jest sprzeczne, a zatem możemy założyć, że x x i wstawiając do równania () otrzymujemy skąd z kolei, mnożąc obustronnie przez x i przenosząc wszystko na lewą stronę otrzymujemy równanie dwukwadratowe Wstawiając następnie pomocniczą zmienną t = x, gdzie t > dostajemy równanie kwadratowe w x y = () {. xy = () x =, x x x =. t t =, którego rozwiązaniami są liczby t = i t =, przy czym t nie spełnia założenia t >. Zatem x =, a stąd x = lub x =. Otrzymaliśmy już części rzeczywiste szukanych pierwiastków, pozostaje jeszcze wyliczyć części urojone, korzystając z wcześniej wyprowadzonej zależności y =. I tak: dla x otrzymujemy, x = y = zaś dla x = y =. Wobec tego poszukiwanymi pierwiastkami są liczby w = i, w = + i. TWIERDZENIE Twierdzenie : Wzór na pierwiastki z liczby zespolonej Dla każdej różnej od zera liczby zespolonej z i dla każdej liczby naturalnej n istnieje dokładnie n różnych pierwiastków zespolonych stopnia n z liczby z, tworzących zbiór { w, w,, w n }. Jeżeli liczba z jest postaci z = r(cos φ + i sin φ), to pierwiastki te wyrażają się wzorami w k = r (cos + i sin ), k =,,, n. n φ+kπ n φ+kπ n () Podkreślmy, że symbol n r występujący w powyższym wzorze oznacza "zwykły" pierwiastek arytmetyczny stopnia n z liczby rzeczywistej r, jest zatem określony jednoznacznie. Warto zapamiętać, że w interpretacji geometrycznej wszystkie pierwiastki zespolone stopnia n z liczby z = r(cos φ + i sin φ) leżą na okręgu o środku w punkcie (, ) i promieniu [n r, w punktach będących wierzchołkami n-kąta foremnego wpisanego w ten okrąg. Warto także zaznaczyć, że zbiór pierwiastków z liczby zespolonej z nie zależy od wyboru argumentu tej liczby.

21 Przykład : Obliczymy pierwiastki stopnia 6 z liczby z =. Łatwo zauważyć, że liczbę z = możemy zapisać jako = (cos + i sin ). Stąd r = oraz φ =. Oznaczmy 6 = { w,, w } i zastosujmy wzór ( ). Mamy: w = (cos + i sin ) = ( + i) =, w = (cos + i sin ) = (cos + i sin ) = + i, 6 +π 6 +π 6 w = (cos + i sin ) = (cos + i sin ) = + i, 6 +π 6 +π 6 w = (cos + i sin ) = (cos π + i sin π) = 6 +6π 6 +6π 6 w = (cos + i sin ) = (cos + i sin ) = i, 6 +8π 6 +8π 6 w = (cos + i sin ) = (cos + i sin ) = i. 6 +π 6 +π 6 Zaznaczając liczby w, w, w, w, w i w na płaszczyźnie zespolonej otrzymamy π π π π π π π π Rysunek 9: Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków 6-go stopnia z liczby zespolonej z =. Zapiszmy teraz z = (cos π + i sin π). Tym razem zastosujemy wzór ( ) dla r = i φ = π. Mamy: w = (cos + i sin ) = (cos + i sin ) = + i, 6 π+ 6 π+π 6 π+ 6 π+π 6 w = 6 (cos + i sin ) = (cos + i sin ) = + i, π+π 6 w = 6 (cos + i sin ) = (cos π + i sin π) =, π+6π 6 π+6π 6 Łatwo widać, że otrzymane liczby różnią się tylko kolejnością. π+π 6 w = 6 (cos + i sin ) = (cos + i sin ) = i, π+8π 6 w = 6 (cos + i sin ) = (cos + i sin ) = i, π+π 6 π+8π 6 π+π 6 π π π π π π π π w = 6 (cos + i sin ) = ( + i) =.

22 Przykład : Obliczymy pierwiastki stopnia z liczby z = + i. Rozpoczniemy od przedstawienia liczby z w postaci trygonometrycznej. Mamy: z = + = oraz cos φ sin φ = = = =. Argumentem głównym liczby z jest φ = π, stąd z = (cos π + i sin π). Do obliczenia pierwiastków z liczby z wykorzystamy wzór ( ). Mamy: π+ π+ w = (cos + i sin ) = (cos + i sin ) = + i, π+π w = (cos + i sin ) = (cos + i sin ) = + i, π+π π+π w = (cos + i sin ) = (cos + i sin ) = i, π+6π π+π w = (cos + i sin ) = (cos + i sin ) = i. π+6π Na płaszczyźnie zespolonej otrzymane pierwiastki tworzą kwadrat o środku w punkcie (, ), jak na rysunku poniżej (Rys. ): π 6 π 7π 6 π π 6 π 7π 6 π Rysunek : Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków z liczby z. Bywa, że łatwo jest odgadnąć jeden z pierwiastków z danej liczby zespolonej. Przykładowo liczba w = jest jednym z pierwiastków (dowolnego stopnia) z liczby z =. W takiej sytuacji do obliczenia pozostałych pierwiastków wygodnie jest zastosować następujące twierdzenie: TWIERDZENIE Twierdzenie : Jeżeli w jest jednym z pierwiastków n-tego stopnia z liczby z, to wówczas pozostałe pierwiastki wyrażają się wzorem: kπ kπ w k = w (cos + i sin ), k =,, n. n n ()

23 Przykład 6: Obliczymy pierwiastki stopnia z liczby ( + i) 6. Poszukujemy zatem liczb w, w, w { ( + i) 6 }. Zapisując ( + i) 6 jako (( + i) ) łatwo zauważyć, że jednym z pierwiastków jest liczba ( + i). Niech zatem w = ( + i ). Wykorzystując wzór skróconego mnożenia otrzymujemy w = + 8i + i = 8i. Aby obliczyć pozostałe pierwiastki wykorzystamy wzór ( ). Mamy: π π w = w (cos + i sin ) = 8i ( + i) = i + i = i, Na koniec zilustrujemy graficznie otrzymany zbiór pierwiastków: π π w = w (cos + i sin ) = 8i ( i) = i i = i. Rysunek : Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków z liczby z. Równania w zbiorze liczb zespolonych

24 Przykład 7: Rozwiążemy równanie: (z + z) + i(z z) + z = i 6 z niewiadomą z C. Do rozwiązania zastosujemy postać algebraiczną liczby z. Niech zatem z = x + iy, gdzie x, y R. Otrzymujemy: Stąd: Porównując części rzeczywiste i urojone prawej i lewej strony równania otrzymujemy układ równań: którego rozwiązaniem jest (x + iy + x iy) + i(x + iy (x iy)) + x + iy = i 6. x + i(iy) + x + iy = i 6 x y + iy = i 6. x y = 6 {, y = Rozwiązaniem równania jest więc liczba z = + i. x = {. y = Przykład 8: Rozwiążemy równanie z z + =. Do rozwiązania zastosujemy wzory na pierwiastki równania kwadratowego. Mamy: skąd Δ = i = i lub Δ = i. Do obliczenia rozwiązań równania wystarczy użyć jednego z wyliczonych powyżej pierwiastków z Δ, w tym przypadku przyjmiemy Δ = i. Mamy zatem: oraz Δ = ( ) = 8 = = i, z i = = i, +i z = = + i. Łatwo sprawdzić, że podstawiając do wzorów Δ = i otrzymamy taki sam zbiór pierwiastków wyjściowego równania.

25 Przykład 9: Rozwiążemy równanie: z = ( i ). Na podstawie definicji pierwiastków zespolonych wnioskujemy, że zbiór rozwiązań równania pokrywa się ze zbiorem pierwiastków stopnia z liczby ( i). Zatem z, z, z, z są rozwiązaniami wyjściowego równania wtedy i tylko wtedy, gdy z, z, z, z { ( i) }. Łatwo stwierdzamy, że jedną z takich liczb jest i. Przyjmijmy wobec tego z = i. Pozostałe rozwiązania obliczymy wykorzystując z. Mamy: π π z = z (cos + i sin ) = ( i)( + i) = i i = + i; π π z = z (cos + i sin ) = ( i)( + i) = + i; 6π 6π z = z (cos + i sin ) = ( i)( i) = i + i = i. Ostatecznie więc zbiorem rozwiązań równania jest { i, + i, i, + i}. Pojęcie pierwiastka stopnia n z liczby zespolonej z różni się istotnie od pojęcia pierwiastka stopnia n z liczby rzeczywistej. Zatem prawa potęg analogiczne jak w zbiorze liczb rzeczywistych, w dziedzinie zespolonej dotyczą tylko wykładników całkowitych, ale nie wymiernych. Przykład : Rozwiążemy równanie z = z z. Do rozwiązania zastosujemy postać wykładniczą liczby z. Zauważmy najpierw, że liczba z = spełnia równanie z = z z. Niech teraz z = re iφ, gdzie r >, φ [, π). Wówczas z = re iφ, skąd z = r e iφ. Po prawej stronie równania mamy tymczasem z = r e iφ oraz z = r. Porównując prawą i lewą stronę równania otrzymujemy = z z r e iφ = r e iφ r r e iφ = r e iφ r { = r r R { mπ φ = φ + kπ, k Z φ =, m =,,,,, z Rozwiązaniami równania są zatem liczby leżące na półprostych o początku w punkcie, nachylonych do osi rzeczywistej pod π π π π kątem,,, π,,. Zbiory liczb zespolonych - interpretacja geometryczna

26 Rozpoczniemy od interpretacji geometrycznej liczb zespolonych w postaci algebraicznej. Przykład : Rozważmy nierówność Rez + Imz, gdzie z jest liczbą zespoloną. Zauważmy, że choć między liczbami zespolonymi nie określa się nierówności, to nasza nierówność dotyczy w istocie liczb rzeczywistych, bowiem zarówno Rez jak i Imz są liczbami rzeczywistymi. W rozwiązaniu wykorzystamy postać algebraiczną liczby z. Niech z = x + iy, gdzie x, y R. Rozważana nierówność ma teraz postać co po przekształceniu daje Geometrycznie zatem rozwiązaniem jest zbiór x + y, x y +. Rysunek :

27 Przykład : Na płaszczyźnie zespolonej narysujemy zbiór liczb zespolonych spełniających warunek: Im[( + i)z i] <. Skorzystamy z postaci algebraicznej liczby z. Niech z = x + iy, gdzie x, y R. Oznaczmy przez w liczbę ( + i)z i. Mamy: w = ( + i)(x + iy) i = = x + iy + ix + i y i = = x y + i(y + x ). Rozwiązując nierówność Imw < otrzymujemy y + x <, co po przekształceniu daje y < x +. Rozwiązanie zadania przedstawia się zatem następująco: Rysunek : Bardzo ważna jest umiejętność interpretacji geometrycznej równań i nierówności z modułem i argumentem liczby zespolonej.

28 Przykład : Na płaszczyźnie zespolonej narysujemy zbiór liczb zespolonych spełniających warunki: π < Argz π oraz z. 6 Mamy kolejno: zbiór liczb zespolonych z takich, że Argz > π 6 następnie zbiór liczb zespolonych z takich, że Argz π Rysunek : oraz zbiór liczb zespolonych z takich, że z Rysunek : Częścią wspólną jest zatem Rysunek 6: Rysunek 7:

29 Przykład : Na płaszczyźnie zespolonej narysujemy zbiór liczb zespolonych spełniających warunek z + i <. Nierówność z z < r dla r > opisuje zbiór liczb zespolonych leżących w odległości mniejszej od r od liczby z. Geometrycznie jest to zatem koło bez brzegu o środku w punkcie z i promieniu równym r. Przekształcamy wyjściową nierówność z + i < z ( + i) <, skąd z = + i oraz r =. Wobec tego rozwiązaniem nierówności z + i < jest zbiór Rysunek 8: Przykład : Na płaszczyźnie zespolonej narysujemy zbiór liczb zespolonych spełniających równanie z i + = z i. Równanie z z = z z opisuje zbiór liczb zespolonych, które leżą w takiej samej odległości od liczb z i z. Geometrycznie jest to więc symetralna odcinka łączącego z i z. Przekształcamy wyjściowe równanie z i + = z i z ( + i) = z ( + i), skąd z = + i oraz z = + i. Zatem rozwiązaniem równania z i + = z i jest zbiór Rysunek 9:

30 Działania na macierzach DEFINICJA Definicja : Macierz Macierzą rzeczywistą (zespoloną) o m wierszach i n kolumnach oraz elementach a ij, gdzie i m, j n nazywamy prostokątną tablicę liczb rzeczywistych (zespolonych) a a a n a A = a a n. a m a m a mn (6) Macierz o m wierszach i n kolumnach nazywamy macierzą wymiaru m n. Macierz wymiaru m n utworzoną z elementów a ij oznaczamy również symbolem A = (a ij ) m n. W przypadku, gdy wymiar macierzy jasno wynika z kontekstu, stosujemy zapis A = ( a ij ). Macierz, której wszystkie elementy są równe nazywamy macierzą zerową i oznaczamy symbolem O. Zbiór macierzy wymiaru m n o elementach ze zbioru liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R m n, natomiast dla oznaczenia zbioru macierzy o elementach ze zbioru liczb zespolonych stosujemy zapis C m n. DEFINICJA Definicja 6: Suma i różnica macierzy Niech A = (a ij ) m n i B = (b ij ) m n będą macierzami wymiaru m n.. Sumą macierzy A i B (ozn. (A + B) nazywamy macierz C = (c ij ) m n taką, że każdy element macierzy C jest sumą odpowiednich elementów macierzy A i B tj. dla każdej pary (ij), gdzie i m, j n zachodzi równość c ij = a ij + b ij.. Różnicą macierzy A i B (ozn. A B) nazywamy macierz C = (c ij) m n taką, że każdy element macierzy C jest różnicą odpowiednich elementów macierzy A i B tj. dla każdej pary (ij), gdzie i m, j n zachodzi równość c ij = a ij b ij. Wprost z definicji wynika, że dodawać i odejmować możemy tylko macierze takich samych wymiarów.

31 Przykład 6: Rozważmy macierze A i B postaci 6 A =, B =. Wówczas natomiast 6 7 A + B = + =, 6 A B = =. DEFINICJA Definicja 7: Mnożenie macierzy przez liczbę Niech α będzie liczbą rzeczywistą lub zespoloną i niech A = (a ij ) m n. Iloczynem macierzy A i liczby α, oznaczanym symbolem αa, nazywamy macierz wymiaru m n, której elementy są równe α a ij. Przykład 7: i 7 7i 7 + i = 7 + 7i 7. i 7i i 7 7i

32 TWIERDZENIE Twierdzenie : Własności dodawania macierzy i mnożenia macierzy przez liczbę Niech A, B, C będą macierzami tego samego wymiaru. Zachodzą następujące własności:. Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne tj. A + B = B + A oraz (A + B) + C = A + (B + C) ;. Macierz zerowa jest elementem neutralnym dodawania tj. A + O = O + A = A;. Dla macierzy A macierz A, określona jako A = A, jest elementem przeciwnym do A tj. A + ( A) = O;. Mnożenie macierzy przez liczbę jest rozdzielne względem dodawania macierzy tj. zachodzi α (A + B) = α A + α B;. Mnożenie macierzy przez liczbę jest łączne tj. α (β A) = (α β) A. DEFINICJA Definicja 8: Iloczyn macierzy przez macierz Rozważmy macierz A = ( a ij ) wymiaru m k oraz macierz B = ( b ij ) wymiaru k n. Iloczynem macierzy A i B (ozn. A B) nazywamy macierz C = ( c ij ) wymiaru m n, której element c ij jest określony wzorem c ij = k s= a isb sj, (7) dla i =,, m, j =,, n. Zgodnie z definicją iloczyn macierzy A B jest określony wtedy i tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa liczbie wierszy macierzy B. Otrzymana macierz A B ma tyle wierszy, co macierz A i tyle kolumn, co macierz B. Mnożąc macierze trzeba pamiętać, że działanie to nie jest przemienne. Przykład 8: Wykonajmy mnożenie ( ) = ( + + ) = (). Mnożąc macierz wymiaru przez macierz wymiaru otrzymaliśmy macierz wymiaru. Wymnóżmy teraz ( ) = Mnożąc macierz wymiaru przez macierz wymiaru otrzymaliśmy macierz wymiaru. Do mnożenia macierzy wygodnie jest stosować następujący schemat, zwany schematem Falka, polegający na odpowiednim ułożeniu mnożonych macierzy. Mnożąc mianowicie macierz A przez macierz B zapisujemy obie macierze w tabeli następująco,

33 A B C, przy czym symbolem C oznaczamy, jak w definicji, iloczyn A B. Następnie mnożymy kolejne elementy pierwszego wiersza macierzy A przez kolejne elementy pierwszej kolumny macierzy B, otrzymane iloczyny sumujemy i zapisujemy wynik w lewym górnym rogu pola oznaczonego jako C, tj. w miejscu elementu c. Podobnie mnożymy kolejne elementy pierwszego wiersza macierzy A przez kolejne elementy drugiej kolumny macierzy B, sumujemy otrzymane iloczyny i zapisujemy wynik w miejscu elementu c itd. Przykład 9: i Niech A = ( ), B = i i. Mamy: 7 i i i i ( ) 7 i i i i i i + i + i ( ). 7 + i i i i Przykładowo, aby wyliczyć wartość elementu znajdującego się w pierwszym wierszu i drugiej kolumnie macierzy A B wykonujemy działania i + + ( i) =. TWIERDZENIE Twierdzenie 6: Własności iloczynu macierzy Niech A, B, C będą macierzami. Jeżeli poszczególne działania są wykonalne, to zachodzą następujące własności:... α (A B) = (α A) B = A (α B); A (B + C) = A B + A C; A (B C) = (A B) C. Szczególne typy macierzy DEFINICJA Definicja 9: Macierz zerowa Macierz, której wszystkie elementy są równe zero, nazywamy macierzą zerową. Macierz zerową oznaczamy symbolem O.

34 DEFINICJA Definicja : Macierz kwadratowa, główna przekątna. Jeżeli liczba wierszy macierzy jest równa liczbie jej kolumn, to mówimy, że dana macierz jest kwadratowa. Jeżeli liczba wierszy i kolumn macierzy jest równa n, to wówczas mówimy, że macierz jest stopnia n.. Główną przekątną macierzy kwadratowej A = ( a ij ) stopnia n nazywamy zbiór elementów, dla których numer wiersza i numer kolumny są równe, tj. zbiór elementów { a, a,, a nn }. DEFINICJA Definicja : Macierz trójkątna górna, macierz trójkątna dolna. Macierzą trójkątną górną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy leżące pod główną przekątną są równe zero.. Macierzą trójkątną dolną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy leżące nad główną przekątną są równe zero. Przykład : Rozważmy macierz i A = i. i i Główną przekątną powyższej macierzy stanowi zbiór elementów {, i, i, i}. Ponieważ wszystkie elementy leżące pod główną przekątną są równe zero, zatem mamy do czynienia z macierzą trójkątną górną. DEFINICJA Definicja : Macierz diagonalna Macierzą diagonalną nazywamy macierz kwadratową, której wszystkie elementy leżące poza główną przekątną są równe zero.

35 DEFINICJA Definicja : Macierz jednostkowa Macierzą jednostkową nazywamy macierz diagonalną, której wszystkie elementy leżące na głównej przekątnej są równe. Macierz jednostkową stopnia n oznaczamy symbolem I n. Czasami, jeżeli nie ma wątpliwości co do wymiaru danej macierzy jednostkowej, pomijamy dolny indeks pisząc po prostu I. Przykład : Macierz jednostkowa stopnia jest postaci I =. DEFINICJA Definicja : Macierz transponowana Jeżeli A = ( a ij ) jest macierzą wymiaru m n to macierzą transponowaną do A lub transpozycją A nazywamy macierz A T = ( a T ) wymiaru n m, której elementy wyrażają się wzorem a T = a. ij ij ji Z definicji wynika, że macierz transponowana powstaje z macierzy wyjściowej poprzez zapisanie kolejno poszczególnych wierszy macierzy A jako kolejne kolumny macierzy A T. Przykład : Dla macierzy A = 6 macierz transponowana A T jest postaci A T =. 6

36 TWIERDZENIE Twierdzenie 7: Własności transpozycji Zachodzą następujące własności:..... (A + B ) T = A T + B T ; (A B ) T = B T A T ; ( A T ) T = A; ( a r ) T = ( A T ) r ; (αa) T = α A T, gdzie r N, α jest dowolną liczbą rzeczywistą lub zespoloną, zaś wymiary macierzy A i B dla poszczególnych własności są takie, aby rozważane działania były wykonalne. DEFINICJA Definicja : Macierz symetryczna i macierz antysymetryczna. Macierz kwadratową A nazywamy symetryczną, jeżeli jest równa swojej macierzy transponowanej, tj. zachodzi warunek A = A T.. Macierz kwadratową A nazywamy antysymetryczną, jeżeli A T = A. Z definicji wynika, że macierz kwadratowa jest symetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej elementy leżące symetrycznie względem głównej przekątnej są sobie równe. Z kolei macierz kwadratowa jest antysymetryczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej elementy leżące symetrycznie względem głównej przekątnej są liczbami wzajemnie przeciwnymi, zaś elementy na głównej przekątnej są równe. Przykład : Macierz jest symetryczna, z kolei macierz jest antysymetryczna. Wyznacznik macierzy - definicja i własności

37 DEFINICJA Definicja 6: Definicja wyznacznika Z każdą macierzą kwadratową A związana jest liczba (rzeczywista lub zespolona) nazywana wyznacznikiem macierzy A, oznaczana symbolem deta. Wyznacznik definiujemy indukcyjnie, w następujący sposób:. jeżeli macierz A = ( a ) jest stopnia, to deta = a ;::. jeżeli macierz A = ( a ij ) jest stopnia n, gdzie n >, to gdzie a a a n a deta = det a a n = n ( det, i= ) i+ a i A i a n a n oznacza podmacierz stopnia n otrzymaną z macierzy poprzez skreślenie i-tego wiersza oraz pierwszej kolumny. a nn A i A Wyznacznik macierzy będziemy również oznaczać, stosując następujący zapis: a a a n a a a n deta =. Warto zapamiętać, że wyznaczniki liczymy tylko dla macierzy kwadratowych. a n a n a nn Przykład : Zgodnie z definicją, wyznacznikiem macierzy składającej się z jednego elementu jest wartość tego elementu, tj. det(7) = 7 7 = 7.

38 Przykład : Obliczmy wyznacznik macierzy stopnia. Niech zatem A = ( ). Zgodnie z definicją obliczamy deta = det ( ) = ( ) + + ( ) + ( ) = 7. W przypadku obliczania wyznaczników macierzy stopnia można zastosować prostszą metodę mnożenia. Przykład 6: Zajmijmy się następnie obliczeniem wyznacznika macierzy stopnia. Mamy daną macierz Mamy: Obliczamy: A =. deta = det = ( ) + det A + ( ) + ( ) det A + ( ) + A. det A = det ( ) =, det A = det ( ) =, det A = det ( ) =, skąd ostatecznie deta = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) = + 9 =. W przypadku obliczania wyznaczników macierzy stopnia można zastosować prostszą metodę tzw.

39 TWIERDZENIE Twierdzenie 8: Własności wyznacznika macierzy Niech A będzie macierzą kwadratową.. Jeżeli macierz A zawiera wiersz (kolumnę) składającą się z samych zer, to deta = ;. Jeżeli zamienimy miejscami dwa wiersze (kolumny) macierzy A, to wyznacznik zmieni znak na przeciwny;. Jeżeli macierz A zawiera dwa jednakowe wiersze (kolumny), to deta = ;. Jeżeli do każdego z elementów pewnego wiersza (kolumny) macierzy A dodamy pomnożone przez tę samą liczbę odpowiednie elementy innego wiersza (kolumny) tej macierzy (tj. dodajemy elementy leżące w tych samych kolumnach (wierszach)), to wyznacznik macierzy A nie zmieni się. Ogólnie, wyznacznik macierzy A nie zmieni się, jeżeli do pewnego wiersza (kolumny) tej macierzy dodamy kombinację liniową innych wierszy (kolumn) macierzy A;. Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza (kolumny) macierzy A pomnożymy przez liczbę α, to wyznacznik otrzymanej macierzy będzie równy α deta; 6. Transpozycja macierzy A nie zmienia jej wyznacznika, tj. deta = deta T ; 7. Jeżeli macierze A i B są tych samych stopni, to det(a B) = deta detb (prawo Cauchy'ego).

40 Przykład 7: Przykład 7: Obliczmy wyznacznik macierzy Mamy: skąd i dalej analogicznie, skąd ostatecznie otrzymujemy Powyższy przykład ilustruje następujące TWIERDZENIE Twierdzenie 9: Wyznacznik macierzy trójkątnej Twierdzenie 9: Wyznacznik macierzy trójkątnej Wyznacznik macierzy trójkątnej równy jest iloczynowi wyrazów leżących na głównej przekątnej. Jest to podstawowy fakt z teorii macierzy, wyznaczników i układów równań liniowych. Stanowi on podstawę dla tzw. metody Gaussa. Wyznaczniki macierzy stopni i Wyznaczniki macierzy stopni i Obliczając wyznaczniki macierzy stopni i możemy, tak jak w przypadku wyznaczników wszystkich innych stopni, zastosować rozwinięcie Laplace'a względem dowolnie wybranego wiersza lub kolumny macierzy, jednak w przypadku tych dwóch A =. deta = ( det, ) + deta = ( ( det = ) + ) + = ( ( ( det ( ) = ) + ) + ) + ( ( ( ( ( ) + ) + ) + ) + ) + det = =.

41 szczególnych stopni istnieją prostsze metody obliczania wyznaczników. Do obliczania wyznaczników macierzy stopnia stosujemy regułę: a det ( a ) = a a a a. a a Przykład 8: Obliczymy wyznacznik: det ( ) = ( ) ( ) = ( 6) = + 6 =. Do obliczania wyznaczników macierzy stopnia stosuje się tzw. metodę Sarrusa, która polega na dopisaniu pod macierzą pierwszego i drugiego wiersza, a następnie obliczeniu sum iloczynów elementów wzdłuż linii kropkowanych i odjęciu sum iloczynów elementów wzdłuż linii ciągłych: det a a a a a a a a a a a a a a a Trzeba przy tym zapamiętać, że metodę Sarrusa stosujemy tylko do obliczania wyznaczników macierzy stopnia.

42 Przykład 9: Obliczymy wyznacznik macierzy i A = i. i Zastosujemy omówioną wyżej metodę Sarrusa. Mamy: i deta = det i = i i i = (i ( ) + ( i) ( ) + ( i)) (( ) + ( i) ( i) i + ( ) ) = = ( i + i) ( i + ) = i. Alternatywną wersją metody Sarrusa jest dopisanie do macierzy, której wyznacznik należy wyliczyć, zamiast pierwszego i drugiego wiersza, pierwszej i drugiej kolumny danej macierzy. Dalej metoda postępowania jest analogiczna. Przykład : Obliczymy wyznacznik macierzy 6 B =. Mamy: 6 6 detb = det = = ( ( ) + ( 6) + ( ) ) ( + + ( 6) ( ) ( )) = = ( ) ( ) = 67. Metoda Laplace'a obliczania wyznaczników

43 DEFINICJA Definicja 7: Dopełnienie algebraiczne Niech A = ( a ij ) będzie macierzą kwadratową stopnia n, gdzie n. Niech A ij będzie podmacierzą stopnia n powstałą z macierzy A poprzez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny. Liczbę D ij = ( ) i+j deta ij nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy A. Przykład : Niech A będzie macierzą stopnia postaci A =. Obliczymy dopełnienie algebraiczne elementu a. Skreślamy zatem drugi wiersz i trzecią kolumnę macierzy A, otrzymując macierz A = ( ). Wyznacznik macierzy A jest równy, zatem dopełnienie algebraiczne elementu a wynosi D = ( ) + ( ) =. TWIERDZENIE Twierdzenie : Rozwinięcia Laplace'a wyznacznika Niech A = ( a ij ) będzie macierzą stopnia n, gdzie n.. Dla dowolnej, ustalonej liczby i, gdzie i n, wyznacznik macierzy A jest równy deta = n k= a ikd ik. Powyższą równość nazywamy rozwinięciem Laplace'a względem i-tego wiersza.. Dla dowolnej, ustalonej liczby j, gdzie j n, wyznacznik macierzy A jest równy deta = n k= a kjd kj. Powyższą równość nazywamy rozwinięciem Laplace'a względem j-tej kolumny. Warto zwrócić uwagę, że zgodnie z powyższym twierdzeniem, wyznacznik macierzy jest równy rozwinięciu Laplace'a względem dowolnie wybranego wiersza bądź kolumny macierzy, podczas gdy definicja indukcyjna nakazuje wykonać rozwinięcie względem konkretnej (w tym przypadku pierwszej) kolumny macierzy.

44 Przykład : Obliczymy wyznacznik macierzy A =. Zauważmy, że w trzeciej kolumnie macierzy mamy dwa zera, zatem wygodnie będzie obliczać wyznacznik, wykorzystując rozwinięcie Laplace'a względem tej właśnie kolumny. deta = D + D + D + D = = + ( ) ( = ) + = ( (6 + + )) ( ( + + 6)) = = (8 9) ( ) = = 9. Niejednokrotnie przy obliczaniu wyznacznika wygodnie jest daną macierz przekształcić, stosując operacje nie mające wpływu na jej wyznacznik (zob.: twierdzenie Własności wyznacznika macierzy). Przykład : Obliczymy wyznacznik macierzy A =. 6 Łatwo zauważyć, że mnożąc pierwszy wiersz przez, a następnie dodając go do drugiego wiersza, otrzymamy w drugim wierszu dwa zera, co znacznie uprości rachunki. Mamy zatem: 6 w w = w w w =. w w 6 w w Stosujemy następnie rozwinięcie Laplace'a względem drugiego wiersza, otrzymując deta = ( ) + ( ) = 6 = ( (6 6)) ( ( 6 )) =. Macierz odwrotna

45 DEFINICJA Definicja 8: Macierz odwrotna Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Jeżeli istnieje macierz A taka, że spełnione są warunki A A = A A = I n, to mówimy, że macierz A jest odwracalna, a macierz A nazywamy macierzą odwrotną do A (lub odwrotnością A ). Warto zapamiętać, że macierz odwrotna może istnieć tylko dla macierzy kwadratowej, jednakże nie każda macierz kwadratowa ma swoją macierz odwrotną. Wprost z definicji wynika również, że macierz odwrotna do macierzy kwadratowej stopnia n także jest macierzą kwadratową stopnia n. Przykład : Korzystając z definicji, poszukamy odwrotności macierzy A = ( ). Przypuśćmy, że poszukiwaną odwrotnością jest macierz postaci a b ( ). c d Wówczas muszą zachodzić warunki: a b ( ) ( ) = ( ) c d (8) oraz a b ( ) ( ) = ( ). c d (9) Z warunku ( 8 ), po wymnożeniu lewej strony i porównaniu elementów macierzy, otrzymujemy układ równań: a + c b + d a + c b + d = = = =, skąd a =, b =, c =,. d = Łatwo sprawdzić, że takie same wyniki otrzymamy, rozwiązując układ równań otrzymany z warunku ( 9 ). Zatem poszukiwana macierz A odwrotna do macierzy A jest postaci: A = ( ).

46 TWIERDZENIE Twierdzenie : O jedyności macierzy odwrotnej Dowolna macierz kwadratowa może mieć co najwyżej jedną macierz odwrotną, tj. jeżeli dla danej macierzy istnieje macierz odwrotna, to jest ona określona jednoznacznie. TWIERDZENIE Twierdzenie : Własności macierzy odwrotnej Niech A i Bbędą macierzami odwracalnymi tego samego stopnia i niech α będzie liczbą różną od zera. Wówczas macierze (A, A T, A B, α A są również odwracalne oraz zachodzą następujące własności:..... det( A ) = (deta) ; (A B ) = B A ; ( A ) = A; ( A T ) = ( A ) T ; (α A ) =. α A DEFINICJA Definicja 9: Macierz osobliwa i nieosobliwa Macierz kwadratową A taką, że deta nazywamy macierzą nieosobliwą. W przeciwnym wypadku A nazywamy macierzą osobliwą. TWIERDZENIE Twierdzenie : O odwracalności macierzy Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa. Podamy teraz ogólny wzór na postać macierzy odwrotnej. W tym celu, w pierwszej kolejności sformułujemy pojęcia dopełnienia algebraicznego elementu macierzy oraz macierzy dopełnień algebraicznych.

47 DEFINICJA Definicja : Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy Niech A = ( a ij ) będzie macierzą stopnia n, gdzie n. Niech A ij będzie podmacierzą powstałą z A poprzez skreślenie i- tego wiersza i j-tej kolumny. Liczbę D ij = ( ) i+j deta ij nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a ij macierzy A. Przykład : Rozważmy macierz A postaci A =. Wyliczymy dopełnienie algebraiczne elementu a. Skreślając z macierzy A wiersz o numerze i = i kolumnę o numerze j = otrzymujemy podmacierz A =, której wyznacznik deta jest równy. Zatem dopełnieniem algebraicznym elementu a jest D = ( ) + det A =. DEFINICJA Definicja : Macierz dopełnień algebraicznych Macierz A D D D D n = D D D n, D n D n D nn gdzie D ij oznaczają dopełnienia algebraiczne elementów a ij macierzy A, nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych macierzy A.

48 TWIERDZENIE Twierdzenie : Postać macierzy odwrotnej Jeżeli macierz A = ( a ij ) stopnia n jest nieosobliwa (jest odwracalna), to macierz do niej odwrotna A wyraża się wzorem A deta = ( AD ) T. Przykład 6: Wyliczymy macierz odwrotną do macierzy A =. Wyznacznik macierzy A jest równy, zatem na mocy twierdzenia O odwracalności macierzy macierz odwrotna do macierzy A istnieje. Obliczamy macierz dopełnień macierzy A: A D ( ) + = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) +, skąd, po wykonaniu rachunków, mamy: 6 6 = 9. Aby wyliczyć macierz A odwrotną do macierzy A musimy teraz transponować macierz dopełnień. Mamy: Na koniec (A D ) T dzielimy przez wyznacznik (równy ), otrzymując Jeśli chcemy się upewnić, czy nie nie ma błędu w naszych stosunkowo żmudnych obliczeniach, możemy je sprawdzić, korzystając z przynajmniej jednego warunku definicji macierzy odwrotnej. I tak: Podobnie można sprawdzić, że również A A = I, a zatem nasze obliczenia są poprawne. A D 6 9 ( A D ) T = =. 6 A 6 9 A A = ( ) =. 6

49 Rząd macierzy DEFINICJA Definicja : Minor macierzy Niech A będzie dowolną macierzą wymiaru m n i niech k będzie liczbą naturalną mniejszą lub równą od mniejszej z liczb m, n. Minorem stopnia k macierzy A nazywamy wyznacznik utworzony z elementów tej macierzy stojących na przecięciu dowolnie wybranych k wierszy i k kolumn. Przykład 7: Niech macierz A będzie postaci A =. Każdy z elementów macierzy A jest jej minorem stopnia. Obliczymy przykładowy minor stopnia macierzy A. Wybieramy zatem dwa dowolne wiersze i dwie dowolne kolumny, niech będą to wiersze o numerach i oraz kolumny o numerach i, a następnie obliczamy wyznacznik utworzony z elementów stojących na przecięciach wybranych wierszy i kolumn. W naszym przypadku będzie to wyznacznik = 6 =. Zauważmy, że chcąc obliczyć minor stopnia, do utworzenia go musimy wykorzystać wszystkie cztery wiersze i cztery kolumny macierzy A. Wobec tego jedynym minorem stopnia naszej macierzy jest jej wyznacznik deta = = 6. Warto zauważyć, że dowolna macierz kwadratowa stopnia n ma dokładnie jeden minor stopnia n. Jest nim mianowicie jej wyznacznik.